【文档说明】山西省三晋名校联盟2023届高三下学期5月高阶段性测试（七）数学试题 含解析.docx，共(29)页，2.591 MB，由小赞的店铺上传

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三晋名校联盟2022-2023学年高中毕业班阶段性测试（七）数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合12,Z,AxxxBxxa=−

=，若ABA=，则实数a的取值范围是（）A.)5,+B.(,5−C.)0,+D.(,0−【答案】A【解析】【分析】化简集合A，由条件可得AB，根据集合关系列不等式求a的取值范围.【详解】因为12,

Zxx−，所以1,2,3,4,5x，即1,2,3,4,5A=，因为ABA=，所以AB，又Bxxa=，所以5a，故实数a的取值范围是)5,+.故选：A.2.已知复数23i12iz+=+，则z在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D

.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数运算法则求z的代数形式，再确定其在复平面所对应的点及其象限.【详解】因为()()()()23i12i23i8i81i12i12i12i555z+−+−====−++−，所以复数z在复平

面内所对应的点为81,55−，该点在第四象限.故选：D.3.已知SAB△是圆锥SO的一个轴截面，,CD分别为母线,SASB的中点，27,2SOCD==，则圆锥SO的侧面积为（）A.4πB.42πC.8πD.82π【答案】D【解析】【分析】根据轴截面求出底面半径和母线长，再根据

侧面积公式可求出结果.【详解】如图：因为2CD=，所以4AB=，则圆锥底面半径2r=，22SASOOA=+28442=+=，即母线42l=，所以圆锥SO的侧面积π242π=82πSrl==.故选：D4.记nS为等差数列na的前n项和，若3531,8Saaa=−=，则7a=

（）A.30B.28C.26D.13【答案】C【解析】【分析】根据条件，列出首项和公差的方程组，即可求解.【详解】设等差数列na的首项为1a，公差为d，则11113234228adadada+=++−=，12a=，

4d=，所以71626aad=+=.故选：C5.函数()21sin241fxxx=+−的部分图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】代入特殊点及结合函数的性质分析即可.【详解】由解析式可得12x，()010f=−，排除A；观察C、D选项

，其图象关于纵轴对称，而()()21sin241fxxfxx−=−−，说明()fx不是偶函数，即其函数图象不关于纵轴对称，排除C、D；显然选项B符合题意.故选：B6.已知6438136log3,log64,log332x

yz===，则（）A.xyzB.zxyC.yzxD.yxz【答案】A【解析】【分析】根据对数的运算，分别利用对数的单调性、对数作商即可求解.【详解】因为642266log3log3log36x===，33

212log64log43log3y===，8231log3log322z==，由222222log3log4()11log3log32yz==，所以yz，由2222log3log3()22log3xy==，而223log3log222

=，则232()12xy，所以xy，综上：xyz，故选：A.7.已知点D为锐角ABC的外接圆O上任意一点，2,4ABAC==，则()ACOCBD−的取值范围为（）A.)0,16B.)2,8−C.)0,8D.)

2,16−【答案】B【解析】【分析】设ABC的外接圆的半径为R，根据向量线性运算和数量积运算公式化简可得()()2212sincosDARCADOCOCB−=−−，根据正弦定理可求1sinRC=，再求出sinC的范围，结合三角

函数性质可求()ACOCBD−的范围.【详解】因为()()()()CBOODACOCBAOBAOODDCO−=++=+，所以()BADAOOAOODOAOCOOOADCBB=+=−−所以()coscosD

AACOCOOBAOBOAODAOBD=−−，设ABC的外接圆的半径为R，则()()222coscoscoscosRAOBRAODRAOBAODACOCBD=−=−−所以()()()22coscoscos2cosRAOBAODRCAODAC

OCBD=−−=−，所以()()2212sincosDARCADOCOCB−=−−，在ABC中，由正弦定理可得2sinsinsinABBCACRCBACABC===，又2AB=，所以1sinRC=，所以()221

2sincossinCAODCACOCBD−−−=，所以()21cos2sinACOCOBDADC−=−−，因为2ACAB=，所以sin2sinABCC=，因为πππ0,0,0222BACABCC，所以0sin1,02sin1ABCC，所

以10sin2C，又π2ABCC+，所以π2ABCC−，故sincosABCC，所以2sincosCC，所以1tan2C，又sin,tanyxyx==在π0,2上都增函数，所以5sin5C，故51s

in,52C，又01cos2AOD−，211sin54C，2145sinC，21cos010sinAODC−，故21cos228sinAODC−−−，所以()82A

COCBD−−，其中当0AOD=时，即点A与点D重合时左侧等号成立，所以()ACOCBD−的取值范围为)2,8−.故选：B.为8.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左､右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与双曲线C的右支相交

于点P，过点2,OF作121,ONPFFMPF⊥⊥，垂足分别为,NM，且M为线段PN的中点，ONa=，则双曲线C的离心率为（）A.2B.512+C.312+D.132【答案】D【解析】【分析】由条件证明N为线段1FM的中点，由此可得13,PFbMPb==，结合双曲线的定义可得

232PFba=−，由勾股定理可得,ab的关系，由此可求曲线C的离心率.【详解】因为1F，2F为双曲线C的左､右焦点，所以122FFc=，因为121,ONPFFMPF⊥⊥所以2//ONFM，又O为线段12FF的中点，所以N为线段1FM的中点，且212ONMF=，又M为线段PN的中点，

所以1113FNNMMPPF===，在1RtOFN中，ONa=，1OFb=，所以2211FNOFONb=−=，所以13,PFbMPb==，因为点P在双曲线的右支上，所以122PFPFa−=，故232PFba=−，在2RtMFP中，2

2MFa=，MPb=，232PFba=−，由勾股定理可得：()()222232abba+=−，所以2812bab=，即23ba=，所以2249ba=，又222bca=−，故22413ca=，所以132ce

a==，故选：D.【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2

转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图为国

家统计局公布的2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，则（）A.2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出均呈增长趋势B.2017~2022年全国城镇居民人均消费

支出的中位数为27535C.2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差D.2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例大于80%【答案】BC【解析】【分析】根据图表逐项进行判断即可求解.【详解】对于A，由图知

20172022年全国城镇居民人均可支配收入呈增长趋势，但人均消费支出2020年比2019年少，所以A不正确；对于B，由图可知20172022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为2806327007275352+=，所以B正确；对于C，20172022年全国城镇居民人均可支配收入的极差

为492833639612887−=，人均消费支出的极差为30391244455946−=，所以C正确；对于D，2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例为303910.649283，小于80%，所以D不正

确.故选：BC.10.已知O为坐标原点，动点P满足1PO=，记动点P的轨迹为Ω，设,AB为轨迹Ω上的两点，()()2,0,0,2,MNQ为直线MN上一动点，则下列结论中正确的是（）A.直线MN与轨迹Ω有两个公共点B.若直线QA为轨迹Ω的一条切线，则QA的最小值为1C.当3AB=时，2OAOBO

Q+−的最大值是122+D.若,QAQB为轨迹Ω的两条切线，则四边形QAOB面积的最小值为1【答案】BD【解析】【分析】由条件求出点P的轨迹方程，由此确定其轨迹，结合直线与圆的位置关系判断A，再求切线长的最小值，由此判断BD，结合向量的运算判断C.【详解】设点P的坐标为(),x

y，因为1PO=，所以221xy+=，所以动点P的轨迹为以原点()0,0O为圆心，1为半径的圆，因为()()2,0,0,2MN，所以直线MN的方程为20xy+−=，因为圆心()0,0O到直线的距离002212d+−==，所以直线MN与轨迹Ω没有公共点，A错误；因为直线QA为轨迹Ω的一条切线，所以

OAQA⊥，所以22QAOQOA=−，因为点()0,0O到直线的距离2d=，所以2OQ，当且仅当OQMN⊥且Q在线段MN上时取等号，又1OA=，所以1QA，当且仅当OQMN⊥且Q在线段MN上时取等号，故QA的最小值为1，所以AO

Q△的面积1122AOQSOAQA=，同理可得BOQ△的面积12BOQS，所以四边形QAOB面积1AOQBOQSSS=+，当且仅当OQMN⊥且Q在线段MN上时取等号，所以四边形QAOB面积的最小值为1，所以B，D正确；若3AB=，设圆心()0,0O到直线AB的距

离为d，则231122d=−=，设AB的中点为E，则1122OEOAOB=+，所以2222OAOBOQOEOQQE+−=−=，因为Q为直线MN上一动点，所以QE无最大值，所以2OAOBOQ+−无最大值，C错误；故选：BD.11.已知函数()2

3sin2sin(0)2xfxx=+的图象在区间0,π上有且仅有三个对称中心，则（）A.的取值范围是102,3B.()fx的图象在区间0,π上有2条或3条对称轴C.()fx在区间π0,4

上最大值不可能为3D.()fx在区间π0,6上为增函数【答案】BD【解析】【分析】化简得()fxπ2sin()16x=−+，令π6xk−=()kZ，求出其对称中心的横坐标ππ(61)π66kkx+=+=()kZ，由(61)π0π6k+()kZ及k有且只有三个整

数值，可得131966，故A不正确；令πππ62xk−=+(Z)k，求出其对称轴π2π(32)π33kkx+=+=()kZ，的结合的范围分析可知B正确；利用131966得ππππ(,)6646x−−−，由ππ46−的范围分析可得C不正确；根据正弦函

数的单调性可得D正确.【详解】1cos()3sin22xfxx−=+3sincos1xx=−+π2sin()16x=−+，令π6xk−=()kZ，得ππ(61)π66kkx+=+=()kZ，由(61)π0π6k+(

)kZ结合0，得1166k−−()kZ，依题意k有且只有三个整数值，所以1236−，得131966，故A不正确；令πππ62xk−=+(Z)k，得π2π(32)π33kkx+=+=()kZ，由(32)π0π3k+()kZ结合0，得

2233k−−()kZ，当13863时，32223−，此时0k=或1k=，函数()fx的图象在区间0,π上有2条对称轴，为2π3x=，5π3x=，当81936时，25232−，此时0k=或1k=或2k=，函数()fx的图象在区间0,π上有2条对称

轴，为2π3x=，5π3x=，8π3x=，所以()fx的图象在区间0,π上有2条或3条对称轴，故B正确；当π(0,)4x时，ππππ(,)6646x−−−，因为131966，所以ππ46−35[,)88，所以当26ππx−=，即2π3x=时，()fx取得

最大值3，故C不正确；由π(0,)6x，得ππππ(,)6666x−−−，因为131966，所以ππ7π13π[,)663636−，因为0，所以()fx在区间π0,6上为增函数，故D正确.故选：BD12.如图，在直四

棱柱1111ABCDABCD−中，,2224,,,ABCDABADDCCBEFG====∥分别为侧棱111,,BBDDAA上一点，12BEDFAG===，则（）A.BDGF⊥B.1π2GEC=C.EGF的最大值为π6D.当183AA=时，1GECF//【答案】AD【解析】【分析】

通过证明BD⊥平面11ADDA，可得A正确；以D为原点，1,,DADBDD分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算可得B不正确，C不正确，D正确.【详解】在等腰梯形ABCD中，因为2224ABADDCCB====，根据平面几何知识可得π

6DABCBA==行，23BD=，ADBD⊥，在直棱柱中，1DD⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以1DDBD⊥，又1=DDADD，1,ADDD平面11ADDA，所以BD⊥平面11ADDA，因为GF平面11ADDA，所以BDGF⊥，故A正确；因为1,,DADBD

D两两垂直，所以以D为原点，1,,DADBDD分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设1(2)AAhh=，则(0,0,0)D，(2,0,0)A，(0,23,0)B，(1,3,0)C−，(0,23,2)E，(0,0,2)F，1(1,3,)Ch−，(2,0,2)Gh−，(2,23,4)

GEh=−−，1(1,3,2)ECh=−−−，(2,0,4)GFh=−−，126(4)(2)GEEChh=−+−−2[(3)3]0h=−−+，则1π2GEC，故B不正确；cos,||||GEGFGEGFGEGF=2224(4)412(4)4(4)hhh+−=++

−+−，令24(4)4th=+−，则cos,12tGEGFtt=+12tt=+1121t=+，所以当4t=，4h=时，cos,GEGF取得最小值12，则1cos,2GEGF，根据平面向量夹角的范围可知，,EGFGEGF=Ð的最大值为π3，故C不正

确；当183AA=时，83h=，4(2,23,)3GE=−，12(1,3,)3CF=−−，所以12GECF=−，又GE与1CF不相交，所以1GECF//，故D正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知π2sin3cos4+=，则sinsinco

s=−__________.【答案】2【解析】【分析】利用两角和的正弦公式，化简求tan，再化简求值.【详解】已知π2sin3cos4+=，所以sin2cos=，tan2=，sintan22sincostan121===−−−.故答案为：214.已知随

机变量服从正态分布21,2N，且(1)()PPm−=，则6()xm+的展开式中x的系数为__________.【答案】192【解析】【分析】根据正态分布的性质求m，结合二项式定理展开式的通项公式求6()xm+展开式中x的系数.【详解】因为随机变量服从正态分布21,2

N，且(1)()PPm−=，所以1122m−+=，故2m=，二项式6(2)x+展开式的通项616C2kkkkTx−+=，令61k−=，可得5k=，所以6(2)x+展开式中x的系数为556C2192=，故答案为：192.15.已知在平面直角坐标系

xOy中椭圆2222:1(3)9xyCaaa+=−的离心率为123,,4FF分别为椭圆C的左､右焦点，P为椭圆上不同于四个顶点的任意一点，延长线段2FP到B，若在x轴上存在一点A，满足11,ABAFPABF=⊥，垂足为Q，则OQ=_______

___.【答案】4【解析】【分析】由条件结合离心率定义求a，由条件证明1PFPB=，结合椭圆定义可得28BF=，利用中位线性质求OQ.【详解】设椭圆的半焦距为c，则()22299caa=−−=，故3c=，由题可知334a=，解

得4a=.因为11,ABAFPABF=⊥，所以Q为线段1BF的中点，且PA是1BF的垂直平分线，则1PFPB=.由椭圆定义可知221228BFBPPFPFPFa=+=+==.因为O为12FF的中点，所以2142OQBF==.故答案为：4.16.已知0,0

xy，且ln()eyxxy=，则2lnxyxx−−的最小值为__________.【答案】1【解析】【分析】由ln()eyxxy=，得ln()ln()()exyxxyxyx=，构造函数()exfxx=，0x，用导

数得()fx在(0,)+上为增函数，可得ln()xyx=，即exyx=，代入2lnxyxx−−后再构造函数，利用导数可求出最小值.【详解】因为0,0xy，ln()eyxxy=，所以ln()exyx

y=，所以ln()exxyxyx=，且ln()0xy，所以ln()ln()eexyxxyx=，设()exfxx=，0x，则()ee(1)exxxfxxx=+=+，因为0x，所以()0fx，()fx在(0,)+上为增函数，因为ln()ln()()exyxxyxyx=，所以ln()x

yx=，则exxy=，所以exyx=，所以2lnxyxx−−2elnelnxxxxxxxxx=−−=−−，令()elnxgxxxx=−−，则1()ee1xxgxxx=+−−1(1)(e)xxx=+−，令1()exxx=−，则21()e0xxx=+，则()x在(

0,)+上为增函数，令()0x=得1e0xx−=，即1xxe=，则存在唯一实数00x，使得00e1xx=，即0()0x=，所以当0(0,)xx时，()0x，()0gx，当0(,)xx+时，()0x，()0gx，所以()gx在0(0,

)x上为减函数，在0(,)x+上为增函数，所以min()()ogxgx=0000elnxxxx=−−0000eln(e)101xxxx=−=−=.所以2lnxyxx−−的最小值为1.故答案为：1.【点睛】关键点点睛：将ln()e

yxxy=变形为ln()ln()()exyxxyxyx=，再利用指对同构，设()exfxx=，0x，将ln()ln()()exyxxyxyx=化为ln()xyx=是本题解题关键.四、解答题：共70分.解答应写出文

字说明，证明过程或演算步骤.17.从①()()221114212,0nnnnnaaaana−−+=+++，②()111nnnana+=++，③前n项和nS满足11nnnSnSn+=++中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.已知数列na的首项11a=，且___

_______.（1）求na的通项公式；（2）若12nnnbaa+=，求数列nb的前n项和nT.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）21nan=−（2）221=+nnTn【解析】【分

析】（1）选①因式分解得()()1120nnnnaaaa−−+−−=，则有()122nnaan−−=，则可得到其通项，选②两边同加n得1111nnaann+++=+，则可写出通项，选③移项整理有111nn

SSnn+−=+，则可得到其通项；（2）112121nbnn=−−+，通过列项求和即可得到答案.【小问1详解】选①：由()()221114212nnnnaaaan−−+=+++，可得()()1120nnnnaaa

a−−+−−=.因为0na，所以()122,nnaan−−=所以na是以1为首项，2为公差的等差数列，所以()11221.nann=+−=−选②：由()111nnnana+=++，得()()111nnnannan++=+++，所以()()()1111nnnana++=++，

所以1111nnaann+++=+，故数列1nan+是常数列，所以11121naan++==，故21nan=−.选③：由11nnnSnSn+=++，得()()111nnnSnSnn+−+=

+，则111nnSSnn+−=+，所以数列nSn是首项为1，公差为1的等差数列，所以()111nSnnn=+−=，则2nSn=.当2n时，221(1)21nnnaSSnnn−=−=−−=−，易知11a=也满足上式，故na的通项公式为21nan=−.【小

问2详解】由（1）可得()()1221121212121nnnbaannnn+===−−+−+，则121111113352121nnTbbbnn=+++=−+−++−−+12121

21nnn=−=++18.乡村民宿立足农村，契合了现代人远离喧嚣､亲近自然､寻味乡愁的美好追求.某镇在旅游旺季前夕，为了解各乡村的普通型民宿和品质型民宿的品质，随机抽取了8家规模较大的乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：民宿点甲乙丙丁戊

己庚辛普通型民宿16812141318920品质型民宿6164101110912（1）从这8家中随机抽取3家，在抽取的这3家的普通型民宿的房间均不低于10间的条件下，求这3家的品质型民宿的房间均不低于10间的概率；（2）从这8

家中随机抽取4家，记X为抽取的这4家中普通型民宿的房间不低于15间的家数，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）15（2）32【解析】【分析】（1）根据条件概率公式即可求解.(2)根据超几何分布，即可求出分布列和

期望.【小问1详解】由题可知这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于10间的有6家，品质型民宿和普通型民宿的房间均不低于10间的有4家.记“这3家的普通型民宿的房间均不低于10间”为事件A，“这3家的品质型民宿的房间均不低于10间”为事件B，则()()

33643388CC51,C14C14PAPAB====，所以()()()15PABPBAPA==∣.【小问2详解】这8家乡村民宿中普通型民宿的房间不低于15间的有3家，故X的所有可能取值为0,1,2,3.()()041335354488CCCC513030,1C7014C70

7PXPX========，()()223135354488CCCC303512,3C707C7014PXPX========，所以X的分布列如下表：X0123P1143737114所以()1331301231477142EX=++

+=.19.如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，11332,BCCDDBABADCBCD======（1）求证：平面1BCD⊥平面11ACCA；（2）设E为棱BC的中点，线段,ACDE交于点1,FCF⊥平面ABCD，且12CF=，求平面1ABC与平面1CBC的夹角的余弦值.【答案

】（1）证明见解析；（2）6565.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.（2）由（1）的信息，以O为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.【小问1详解】设,ACBD交于

点O，连接1CO，如图，因为,BCCDABAD==，则点,AC在线段BD的垂直平分线上，即有,ACBDO⊥为BD的中点，又因为11CBCD=，则1COBD⊥，又11,,COACOCOAC=平面11ACCA，

因此BD⊥平面11ACCA，而BD平面1BCD，所以平面1BCD⊥平面11ACCA.【小问2详解】由（1）知，BD⊥平面11ACCA，而BD平面ABCD，则平面ABCD⊥平面11ACCA，在平面11ACCA内过O作OzAC⊥，又平面ABCD平面11A

CCAAC=，因此Oz⊥平面ABCD，射线,,OBOCOz两两垂直，以O为原点，射线,,OBOCOz的方向为,,xyz轴正方向，建立空间直角坐标系，因为E为棱BC的中点，则点F是正BCD△的重心，又332BCCDDBABAD=====，1CF⊥平面ABCD

，且12CF=，则1333(0,,0),(1,0,0),(0,3,0),(0,,0),(0,,2)333ABCFC−，所以133(1,,0),(1,,2),(1,3,0)33ABBCBC==−=−，设平面1ABC法向量为

()1111,,nxyz=，则111111113033203nABxynBCxyz=+==−++=，令11x=，得()11,3,1n=−，设平面1CBC的法向量为()2222,,nxyz

=，则22221222303203nBCxynBCxyz=−+==−++=，令23x=，得()23,3,1n=，设平面1ABC与平面1CBC的夹角为，则1212||165cos65||||513nnnn===，即平面1ABC与平

面1CBC的夹角的余弦值为6565.的20.如图，在RtABC△中，,,ABACDE⊥分别为边,CACB上一点，π28,6DEADBDE===.（1）若27BE=，求AB的长；（2）若ADEBED=，求BE的长.【答案】（1）223AB=（2）454−

【解析】【分析】（1）在BDE△中由余弦定理求BD，在ABD△中由勾股定理求AB的长；（2）设ADB=，在DBE中由正弦定理求得πsin3+，再由正弦定理求BE.【小问1详解】在BDE△中由余弦定理可得2222cosBEBDDEBDDEBDE=+−，又π27,8,6BEDEB

DE===，所以2286483BDBD=+−，所以283360BDBD−+=，解得63BD=或23BD=，因为BD为RtDAB的斜边，4=AD，故ADBD，所以63BD=，且22223ABBDAD=−=；【小问2详解】

设ADB=，则cosADDB=，又4=AD，故4cosDB=，因为ADEDEB=，所以π6DEB=+，所以ππ2ππ663EBD=−−+=−，在DBE中，由正弦定理得sinsinDEDBDBEDEB=，所以842ππsi

ncossin36=−+，所以π2π2cossinsin63+=−，所以2313cossincoscossin22+=+，所以223cossin2cos3cossin+=+，所以()()23cossin3cos

sin10+−+−=，设π3cossin2sin3t=+=+，则210tt−−=，故152t=，因为2π3EBD=−，所以2π0,3，所以ππ,π33+，所以152t+=，即π15sin34++=

，由正弦定理可得sinsinDEBEDBEEDB=，所以8π2πsinsin63BE=−，所以44164542ππ15sinsin33BE====−+−+.21.已知点F是抛物线2:2(0)Cypx

p=焦点，准线0l与x轴的交点为K，点P是抛物线C上任一动点.当点P的横坐标为8时，PFK的面积为42.（1）求抛物线C的方程；（2）设,AB是抛物线C的准线上的两个不同点，点P的横坐标大于1，坐标原点O到PAB的边,PAPB的距离都等于1，

求PAB的周长的最小值.【答案】（1）24yx=（2）85【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解.（2）设点()00,Pxy，点()1,Am−，点()1,Bn−，通过点()0,0到直线PA、PB的距离为1，得到,mn是关于s的方程()()20001

210xsysx−+−+=的两个不等实根.从而得到根与系数的关系，从而求出PAB面积的最小值，即可求出PAB周长的最小值.【小问1详解】将8x=代入抛物线方程，得4yp=.因为PFK的面积为42,FKp=，所以1144222FKypp==，解得2p=所以抛物线C的方程为24yx=

.【小问2详解】设点()00,Pxy，点()1,Am−，点()1,Bn−，则直线PA的方程为()0011ymymxx−−=++，即()()()()0000110ymxxyymmx−−++−++=.的由

原点()0,0到直线PA的距离为1，可得()()()002200111ymmxymx−++=−++，故()()()()()()222220000001211ymxymmymxmx−++=−+−+++.由条件知01x，上式化简得()()20001210x

mymx−+−+=.同理有()()20001210xnynx−+−+=.所以,mn是关于s的方程()()20001210xsysx−+−+=的两个不等实根.由根与系数的关系可得()000012,11xymnmnxx−+−+==−−.所以()()202220200414||()()411xy

ABmnmnmnxx+=−=+−=+−−.因为2004yx=，所以()()()20000220004116412111xxxxABxxx++−=+=−−−，又点()00,Pxy到直线=1x−的距离为01dx=+，所以PAB的面积为()()()()()2220000002200141411121

2211xxxxxSABdxxx++−+−==+=−−.令01(0)xtt−=，则()()22222444640161032ttttSttttt++++==++++.因为222216164040

28,1021040tttttttt+=+=，上述两个不等式都当且仅当2t=时取等号，所以8403245S++=，故PAB面积的最小值为45.因为原点O到PAB的三边距离都等于1，所以()112SPAPBAB=++，所以PAB的周长为2PAPBABS

++=，所以PAB的周长的最小值为85.22已知函数()()()()21e2e1R2xxfxaaxa=+−+−.（1）当1a=−时，求函数()()Fxfxx=+的图象在点()()0,0F处的切线方程；（2）若()fx的图象与直线1y=恰

有两个不同的公共点，求实数a的取值范围.【答案】（1）2250xy−−=；（2）51,2.【解析】【分析】（1）把1a=−代入，求出函数()Fx的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.（2）构造函数()()()21e2e112xxgxaax=+−+−−，利用导数探讨函

数()gx在R上有两个零点即可.【小问1详解】当1a=−时，()21e3e32xxFxx=−+，求导得()2e3e3xxFx=−+，则()01F=，而()502F=−，所以()Fx的图象在点()()0,0F处的切线方

程为()5102yx+=−，即2250xy−−=.【小问2详解】设()()()()211e2e112xxgxfxaax=−=+−+−−，其定义域为R，则()()()()()2e2e1e1e1xxxxgxaaa=+

−+−=+−−，①若10a−，即1a，当0x时()0gx，当0x时()0gx，所以()gx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，因为x→−时，(),gxx→+→+时，()gx→+，所以要使()gx有两个零点

，则()102102ga=+−−，解得52a，故512a；.②若10a−=，即1a=，由()21ee102xxgx=−−=，解得()ln13x=+，所以()gx有且仅有1个零点，则1a=不符合题意；③若011a−

，即01a，由()0gx，得()ln1xa−或0x，由()0gx，得()ln10ax−，所以()gx在()(),ln1a−−和()0,+上单调递增，在()()ln1,0a−上单调递减，因为x

→−时，(),gxx→−→+时，()gx→+，所以要使()gx有两个零点，则()102102ga=+−−=或()()()()()21ln1(1)21(1)ln1102gaaaaaa−=−+−−+−−−=，若()00g=，解得52a=，

不符合题意；若()()ln10ga−=，设()10,1ta=−，则()()ln10ga−=化为()22111ln1ln1022ttttttttt+−−+−=−−+−=，当01t时，ln0tt，所以2211ln1

0,ln1022tttttttt−−+−−−+−=无解，即()()ln10ga−=无解，故01a不符合题意；④若11a−=，即()0,0agx=恒成立，则()gx在(),−+上单调递增，从而()gx最多有1个零点，则0a=不符合题意.⑤若11a−，即a<0

，由()0gx，得0x或()ln1xa−，由()0gx，得()0ln1xa−，所以()gx在(),0−和()()ln1,a−+上单调递增，在()()0,ln1a−上单调递减，因为x→−时，(),gxx→−→+时，()gx→+，所以要使()gx有两个零点

，则()00g=或()()ln10ga−=，若()102102ga=+−−=，解得52a=，不符合题意，若()()()()()()21ln1(1)211ln1102gaaaaaa−=−+−−+−−−=，设()11,ta=−+，则()()

ln10ga−=化为()22111ln1ln1022ttttttttt+−−+−=−−+−=，令()21ln12httttt=−−+−，则()lnhttt=−，设()()lnvthttt==−，则当1t时，()1110tvttt−=−=，所以()vt在()1,+上单调递

减，即()ht在()1,+上单调递减，从而()()110hth−=，所以()ht在()1,+上单调递减，所以()()5102hth=−，则21ln102tttt−−+−=无解，即()()ln10

ga−=无解，故a<0不符合题意，综上，实数a的取值范围是51,2.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.获得更

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