【文档说明】江苏省连云港市赣榆区2021-2022学年高二下学期期中数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.195 MB，由小赞的店铺上传

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2021—2022学年度第二学期期中学业水平质量监测高二年级数学试题一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.899091100可以表示为()．A

.10100AB.11100AC.12100AD.13100A【答案】C【解析】【分析】根据排列数的计算公式()()()12?·1mnAnnnnm−−−＝＋即可判断﹒【详解】899091100＝12100A，故选：C﹒2.若62()axx−展开式中常数项为60.则常

数a的值为（）A.4B.2C.8D.6【答案】A【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到2660Ca=，解得答案.【详解】62()axx−展开式的通项为：()663216621rrrrrrrraTCxCaxx−−+=−=−.取2

r=得到常数项为2660Ca=，解得4a=.故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.3.若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有

（）A.34种B.43种C.33A种D.34A种【答案】A【解析】【分析】根据分步计算原理，每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，共有43333=3种方法.【详解】4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有34种方法.故选：A【点睛】本题考

查了分步计数原理，考查了理解分析和数学运算能力，属于基础题目.4.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，

已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为23，则该地在该季节的连续三天内，恰有两天出现大潮的概率为（）A.29B.49C.59D.79【答案】B【解析】【分析】利用二项分布的概率公式即可求解.【详解】该地在该季节内连续三天内，恰有两天出现大潮包括两天出现大潮概

率为223214339C=.故选：B5.已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，下列条件中能确定P，A，B，C四点共面的是（）A.OPOAOBOC=++B.2OPOAOBOC=−−C.111532OPOAOBOC=++D.111333OPOAOBOC=+

+【答案】D【解析】【分析】根据点P与点,,ABC共面，可得1xyz++=，验证选项，即可得到答案.【详解】设OPxOAyOBzOC=++uuuruuruuuruuur，若点P与点,,ABC共面，则1xyz++=，对于选项A：11131xyz++=++=，不满足题意；对于选项B：21101xy

z++=−−=，不满足题意；.对于选项C：11131153230xyz++=++=，不满足题意；对于选项D：1111333xyz++=++=，满足题意.故选：D.6.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜

爱．某商店有4个不同造型的吉祥物“冰墩墩”和3个不同造型的吉祥物“雪容融”展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同排法的种数是（）A.77AB.343543CAAC.4343AAD.432432AAA【答案】C【解析】【分析】分两步，第一步将4个“

冰墩墩”全排列，第二步将将3个“雪容融”插进3个空中，按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：依题意首先将4个“冰墩墩”全排列，有44A种排法；再将3个“雪容融”插进3个空中，有33A种排法；综上可得一共有4343AA种排法；故选：C7.如果今天是星期五，经过7天后还

是星期五，那么经过20228天后是（）A.星期三B.星期四C.星期五D.星期六【答案】D【解析】【分析】只要求出20228除以7的余数即可，所以将20228化为2022(71)+，然后利用二项式定理展开即可得结果【详解】因为

202220228(71)=+02022120212021120222022202220222022C7C7C7C=++++,所以20228除以7的余数为1，所以经过20228天后是星期六，故选：D8.某快递公司将一个快件从寄

件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过6个转运环节，其中第1，6个环节有a，b两种运输方式，第2，3，5个环节有b，c两种运输方式，第4个环节有c，d，e，f四种运输方式，则快件从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有不同的方法种数是

（）A.58B.60C.77D.78【答案】B【解析】【分析】结合条件利用分步加法计数原理和分步乘法计数原理解决.【详解】若第4环节使用c运输方式，由条件可得快件从甲送到乙至多使用3种运输方式，故第四环节必须使用

d，e，f三种运输方式中的1种，若第1,6两个环节都使用b运输方式，从快件甲送到乙至多会使用3种运输方式，故从甲送到乙要使用4种运输方式，则满足条件的运输方法可分为2类，第一类：第一和第六环节都用a运输方式的运输顺序，若第一和第六环节都用a，则第2,

3,5环节必须使用两种不同的运输方式，第4环节必须使用d，e，f中的一种运输方式，故满足条件的运输方式有1(82)3−种，第二类：第一和第六环节运输方式不相同的运输顺序，若第1,6环节的运输方式不同，则第2,3,5环节只需至少一个环节使用c运输方式，第4环节必须使用d，e，f中的一种运输

方式，故满足条件的运输方式有2(81)3−种，由分类加法计数原理可得满足条件的运输方式有18+42种，即60种.故选：B.二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得

2分，有选错的得0分）9.已知数据1235,,,xxx的平均数为a，方差为b．由这组数据得到新数据1y，2y，…，35y，其中()391,2,,35iiyxi=+=，则（）A.新数据的平均数是3a＋9B.新数据的方差

是9b＋81C.新数据的平均数是3aD.新数据的标准差是3b【答案】AD【解析】【分析】先利用已知条件得到123535xxxa+++=，()()()222123535xaxaxab−+−++−=，从而得到新数据的平均数和方差

，及标准差.【详解】由题意得：123535xxxa+++=，()()()222123535xaxaxab−+−++−=所以()123512353359105315yyyxxxa+++=++++=+，故新数据的平均数是105

3153935aa+=+，A正确，C错误；()()()2221235393939935yayayab−−+−−++−−=，故B错误；因为93bb=，故新数据的标准差是3b，D正确.故选：AD10.下列说

法正确的是（）A.若随机变量的概率分布列为()1,2,3,4,55kPakk===，则115a=B.若随机变量()22,XN且()40.8PX=，则()00.2PX=C.若随机变量16,3XB，则

()2DX=D.在含有3件次品的9件产品中，任取3件，X表示取到的次品数，则()327PX==【答案】AB【解析】【分析】利用分布列的性质可判断A选项；利用正态密度曲线的对称性可判断B选项；利用二项分布的方差公式可判断C选项；利用超几何分布的概率公式可判断D选项

.【详解】对于A选项，由分布列的性质可知5123451515kkPaaaaaa===++++==，解得115a=，A对；对于B选项，若随机变量()22,XN且()40.8PX=，则()()()04140.2PXPXPX==−=，

B对；对于C选项，若随机变量16,3XB，则()1246333DX==，C错；对于D选项，由超几何分布的概率公式可得()213639CC1832C8414PX====，D错.故选：AB.11.若()20222

2022012202212xaaxaxax−=++++，则下列结论正确的是（）A.01a=B.14044a=C.20220120223aaa+++=D.202212220221222aaa+++=−【答案】ACD【解析】【分析

】运用二项式定理中的通项Tr＋1＝Crnan－rbr，以及利用赋值处理相应问题．【详解】∵()202222022012202212xaaxaxax−=++++令0x=则可得：01a=，A正确；令1

2x=则可得：2022122200220222aaaa+++=+即202212220221222aaa+++=−，D正确；()202212x−展开式第k+1项的通项()()120222022C22C,0,1,2,,2022kkkkkkTxxk

+=−=−=，则()20222Ckkka=−当1k=时，14044a=−，B不正确；当k为偶数时，0ka，当k为奇数时，0ka∴012022012022aaaaaa+++=−++令1x=−则可得：20220120223aaa−++=，C正确．故选：ACD．

12.在长方体1111ABCDABCD−中，4AB=，12BCBB==，E，F分别为棱AB，1AD的中点，则下列说法中正确的有（）A.若P是棱11CD上一点，且11DP=，则E，C，P，F四点共面B.平面CEF截该长方体所得的截面为五边

形C.异面直线1DB，CE所成的角为90D.若P是棱11CD上一点，点P到平面CEF的距离最大值为61717【答案】ABD【解析】【分析】A：G为11CD的中点，由等比例性质可得1//PFAG，长方体性

质有1//AGEC，即可判断；B：延长,CEDA交于H，连接FH交1AA于I，连接IE，根据平面的基本性质作出面CEF截长方体所得的截面判断；C：过B作//BGEC交DC延长线于G，过1B作1//BFBG交11DC延长线于F，可得异面直线1DB，CE所成的角为1D

BF，即可判断；D：P与1C重合时P到平面CEF的距离最大，11,FPBC延长交于J，并连接JC，应用等体积法求点面距即可.【详解】A：若G为11CD的中点，又F为棱1AD的中点且11DP=，易知：1111112DP

DGDFDA==，则1//PFAG，E为棱AB的中点，由长方体的性质有1//AGEC，故//PFEC，所以E，C，P，F四点共面，正确；B：分别延长,CEDA交于H，连接FH交1AA于I，连接IE，由A分析知：面CEF即为面FPC

EI，故平面CEF截该长方体所得的截面为五边形，正确；C：过B作//BGEC交DC延长线于G，则2CGBE==，过1B作1//BFBG交11DC延长线于F，则1//BFEC且122BFBG==，如下图示，所以异面直线1DB，CE所成的角为1DBF，而126

BD=，210DF=，显然22211BFBDDF+，故异面直线1DB，CE所成的角不为90，错误；D：由题设及A分析，当P与1C重合时P到平面CEF的距离最大，所以只需求1C到面FPCEI的距离d，将11,FPBC延长交于J，并连接JC，而1113,

2,3PCCCJC===，所以32,13PJPCJC===，则3172PCJS=，又11CPCJJPCCVV−−=，则1113323332PCJdS==，故61717d=，即P到平面CEF的距离最大值为6

1717，正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：由线线平行判断四点共面；由平面基本性质作截面判断形状；将异面直线作平移，找到对应平面角；判断点面距离最大时动点的位置，应用等体积法求距离.三、填空题（本大题共4个小题，每

小题5分，共20分）13.计算976976717AAA−−=______．【答案】0【解析】【分析】利用排列数的性质化简求值即可.【详解】由67677AA=，则767797677971A7A72A98AA+===

，所以976976A71A7A−−=0.故答案为：014.已知点()2,1,0A，()1,3,0B，()2,1,1C−−，()2,3,1D，则向量AB在向量CD上的投影向量的模为______．【答案】22##122【解析】【分析】首先求出AB，CD的坐标，再根

据向量数量积、向量模的坐标表示求出ABCD，CD，最后根据ABCDCDCDCD求出投影向量的坐标，最后求模即可；【详解】解：因为()2,1,0A，()1,3,0B，()2,1,1C−−，()2,3,1D，所以()()()1,3,02,1,01,2,0AB=−=−，()()()2,3,12,

1,14,4,0CD=−−−=，所以1424004ABCD=−++=，224442CD=+=，所以向量AB在向量CD上的投影为42242ABCDCD==；所以向量AB在向量CD上的投影向量为()21114,4,0,,022242

ABCDCDCDCD==即向量AB在向量CD上的投影向量的模为22112222+=；故答案为：2215.已知()()()627012721Rxmxaaxaxaxm+−

=++++，248a=，则m＝______．【答案】1【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式求得2a关于m的表达式，可得关于m的方程，求得答案.【详解】由题意可得：5514422661C(1)2C(1)248am=−+−=，即126048,1mm−+=

=，故答案为：116.球O与棱长为2的正方体1111ABCDABCD−的各个面都相切，点M为棱1DD的中点，则平面ACM截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积为______．【答案】627【解

析】【分析】由球心O为正方体中心，连接BD与AC交于点F，作OEMF⊥，易知OE为所得圆锥的高，底面的半径为rEF=求解.【详解】解：如图所示：易知球心O为正方体的中心，连接BD与AC交于点F，作OEMF⊥，易知AC⊥面11BBDD，则ACOE⊥，又MFACF

=,所以OE⊥平面ACM，则OE为所得圆锥的高，又12633OFOMOEMF===，圆锥的底面的半径为222263133rEFOFOE==−=−=，的所以圆锥的体积为2136633327V==，故答案为：62

7四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在412nxx+的展开式中，______．给出下列条件：①前三项的系数成等差数列；②第三项的系数为7；③奇数项的二项式系数之和为128．请在上面的三

个条件中选择一个补充在横线上，并且完成下列问题：（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）8n=；（2）358x.【解析】【分析】（1）写出二

项式展开式通项公式，根据所选的条件列方程求n值.（2）由（1）所得n及展开式通项公式判断确定最大项，进而写出最大项.【小问1详解】展开式第1r+项为()234141122rrnrnrrrrnnTCxCxx−−+==，

0,1,2,rn=，选①：展开式前三项的系数为1，112nC，214nC，据题意得：12112124nnCC=+，可得8n=；选②：展开式第三项的系数为2174nC=，可得()178nn−=，所以8n=；选③：令1721282n−==，所以8n=.【小问2详解】展开式一共有9项，二

项式系数最大的项为第5项，则4163444541813528TTCxx−+===．18.在北京冬奥会期间，某项比赛中有7名志愿者，其中女志愿者3名，男志愿者4名．（1）从中选2名志愿者代表，必须有女志愿者代表

的不同的选法有多少种？（2）从中选4人分别从事四个不同岗位的服务，每个岗位一人，且男志愿者甲与女志愿者乙至少有1人在内，有多少种不同的安排方法？【答案】（1）必须有女志愿者的不同选法有15种（2）有720种不同选法【解析】【分析】（1）

先求出选2名志愿者代表，没有女志愿者的选法24C6=种，从总的选法中减去24C，即为答案；（2）直接法，分类求解，再相加即为答案，间接法求解.【小问1详解】从中选2名志愿者代表，没有女志愿者的选法有24C6=种，所以从中选2名志愿者代表，必须有

女志愿者的不同选法共有2274CC21615−=−=（种）答：必须有女志愿者的不同选法有15种．【小问2详解】方法一：第一类男志愿者甲在内女志愿者乙不在内，有3454CA240=（种）；第二类女志愿者乙在内男志愿者甲不在内，有3454CA240=（种）

；第三类男志愿者甲、女志愿者乙都在内，有2454CA240=（种）．由分类计数原理得240240240720N=++=（种）．答：有720种不同选法．方法二：（间接法）男志愿者甲、女志愿者乙都不在内，有4454CA120=（

种），男志愿者甲与女志愿者乙至少有1人内，有44447454CACA720−=（种）答：有720种不同选法．19.已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，所有球的大小、形状完全相同．（1）从1号箱中不放回地依次取1个球，求第一次取得红球且第二次取得仍是红球的概率

；在（2）若从1号箱中任取2个球放入2号箱中，再从2号箱中任取1个球，求取出的这个球是红球的概率．【答案】（1）25（2）1330【解析】【分析】(1)利用独立事件的概率乘法公式求解；(2)利用全概率公式求解.【小问1详解】设“从1号箱中第1次取得红球”为事件A，“从1号箱中第2次取得红球”事件B

，则()4263PA==，()3|5PBA=()()()2|5PABPBAPA==所以第1次取得红球且第2次取得仍是红球的概率为25．【小问2详解】设“从2号箱中任取1个球是红球”为事件C，“从1号箱中任取2个球都是红球

”为事件1B，“从1号箱中任取2个球1个红球和1个白球”为事件2B，“从1号箱中任取2个球都是白球”为事件3B，则事件1B，2B，3B彼此互斥．()2412625CPBC==，()1124226815CCPBC==，()22326115CPBC==，()151|102PC

B==，()242|105PCB==，()33|10PCB=．所以()()()()()()()112233|||PCPBPCBPBPCBPBPCB=++2182131352155151030=++=．所以取出的这个球是红球的概率为1330．20.如图，在棱长为4的正方体11

11ABCDABCD−中，E，F分别是棱BC，CD上的动点，且BECF=为（1）求证：11BFDE⊥；（2）当三棱锥1CCEF−的体积取得最大值时，求直线1AF与平面1CEF所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）89【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量的数量积运算

证明（2）由题意得,EF的位置，由空间向量求解【小问1详解】以D为原点，1,,DADCDD所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D，()4,0,0A，()4,4,0B，()0,4,0C，()

10,0,4D，()14,0,4A，()14,4,4B，()10,4,4C．设()04BECFaa==，则()0,4,0Fa−，()4,4,0Ea−，()()114,4,4,4,4BFaDEa=−−−=−−，，所以

()()()()11444440BFDEaa=−−+−+−−=，所以11BFDE⊥【小问2详解】在正方体1111ABCDABCD−中，1CC⊥平面ABCD．所以()()1211112844233233CCEFCEFVCCSaaa−==

−=−−+△，当2a=时三棱锥1CCEF−的体积最大，此时E，F分别为BC，CD的中点，所以()0,2,0F，()2,4,0E，所以()14,2,4AF=−−，()12,0,4CE=−，()10,2,4CF=−−，设平面1CEF的一个法向量(),,nxyz=则1100CEnCFn=

=，所以240240xzyz−=−−=，令1z=，则2x=，2y=−，所以()2,2,1n=−，所以1118cos,9AFnAFnAFn==−，设直线1AF与平面1CEF所成角为，则18sincos,9AFn==，所以直线1AF与平面1CEF所成角

的正弦值为8921.甲、乙两名同学同时参加学校象棋兴趣小组，在一次比赛中，甲、乙两名同学与同一位象棋教练进行比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得2分；如果甲输而乙赢，则甲得－2分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢教

练的概率为0.5，乙赢教练的概率为0.4．求：（1）在一轮比赛中，甲得分X的分布列；（2）在两轮比赛中，甲得分Y的分布列及均值．【答案】（1）分布列见解析；（2）分布列见解析，0.4.【解析】【分析】（1）确定X的可能值并求出对应的概率，即可写出分布列.（2）首先确定Y的可能值并求出对应的概率

，写出分布列，再利用分布列求均值.【小问1详解】由题设，X的可能取值为－2，0，2，()20.50.40.2PX=−==，()()()00.50.410.510.40.5PX==+−−=，()()20.510.40.3PX==−=．X的概率分布为X－202P0.20.

50.3【小问2详解】由题设，Y的可能取值－4，－2，0，2，4，()40.20.20.04PY=−==，()20.20.50.50.20.2PY=−=+=，()00.20.30.30.20.50.50.3

7PY==++=，()20.50.30.30.50.3PY==+=，()40.30.30.09PY===．Y的概率分布为Y－4－2024P0.040.20.370.30.09所以()()40.0420.200.3720.340.090.4EY=−+−+++=

.22.如图1，在△MBC中，BM⊥BC，A，D分别为边MB，MC的中点，且BC＝AM＝2，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使PA⊥AB，如图2，连结PB，PC．（1）若E为PC的中点，求异面直线DE与PB所成的角大小；（2）线段PC上一动点G满足()0

1PGPC=，判断是否存在，使得二面角G－AD－P的正弦值为31010，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）90；（2）存在，34=.【解析】【分析】（1）根据题设可得,,APABAD两两互相垂直，构建空间直角坐

标系求直线DE与PB的方向向量并求其数量积，即可确定异面直线的夹角.（2）由（1）得()()2,2,201PG=−，进而求得()2,2,22G−，再求面PAD、面ADG法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知二面角正弦值列方程求参数，即可判

断存在性.【小问1详解】因为A，D分别为MB，MC的中点，则//ADBC，因为BMBC⊥，则BMAD⊥，即PAAD⊥．又PAAB⊥，ABADA=，,ABAD平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD，又DAAB⊥，综上，,,APABAD两两互相垂直．以A为坐标原点，向量

,,ABADAP为正交基底建立空间直角坐标系Axyz−如图所示，则()0,0,0A，()2,0,0B，()2,2,0C，()0,1,0D，()0,0,2P，()1,1,1E，的则()2,2,2PC=−，()1,

0,1DE=，()2,0,2BP=−．所以()()1,0,12,0,20DEBP=−=，故DEBP⊥，所以异面直线DE与PB所成的角大小为90.【小问2详解】假设存在使二面角GADP−−的正弦值为31010，即二面角GA

DP−−的余弦值为10.10由()()2,2,201PGPC==−，()2,2,22OGOPPG=+=−．所以()2,2,22G−，()0,1,0AD=，()2,2,22AG=−．易知：平面PAD的一

个法向量为()11,0,0n=设平面ADG的法向量()2222,,nxyz=uur，则2222220222(1)0ADnyAGnxyz===++−=，令2z=，则()21,0,n=−，综上，有12121210cos,10

nnnnnn==，即()22110101−=−+，解得132=，234=．又01≤≤，故34=．故存在34=，使二面角GADP−−的正弦值为31010．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com