【文档说明】《九年级数学上册课堂讲义（人教版）》第3讲一元二次方程的解法（三）——公式法，因式分解法（解析版）.docx，共(15)页，221.856 KB，由管理员店铺上传

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1学科教师辅导教案学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型TCT授课日期及时段教学内容一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了

解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程

1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一

般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；2若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其

变形为：.①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.②当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.③当时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2

）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一

元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型

例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1)x2+3x+1=0；(2)；(3)2x2+3x-1=0．【答案与解析】(1)a=1，b=3，c=1∴x==．∴x1=，x2=．20(0)axbxca++=2224(

)24bbacxaa−+=240bac=−21,242bbacxa−−=240bac=−=1,22bxa=−240bac=−2241xx=−3(2)原方程化为一般形式，得．∵，，，∴．∴，即，．(3)∵a=2，b=3，c=﹣1∴b2﹣4ac=17＞0∴x=∴x1

=，x2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式

法解方程：x2﹣3x﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==，∴x1=，x2=．2．用公式法解下列方程：(1)2x2+x=2；(2)3x

2﹣6x﹣2=0；（3）x2﹣3x﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x2+x﹣2=0，∴a=2，b=1，

c=﹣2，∴x===，∴x1=，x2=．(2)∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，22410xx−+=2a=4b=−1c=224(4)42180bac−=−−=42221222x==1212x=+2212x=−24bac

−24bac−4∴b2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=，∴x1=，x2=（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b2﹣4ac=9+28=37.x==，解得x1=，x2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．举一反三：【

变式】用公式法解下列方程：；【答案】解：移项，得．∵，，，，∴，∴，．3．解关于x的方程．【答案与解析】(1)当m+n＝0且m≠0，n≠0时，原方程可化为．∵m≠0，解得x＝1．(2)当m+n≠0时，∵，，，∴，∴，240bac−2221xx+=22210xx+−=

2a=2b=1c=−224242(1)120bac−=−−=21213222x−−==1132x−−=2132x−+=2()(42)50mnxmnxnm++−+−=(42)50mmxmm+−−=amn=+42bmn=−5cnm=−2224

(42)4()(5)360bacmnmnnmm−=−−+−=2243624|6|2()2()nmmnmmxmnmn−−==++5∴，．【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论类型二、因式分

解法解一元二次方程3．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)；(2)(2x+3)2-25＝0；（3）x（2x+1）=8x﹣3．【思路点拨】用因式分解法解方程，一定要注意第1小题，等号的两边都含有（x+2）这一项，切

不可在方程的两边同除以（x+2）,化简成3（x+2）=2,因为你不知道（x-2）是否等于零.第2小题，运用平方差公式可以，用直接开方也可以.第3小题化成一般式之后，再运用分解因式法解方程.【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)

(3x+6-2)＝0．∴x+2＝0或3x+4＝0，∴x1＝-2，．(2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴2x-2＝0或2x+8＝0，∴x1＝1，x2＝-4．（3）去括号，得：2x2+x=8x﹣3，移项，得：2x2+x﹣8x+3=

0合并同类项，得：2x2﹣7x+3=0，∴（2x﹣1）（x﹣3）=0，∴2x﹣1=0或x﹣3=0，∴，x2=3．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解

的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．4．解方程：x2﹣1=2（x+1）．【答案与解析】解：∵x2﹣1=2（x+1），∴（x+1）（x﹣1）=2（x+1），∴（x+1）（x﹣3）=0，∴x1=﹣1，x2=3

．【总结升华】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，左边先平方差公式分解，然后提取公因式（x+1），注意不要两边同除（x+1），这样会漏解.5．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；(2)．11x=25nmxmn−=+243

x=−(31)(1)(41)(1)xxxx−−=+−6【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即，∴．(2)移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以，．【总结升华】

解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如(1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x＝1这个根．举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0（2）【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3

)=0(x+6)(x+5)=0X1=-6,x2=-5.(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0.6．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程两个根二次三项式因式分解x2﹣2x+1=0x1=1

，x2=1x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1）x2﹣3x+2=0x1=1，x2=2x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）3x2+x﹣2=0x1=，x2=﹣13x2+x﹣2=3（x﹣）（x+1）2x2+5x+2=0x1=﹣，x2=﹣22x2+5x+2=2（x+）（x

+2）4x2+13x+3=0x1=，x2=4x2+13x+3=4（x+）（x+）将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+）（

x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，则ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．2(23)0x+=1232xx=

=−11x=22x=−3(21)42xxx+=+1212,23xx=−=77．如果，请你求出的值．【答案与解析】设，∴z(z-2)＝3．整理得：，∴(z-3)(z+1)＝0．∴z1＝3，z2＝-1．∵，∴z＝-1(不合题意，舍去)∴z＝3

．即的值为3．【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。这里巧

设再求z值，从而求出的值实际就是换元思想的运用．易错提示:忽视，而得或．【巩固练习】一、选择题1．下列方程适合用因式方程解法解的是（）A．x2﹣3x+2=0B．2x2=x+4C．（x﹣1）（x+2）=72D．x2﹣11x﹣10

=02．方程的解是()A．B．C．，D．，3．一元二次方程的解是()A．；B．；C．；D．；4.方程x2-5x-6＝0的两根为()A．6和1B．6和-1C．2和3D．-2和35．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是()A．x＝5B．x＝5或x＝6C．x＝7D．x＝5或x＝76．已知，

则的值为()A．2011B．2012C．2013D．20142222()(2)3xyxy++−=22xy+22xyz+=2230zz−−=220zxy=+22xy+22xy+22xy+22xy+22zxy=+22xy+220xy+223xy+=2

21xy+=−(1)2xx−=1x=−2x=−11x=−22x=11x=22x=−2340xx+−=11x=24x=−11x=−24x=11x=−24x=−11x=24x=210xx−−=3222012xx−++8二、填空题7．方程x2+x＝0的解是_______

_；8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是________．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程________．10．若方程x2-m＝0的根为整数，则m的值可以是________．(只填符合条件的一个即可)11．已知实数x、y满足，则________．12．已知y

＝(x-5)(x+2)．(1)当x为值时，y的值为0；(2)当x为值时，y的值为5.三、解答题13．解方程（1）2（x﹣3）2=8（直接开平方法）（2）4x2﹣6x﹣3=0（运用公式法）（3）（2x﹣3）2=5（2x﹣3）（运用分解因式法）（4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适

当的方法）14.用因式分解法解方程（1）x2-6x-16＝0．（2）(2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15．(1)利用求根公式完成下表：方程的值的符号（填＞0，=0，＜0），的关系（填“相等”“不等”或“不存在”）(2)请观察上表，结

合的符号，归纳出一元二次方程的根的情况．(3)利用上面的结论解答下题．当m取什么值时，关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2＝0，①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．2

222()(1)2xyxy++−=22xy+=24bac−24bac−1x2x2230xx−−=2210xx−+=2230xx−+=24bac−9【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】解：根据分析可知A、

B、D适用公式法．而C可化简为x2+x﹣72=0，即（x+9）（x﹣8）=0，所以C适合用因式分解法来解题．故选C．2.【答案】C；【解析】整理得x2-x-2＝0，∴(x-2)(x+1)＝0.3.【答案】A；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝04.【答案】B；【解析】

要设法找到两个数a，b，使它们的和a+b＝-5，积ab＝-6，∴(x+1)(x-6)＝0，∴x+1＝0或x-6＝0．∴x1＝-1，x2＝6．5.【答案】D；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-

5)(x-6)-(x-5)0．∴(x-5)(x-6-1)＝0，∴，6.【答案】C；【解析】由已知得x2-x＝1，∴．二、填空题7．【答案】x1＝0，x2＝-1．【解析】可提公因式x，得x(x+1)＝0．∴x＝0或x+1＝0，∴x1＝0，x2＝-1．

8．【答案】x1＝1，x2＝-2，x3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解．9．【答案】；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案．10

．【答案】4；【解析】m应是一个整数的平方，此题可填的数字很多．11．【答案】2；【解析】由(x2+y2)2-(x2+y2)-2＝0得(x2+y2+1)(x2+y2-2)＝0又由x，y为实数，∴x2+y2＞0，∴x2+y2＝2．12．【答案】(1)x＝5或x＝-2；(2)或．【解析】(1)当y＝0

时(x-5)(x+2)＝0，∴x-5＝0或x+2＝0，∴x＝5或x＝-2．15x=27x=322222012()20122012120122013xxxxxxxx−++=−−++=−++=+=2320xx−+=3692x+=3692x−=10(2)当y＝5时(x-5)(x+2)＝5，

∴，，∴或．三、解答题13.【解析】解：（1）（x﹣3）2=4x﹣3=2或x﹣3=﹣2，解得，x1=1或x2=5；（2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，x==，，；（3）移项得，（2

x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=0，因式分解得，（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）=0，，x2=4；（4）化简得，x2+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，解得，x1=﹣4，x2=﹣5．14.【解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴x-8＝0或x+

2＝0，∴，．（2）设y＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴(y+1)(y+2)＝0，∴y+1＝0或y+2＝0，∴y＝-1或y＝-2．当时，，；当时，，．∴原方程的解为，．15.【解析】(1)方程的值的符号，的关系23150xx−−=3941(15)369212x−

−==3692x+=3692x−=18x=22x=−1y=−211x+=−1x=−2y=−212x+=−32x=−11x=−232x=−24bac−24bac−1x2x11（填＞0，=0，＜0）（填“相等”“不等

”或“不存在”）16＞0不等0=0相等-8＜0不存在(2)①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根．(3)，①当原方程有两个不相等的实数根时，，即且m≠2；②当原方程有两个相等的实数根时，b2-4ac=20m-

15=0，即；③当原方程没有实数根时，，即．【巩固练习】一、选择题1.方程的解为（）．A．B．C．，D．以上结论都不对2．整式x+1与整式x-4的积为x2-3x-4，则一元二次方程x2-3x-4＝0的根是()．A．x1＝-1，x2＝-4B．x1＝-1，x

2＝4C．x1＝1，x2＝4D．x1＝1，x2＝-43．如果x2+x-1＝0，那么代数式的值为()A．6B．8C．-6D．-84．若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于()A

．1B．2C．1或2D．05．若代数式的值为零，则x的取值是()．A．x＝2或x＝1B．x＝2且x＝1C．x＝2D．x＝-16．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形周长是()．A．12B．9C．13D．1

2或92230xx−−=2210xx−+=2230xx−+=240bac−240bac−=240bac−242015bacm−=−2420150bacm−=−34m34m=2420150bacm−=−34m(3)(2)1xx−+=3x

=2x=−13x=22x=−3227xx+−(2)(1)||1xxx−−−12二、填空题7．已知实数x满足4x2-4x+1＝0，则代数式的值为________．8．已知y＝x2+x-6，当x＝________时，y的值是24．9．若方程可以分解成（x-3）与(x+4)的积的形

式，则m＝________，n＝________．10．若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b＝4ab，例如2※6＝4×2×6＝48．(1)则3※5的值为；(2)则x※x+2※x-2※4＝0中x的值为；(3)若无论x是什么数，总有a※x＝x，则a的值为．1

1．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个

根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0的解为．12．若方程(2012x)2-2011×2013x-1＝0的较大根为a，方程x2-2012

x-2013＝0的较小根为b，则＝________．三、解答题13.用公式法解下列方程：（2）．14．用适当方法解下列方程：（1）（2x-3）2=25(2)x2-4x+2=0(3)x2-5x-6=015．(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜

想?①方程x2+2x+1＝0的根为x1＝________，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________．②方程x2-3x-1＝0的根为x1＝________，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝_______

_．③方程3x2+4x-7＝0的根为x1＝_______，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________．(2)利用求根公式计算：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0，且b2-4

ac≥0)的两根为x1＝________，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________．(3)利用上面的结论解决下面的问题：设x1、x2是方程2x2+3x-1＝0的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值：①；②．【答案与解析】122xx+2xmxn++2013

()ab+2(1)210xax−−=；22222(1)()abxaxbxab+=+1211xx+2212xx+13一、选择题1．【答案】D；【解析】注意方程右边不是0．2．【答案】B；【解析】∵，∴的根是，．3．【答案】C．【解析】∵，∴．∴32322222277()77176xx

xxxxxxxxx+−=++−=++−=+−=−=−．4.【答案】B；【解析】由常数项为0可得m2-3m+2＝0，∴(m-1)(m-2)＝0，即m-1＝0或m-2＝0，∴m＝1或m＝2，而一元二次方程的二次项系数

m-1≠0，∴m≠1，即m＝2．5．【答案】C；【解析】且，∴．6．【答案】A；【解析】x2-7x+10=0，x1=2，x2=5，此等腰三角形的三边只能是5，5，2，其周长为12．二、填空题7．【答案】2；【解析】用因式分解法解方程得原方程有两个等根，即，所以．8

．【答案】5或-6；【解析】此题把的值代入得到关于的一元二次方程，解之即可．如：根据题意，得，整理得，解得，．9．【答案】1；-12；【解析】，∴m＝1，n＝-12．10．【答案】(1)60；(2)，；(3)．【解析】(1)3※5＝4×3×5＝60；(2)

∵※+2※※4＝，∴，；(3)∵※，，∴只有，等式才能对任何值都成立．∴．11．【答案】(1)换元；降次；(2)x1=﹣3，x2=2．【解析】解：（1）换元，降次234(1(4)xxxx−−=+−2340xx−−=11x=−24x=210xx+−=21xx+=(2)(1)0

xx−−=||1x2x=24410xx−+=1212xx==121122xx+=+=yx2624xx+−=2300xx+−=15x=26x=−22(3)(4)12xmxnxxxx++=−+=+−12x=

24x=−14a=xx2x−24(28)0xx+−=12x=24x=−a4xax==x4(41)0axxax−=−=410a−=x14a=14（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程

x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．12.【答案】0；【解析】(2012x)2-2011×2013x-1＝0的两根为，，∴，的两根为，∴，∴．三、解答题1

3.【答案与解析】（1）∵∴∴∴（2），即，令A＝ab，B＝，C＝ab．∵∴，∴，，∴，．14.【答案与解析】11x=2212012x=−1a=2201220130xx−−=122013,1xx==−1b=−2013()0ab+=1,2,1,aba

c==−=−2224(2)41(1)440bacaa−=−−−=+＞2224412aaxaa+==+22121,1.xaaxaa=++=−+222(1)abxaxbx+=+222()0abxab

xab−++=22()ab−+22222224()4()0BACabababab−=−+−•=−＞，222224()22BBACababxAab−−+−==222221222ababaaxababb++−===222222()222a

babbbxababa+−−===1axb=2bxa=15解：（1）直接开平方得：2x-3=±5，∴2x-3=5或2x-3=-5∴x1=4，x2=-1（2）∵a=1,b=-4,c=2,∴△=b2-4ac=16-8=8.∴422=222x=，∴12=22=22.xx+

−，（3）分解因式得：（x-6）(x+1)=0∴x-6=0或x+1=0∴x1=6，x2=-1.15.【答案与解析】(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数．①-1；-1；-2；1.②；；3

；-1.③；1；；.(2)；；；.(3)，．①．②．3132+3132−73−43−73−242bbaca−+−242bbaca−−−ba−ca1232xx+=−1212xx=−g1212123112312xxxxxx−++===−22212121291913()2214244xxxxxx+=

+−=−−=+=