【文档说明】江苏省南京师范大学《数学之友》2021届高三下学期5月底高考数学模拟试卷（2）答案.pdf，共(6)页，823.835 KB，由小赞的店铺上传

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2021高考数学模拟试卷（2）答案一、单项选择题答案1.B2.C3.B4.A5.D6.D7.C8.D二、多项选择题答案9.ABD10.ABC11.BD12.ABC三、填空题答案13.30014.���√���15.3，4316.2e四、解答题答

案17．解：（1）由222coscossinsinsinBCAAB得：2221sin1sinsinsinsinBCAAB，即222sinsinsinsinsinCBAAB.由正弦

定理得：222cbaab，即222cos122abcCab，∵C∈（0，π），3C.（2）①由三角形面积公式得：113sinsin632234abCabab，解得：24ab.由（1）知：222492473abcab

，2222487311ababaabb，ABC∴的周长为11718abc.②∵a+b+c=21，21714ab，由（1）得：22223cabababab，2222314714

7ababc，解得：49ab，ABC∴的面积11493sin49sin2234SabC.18.解：（1）已知数列，.}{na12nnnaaa①充分性：若，则有

，得，所以为等差数列.②必要性：若为非常数等差数列，可令(k≠0).代入，得.化简得，即.因此，数列{an}为等差数列的充要条件是α＋2β＝0.（2）由已知得.又因为，可知数列(n∈N*)为等比数列，所以(n∈N

*).从而有n≥2时，，.于是由上述两式，得（）.由指数函数的单调性可知，对于任意n≥2，|an＋1－an－1|＝65·≤65·＝65.所以，数列中项均小于等于65.而对于任意的n≥1时，n＋12≥1＋12＞65，所以数列{n＋12}(n∈N*)中项均大于65.因此，数列与数列{n＋1

2}(n∈N*)中没有相同数值的项.19．解：(1)这50家食品生产企业考核成绩的平均数为：x＝74×0.04＋78×0.12＋82×0.28＋86×0.36＋90×0.10＋94×0.06＋98×0.04＝84.8，由频率分布直方图得a∈[84，8

8]，∴0.04＋0.12＋0.28＋0.09×(a－84)＝0.5，解得中位数a≈84.67.(2)这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有50×(0.1＋0.06＋0.04)＝10家，其中考核成绩在[92，100]内的企业有50×(0.06＋0.04)＝5家，∴X的可能取值为

0，1，2，3，4，P(X＝0)＝C45C410＝142，P(X＝1)＝C15C35C410＝521，P(X＝2)＝C25C25C410＝1021，P(X＝3)＝C35C15C410＝521，212122nnnnnaaaaannnnaaaa

112}{na}{nabknan12nnnaaa[(1)]()(2)knbknbknb2kk022111[]5nnnnaaaa21302aa}{1nnaa11121131()()()

552nnnnaaaa1131()52nnnaa2131()52nnnaa2111(556|)|nnnaa2n2)51(n22)51(11{||}(*,2)nnaannN11{||}

(*,2)nnaannNP(X＝4)＝C45C410＝142，∴X的分布列为：XP42E(X)＝0×142＋1×521＋2×(3)由题意得X～N(84.80∴μ＋σ≈84.80＋5.26＝90.06∴估计该市500家食品生产企

业质量管理考核成绩高于20.证明：（1）作DEAC交1,,DEDCDA所在直线为,,xyz(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),(0,0,3),(0,2,3)ACBAC所以，11(2,1,3),(0,3,3)ABAC

110330ABAC，所以（2）设1(0,,3)CMCC11=(2,2,0)ABAB,11(0,1,33)AM

ACCM设面11MAB的一个法向量为有111·0·0ABnAMn220(1)(33)0xyyz(1)33xyyz

11,1,33n0123414252110215211422×1021＋3×521＋4×121＝2.N(84.80，27.68)，90.06，∴P(X>μ＋σ)≈12－0.68272≈0.1587，∴50×0.1587

≈79(家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有79DEAC交AB于点E，分别以,,xyz轴建系11(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),(0,0,3),(0,2,3)ACBAC11(2,1,3),(0,3,3)ABAC

0330，所以11ABAC(0,,3)，(0,1,33)的一个法向量为(,,)nxyz(1)(33)0yz50×0.1587≈79(家)，79家．因为1(2,1,3)AB若直线A1B与平面MA1B1所成

角的正弦值为31520.|cos＜n→，A1B→＞|＝31520，即|2－1－λ＋1λ－1|22×1＋1＋13(λ＋1λ－1)2＝31520,解得λ＝13.所以当CM＝13CC'时，直线A1B与平面MA1B1所成角的正弦值为31520.21.解：(

1)f′(x)＝2x2－2mx＋m2，所以g(x)＝23x3－mx2＋m2x－(2x2－2mx＋m2)＝23x3－(m＋2)x2＋(m2＋2m)x－m2，所以g′(x)＝2x2－2(m＋2)x＋m2＋2m.(3分)①当Δ＝4(m＋2)2－8(m2＋2m)≤

0时，即m≤－2或m≥2时，g′(x)≥0恒成立，所以函数g(x)在R上单调递增，故函数g(x)无极值；②当△＝4(m＋2)2－8(m2＋2m)>0时，即－2<m<2时，2x2－2(m＋2)x＋m2＋2m

＝0有两个根x1，x2(不妨设x1<x2)，列表如下：x(－∞，x1)x1(x1，x2)x2(x1，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值函数g(x)有极值，满足题意．综上所述，m的取值范围是(－2，2)．(2)因为h(x)＝(2e2x－2mex＋m2)＋(2ln2x－2m

lnx＋m2)，所以对任意m∈R，(2e2x－2mex＋m2)＋(2ln2x－2mlnx＋m2)≥m2＋k2在(0，＋∞)上恒成立，即对任意m∈R，m2－2(ex＋lnx)m＋(2e2x＋2ln2x－k2)≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以△＝4(ex

＋lnx)2－4(2e2x＋2ln2x－k2)≤0在(0，＋∞)上恒成立，即k2≤(ex－lnx)2对任意x＞0恒成立．记φ(x)＝ex－lnx(x>0)，所以φ′(x)＝ex－1x.因为φ″(x)＝ex＋1x2>0，所以φ′(x)＝ex－1x在(0，＋∞

)上单调递增且连续不间断，而φ′12＝e－2<0，φ′(1)＝e－1>0，所以函数φ′(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点x0∈12，1，列表如下：x(0，x0)x0(x0，＋∞)φ′(x)－0＋φ(x)极小值所以φ(x)min＝φ(x0)＝𝑒

��－lnx0，其中𝑒��－1x0＝0，且x0∈12，1，(13分)所以x0＝－lnx0，所以φ(x)min＝𝑒��－lnx0＝x0＋1x0∈2，52.又因为k>0，所以由k2≤(ex－lnx)2得k≤ex－lnx对任意x>0恒

成立．由题意知k≤φ(x)min＝x0＋1x0.因为x0＋1x0∈2，52，且k∈N*，所以k＝1，2，即正整数k的取值集合为{1，2}．22.解：(1)设P点坐标为(s，t)，由于抛物线y＝x2的焦点F(0，14)，且M(1，1)和N(2，4)是

P点的“垂足点”，所以MF⊥MP，且NF⊥NP．因为FM→＝(1，34)，MP→＝(s－1，t－1)，FM→＝(2，154)，MP→＝(s－2，t－4)，所以s－1＋34(t－1)＝0，2(s－2)＋154(t－4)

＝0．解得s＝－4112，t＝629．所以P点坐标为(－4112，629)．(2)假设存在P(s，t)满足条件，设其中的一个“垂足点”为A(x0，x02)．由于AF⊥AP，且FA→＝(x0，x02－14)，PA→＝(x0－s，x02

－t)，所以x0(x0－s)＋(x02－14)(x02－t)＝0，即x04＋(34－t)x02－x0s＋14t＝0．若P点有三个“垂足点”，即关于x的方程x4＋(34－t)x2－sx＋14t＝0有三个不相等的

实数根．所以方程x4＋(34－t)x2－sx＋14t＝0可化为(x－m)2(x2＋ax＋b)＝0，且a2－4b＞0，m2＋am＋b≠0．因为(x－m)2(x2＋ax＋b)＝x4＋(a－2m)x3＋(m2＋b－2ma)x2＋(am2－2mb)x＋m2b＝0，所以a－2m＝0，m2＋b

－2ma＝34－t，am2－2mb＝－s，m2b＝14t，即m＝a2，s＝3a－a34，t＝34a2，b＝34．若P点在双曲线y28－x22＝1上，则18×916a4－12×(3a－a34)2＝1，化简得4a6－33a4＋36a2＋128＝0，即(a2－4)(4a4－

17a2＋32)＝0，解得a＝2或a＝－2，此时m＝1或m＝－1，且满足a2－4b＞0，m2＋am＋b≠0．所以存在P点，其坐标为(－12，3)或(12，3)．