【文档说明】江苏省南京师范大学《数学之友》2021届高三下学期5月底高考数学模拟试卷（1）答案.pdf，共(4)页，736.378 KB，由小赞的店铺上传

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12021高考数学模拟试卷（1）答案一、单项选择题答案1.D2.A3.B4.B5.B6.A7.C8.D二、多项选择题答案9.ABC10.AC11.AB12.BC三、填空题答案13.1011202114.15.λ16.√3−��

四、解答题答案17.解：情形【1】：横线上填“①”,则设AD=CD=x，BA=y，（1）在∆ABD中，有𝑥�+𝑦�−𝑥𝑦=7，（*）在∆ABC中，有4𝑥�+𝑦�−2𝑥𝑦=7，（**）由（*）（**）联立解得�𝑥=1𝑦=3，所以BA=3，AC=2.（2）设AE

=y，则由𝑆∆���+𝑆∆���=𝑆∆���得��×3ysin30°+��×ysin30°=��×3×2sin60°，解得y=�√��，即∆𝐴𝐵𝐷的角A的平分线AE的长为�√��.情形【2】：横线上填“④”,则设AD=CD=x，（1）在∆ABD中，cos∠ADB=������

��������∙��=�������√��=�����√��，同理，在∆𝐵𝐶𝐷中，cos∠𝐶𝐷𝐵=��√�，因为cos∠𝐴𝐷𝐵=−cos∠𝐶𝐷𝐵，所以�����√��=−��√�

，解得x=1，所以AC=2.（2）解同情形【1】的（2）.【说明】：若删去②，③之一，则计算AC的长有两解，不满足要求.18.解：(1)家长所打分数的平均值为X－＝180×(5×4＋6×8＋7×20＋8×24＋9×16＋10×8)＝395.

(2)填写列联表如下：男生女生合计自制力强183048自制力一般24832合计423880提出假设H0:“自制力强”与性别无关，则K2＝80×18×8－24×30242×38×48×32≈10.827>7.879，所以

有99.5%的把握认为“自制力强”与性别有关．432ADCBEFGHJzyx19.解：（1）证明：因为正方体ABCD-EFGH，所以平面ABCD//平面EFGH，平面Ω∩平面ABCD=AC，平面Ω∩平面EFGH=l，所以l//AC.（2）以A为坐标原点，分别以直线AB，AD

，AE为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则平面ABCD的一个法向量为𝑛�����⃗=𝐴𝐸�����⃗=(0,0,1),易知，A(0,0,0),C(1,1,0),J(��,0,1)，所以𝐴𝐶�����⃗=(1,1,0)，𝐴𝐽����⃗=(��,0,1)，设平面Ω的法向量为

𝑛�����⃗=(x,y,z)，则�𝑛�����⃗∙𝐴𝐶�����⃗=0𝑛�����⃗∙𝐴𝐽����⃗=0，所以�𝑥+𝑦=0��𝑥+𝑧=0，取�𝑥=2𝑦=−2𝑧=−1，即𝑛�����⃗=(2,-2,-1)，设平面Ω与平面ABCD所

成的锐二面角为θ，则cosθ=�cos<n�����⃗，n�����⃗>�=����×√������=��，所以平面Ω与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为��.20.解：（1）由离心率e=��=√������=√��得𝑎�=4𝑏�（*），由于点P(2,-1)在椭

圆C上，故���+���=1（**），联立（*）（**）得𝑎�=8,𝑏�=2，所以椭圆C的方程为���+���=1.（2）由直线AB过点R(-1,0)，可设AB:y=k(x+1)，它与椭圆C的方程联立得(4k2+1)x2+8k2x+4k

2-8=0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则�𝑥�+𝑥�=−��������,𝑥�𝑥�=����������①因为直线PQ平分∠𝐴𝑃𝐵，所以kAP+kBP=0，即�(����)������+�(

����)������=0，整理得2kx1x2-(k-1)(x1+x2)-4(k+1)=0，将①代入上式并化简得�������������=0,所以𝑘=−��，所以�𝑥�+𝑥�=−1,𝑥�𝑥�=−��，所以|𝑦�−𝑦�|=��|𝑥�−𝑥�

|=���(x�+x�)�−4x�x�=√���，所以四边形PAQB的面积S=��PQ|𝑦�−𝑦�|=��×4×√���=√15.21.解：（1）由条件②得f(m+1,1)-f(m,1)=2(m+1)，所以，f(2,1)-f(1,1)=2×2，f(3,1)-

f(2,1)=2×3，……f(m,1)-f(m-1,1)=2×m，将上述m-1个等式相加，得f(m,1)-f(1,1)=22mm，因为f(1,1）=1，所以f(m,1)=m2+m-1.（2）由条件③得f(m,n)-f(m,n-1)=2(m+n-2)，3f(m,n

-1)-f(m,n-2)=2(m+n-3)，f(m,n-2)-f(m,n-3)=2(m+n-4)，……f(m,2)-f(m,1)=2m，将上述n-1个等式相加，得f(m,n)-f(m,1)=2×(���)(������)�=(𝑛−1)(2𝑚+𝑛−2),因为f(m

,1)=m2+m-1,所以f(m,n)=(𝑛−1)(2𝑚+𝑛−2)+m2+m-1=m2+2mn+n2-m-3n+1，所以f(n,n)=n2+2n2+n2-n-3n+1=(2n-1)2，所以g(n)=��(�，�)����=��������，所以g(n)<��.证明如下：g(n)<��⇔���

�����<��⇔�(����)��<1，易知，n=1时，�(����)��=��<1；n=2时，�(����)��=���<1；n≥3时，设h(x)=�(����)��(x≥3),则ℎ,(𝑥)=�����������，因为-2x2+5x-1=-2(x-��)2+���，所以当x≥3时

，函数y=-2x2+5x-1单调递减，所以-2x2+5x-1≤−2×32+5×3-1<0，因此ℎ,(𝑥)<0，所以h(x)=�(����)��(x≥3)是单调递减函数，h(x)≤h(3)=����<1，

从而，n≥3时，�(����)��<1.综上所述，�(����)��<1（𝑛∈N∗）正确，所以g(n)<��.22.解：（1）因为A是抛物线C：y=x2上的一点，故可设A(x，x2)，由y=x2得𝑦,=2𝑥，所以抛物线在A处的切线斜率为2x.因为抛物线C：y=

x2的焦点为F(0,��)，所以，①当x=0时，A(0,0)，抛物线在A处的切线方程为y=0，而直线AM的方程为x=0，显然满足条件，故F的一个“f伴点”为A(0,0)；②当x≠0时，直线AM的斜率为������，由������×2x=-1得x2=-��，该方程无实数解.综上所述，抛物线C的

焦点F的“f伴点”为A(0,0).（2）同（1）设A(x，x2)，抛物线在A处的切线斜率为2x.（i）当x=m时，因为m>0，所以2x=2m>0，而直线AM垂直于x轴，抛物线在A处的切线不可能与AM垂直；（ii）当x≠𝑚时，直线AM的斜率为�������，抛物线在A处的切线恰好与A,M两点的连

线互相垂直的充要条件为�������×2x=-1，即2x3-(2n-1)x-m=0(*),设g(x)=2x3-(2n-1)x-m，则𝑔,(𝑥)=6x2-(2n-1)，4①当n≤��时，𝑔,(𝑥)>0恒成立，所以g(x)在R上单调递增，方程(*)仅有一解，不合；②当

n>��时，由𝑔,(𝑥)>0得x>������或x<-������，这说明函数g(x)的单调递增区间为(-∞,−������)和（������，+∞），同理可得函数g(x)的单调递减区间为（−������，������），因此g(x)极大值=g(−������)=�(����)������

�−m，g(x)极小值=g(������)=−�(����)�������−m，因为m>0，n>��，所以g(x)极小值<0，因此，点M有三个“f伴点”的充要条件为g(x)极大值>0，且g(m)≠0，即�(����)�������−m>0，且g(m)=2m3-

(2n-1)m-m≠0.即2(2n-1)3>27m2，且n≠m2.综上所述，当且仅当m,n满足�𝑛>��,𝑛≠𝑚�2(2𝑛−1)�>27𝑚�时，点M的“f伴点”有三个.