【文档说明】北京市首师附实验学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(14)页，885.228 KB，由小赞的店铺上传

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首师附实验学校2024—2025学年高二数学9月阶段练习一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）1.已知i1iz=−，则z=（）A.0B.1C.2D.2【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法求

出z，再求出复数的模.【详解】依题意，(i1)i1iz=−=−−，则22||(1)(1)2z=−+−=.故选：C2.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，1ABADAA−−=（）A.1ACuuu

rB.1ACC.1DBD.1DB【答案】C【解析】【分析】利用向量的加减法法则计算即可.【详解】1111ABADAADBAADBDDDB−−=−=−=故选：C3.已知()2,3,1A−−，()6,5,3B−，则AB坐标为（）A.()8,8,4−−B.()8,8,4−C.()8,8,4

−D.()8,8,4−−【答案】B【解析】【分析】利用空间向量坐标运算即可.【详解】因为()2,3,1A−−，()6,5,3B−，的所以()8,8,4AB=−故选：B.4.如图，已知正方体ABCDABCD−的棱长为1，AADB=（）A.1B.2C.3D.1−【答案】A【解析】【分析

】结合图形利用空间向量的线性运算求解即可.【详解】因为DBDBBBABADBBABADAA=+=−+=−+，且0AAAB=，0AADA=，所以()21AADBAAABADAAAAABAAADAA=−+=−

+=.故选：A.5.设1n，2n分别是平面，的法向量，其中()11,,2ny=−，()2,2,1nx=−，若∥，则xy+=（）A.92−B.72−C.3D.72【答案】D【解析】【分析】本题根据图形关系得到11//nn，得到1221yx−==−，解出,xy即可.【详解】/

/，且12,nn分别是平面,的法向量，则11//nn，则有1221yx−==−，故1,42xy=−=，则72xy+=.故选：D.6.已知直线1l的方向向量为()0,0,1u=，直线2l的方向向量为()

0,3,1v=−，则直线1l与2l所成角的度.数为（）A.30B.60C.120D.150【答案】B【解析】【分析】根据空间向量夹角公式cos,uvuvuv=，代入即可得到向量夹角，同时注意直线夹角的范围.【详解】直线1l方向向量(0,0,1)u=,直线2l方向向量

(0,3,1)v=−,211cos,21(3)1uvuvuv−===−−+，所以两向量夹角为120，直线1l和2l所成角为60o，故选：B.7.已知n为平面的一个法向量，a为直线l的一个方向向量，则“an⊥”是“//l”的

（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据线面平行的性质及其法向量和方向向量的关系判断即可.【详解】n为平面的一个法向量，a为直线l的一个方向向量，若an⊥，则l

或//l，充分性不成立，若//l，则an⊥，必要性成立，所以“an⊥”是“//l”的必要不充分条件.故选：B.8.已知点,,,OABC为空间不共面的四点，且向量aOAOBOC=++，向量bOAOB

OC=+−，则与,ab不能构成空间基底的向量是()A.OAB.OBC.OCD.OA或OB【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出．【详解】111()()()222OCabOAOBOCOAOBOC=−=++−+−，

OC与a、b不能构成空间基底；故选：C．9.在空间直角坐标系Oxyz中，点()2,1,1A在坐标平面Oxz内的射影为点B，且关于y轴的对称点为点C，则B，C两点间的距离为（）A.17B.32C.25D.21【答案】D【解析】【分析】先求得BC，的坐标，再用两点的距离公式求解【详解】因

为点()2,1,1A在坐标平面Oxz内的射影为点B，所以()2,0,1B，因为点()2,1,1A关于y轴的对称点为点C，所以()2,1,1C−−，所以()()()22222101121BC=−−+−+−−=，故选：D10.在棱长为1的正四面体（四个面都是

正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则AM和CN夹角的余弦值为（）A.23B.33C.13D.23−【答案】A【解析】【分析】根据正四面体性质取BN的中点为P，即可知AMP即为异面直线AM和CN的夹角的平面角,计算出各边长利用余弦定理即可求得结果.【详解】连接B

N，取BN的中点为P，连接,APMP，如下图所示：由正四面体的棱长为1可得32AMCNBN===，又,MP分别是,BCBN的中点，所以//MPCN，且1324MPCN==，所以AMP即为异面直线AM和CN的夹角的平面角，又易知BNAN⊥，且1324PNBN==，所以2213

74164APANPN=+=+=，因此337241616cos333224AMP+−==，即AM和CN夹角的余弦值为23.故选：A二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.已知向量()2,3,1a=−

，则与a共线的单位向量为_________.【答案】1431414,,71414−或1431414,,71414−−【解析】【分析】求出ar，再根据aa求解即可.【详解】因为向量()2,3,1a=−，所以()22223114a=+−+=

，所以()2,3,11431414,,7141414aa−==−，所以与a共线的单位向量为1431414,,71414−或1431414,,71414−−.故答案为：1431

414,,71414−或1431414,,71414−−.12.已知向量()2,0,1a=−，(),2,1bm=−且ab⊥，则m=________，ab+=_________.【答案】①.12##0.5②.412##1412【解析】【分析】利用空间向

量的垂直关系即可求解；根据向量的加法及模的运算即可求解.【详解】因为()2,0,1a=−，(),2,1bm=−，当ab⊥时，所以210m−=，所以12m=；因为()2,0,1a=−，1,2,12b

=−，5,2,02ab+=−，所以()22541222ab=+−=+.故答案为：12；412.13.已知直线l经过()1,0,1A，()2,0,0B两点，则点()2,1,4P到直线l的距离为_________.【答案】3【解析】【分

析】根据坐标求出cos,APAB，AP，然后得到AP，最后用勾股定理求PP即可得到点P到直线l距离.【详解】如图，过点P作PPAB⊥于点P的由题意得，()1,1,3AP=，()1,0,1AB=−，1322cos,11112APAB−==，11911AP=++=，所以cos,2APAPAP

AB==，1123PP=−=.故答案为：3.14.在空间直角坐标系Oxyz中，已知()2,0,0AB=，()0,2,0AC=，()0,0,2AD=.则CD与CB的夹角的余弦值为___________；CD在CB的投影向量a=___________.【答案】①.12

##0.5②.()1,1,0−【解析】【分析】先根据空间向量的坐标运算求出CD与CB的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计算公式即可求出结果.【详解】因为()2,0,0AB=，()0,2,0A

C=，()0,0,2AD=，所以()0,2,2CDADAC=−=−，()2,2,0CBABAC=−=−，所以41cos,22222CDCBCDCBCDCB===，CD在CB的投影向量为()cos,1,1,

0CBCDCDCBCB=−.故答案为：12；()1,1,0−.15.以下关于空间向量的说法：①若非零向量a，b，c满足//ab，//bc，则//ac②任意向量a，b，c满足()()abcabc=rrrrrr③若,,OAOBOC为空间向量的一组基底，且221

333ODOAOBOC=+−，则A，B，C，D四点共面④已知向量()1,1,ax=，()3,,9bx=−，若310x，则,ab为钝角其中正确命题的序号是_________.【答案】①③【解析】【分析】根据向量共线定理可判断①；由向量数量积的运算律可判断②；根据1133AD

ABCB=+可判断③；当3x=−时可判断④.【详解】对于①，因为a，b，c是非零向量，且满足//ab，//bc，故存在实数，使得ab=，bc=，故ac=，所以//ac，故①正确；对于②，因为a，c不一定共线且向量的数量积为实数，所以()()abcabc=不一定成立，故②不正确；

对于③，若,,OAOBOC为空间向量的一组基底，所以A，B，C三点不共线，221333ODOAOBOC=+−，且()()1211133333ODOAOAOBOCOBOAOBOC−=−+−=−+−，所以1133ADABCB=+，则A，B，C

，D四点共面，所以③正确；对于④，当3x=−时，a，b反向共线，有3ba=−，,ab180，所以④不正确.故答案为：①③.三、解答题（共4道大题，共60分）16.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，2AB=，E为线段11BC的中点.

（1）求证：11AADE⊥；（2）求平面1DBE的法向量；（3）求点1A到平面1DBE的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）()2,1,1−，答案不唯一；（3）263.为【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质，即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，利用向量法即可求

得结果；（3）根据（2）中所求平面的法向量，求得11AD在平面法向量上的投影向量的长度即可.【小问1详解】因为1111ABCDABCD−是正方体，故可得1AA⊥面1111ABCD，又1DE面1111

ABCD，故可得11AADE⊥.【小问2详解】以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，如下所示：则可得：()()()()110,0,2,2,2,0,1,2,2,2,0,2DBEA，()()()1111,2,0,1,0,2,2,

0,0DEBEAD==−=−设平面1DBE的法向量为(),,mxyz=，则100mDEmBE==，即2020xyxz+=−+=，取𝑥=2，可得1,1yz=−=，故平面1DBE的一个法向量为()2,1,1−.【小问

3详解】设点1A到平面1DBE距离为d，则114263411ADmdm===++.故点1A到平面1DBE的距离为263.17.如图，正三棱柱111ABCABC−的底面边长为2，高为4，D为1CC的中点，E为11AB的中点.的（

1）求证：1//CE平面1ABD；（2）求直线BC与平面1ABD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）由已知建立空间直角坐标系，求出直线1CE的方向向量和平面1ABD

的法向量，利用线面平行的向量判定方法求解即可；（2）根据线面角的向量求解公式求解即可.【小问1详解】如图以A为坐标原点，以AC，1AA所在直线为y轴，z轴，在平面ABC内做与AC垂直的直线为x轴建立空间直角坐

标系，()10,2,4C，()3,1,0B，()0,2,2D，31,,422E，𝐴1(0,0,4)，()0,2,0C，所以133,,022CE=−，()13,1,4AB=−，()3,1,2BD=−，设平面1ABD的法向量为()

,,nxyz=，所以100nABnBD==，即340320xyzxyz+−=−++=，令3x=，所以1z=，1y=，即()3,1,1n=为平面1ABD的一个法向量，所以1333101022CEn=+−+=，又因为1CE平面1AB

D，所以1//CE平面1ABD；【小问2详解】由（1）知()3,1,0BC=−，()3,1,1n=，设直线BC与平面1ABD所成角为，所以315sincos,552BCnBCnBCn−+====，所以直线BC与平面1ABD所成角的正弦值为55.18.如图，在平行六面体

1111ABCDABCD−中，4AB=，2AD=，122AA=，60BAD=，1145BAADAA==，AC与BD相交于点O，设ABa=，ADb=，1AAc=.（1）试用基底,,abc表示向量1OA；（2）求1OA的长；（3）求直线1OA与直线BC所成角

.【答案】（1）11122OAabc=−−+（2）3（3）π2【解析】【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可；（2）由（1）可知11122OAabc=−−+，然后利用数量积求模长即可；（3）利用空间向量线线角的向量法求解即可

.【小问1详解】()11111111122222OAAAABADAAABAODAAaAbc=+=−++=−−+=−−+；【小问2详解】4AB=，2AD=，122AA=，60BAD=，1145BAADAA==，所以1cos6

04242abab===，2cos4522242bcbc===，2cos4542282acac===，由（1）知11122OAabc=−−+，所以22222111111322442OAabcabcabacbc=−−+=+++−−=，所以

13OA=；【小问3详解】BCADb==，21111102222OABCabcbabbbc=−−+=−−+=，111cos,0OABCOABCOABC==，所以1OA与BC所成角为π2，所

以直线1OA与直线BC所成角为π2.19.如图，四棱锥S­­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若

存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）30°；（3）存在，SE∶EC＝2∶1.【解析】【分析】（1）由题设知，连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点，OB，OC，OS分别为x轴、y轴、z轴正方

向，建立空间直角坐标系，求得向量OC与SD，结合数量积即可证明AC⊥SD；（2）分别求出平面PAC与平面ACD的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；（3）要使//BE平面PAC，只需BE与平面的法向量垂直即可，结合（2）中求出的平面PAC的一个法向量，即可求解．【详解】（

1）证明：连接BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，OB，OC，OS分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O­xyz如图．设底面边长为a，则高SO＝62a．于是S60,0,2a，D2,0,02a−

，C20,,02aOC＝20,,02a，SD＝26,0,22aa−−，∵OC·SD＝0，故OC⊥SD，从而AC⊥SD．（2）由题设知，平面PAC的一个法向

量DS＝26,0,22aa，平面DAC的一个法向量OS＝60,0,2a，设所求角为，则cos＝·||?||OSDSOSDS＝32，∴平面PAC与平面DAC的夹角为30°．（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．由（2）知DS是平面PAC的一个法向量，

且DS＝26,0,22aa，CS＝260,,22aa−．设CE＝tCS，则BE＝BC＋CE＝BC＋tCS＝226,(1),222aatat−−而BE·DS＝0⇔t

＝13，即当SE∶EC＝2∶1时BE⊥DS，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC．