【文档说明】湖北省荆门市东宝中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.343 MB，由小赞的店铺上传

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2023年秋东宝中学高一（上）学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合221,3271AyyxBxxx==+=−+，则AB=（）A.()1,3B.()0,3C.)1,3D.)0

,3【答案】C【解析】【分析】由基本不等式求集合A中函数的值域，得到集合A，解集合B中的不等式，得到集合B，再求两个集合的交集.【详解】因为()22222211111211211111xxxxxx+=++−+−=−=+++

，当且仅当22111xx+=+，即0x=时，等号成立，则[1,)A=+，不等式327x−解得3x，则(),3B=−，所以)1,3AB=．故选：C2.函数()11fxx=+的图象是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先求

出函数的定义域，再根据特殊值判断即可；【详解】解：因为()11fxx=+，所以10x+，即1x−，解得xR，故函数的定义域为R，故排除A、B，又()111112f−==+−，故排除D；故选：C3.若102x，则214yxx=−的最

大值为（）A.1B.12C.14D.18【答案】C【解析】【分析】化简函数，利用基本不等式求出最值，并验证取等条件．【详解】102x，()()222222211414114144142224xxyxxxxxx+−

=−=−=−=当且仅当22414xx=−，即24x=时取等号则214yxx=−的最大值为14故选：C【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生计算能力，属于中档题．4.已知函数()21,0,0xxfxxx−=

，则满足(1)4fx+的实数x的取值范围为（）A.(1,0)−B.(,4)−C.(,0)(0,1)−D.(,1)−【答案】D【解析】【分析】分情况讨论，当10x+时，()14fxx+=，解得1x−；当10x+时，()()

211431fxxx+=+−，解得11x−，最终取并集得到1x.【详解】函数()21,0,0xxfxxx−=，当10x+时，()14fxx+=两者取交集得到1x−；当10x+时，()()211431fxxx+=+−，两者取交集得到11x−综上，

得到1x.故选：D.5.函数()1fx+的定义域为2,1−，函数()()21fxgxx=+，则()gx的定义域为（）A.1,22−B.()1,+−C.()1,00,22−D.1,22−【答案】D【解析】【分析】根据复

合函数定义域的性质，结合二次根式的性质，分母不为零的性质进行求解即可.【详解】由函数()1fx+的定义域为2,1−，可得112−+x函数()fx的定义域为1,2−，函数()()21fxgxx=+，可得12,210x

x−+解得122x−，所以函数()gx定义域为1,22−．故选：D．6.若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式241312mmxy+++有解，则实数m的取值范围是错误的是（）A.m<－3或m>32B.－3<m<32C.m≤－3或

m≥32D.－3≤m≤32【答案】BCD【解析】【分析】使不等式241312mmxy+++有解，232mm+大于411xy++的最小值，根据题意先利用基本不等式求411xy++的最小值，再解不等式求m的取值范围.【详解】因为正实数x，y满足1xy+=，所以(1)2xy+

+=，则411xy++=)1=44[2(1111(5)](211)yxyxxyyx++++++++1119(52)=(54)22241xyyx++++=，当且仅当411yxxy+=+，即1323xy==时等号成立.因为不

等式241312mmxy+++有解，所以23922mm+，即239022mm+−，0()3)(32mm+−，解得3m−或32m.故选：BCD.7.已知不等式210axbx−−的解集是11[,]23−−，则不等式

20xbxa−−的解集是（）A.(2,3)B.(,2)(3,)−+C.11(,)32D.11(,)(,)32−+【答案】A【解析】【分析】根据给定的解集求出,ab，再代入解一元二次不等式即得.【详解】依题意，11,23−−是方程210axbx−−=的二实根，且a<

0，于是11()23ba=−+−，且111()23a−=−−，解得6,5ab=−=，不等式20xbxa−−化为：2560xx−+，解得23a，所以所求不等式的解集为(2,3).故选：A8.高斯是德国著名的数学家，近

代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx=称为高斯函数，例如：2.13−=−，3.13=，定义域为R的函数()fx满足()()22fxfx+=，当)0,2x时，()

))2,0,1,1,2xxxfxxxx−=−，若)4,6x时，()41fxtt−+恒成立，则实数t的取值范围是（）A.))1,04,−+B.()()1,04,−+C.((,10,4−−D.()(,10,4−−【

答案】A【解析】【分析】由()()22fxfx+=得当)4,6x是)0,2x的值域的4倍，然后利用分段函数值域以及一元二次不等式恒成立求解即可.【详解】解：由()()22fxfx+=，可知，()()()4224fxfxfx+=+=，()()440ff=，()()64

2ff=，所以当)4,6x，对应就是)0,2x的值域的4倍，由分段函数可以得，在)0,1x，值域为10,4；)1,2x，值域为)0,1,可知当)0,2x时，()fx的值域为)0

,1，故)4,6x对应值域为)0,4对于()41fxtt−+恒成立，可得414tt−+，解得，))1,04,−+，故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分．9.下面命题正确是（）A.“1a”是“11a”的充分不必要条件B.命题“xR，2230axx++”是真命题，则13aC.设x，yR则“2x且2y”是“228xy+”的必要而不充分条件D.设a，bR，则“0a”是“0ab”的必要不充分条

件【答案】ABD【解析】【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可.【详解】选项A，由1a，能推出11a，但是由11a，不能推出1a，例如当0a时，符合11a，但是不符合1a，所以“1a”是“11a”的充分

不必要条件，故A正确；选项B，“xR，2230axx++”是真命题可知，=0a时不成立，当0a时，只需满足2>0Δ=2120aa−，解得13a，故B正确；选项C，根据不等式的性质可知：由2x且2y能推出22+8x

y，充分性成立，故C错误；选项D，因为b可以等于零，所以由0a不能推出0ab，由0ab等价于0a且0b，可得0a，所以“0a”是“0ab”的必要不充分条件，故D正确.故选：ABD.10.已知关于x的不等式2

0axbxc++的解集为|2xx−或3x，则下列说法正确的是（）A.0a的B.不等式0bxc+的解集是6xxC.0abc++D.不等式20cxbxa−+的解集是1|3xx−或12x

【答案】ACD【解析】【分析】由不等式20axbxc++与方程20axbxc++=之间的关系及题设条件得到,,abc之间的关系，然后逐项分析即可得出正确选项.【详解】由题意不等式20axbxc++的

解集为|2xx−或3x，则可知0a，即A正确；易知，2−和3是方程20axbxc++=的两个实数根，由韦达定理可得2323baca−+=−−=，则,6baca=−=−；所以不等式0bxc+即为60axa−−，解得6x−，所以B错误；易知60abc

a++=−，所以C正确；不等式20cxbxa−+即为260axaxa−++，也即2610xx−−，解得1|3xx−或12x，所以D正确.故选：ACD11.已知函数228,1()42,1xaxxfxxaxx−+=++

，若()fx最小值为(1)f，则实数a的值可以是（）A.1B.54C.2D.4【答案】BCD【解析】【分析】根据分段函数解析式，结合对勾函数的性质判断1x上单调性、值域，再讨论1a、1a结合二次函数的性质判断1x上的单调性和值域，最后根据题设求a的范围，

即可确定正确选项.的【详解】由题设，()()228,1{42,1xaaxfxxaxx−+−=++，根据对勾函数的性质：()fx在(1,2)上递减且值域为(42,52)aa++，在(2,)+上递增且值域为(42,)a++，当1a时，()fx在(,)a−

上递减且值域为2(8,)a−+，在(,1]a上递增且值域为2(8,92]aa−−，∴此时，(1)92fa=−，显然不是最小值，不合题设；当1a时，()fx在(,1]−上递减且值域为[92,)a−+，∴此时，要使(1)92fa=−是最小值，则9242aa−+，可得54a.∴B、C、D

符合要求.故选：BCD12.已知0a，0b，且1ab+=，则（）A2728ab+B.114ab+C.14abD.2ab+【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A,消元利用二次函数的图象和性质判断；对于选项B,C,D都利

用基本不等式判断.【详解】解：因为0a，0b，且1ab+=，所以01a，所以22221abaa+=−+，二次函数的抛物线的对称轴为14a=，所以当14a=时，221aa−+的最小值为78，所以2728ab+，所以选项A正确；()1111

11224babaababababab+=++=++++=成立，当且仅当a＝b＝12时取等号），故选项B错误；12abab=+，14ab成立，（当且仅当a＝b＝12时取等号），故选项C正确；∵()()

2222abababab+=+++=，∴2ab+（当且仅当a＝b＝12时取等号），故选.项D正确.故选：ACD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数()2331fxxx=−+−的定义域为__________．【答案】)(3,11,3−【解析】【分析】根

据开平方时被开方数要大于等于0及分式中分母不能为0列不等式解得答案.【详解】使()2331fxxx=−+−有意义的x满足230x−且1x，解得)(3,11,3x−．故答案为：)(3,11,3−14.已知函数()fx与()gx分别由下表给出，则满足()

()fgxgfx的x的值为________.x123()fx131x123()gx321【答案】2【解析】【分析】对于x的任一取值，分别计算()()fgx和()()gfx的值，若()()fgxgfx，可得正确值.【详解】当1x=时，()(

)()()()()131,113fgfgfg====，不合题意.当2x=时，()()()()()()223,231fgfgfg====，符合题意.当3x=时，()()()()()()31,3113fg

fgfg====，不合题意.故答案为：215.若函数()1231234xxxxfxxxxx+++=+++++++，则555522ff−++−−=__________.【答案】8【解析】【分析】计算出()()5fxfx+−−的值，即可得

解.【详解】因为()1231234xxxxfxxxxx+++=+++++++，则()54325432543214321xxxxxxxxfxxxxxxxxx−−−−−−−−++++−−=+++=+++−−−−−−−−++++，所以，()()2132435581234xxxxxxxxfxfxx

xxx++++++++++++−−=+++=++++，因为5555522−−+−+=−，因此，5555822ff−++−−=.故答案为：8.16.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的

企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为()Wft=，用()()fbfaba−−−的大小评价在[,]ab这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在12,tt这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2

t时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在112230,,,,,ttttt这三段时间中，在10,t的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序

号是____________________．【答案】①②③【解析】【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】()()fbfaba−−−表示区间端点连线斜率的负数，在12,tt这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正

确；甲企业在112230,,,,,ttttt这三段时间中，甲企业在12,tt这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在12,tt的污水治理能力最强．④错误；在2t时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强

；②正确；在3t时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答

应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设A={x|2x2+ax+2=0}，B={x|x2+3x+2a=0}，A∩B={2}．（1）求a的值及集合A、B；（2）设集合U=A∪B，求（CuA）∪（CuB）的所有子集．【答案】（1）a=﹣5，A={2，12}，B={

2，﹣5}；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意得2∈A，2∈B，代入方程后可得5a=−，然后解方程可得集合A、B；（2）结合（1）中的结论得到（CuA）∪（CuB），然后写出它的所有子集即可．【详解】（1）根据题意得2∈A，2∈

B，将x=2代入A中的方程得：8+2a+2=0，解得a=﹣5，∴A={x|2x2﹣5x+2=0}={2，12}，B={x|x2+3x﹣10=0}={2，﹣5}．（2）由题意得全集U=A∪B={2，12，﹣5}，A∩B={2}，∴（CuA）∪（CuB）=∁U（A∩B）={12，﹣5}，∴（CuA）

∪（CuB）的所有子集为，{﹣5}，{12}，{﹣5，12}．【点睛】本题考查集合的基本运算，解题的关键是正确地得到相关集合，再根据要求求解，属于基础题．18.设()()11222xxfxx−−=+−.（1）用分段函数的形式表达()fx；（2）在直角坐标系

中画出()fx的图象；（3）写出函数()fx的值域．【答案】（1）()1,1223,212xfxxx=−−（2）作图见解析（3）17,22【解析】【分析】（1）分12x、21x-

?两种情况化简函数()fx的解析式，即可得解；（2）根据函数()fx的解析式可作出函数()fx的图象；（3）根据函数()fx的图象可写出函数()fx的值域.【小问1详解】当12x时，()11122xxfx−−=+=，当21x-?时，()13122xxfxx−−=+=−．所以，()1,

1223,212xfxxx=−−.【小问2详解】函数()fx的图象如图所示：（注意端点处的开闭）【小问3详解】由（1）（2）知，函数()fx的最小值为12；当2x=−时，函数()fx取得最大值，最大值为()722f−=，所以，()fx在)2

,2−上值域为17,.2219.已知函数2()(1)(1)1fxmxmxm=+−−+−．（1）解关于x的不等式()(1)fxmx+；（2）若不等式()0fx对一切11,22x−恒成立，求m的取值范围．【答案】（

1）当1m−时，解集为111mxxm−+∣；当1m=−时，解集为{1}xx∣；当1m−时，解集为1{|1mxxm−+或1x.（2）m1【解析】【分析】（1）首先根据题意得到2(1)210mxmxm+−+

−，再分类讨论解不等式即可.（2）首先将题意转化为22212(1)111xxxmxxxx−−+−=−+−+−+，再利用换元法结合基本不等式求解即可.【小问1详解】()(1)fxmx+，即2(1)2

10mxmxm+−+−，当10m+=时，即1m=−，解集为|1xx；当10m+时，()(1)(1)10mxmx+−−−的当10m+，即1m−时，1(1)01mxxm−−−+，

因为121111mmm−=−++，所以解集为1{|1mxxm−+或1x.当10+m，即1m−时，1(1)01mxxm−−−+，因为121111mmm−=−++，所以解集为111mxxm−+∣．综上所述：当1m−时，解集为1

11mxxm−+∣；当1m=−时，解集为{1}xx∣；当1m−时，解集为1{|1mxxm−+或1x.【小问2详解】2(1)(1)10mxmxm+−−+−，即()2211mxxx

x−+−−+，因为210xx−+恒成立，所以22212(1)111xxxmxxxx−−+−=−+−+−+，设1xt−=，则13,,122txt=−，所以2221111(1)(1)111xttxxtttttt−===−+−−−+−++−，因为1

2tt+，当且仅当1t=时取等号，所以2111xxx−−+，当且仅当0x=时取等号，所以当0x=时，22max111xxxx−−+=−+．即m1.20.近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施

压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手

机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本()Rx万元，且210100,040()100007019450,40xxxRxxxx+=+−，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（1）

求出2020年的利润()Wx（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）210600250,040()10000()9200,40xxxWxxxx−+−=−++；（2）202

0年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【解析】【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【小问1详解】依题意，销售收入7

00x万元，固定成本250万元，另投入成本210100,040()100007019450,40xxxRxxxx+=+−万元，因此210600250,040()700()25010000()9200,40xxxWxxRxxxx

−+−=−−=−++，所以2020年的利润()Wx（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式是210600250,040()10000()9200,40xxxWxxxx−+−=−++.【小

问2详解】由（1）知，当040x时，2()10(30)87508750Wxx=−−+，当且仅当30x=时取等号，当40x时，1000010000()()9200292009000Wxxxxx=−++−+=，当且仅当10000xx=，即100x=时取等号，而87509000，因此当

100x=时，max()9000Wx=，所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.21.如图，ABDC为梯形，其中ABa=，CDb=，设O为对角线的交点.GH表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且

使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行于两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.试研究线段GH，KL，EF，MN与代数式2ab+，ab，211ab+，222

ab+之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？【答案】答案见解析【解析】【分析】根据题中所给的梯形模型，结合平行线分线段成比例定理，相似，面积相等等方式，建立得

到几个平均数，再利用基本不等式和作差法比较大小即可【详解】因为GH是梯形ABDC的中位线，所以22ABCDabGH++==；因为梯形ABLK与梯形KLDC相似，所以ABKLKLCD=，所以KLABCDab==；因为,AEOACDDOFDAB∽∽，所以,O

EOAOFODbDAaAD==，所以1OEOFba+=，所以111OEOFab==+，所以211EFab=+，设梯形MNDC，ABNMABDC的面积分别为12,,SSS，高分别为12,,hhh，则1212SSS==，()()()1212abhbMNhaMNh+=+=+，所以

()()1122abhabhhaMNbMN+=++++，所以()12111aMNbMabN+=+++，所以222abMN+=；由图可知，EFKLGHMN，即2221122abababab+++；证明：显然2abab+，221112abab

ab=+，因为222abab+，所以()()2222abab++，所以2222abab++，所以2221122abababab+++22.已知二次函数22yaxbx=++（,ab为实数）（

1）若1x=时，1y=且对(2,5)x，0y恒成立，求实数a取值范围；（2）若1x=时，1y=且对2,1a−−，0y恒成立，求实数x的取值范围；（3）对Rx，0b时，0y恒成立，求2ab+的最小值．【答案】（

1）(322,)−+的（2）117117(,)44−+（3）1【解析】【分析】（1）依题意可得1ba=−−，即对(2,5)x，2(1)20axax−++恒成立，参变分离可得2(1)xaxx−−对(2,5)x恒成立，令2tx=−，则212(1)3xxxtt−=−+

+，再利用基本不等式计算可得；（2）依题意可得2(1)20axax−++对2,1a−−恒成立，即2()20xxax−−+对2,1a−−恒成立，结合一次函数的性质得到不等式组，解得即可；（3）依题意可得20Δ80aba=−，即可得到28ba，从而2228babb

++，再利用基本不等式计算可得.【小问1详解】1x=时1y=，21ab++=，即1ba=−−，(2,5)x，0y恒成立，即2(1)20axax−++恒成立，(1)2axxx−−恒成立，(2,5)x，2(

1)xaxx−−对(2,5)x恒成立，max2(1)xaxx−−．令2tx=−，则(0,3)t，则22113222(1)(2)(1)322233xttxxtttttt−====−−+++++++，当且仅当2tt=，即2t=，此时22x=+时取“”=，所以

实数a的取值范围时(322,)−+．【小问2详解】1x=时1y=，21ab++=，即1ba=−−，2,1a−−，0y恒成立，即2(1)20axax−++对2,1a−−恒成立，2()20xxax−−+对2,1a−−恒成立．2222020xxx−++

−+，11711744x−+，所以实数x的取值范围是117117,44−+．【小问3详解】对Rx，0b时，0y恒成立，20Δ80aba=−，则28ba．2222282188babbbbbb++=+

=，当且仅当28bb=且28ba=，即4,2ba==时取等号，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com