【文档说明】【精准解析】河南省非凡联盟2020届高三调研考试数学（理）试题.doc，共(23)页，1.976 MB，由小赞的店铺上传

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非凡联盟2019-2020学年高三年级调研考试数学（理）卷一、选择题1.已知集合121xAxx−=+，23Bxx=−，则AB=（）A.11,3−B.(1,3−C.(2,11,3−−D

.()12,1,33−−−【答案】D【解析】【分析】解分式不等式求得集合A，由此求得AB.【详解】由121xx−+得()()()12111301132011110xxxxxxxxxx−−++−−−−−−==++++，解得1x−或13x−.∵1Axx=−或13

x−，23Bxx=−，∴()12,1,33AB=−−−.故选：D【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.若复数12,zz在复平面内对应的点关于实轴对称，且

21zi=+，则2151zz=+（）A.1i+B.52i−C.2i−D.13i+【答案】D【解析】【分析】根据两个复数对应点的对称关系，求得1z，由此利用复数除法运算，化简求得正确结果.【详解】由于复数12,zz在复平面内对应的点关于实轴对称，且21zi=+，所以11zi=−，故()

()()()215525555151312225iiziiiziii++++====++−−+.故选：D【点睛】本小题主要考查复数对应点、实轴等概念，考查复数除法运算，属于基础题.3.为了庆祝第一个农民丰收节，西部山区某村统计了自2011年以来每年的年总收入，其中2018年统计的是1月到8

月的总收入，统计结果如图所示.根据图形，下列四个判断中，错误的是（）A.从2012年起，年总收入逐年增加B.2017年的年总收入在2016年的基础上翻了番C.年份数与年总收入成正相关D.由图可预测从2014年起年总收入增长加快【答案】B【解析】【分析】根

据条形图，对选项逐一分析，由此确定判断错误的选项.【详解】从图形可以看出，从2012年起，年总收入逐年增加，A是正确的；年份数与年总收入成正相关，C是正确的；从2014年起总收入增长加快，D是正确的；2017年的年总收入比2016年增加了400万元，并没有翻

一番，所以选项B是错误的.故选：B【点睛】本小题主要考查条形图的分析，属于基础题.4.已知nS是等差数列na的前n项和，3728aa+=，11187S=，则20a=（）A.53B.56C.59D.62【答案】C【解析】【分析】将已知条

件转化为1,ad的形式列方程组，解方程组求得1,ad的值，进而求得20a.【详解】由题知，37111128281111101872aaaddSa+=+==+=，解得123ad==，

所以()202201359a=+−=.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式的基本量计算，属于基础题.5.已知双曲线22122:13yxCmm−=+与222:132xyC−=的渐近线相同

，则曲线1C的方程为（）A.22169yx−=B.22196yx−=C.22136yx−=D.22147yx−=【答案】A【解析】【分析】先求得2C的渐近线，然后根据12,CC的渐近线相同列方程，解方程求得m的值.【详解】2C的渐近线方程为63yx=，1C的渐近线方程为223m

yxm=+，所以22336mm=+，即22233mm=+，∴26m=.故选：A【点睛】本小题主要考查同双曲线渐近线有关计算，属于基础题.6.甲、乙、丙、丁、戊、己6人参加A、B、C社团的纳新，其中甲、乙、丙均只报名了

A社团，丁、戊、己均报名了A、B、C三个社团，若这三个社团都只纳入一名新成员，则所有的方案的种数是（）A.18B.20C.24D.36【答案】C【解析】【分析】根据甲社团在“甲、乙、丙三人中选一人”和“不在甲、乙、丙三人中选，在丁、戊、己中选一人”

分成两者情况进行分类讨论，由此求得所有方案的种数.【详解】若A社团在甲、乙、丙三人中选一人，则所有的情况为123318CA=种；若A社团不在甲、乙、丙三人中选，在丁、戊、己中选一人，则所有的情况为336A=种，故所有的方

案有18624+=种.故选：C【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，考查实际生活中的计数问题，属于基础题.7.如图，在AOB中，2AOB=，2OB=，点C为AB的中点，13OPOC=，则OPOB的值为（）A.23B.23−C.1−D.1

【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算化简OPOB，结合数量积的运算，求得OPOB的值.【详解】()()2211112236663OPOBOCOBOAOBOBOAOBOB==+=+==.故选：A【点睛】本小题主要考查平面向

量线性运算和数量积运算，属于基础题.8.函数()2lnfxxax=+的图象在1x=处的切线过点()0,2，则a=（）A.2B.2−C.3D.3−【答案】D【解析】【分析】先求得切点坐标，然后求得切线的斜率，写出切线方程，并将点

()0,2代入，由此求得a的值.【详解】当1x=时，()11f=，故切点为()1,1.()2afxxx=+，斜率()12kfa==+，所以切线方程为()()121yax−=+−，因为切线过点()0,2，所以()()21201

a−=+−，解得3a=−.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查根据切线经过点的坐标求参数值，属于基础题.9.十五巧板，又称益智图，为清朝浙江省德清知县童叶庚在同治年间所发明，它能拼出草木、花果、鸟兽、鱼虫、文字等图案.十五巧板由十五块板组成一个大正方形（如图1），

其中标号为2,3,4,5的小板为等腰直角三角形，图2是用十五巧板拼出的2019年生肖猪的图案，则从生肖猪图案中任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（）A.59B.23C.49D.12【答案】C【解析】【分析】求得大正方形的面积以及阴影部分的面积，然后利用几何

概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】设图1中大正方形的边长为6，则大正方形的面积为36S=，由图2可知，阴影部分中的图案是由图1中的标号为4,5,15,3,13组成的，其中标号为4与5的图案组成一个边长为2的正方形，其面积为4；标号为15的图案可视为长

为4、宽为2的长方形面积一半，即面积为4；标号为3的三角形面积为14242=；标号为13的图案可视为长为4，宽为2的长方形面积一半，即面积为4，所以阴影部分面积为4416S==阴影.由几何概型的概率公式得所求概率为164369SPS===阴影.故选：C【点睛】本小题主要考查面积型几何概型概率

的计算，考查中国古代数学文化，属于中档题.10.如图是某圆锥的三视图，A，B为圆锥表面上两点在正视图中的位置，其中B为所在边中点，则在该圆锥侧面上A，B两点最短的路径长度为（）A.5B.6C.3D.3【答案】A【解析】【分析】根据三视图求出圆锥母线长，并将圆锥侧面展开，在展开图中,AB两点距

离，即为所求.【详解】设圆锥的顶点为S，由三视图可得母线21(3)2+=，将圆锥沿SA展开如下图所示扇形，扇形圆心角为22=，所以圆锥的侧面展开图为半圆，连AB，AB长为圆锥侧面上A，B两点最短的路径，,2

ASBB=为母线中点，1SB=，225ABSASB=+=.故选:A.【点睛】本题考查圆锥表面上两点距离的最小值，应用侧面展开图是解题的关键，属于中档题.11.已知数列na满足113a=，141nnnaaa+=+，则数列1nnaa+的前10项和10S=（）A.8105B.

113C.10129D.11141【答案】C【解析】【分析】先对已知条件变形可得1114nnaa+−=，进而可得141nan=−，利用裂项相消法可求10S.【详解】因为141nnnaaa+=+，所以1114nnaa+−=，所以数列1na是

首项为3、公差为4的等差数列，所以141nna=−，所以141nan=−，所以()()11111414344143nnaannnn+==−−+−+，所以1011111111110437471143943129S=−+−++−=

，故选：C.【点睛】本题主要考查裂项相消法求和，根据条件求解出数列的通项公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.12.已知函数2()sin()13xfxx=+−（其中0）的图像经过点(3,2)P，令()na

fn=，则1232019aaaa++++=A.2019B.20192−C.6057D.60572−【答案】B【解析】【分析】由题意易得，进而得2πcos13nnan=−，分别计算32313,,kkkaaa−−，观察规律即可得解.【详解】由(

)2πsin13xfxx=+−()0π的图象经过点()3,2P，则()()33sin2π+φ13sin12f=−=−=，所以sin1=，结合0π可得π2=，2πcos13nnan=−，所以()321332122kakk−=−−−=−，()3

1131311222kakk−=−−−=−−，331kak=−，所以3231332kkkaaa−−++=−，所以12320193201967322aaaa++++=−=−，故选B.【点睛】本题主要考查了数列的周期性，属于中档题.二、

填空题13.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且()262,1,7,10,xxfxxx−−=+−则()122ff+=______.【答案】694【解析】【分析】结合函数的奇偶性，利用分段函数解析式，求得所求表达式的值.【详解】()()()

2111692276222224ffff+=−+−=−++−−=.故答案为：694【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查函数的奇偶性，属于基础题.14.已知变量,xy满

足3403400xyxyx+−+−，则1yx+的最小值为_______．【答案】12【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，由1yx+表示点(),xy与定点()1,0D−连线的斜率，结合图象可得最

优解,利用斜率公式,即可求解.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中()()40,,1,1,0,43ABC，又由1yx+表示点(),xy与定点()1,0D−连线的斜率，当过点B时,此时直线斜率最小为()101112

−=−−．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义,其中求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二找、三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键．15.已知抛物线2

8yx=的焦点为F，准线与x轴的交点为,MN为抛物线上的一点，且满足2NFMN=，则点F到直线MN的距离为______.【答案】23【解析】【分析】利用抛物线的定义，求得cosNMF，由此求得sinNMF，进

而求得F到直线MN的距离.【详解】由抛物线28yx=，可得4MF=，设点N到准线的距离为d.由抛物线定义可得dNF=.因为2NFMN=，由题意得1cos2NFdNMFMNMN===，所以213sin1

22NMF=−=.所以点F到MN的距离为3sin4232MFNMF==.故答案为：23【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.16.已知正方体1111ABCDABCD−中，5AB

=，点P在线段11AC上，若直线1BB与直线CP所成角的正切值为225，则平面PBD截正方体1111ABCDABCD−所得的截面面积为______.【答案】9512【解析】【分析】作出截面PBDMNDB，根据直线1BB与直线CP所成的角的正切值求得MN的长，求得截面等腰梯形MN

DB的高，由此求得截面面积.【详解】如图，过P作MNBD∥，则11MNAC⊥.直线1BB与直线CP所成的角为1PCC，111122tan55PCPCPCCCC===，122PC=，所以42MN=，截面MNDB是等腰梯形，52BD

=，26BM=，所以等腰梯形MNDB的高为252421022622−−=，所以截面面积为4252102951222+=.故答案为：9512【点睛】本小题主要考查正方体截面面积的计算，考查根据线线角求边长，属于中档题.三、解答题17.在ABC中，角A，

B，C的对边分别为a，b，c且3sincos3caBbA+=.（1）求角B；（2）若14b=，ABC的面积为153，求ABC的周长.【答案】（1）2π3B=；（2）30.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化

为角，结合()sin?sinCAB=+展开化简可得tanB，从而得解；（2）由面积公式1SsinB2ac=可得ac，结合余弦定理可得ac+，从而得解.【详解】(1)由3sincos3caBbA+=及正弦定理可得3sinsinsinsincos3CABBA+=

，即()3sinsinsinsincos3ABABBA++=,整理得3sincossin03ABB+=，因为0πA,sin0A,所以3cossin03BB+=,tan3,B=−2π0π3BB=，.（2）由2π3B=及△ABC的面积为153，得12πsin15

323ac=，所以60ac=.由2π,143Bb==，由余弦定理可得：222222π142cos3acacacac=+−=++=()()2260acacac+−=+−，所以16ac+=，所以△ABC的周长为30.【点睛】本题主要考查了三

角形的正余弦定理及面积公式的应用，属于基础题.18.已知平行四边形ABCD中，135BAD=，4DA=，22DC=，E是线段AD的中点，现沿EC进行翻折，使得D与E重合，得到如图所示的四棱锥EABCE−.（1）证明：CE⊥平面AEE；（2）若AEE是等边三角形，求平面

AEE和平面EBC所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）217【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得CE的长，由此利用勾股定理证得CEDE⊥，从而得到CEEA⊥、'CEEE⊥，由此证得CE⊥平面AEE.（2）建立空间直角坐

标系，利用平面AEE和平面EBC的法向量，求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：∵E是线段AD的中点，∴2DEEA==，在EDC中，由余弦定理得，22222cos4584222242CEDCEDDCED=+−

=+−=，∴2CEDE==，∵2228CEDEDC+==，∴CEDE⊥，∴CEEA⊥，CEEE⊥，AEEEE=，∵AE平面AEE，EE平面AEE，∴CE⊥平面AEE.（2）取AE的中点O，以O为坐标原点，过点O与CE平行的直线为x轴，EA

所在直线为y轴，OE所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系.设x轴与BC交于点M，∵2EAEEEA===，∴3OE=，易知1OEOACM===，∴3BM=，则()0,0,0O，()0,0,3E，()0,1,0E−，()2,1,0C−，()2,0,

0M，()2,3,0B，()0,4,0BC=−，()2,1,3EC=−−，∵CE⊥平面AEE，∴可取平面AEE的法向量()11,0,0n=ur，设平面EBC的法向量()2,,nxyz=，平面AEE和平面EBC所成的锐二面角为，则2200nBCn

EC==，∴40230yxyz=−−=，得032yxz==，令1z=，则23,0,12n=，从而12123212cos7712nnnn===，故平面AEE和平面EBC所成的锐二面角的余弦值为217.【点睛】本小题主要考查线面垂直

的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.淘汰落后产能，对生产设备进行升级改造是企业生存发展的重要前提.某企业今年对旧生产设备的一半进行了升级，剩下的一半在今后的两年内完成

升级.为了分析新旧设备的生产质量，从新旧设备生产的产品中各抽取了100件作为样本，对最重要的一项质量指标进行检测，该项质量指标值落在)25,45内的产品为合格品，否则为不合格品.检测数据如下：表1：日设备

生产的产品样本频数分布表质量指标)20,25)25,30)30,35)35,40)40,4545,50频数3164412223表2：新设备生产的产品样本频数分布表质量指标)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45

45,50频数1205216101（1）根据表1和表2提供的数据，试从产品合格率的角度对新旧设备的优劣进行比较；（2）面向市场销售时，只有合格品才能销售，这时需要对合格品的品质进行等级细分，质量指标落在)30,35内的定

为优质品，质量指标落在)25,30或)35,40内的定为一等品，其它的合格品定为二等品.完成下面的22列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与新旧设备有关；旧设备新设备合

计优质品及一等品二等品及不合格品合计（3）优质品每件售价200元，一等品每件售价160元，二等品每件售价120元根据表1和表2中的数据，用该组样本中优质品、一等品、二等品各自在合格品中的频率代替从合格产

品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望（结果保留整数）.附：()20PKk0.1500.1000.0500.0250.0100k2.0722.7063.8415

.0246.635()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++.【答案】（1）新设备的性能更高.（2）见解析，有（3）见解析，347【解析】【分析】（1）分别计算出新、旧设备生产的产品

的合格率，由此确定新设备的性能更高.（2）填写22列联表，计算2K的值，由此判断有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.（3）利用相互独立事件概率计算公式，计算出的分布列，并由此求得数学期望.【详解】

（1）由表1可知，旧设备生产的产品合格率约为944710050=，由表2可知，新设备生产的合格率约为984910050=.新设备生产的产品合格率更高，所以新设备的性能更高.（2）由表1和表2，得22列联表旧设备新设备合计优质品及一

等品7288160二等品及不合格品281240合计100100200将22列联表中的数据代入公式计算得：()2220072128828810010016040K−==，因为86.635，所以有99%的把握认为该企业生产

的这种产品的质量指标值与设备改造有关.（3）将表1和表2合并，得质量指标)20,25)25,30)30,35)35,40)40,4545,50频数4369628324由表可知，从合格品中随机抽取一件产品，是优等品的频率（即概率）是12，从合格品中随机抽取一件产品，是一等品的频率

（即概率）是13，从合格品中随机抽取一件产品，是二等品的频率（即概率）是16.由已知得随机变量的可能取值为240,280,320,360,400.()1112406636P===，()121112803

69PC===，()1211115320263318PC==+=，()12111360233PC===，()111400224P===.所以随机变量的分布列为：240280320360400()P136195181314所以()115

112402803203604003473691834E=++++.【点睛】本小题主要考查22列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的计算，考查数据分析与处理的能力，属于中档题.20.设椭圆()2222:10xyCabab+=的右焦点为F，以原点O为圆心，

短半轴长为半径的圆恰好经过椭圆C的两焦点，且该圆截直线10xy+−=所得的弦长为2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过定点()2,0P的直线交椭圆C于两点A、B，椭圆上的点M满足OAOBOM+=uuruuuruuur，试求OAB的

面积.【答案】（1）2212xy+=（2）64【解析】【分析】（1）根据圆和椭圆的位置关系得到bc=，根据圆截直线10xy+−=所得的弦长求得b，由此求得a，进而求得椭圆C的标准方程.（2）设过点P的直线方程为2xmy=+，联立直线的方程和椭圆C的方程，消去x并写出判别式和根与系数关系，由OAOB

OM+=uuruuuruuur求得M点坐标，将M点坐标代入椭圆方程，结合根与系数关系进行化简，由此求得2m的值，从而求得12yy−的值，进而求得三角形OAB的面积.【详解】（1）以原点为圆心，短半轴长为半径的圆的方程为222xyb+=.∵圆22

2xyb+=过椭圆C的两焦点，∴bc=.∵圆222xyb+=截直线10xy+−=所得的弦长为2.∴22001222b+−−=，解得1b=.∴222222abcb=+==.∴椭圆C的标准方程为2212xy+=

.（2）设过点P的直线方程为2xmy=+.,AB两点的坐标分别为()11,xy，()22,xy，联立方程22122xyxmy+==+，得()222420mymy+++=，2281602mm=−，∴12242myym+=−

+，12222yym=+，∵OAOBOM+=uuruuuruuur，∴点()1212,Mxxyy++，∵点M在椭圆C上，∴有()()22121222xxyy+++=，即()()221212422myyyy++++=，∴()()()22121228

140myymyy+++++=，即()2222442814022mmmmmm−++−+=++，解得214m=，∴()2121212644yyyyyy−=+−=，∴1216224OABSyy=−=.【点睛】本小题主要考查根据直线和圆相交所得弦长求参数，考查椭圆标准

方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积问题，考查运算求解能力，属于中档题.21.已知函数()()21xfxxaxe=−+，()()11xgxxe−=+−.（1）若函数()fx有一正一负两个极值点，求实数a的范围；（2）当02a

时，证明：对12,xxR，()()12fxgx.【答案】（1）0a.（2）见解析【解析】【分析】（1）求得函数的导函数()()221xfxxaxae=+−+−，构造函数()()221hxxaxa=+−+−，结合()f

x有一正一负两个极值点则()hx有一正一负两个零点列不等式，解不等式求得a的取值范围.（2）利用导数求得()gx的最大值为0；通过结合导数，对a进行分类讨论，求得()fx的最小值大于零，由此证得对12,xx

R，()()12fxgx.【详解】（1）对()()21xfxxaxe=−+求导，得()()221xfxxaxae=+−+−，令()()221hxxaxa=+−+−，因为函数()fx有一正一负两

个极值点，所以函数()hx有一正一负两个零点，则()010ha=−，解得0a.（2）对于()()11xgxxe−=+−，求导得()xxgxe−=，当0x时，()0gx；0x时，()0gx，所以()gx在(),0−上单

调递增，在()0,+上单调递减，所以0x=时，()gx取得最大值，()()max00gxg==.由（1）知()()221xfxxaxae=+−+−，令()()2210hxxaxa=+−+−=

，解得1x=−或1xa=−.①当02a时，11a−−，则(),1x−−时，()0hx，()fx单调递增；()1,a1x−−时，()0hx，()fx单调递减；()1,xa−+时，()0hx，()fx单调递增.所以1

x=−时，()fx取得极大值，()()112fae−−=+，因为0a，所以()()1120fae−−=+.1xa=−时，()fx取得极小值，()()112afaae−−=−，因为2a，所以()()1120afaae−−=−.又当x→−时，210xax−+

，0xe，所以()0fx，当x→+时，210xax−+，0xe，所以()0fx因为()max0gx=，所以()()maxfxgx.②当0a=时，()()210xfxxe=+恒成立，综上知，当02a时，对12,xxR，()()12

fxgx.【点睛】本小题主要考查根据极值点求参数，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.22.在平面直角坐标系中，已知直线l过()1,0M且倾斜角为56，以坐标原点为极点，以x轴的正半

轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cossin22=.（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C交于,PQ，求11MPMQ+.【答案】（1）222xyy+=（2）31+【解析】【分析】（1）结合二倍角公式以及极坐标和直角坐标转化公式，求得曲线C的直角

坐标方程.（2）求得直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，写出根与系数关系，根据直线参数的几何意义，求得11MPMQ+.【详解】（1）∵4cossin22=，∴2sin=，即22sin=，将222xy

=+，siny=代入上式得，222xyy+=，∴曲线C的直角坐标方程为222xyy+=.（2）由题知直线l的参数方程为31212xtyt=−=（t为参数），代入222xyy+=整理得()23110

tt−++=，设点,PQ对应的参数分别为12,tt，∴12130tt+=+，1210tt=，∴10t，20t，∴1212121231MPMQttttMPMQtttt+++===+.【点睛】本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标系，考查利用直线参数方程中参数的几何意义求值，属于

中档题.23.已知函数()21fxx=+.（1）求不等式()()13fxfx+−的解集；（2）若对任意xR，不等式()()235fxfxaa+++恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）33|44xxx−或（2）()6

,1−【解析】【分析】（1）对不等式()()13fxfx+−利用零点分段法去绝对值，由此求得不等式的解集.（2）先利用绝对值三角不等式，求得()()3fxfx++的最小值为6，由此通过解不等式256aa+求出a的取值范围.【详解】（1）

不等式()()13fxfx+−即为21213xx++−，等价于1221213xxx−−−−+或112221213xxx−+−+或1221213xxx++−，解得34x−或34x，∴原不等式的解集为33|44xxx−或.（2）∵(

)()()3212721276fxfxxxxx++=++++−+=，当且仅当()()21270xx++，即7122x−−时，()()3fxfx++取最小值6，∴256aa+，解得61a−，∴实数a的取值范围为()6,1−.

【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式求参数的取值范围，属于中档题.