【文档说明】5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(典例精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲+检测(人教A版2019必修第一册)(解析版).docx，共(27)页，1.589 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-b21eb8ac55f99ba5e9327cc45705ae76.html

以下为本文档部分文字说明：

5.5.1两角和与差正弦、余弦、正切本节课知识点目录：1、两角和与差正余弦公式应用；2、两角和与差的正切。3、二倍角公式4、公式综合应用：给角求值5、公式综合应用：给值（式）求值6、公式综合应用：给值（式）求角7、高中联赛题选一、两角和与差的正余弦公式的正用、逆用、变形用（重点）1.公式

基本应用，如例题1和22.利用特殊值对特殊角，特殊角对应特殊值，来逆用公式，如例题33.复杂形式的角，依旧遵循和与差的公式，如例题44.类似例题5和6这类题型，是对和与差公式的综合变形应用，属于重点和

难点。5.打散---重组---化一，是三角函数型化简的主要方向，如例题7和86.多角，消元，结合均值求最值，如例题9【典型例题】【例1】化简sin200cos140cos160sin40−，得（）A．32B．sin20C．cos20D．12【答案】A【分析】应用

诱导公式及逆用差角正弦公式化简求值即可.【详解】由cos160cos(360160)cos200=−=，sin40sin(18040)sin140=−=，∴sin200cos140cos1

60sin40sin200cos140cos200sin140−=−=sin(200140)−=3sin602=.故选：A【例2】cos295°sin70°－sin115°cos110°的值为（）

A．22B．－22C．32D．－32【答案】A【分析】利用诱导公式以及两角差的余弦公式的逆应用即可求解.【详解】原式＝－cos115°cos20°＋sin115°sin20°＝cos65°·cos20°＋sin65°sin20°＝cos(65°－20°)＝cos45°＝22.故选：

A【例3】13cos15sin1522+的值是（）典例精讲A．22B．22−C．62D．62−【答案】A【分析】结合两角差的余弦公式求得正确结论.【详解】原式()2cos60cos15sin60sin15cos6015cos452=+=−

==.故选：A【例4】()()()()cos35cos25sin35sin25−++−+的值为（）A．12−B．12C．32−D．32【答案】B【分析】根据余弦的差角公式计算求解即可.【详解】解：由余弦的差角公式得()()()()()()(

)1cos35cos25sin35sin25cos3525cos602−++−+=−−+=−=故选：B【例5】计算：cos104cos10sin10−=（）A．2−B．2C．3−D．3【答案】C【分析】应用正弦倍角公式、两角差正弦公式，化简

求值即可.【详解】原式()2sin3010cos104sin10cos10cos102sin20cos10sin10sin10sin10−−−−===132cos10sin10cos1022cos103sin10cos103sin10

sin10−−−−===−．故选：C.【例6】13sin10cos10−的值是（）A．1B．2C．4D．14【答案】C【分析】由13cos60cos10sin60sin10

4()sin10cos102sin10cos10−−=，结合两角和余弦公式、倍角正弦公式及诱导公式即可求值.【详解】13cos103sin10cos60cos10sin60sin10cos70sin204()444sin10cos10sin10cos102sin

10cos10sin20sin20−−−=====.故选：C.【例7】函数()sincos6fxxx=−+的值域为（）A．[-2，2]B．3,3−C．[-1，1]D．33,22−【答案】B【

分析】将()sincos6fxxx=−+展开重新整理得到3sin()6x−，求出值域即可【详解】解析：f(x)=sinx-cos()6x+=sinx-32cosx+12sinx=32sinx-32

cosx=3sin()6x−，所以函数f(x)的值域为3,3−故选：B【例8】已知A是函数333()sin2019sin20192623fxxx=++−的最大值，若存在实数1,x2x

使得对任意实数x，总有()()12()fxfxfx成立，则12||Axx−的最小值为（）A．2019B．22019C．673D．32019【答案】C【分析】通过两角和与差的正弦公式化简函数为()3sin20196fxx=−，再由存在实数1,x2x使

得对任意实数x，总有()()12()fxfxfx成立，得到12min||2Txx−=再求解.【详解】333()sin2019sin20192623fxxx=++−333sin2

019cos201922xx=−3sin20196x=−根据题意，A=3又因为存在实数1,x2x使得对任意实数x，总有()()12()fxfxfx成立所以12min||22019Txx−==所以12min(||)673−=Axx故选：C【例9】设，均为锐角

，且()()sinsinsincos++−=，则2tan1sin+的最大值是（）A．2B．22C．2D．22【答案】B【分析】由已知得sin2sincos,cos=，代入再利用基本不等式计算可得选项.【详解】解：因为，

均为锐角，()()sinsinsincos++−=，所以sin2sincos,cos=即tan2sincos=，故222tan2sincos2222sincos1sin2sincos222coss

in===+++，当且仅当2sincoscossin=，即2tan2=时等号成立，故选：B.【对点实战】1.计算cos20cos80sin160cos10+=（）．A．12B．32C．12−D．32−【答案】

A【分析】将160o化为20,10化为80后，利用两角差的余弦公式可求得结果.【详解】cos20cos80sin160cos10+cos20cos80sin20sin80=+()cos8020=−cos60=12=．故选：A．2.函数

()2cos2sinsin555fxxx=+++的一条对称轴为（）A．5B．25C．2D．【答案】D【分析】由两角和公式有2cos()cos()cossin()sin55555xxx+=

+−+，则()cosfxx=，即可求其对称轴方程，进而判断选项中符合要求的对称轴.【详解】由2cos()cos()cossin()sin55555xxx+=+−+，∴()cos()cossin()sinc

os5555fxxxx=+++=，∴其对称轴方程为,xkkZ=.故选：D.3.．2cos10sin20cos20−的值为（）A．3B．2C．1D．3【答案】D【分析】把分子中的cos10

化为()cos3020−，利用两角差的余弦公式进行计算即可.【详解】解：原式()312cos20sin20sin20222cos3020sin20cos20cos20+−−−==3cos203cos20==.故选：D.4.已知

,均为锐角，且cos()sin()+=−，则tan=（）A．0B．3C．12D．1【答案】D【分析】利用两角和公式展开，可求得()()cossinsincos0+−=，进而sincos0αα−=，即可求解【详解】cos()sin()+=−，coscossi

nsinsincoscossin−=−，即()()cossincossinsincos0−+−=，所以()()cossinsincos0+−=，因为,均为锐角

，所以cossin0+，所以sincos0αα−=，所以tan1=，故选：D5.已知4sin45−=−，cos4351+=，3,44，0,4，则()sin+=（）A．3335

B．1665C．5665−D．5665【答案】D【分析】利用同角三角函数的基本关系求出cos4−、sin4+的值，然后利用两角差的正弦公式可求得()sin+的值.【详解】因为3,44

，所以,042−−，因为4sin45−=−，所以2163cos1sin144255−=−−=−=，因为0,4，所以,442+

，因为cos4351+=，所以23442512sin1cos11691=−=−+=+，所以()sinsin44+=+−−sincoscossin4444

=+−−+−123543620561351356565+=−−==.故选：D.6.已知函数()cos2cossin(2)sinfxxx=−

+在3x=处取得最小值，则函数()fx的一个单调递减区间为（）A．4,33B．2,33−C．5,36D．,63−【答案】D【分析】先化简()fx并根据已知条件确定出

的一个可取值，然后根据余弦函数的单调递减区间求解出()fx的一个单调递减区间.【详解】因为()()()cos2cossin2sincos2cossin2sincos2fxxxxxx=−+=+=−，且()fx在

3x=处有最小值，所以2cos133f=−=−，所以22,3kkZ−=+，所以2,3kkZ=−−，取的一个值为3−，所以()cos23fxx=+，令222,3

kxkkZ++，所以,63kxkkZ−+，令0k=，所以此时单调递减区间为,63−，故选：D.二、两角和与差的正切公式的应用【典型例题】【例1】3tan1813tan18

−+的值等于（）A．tan42°B．tan3°C．1D．tan24°【答案】A【分析】利用特殊角的正切值，逆用两角差的正切公式化简.【详解】∵tan60°＝3，∴原式＝tan60tan181tan60tan18−

=+tan(60°－18°)＝tan42°.故选：A.【例2】tan20tan25tan20tan25++=（）A．1B．1−C．33D．3【答案】A【分析】由题可知202545+=为特殊角，所以可以根据正切的和的公式展开

替换和或积即可求解.【详解】因为()tan20tan25tan202511tan20tan25++==−，所以tan20tan251tan20tan25+=−，则tan20tan25tan20tan251tan20tan2

5tan20tan251++=−+=．故选：A.【例3】3tan48tan60tan18tan48tan18−−°°°°°=（）A．1B．3C．2D．3【答案】A【分析】根据式子结构，构造两角和正切公式的逆运用，直接求值即可.【详解】3tan48tan60tan18tan48t

an18−−°°°°°()3tan48tan18tan48tan18−−=°°°°()()1tan48tan183tan48tan1ta188n48=−+−°°°°°°()3tan301tan48tan18tan48tan18=+−°°°°°1tan4

8tan18tan48tan181=+−=°°°°．故选：A【例4】()()()()1tan111tan471tan881tan124−−−−=（）A．2B．-2C．4D．-4【答案】C【分析】利用两角和的正切公式可得1tan11tan124tan11tan1242−−+=

，1tan47tan88tan47tan882−−+=，然后可得答案.【详解】因为tan11tan124tan13511tan11tan124+==−−，所以可得1tan11tan124

tan11tan1242−−+=同理可得1tan47tan88tan47tan882−−+=()()()()1tan111tan471tan881tan124−−−−()()1tan11ta

n124tan11tan1241tan47tan88tan47tan88=−−+−−+4=故选：C【例5】已知()1tan4+=，3tan22=，那么()tan2+等于（）A．14B．25C．1318D．1322【答案】B【分析】首先求出题中2

+，+，之间的关系，然后利用正切的和角公式求解即可.【详解】由题知()()tan2tan+=++，()()()()()tantan2tan1tantan5++++==−+，所以()2tan25+=.故选：B.【例4】4ta

n10tan202tan40tan70++−的值为（）A．0B．1C．1−D．3【答案】A【分析】先求出2cos40tan20tan70sin40−=−，再求出tan202tan40tan70+−4tan10=−，即得解.【详解】由题得sin20sin

70sin20cos20cos402cos40tan20tan70cos20cos70cos20sin20sin20cos20sin40−−=−=−==−所以2cos402sin404cos804sin10

=sin40cotan202tan40tan7s40sin80cs100o++=−−−−=.4tan10=−，所以4tan10tan202tan40tan70++−=0.故选：A【对点实战】113t

an753tan75−+的值等于（）A．23+B．23−C．1D．1−【答案】D【分析】根据tan603=，代入原式，再根据正切的和角公式求解即可.【详解】因为tan603=，所以13tan7511tan60tan75tan1353tan751tan60tan75−==++

−，因为tan1351=−，所以13tan7513tan75−=−+.故选：D.2.已知tan2=−，则tan2=（）A．223−B．223C．22−D．22【答案】D【分析】结合二倍角的正切公式计算即可.【详解】因为tan2=−，所

以22tantan2221tan==−.故选：D3.在ABC中，已知1tan2B=，1tan3A=，则C的大小为（）A．90°B．45°C．135°D．60°【答案】C【分析】利用两角和正切公式及三角形内角和定理可得

结果.【详解】∵1tan2B=，1tan3A=，∴()11tantan32tan111tantan16ABABAB+++===−−，∴()tantan1CAB=−+=−，又()0,C，∴34C=.故选：C.4.1tan27ta

n33tan27tan33−=+（）A．33B．3C．tan6D．1tan6【答案】A【分析】利用两角和的正切公式计算可得；【详解】解：()tan27tan33tan2733tan6031tan27tan33+=

+==−，所以1tan27tan3313tan27tan3333−==+故选：A5.在ABC中，120oC?，23tantan3AB+=，则tantanAB的值为（）A．14B．13C．12D．53【答案】B【分析】由题得tantan31tantanABAB+=−

，代入已知条件化简即得解.【详解】由题得60,AB+=所以tantantan()31tantanABABAB++==−,所以23133tantan1tantan3ABAB==−，.故选：B三、二倍角公式【典型例题】【

例1】22ππcossin1212−=（）A．12B．33C．22D．32【答案】D【分析】直接根据二倍角的余弦公式计算可得；【详解】解：22ππππ3cossincos2cos12121262−===

故选：D【例2】已知5cosα3=，则cos2等于（）A．19B．19−C．53−D．53【答案】A【分析】直接利用二倍角的余弦公式2cos22cos1=−，代入5cosα3=，即可求出结果.【详解】解：由题可知5cosα3=，2251cos22cos12

139=−=−=.故选：A.【例3】函数()sincosfxxx=的最大值是（）A．1−B．12−C．12D．1【答案】C【分析】利用二倍角正弦公式及正弦函数的性质确定()fx的值域，即可知最大值.【详解】1()

sincossin22fxxxx==，∴由正弦函数的性质知：11()[,]22fx−，即最大值为12.故选：C【例4】若0,2，sincos4cos2,+=则cos2=（）A．1516B．3116C．3116

−D．3116【答案】B【分析】先通过二倍角公式化简，求出cossin−，再结合平方关系解出cos,sin，再通过二倍角公式求得答案.【详解】由题意：()()()22sincos4cossin4cossincossin+

=−=+−，∵0,2，∴1cossin4−=，又∵22cossin1+=，解得：311cos8311sin8+=−=，∴2231cos2cossin16=−=.故选：B.【例5】若

cos0,,tan222sin=−，则tan=（）A．1515B．55C．53D．153【答案】A【分析】由二倍角公式可得2sin22sincostan2cos212sin==−，再结合已知可

求得1sin4=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】costan22sin=−2sin22sincoscostan2cos212sin2sin===−−，0,2，cos0，22sin112sin2sin

=−−，解得1sin4=，215cos1sin4=−=，sin15tancos15==.故选：A.【例6】．已知25cos2cos+=，()4cos25+=，0,2，3,22，则

cos的值为（）A．45−B．44125C．44125−D．45【答案】B【分析】先根据二倍角余弦公式求cos，解得cos2，最后根据两角差余弦公式得结果.【详解】2125cos2cos10coscos30cos2+=−−==−或35因

为0,2，所以3cos5=22443247sin,sin22,cos2cossin5552525====−=−,42()()43cos2,2(2,3)sin2

55+=++=coscos(22)cos(2)cos2sin(2)sin2=+−=+++4732444525525125=−+=故选：B【对点实战】1.设1cos105

+=，则3sin210−=（）A．35-B．2325C．35-D．2325−【答案】B【分析】利用诱导公式和二倍角公式即可求解.【详解】∵32210102−=+−∴223123sin2sin2cos22cos121101021010525

−=+−=−+=−++=−+=.故选：B2.已知72cos410−=，则sin2=（）A．2425−B．1225−C．1225D．2425【答案】D【分析】由2sin

2cos(2)cos[2()]2cos()1244=−=−=−−，代入即可求解.【详解】因为72cos410−=，由24924sin2cos(2)cos[2()]2cos()1212445025=−

=−=−−=−=.故选：D.3.函数()coin4ssfxxx=+的最小正周期为（）A．4B．2C．D．2【答案】C【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数()sinyx=+的周期等

于2T=，可求得()fx的最小正周期.，得出结论．【详解】解:函数()coscos22sin42sin2cosxxxxfxx=+=+2121cos2sin22222xx+=+222sin2cos2444xx=++12s

in2244x=++，其最小正周期为22T==．故选:C4.若3sin62−=，则sin26+=（）A．12−B．12C．32−D．32【答案】A【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简求得所求表达式的值.

【详解】sin2cos2cos2cos262636+=−+=−=−223112sin12622=−

−=−=−.故选：A四、给角求值【典型例题】【例1】cos75的值为（）A．624+B．624−C．624−−D．624+−【答案】B【分析】直接利用两角和的余弦公式即可得出答案.【详解】解

：()cos75cos4530cos45cos30sin45sin30=+=−23216222224−=−=.故选：B.【例2】下列各式的值等于12的是（）A．sin15cos15B．22cossin88−C．2tan22.

51tan22.5−D．22cos151−【答案】C【分析】利用二倍角的正弦、余弦以及正切公式分别化简计算.【详解】解：对于A：11sin15cos15sin3024==，故A不正确；对于B：222cossincos8842−==，故B不正确；

对于C：2tan22.511tan451tan22.522==−，故C正确；对于D：232cos151cos302−==，故D不正确；故选：C【例3】设70=，若(0,90)，且1sintancos+=，则(=)A．50B．60C．70D．8

0【答案】A【分析】根据两角和差的三角公式以及三角函数的诱导公式进行转化求解即可．【详解】解：由1sintancos+=得，sincoscoscossin=+，sin()cossin(90)

−==−，因为(0,90)，70=，所以90)0(9,−−，(090,90)−，由sin()cossin(90)−==−，得90,290−=−−=，所以50=．故选：A．【例4】已知锐角、满足6a+=，则19sincoscoss

in+的最小值为（）A．34B．32C．30D．28【答案】B【分析】计算出1sincoscossin2+=，再将代数式()2sincoscossin+与代数式19sincoscossin+相乘，展开

后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】6+=，()1sinsincoscossinsin62+=+==，Q、均为锐角，则sincos0，cossin0，()19192sincoscoss

insincoscossinsincoscossin+=++cossin9sincoscossin9sincos210210232sincoscossinsincoscossin=+++=，当且

仅当cossin9sincossincoscossin=时，即当cossin3sincos=时，等号成立.因此，11sincoscossin+的最小值为32.故选：B【例5】已知，，都为锐角，180++=，2tantanta

n=+，则tantan=（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】利用两角和的正切公式得到tantantan1tantan+=−−，利用已知条件消去tan，即可求解.【详解】因为180++=，所以()tan()tan180tan

+=−=−，即tantantan1tantan+=−−，又tantan2tan+=，则2tantan1tantan=−−，因为为锐角，，所以tan0，约去tan得

：tantan3=．故选：C．【对点实战】1.sin12的值等于（）A．14B．12C．624−D．624+【答案】C【分析】转化为两角差的正弦公式计算结果.【详解】sinsinsincoscossin12343434

=−=−32126222224−=−=.故选：C2.计算：sin105=（）A．622−B．622+C．624−D．624+【答案】D【分析】将105拆成6045+，用两角和的正弦计算即可.【详解】解：()62sin1

05sin6045sin60cos45cos60sin454+=+=+=.故选：D.3.已知4AB+=，则1+tantantantanABAB++=（）A．0B．1C．-1D．2【答案】D【分析】根据两角和的正切

公式，求得tantan1tantanABAB+=−，代入即可求解.【详解】因为4AB+=，可得tantantan()11tantanABABAB++==−，可得tantan1tantanABAB+=−，所以1tantantantan1(1tantan)tantan2ABA

BABAB+++=+−+=.故答案为：D.五、给值（式）求值利用三角函数值求值的关键：（1）角的范围的判断；（2）根据条件进行合理的拆角，如(),2()()=+−=++−等；（3）

尽量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范围缩小.【典型例题】【例1】已知()1sin205+=，则()sin250−的值为（）．A．2325−B．2325C．4625D．25【答案】A【分析】先利用诱导公式化为余弦，再利用二倍角公式即可.【详解】因为()1sin205+=，所

以()()()()223sin250sin24090cos2402sin20125−=+−=−+=+−=−．故选：A.【例2】若1cos(),63−=−那么sin()cos6++的值为（）A．33B．33−C．233−D．233【答案】B【分析】对sin()

cos6++化简，再利用两角差的余弦公式可得结果【详解】解：因为1cos(),63−=−所以sin()cos6++sincoscossincos66=++33sincos22=+133sincos22=+3sinsincoscos66

=+3cos6=−13333=−=−，故选：B【例3】若sin()3sin()+=−，且,2k（其中kZ），则tantan=（）A．12B

．12−C．2D．-2【答案】A【分析】结合两角和与差的正弦公式以及同角基本关系进行化简计算即可.【详解】因为sin()3sin()+=−，且()2kkZ、，所以sincossincos3sincos3sincos+=−，

所以sincos2sincos=，即tan2tan=，则tan1tan2=.故选：A【例4】已知,都是锐角，3sin=5a，()12cos13+=−，则sin=（）A．1B．

1514+C．1665−D．1665【答案】D【分析】由()sinsin=+−，结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得正确结论.【详解】由于0,022，所以0+，所以()()2245cos1sin,sin1

cos513=−=+=−+=，所以()sinsin=+−()()sincoscossin=+−+541231613513565=+=.故选：D【例5】已知31sinsin1,coscos22−=

+−=，则()cos−=（）A．32−B．12−C．12D．32【答案】A【分析】由三角恒等变换公式，两式平方再相加求解即可【详解】由题，()()2271sinsin3,coscos44−=+−=，故22227sin2sinsinsin341cos2coscoscos

4−+=+−+=，两式相加有()22sinsincoscos23−+=+，故()2cos3−=−故选：A【例6】已知，为锐角，4sin5=，()2cos2+=−，

则cos=（）A．3210B．210C．7210D．9210【答案】B【分析】利用同角三角函数基本关系式，求出cos,sin(+)，再利用角变换+=−，利用两角差的余弦公式求得答案．【详解】由是锐角，4sin5=，则23cos1sin5=−=，又，是锐角，得(0,)

+，又()2cos2+=−，则2sin()2+=，则coscos[()]=+−cos()cossin()sin=+++23243242252510−+=−+==210.故选：B．【例7】已知()2sin5−=，()1sin2+=，则tantan

=（）A．8−B．9−C．8D．9【答案】D【分析】根据已知求出9sincos20=，1cossin20=，两式相除即得解.【详解】由题得2sincoscossin5−=，（1）1sincoscossin2+

=，（2）（1）+（2）得9sincos20=，（3）（2）-（1）得1cossin20=，（4）（3）÷（4）得tantan=9.故选：D【例8】设()()coscos30xfxx=−，

则()()()1259fff+++的值为（）A．5932B．0C．5922D．592【答案】A【分析】由于()()603fxfx+−=，从而可求得答案【详解】因为()()()()coscos(60)60co

s30cos3060xxfxfxxx−+−=+−−−()()coscos(60)cos30cos30xxxx−=+−−()coscos60cossin60sincos30xxxx++=−()13coscoss

in22cos30xxxx++=−()()3cos303cos30xx−==−，所以()()()1259fff+++(1)(59)(2)(58)(29)(31)(30)fffffff=+++++++2

93cos30=+5932=，故选：A【例9】cos20cos40cos80=（）.A．18B．116−C．116D．18−【答案】A【分析】根据题意分析，构造二倍角正弦公式，最后由sin160sin20=约分，即可求解.【详解

】原式=sin20cos20cos40cos80sin20=2sin20cos20cos40cos802sin20=2sin40cos40cos804sin20=2sin80cos808sin2

0sin16018sin208==故选：A【对点实战】1.已知tan3=，()tan5−=，则tan的值为（）A．47−B．47C．18D．18−【答案】A【分析】利用两角和的正切公式可求得结果.【详解】()()()tantan534tantan1t

antan1537−++=−+===−−−−.故选：A.2.已知,42，,32，2sin3cos2cossin+=+，则tan()−=（）A．3B．1C．23+D．32−【答案】D【分析】先由已知条件

得到43−=−，再利用两角差的正切公式求解即可.【详解】由2sin3cos2cossin+=+，得2sin2cossin3cos−=−，即2sin2sin43−=−

，由,42，,32可得43−=−，则43−=−，故()1tan3tan321tan3−−==−+．故选：D．3.已知，0,2，()sin22sin+=，则tan的最大值为（）A．33B．2

3C．1D．32【答案】A【分析】根据题设可得2tan13tantan=+，而tan(0,)+，利用基本不等式即可求其最大值，注意等号成立的条件.【详解】()sin2sin2coscos2sin+=+，∴由题设，2sin2cos2sincos2sinsin(12

sin)=−=+，∵，0,2，∴2222sin22sincos2tan2tan112sincos3sin13tan3tantan====++++，且tan(0,)+，

∴223tan1313tan23tantantan==+当且仅当3tan3=时等号成立.故选：A4.下列式子结果为3的是（）①tan25tan353tan25tan35++；②()2sin35cos25cos

35cos65+；③1tan151tan15+−；④1tan151tan15−+.A．①②B．③C．①②③D．②③④【答案】C【分析】利用()()tantantan1tantan+=+−即可得①正确；cos65sin25=，进而利用正弦和角公式即可得

②正确；由tan451=与正切的和差角公式即可得③正确④错误.【详解】解：对于①，由于()()tantantan1tantan+=+−，所以tan25tan353tan25tan35++()()tan25351tan25tan353ta

n25tan35tan25353=+−+=+=；对于②，由于cos65sin25=，所以()()2sin35cos25cos35cos652sin35cos25cos35sin252sin603+=+==；对于③，因为tan451=，1tan15tan45tan15

tan6031tan151tan45tan15++===−−；对于④，因为tan451=，1tan15tan45tan153tan301tan151tan45tan153−+−===+；故选：C.5.已知23cos

sin2+=，1sinsincos3+=，则)os(c2+=（）A．49B．59C．536D．518−【答案】C【分析】将所给条件分别用二倍角公式变形可以得到2coscos22−=，22sinsin23+=，然后平方相加化简计算即可求得结果.【详解】由

23cossin2+=知2coscos22−=①，在1sinsincos3+=两边同时乘以2得22sinsin23+=②，将①②两个等式平方相加得()4414cos249+−+=+，解得()

5cos236+=.故选：C.6.若160,0,cos,sin2243423−+=−=，则cos2+=（）A．539B．33−C．539−D．33【

答案】A【分析】由coscos2442+=+−−展开计算正余弦值代入可得答案.【详解】因为10,cos243+=，所以3444+，22sin+43=，因为02−，所以4

422−，又因为6sin423−=，所以3cos423−=，而coscos+2442+=−−，cos+cossin+sin442442=−+−

132265333339=+=.故选：A.7.已知()sin23sin2+=，则()()tantan++=−+（）A．12B．34C．32D．2【答案】D【分析】将()()()2+=+++−

+，()()2=++−−+代入等式()sin23sin2+=，化简整理后可求得()()tantan++−+的值.【详解】()()()sin2sin+=++−

++()()()()coscossinsin++−++++−+=，()()sin2sin=++−−+()()()()coscossinsin

++−+−++−+=，由()sin23sin2+=可得()()()()2scincosossin++−+=++−+，因此，()()()()()()2ctonsnassintcsaoin++=++−+++++=−−.故

选：D.8.sin，sin是方程2114412loglog016xx−+=的两个实根，则coscos的取值范围是（）A．11,22−B．11,22−C．10,2D．1,02−【答案】A【分析】可通过韦达定理求出1sins

in2=，再利用()()cos,cos+−的展开式进一步确定范围即可【详解】由题可知，1112441loglog2xx+=，即()11241log2xx=，解得1212xx=，即1sinsin2=，又()()113cosco

scossinsincoscos1,1coscos,222131coscoscossinsincoscos1,1coscos,222+=−=−−−

−=+=+−−综上所述，11coscos,22−故选：A六、给值求角三角函数式的化简要遵循“三看”原则：1.拆“角”，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；2.化函数

，“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；3.“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向.【典型例题】【例1】已知5sin5=，()10sin10−=−，,均为锐角，则角等于A．5π12B．π3C．π4D．π6【答案】C【分析】由同角三角函数

的平方关系和,的范围求出()sin−和cos，再利用正弦两角差公式求出sin，从而确定出的值.【详解】解：因为,均为锐角，所以22−−.又()10sin10−=−，所以()310cos10−=.又5sin5=，所以25co

s5=.所以()()()sinsinsincoscossin=−−=−−−=5310251025105102=−−=.所以π4=.故选：C.【例2】已知()()11tan,0,,

tan,,023==−，则+=（）A．34B．4C．4−D．34−【答案】D【分析】根据题意得0,,π,22−−，故()π,0+−，进而根据正切的和角公

式计算即可得答案.【详解】解：因为()()11tan0,0,,tan0,,023==−，所以0,,π,22−−，所以()π,0+−，所以()11tantan23tan1111

tantan123+++===−−，所以34+=−故选：D【例3】已知tan，tan是方程2430xx−−=的两根，且,(0,)，则+的值为（）A．4B．34C．54

D．74【答案】C【分析】由tan，tan是方程2430xx−−=的两根，可得tantan4{tantan3+==−，然后结合两角和的正切公式及角的范围可求.【详解】tan，tan是方程2430xx−−=的两根得tantan4tantan3

+==−故tan0,tan0,(0,)故,,,22+故tantan4tan()11tantan1+3++===−54+

=故选：C.【例4】已知a为正整数，tan1lga=+，tanlga=，且4=+，则当函数()sin3cos([0,])fxa=−取得最大值时，=（）A．2B．23C．56D．

43【答案】C【分析】利用正切的差角公式，结合已知条件求得参数a；再利用辅助角公式化简()fx，根据其最值，求得即可.【详解】由条件知4−=，则由tan()1−=，得tantan(1lg)lgtan()11tantan1(1lg)lgaaaa

−+−−===+++，即(1lg)lg0aa+=，解得1a=或110a=（舍去），则()sin3cos2sin3fx=−=−．因为[0,]，所以2,333−−

．则当32−=，即56=时，函数()fx取得最大值，故选：C．【例5】已知tantan、是方程23340xx++=的两个根，且22−，22−，则+为（）A．3B．23−C．3或23

−D．3或43【答案】B【分析】根据tantan、是方程23340xx++=的两个根，利用韦达定理得到tantan33,tantan4+=−=，再由()tantantan1tantan++=−求值，然后根据22−，22−，及tan

tan0,tantan0+，确定+范围再求角.【详解】因为tantan、是方程23340xx++=的两个根，所以tantan33,tantan4+=−=，所以()tant

an33tan31tantan14+−+===−−，因为22−，22−，且tantan0,tantan0+，tan0,tan0，所以02−，02−

，所以0−+，所以23+=−.故选；B【例6】．已知△ABC中，(1tan)(1tan)2++=AB，则角C等于A．30°B．45°C．135°D．150°【答案】C【分析】利用两角和的正切公式化简得出()()1tantant

an10ABC−+=，求出tan1=−C，即可确定C.【详解】(1tan)(1tan)21tantantantan2ABABAB++=+++=tantantantan()1tantanABCABAB+=−+=−−()1tantan1tantantan2A

BABC+−−=即()()1tantantan10ABC−+=由于1tantan0AB−，则tan1135CC=−=故选：C【例7】设，，且tan=，则下列结论中正确的是A．B．C．D．【答案】C【详解】tan=.因为，，所以．故选C．【对点实战】1.△ABC中，已知tanA=13，

tanB=12，则∠C等于（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】D【分析】利用三角形内角和为180，可得：tantan()tan(+)CABAB=−−=−，利用两角和公式和已知条件，即可得解.【详解】在△ABC中，11

tantan32tantan()tan(+)=-1111tantan132ABCABABAB++=−−=−=−=−−−，所以135C?.故选：D.2.在ABC中，33tantantantan33ABAB++=，则角C等

于（）A．23B．3C．56D．6【答案】D【分析】根据33tantantantan33ABAB++=，利用()tantantan1tantanABABAB++=−求解.【详解】因为33tantantantan33ABAB

++=，所以()()3tantan1tantan33tan1tantan1tantan3ABABABABAB−++===−−−，因为()3tantan3CAB=−+=，所以6C=.故选：D3.．已知5si

n5=，且为锐角，3tan=−，且为钝角，则+的值为（）A．4B．34C．3D．23【答案】B【分析】计算得到1tan2=，()tan1+=−，根据322+得到答案.【详解】5sin5=，且为锐角，故1tan2

=，()13tantan2tan131tantan12−++===−−+.02，2，故322+，故34+=.故选：B.4.已知方程()233101xaxaa+++=的两根分别为tan、tan，且，22,

−，则+等于（）A．8B．34−C．8或38−D．4或34−【答案】B【分析】由韦达定理和两角和的正切公式可得tan()1+=，进一步缩小角的范围可得(,0)+−，则+可求．【详解】解：方程23310xaxa+++=两根tan、tan，t

antan3a+=−，tantan31a=+，tantantan()11tantan++==−，又Q，(2−，)2，tantan30a+=−，tantan310a=+，tan0∴，tan0，

\，(2−，0)，(,0)+−，结合tan()1+=，34+=−∴，故选：B．5.若5sin5A=，10sin10B=，且A，B均为钝角，则AB+的值为A．73B．74C．32D．65【答案】B【分析】由条件利用同角三角

函数的基本关系，求得cosA和cosB的值，可得cos（A+B）＝cosAcosB﹣sinAsinB的值，再根据A+B的范围，求得A+B的值．【详解】A，B均为钝角且5sin5A=，10sin10B=，225cos1sin5AA=−−=−，23

10cos1sin10BB=−−=−，()25310coscoscossinsin510ABABAB+=−=−−51025102−=①，又2A，2B，2AB+②，由①②

，知74AB+=.故选B六、竞赛与自主招生【例1】化简32cos202tan20−所得的结果是（）A．14B．12C．32D．2【答案】B【分析】先切化弦并整理得3cos2032cos202tan22sin4002sin20−−=，再结合()si

n40sin6020=−展开整理即可得答案.【详解】解：3cos203cos204sin20cos202cos202sin202s32cos202tan2in200−=−−=()3cos202sin60203cos202sin402sin202sin20−−−==()3cos202sin60

cos20cos60sin202sin20−−=3cos203cos20sin20sin2012sin202sin202−+===.故选：B【例2】求23445coscoscoscoscoscos111111111111=

A．512B．412C．512−D．412−【答案】A【分析】直接利用二倍角公式化简求解即可．【详解】解：2345coscoscoscoscos111111111123452sincoscoscoscos

cos1111111111112sin11=223452sincoscoscoscos11111111114sin11=43452sincoscoscos111111118sin11=3352sincoscos11111116sin11

=652sincos111132sin11=10sin1132sin11=132=．故选：A．【例3】已知锐角ABC，且tantan3tantanABAB+=，则tantantanABC的最小值为_________．【答案】12【分析】

利用诱导公式以及三角形的内角和将tanC转化为tan,tanAB的表示，结合已知条件有()23tantantantantantantan1ABABCAB=−，利用换元法以及二次函数的性质求解出最小值.【详解】因为()()()tantan

tantantantantan1ABCABABAB+=−+=−+=−，所以()23tantantantantantantan1ABABCAB=−，因为tantan3tantan2tantanABABAB+=，所以4tantan9AB，又ABC为锐

角三角形，所以()23tantantantan0tant1tananABCABAB−=，所以tantan1AB，令tantan1ABt=，所以22tantant331111an24ABCttt=−−−+=，又2111,024t

−−−，所以2111024t−−+，所以当1102t−=时，即tantan2AB=时，tantantanABC有最小值3=1214，故答案为：12.结束