【文档说明】四川省绵阳南山中学2024届高三上学期10月月考试题 数学（理）试题 含解析.docx，共(21)页，1.146 MB，由小赞的店铺上传

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绵阳南山中学高2021级高三上期10月月考试题理科数学命题人：杜晓英审题人：周莉莎一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2=+2

8<0Axxx−，4,2,0,2,4B=−−，则AB=（）A.2,0−B.4,2,0,2−−C.0,2D.2,0,2,4−【答案】A【解析】【分析】解出集合A中的不等式，然后根据集合的交集运算可得答案.

【详解】因为2=+28<0=4<<2Axxxxx−−，4,2,0,2,4B=−−，所以2,0AB=−.故选：A2.已知ab，则（）A.22abB.eeab−−C.()()ln1ln1ab++D.aabb【答案】D【解析】【分析

】根据反例可判断AC，根据不等式的性质，结合函数的单调性即可判断BD.【详解】对于A，若1,0ab=−=，显然满足ab，但不能得到22ab，故A错误，对于B，由于ab，所以ab−−，又exy=为单调递增函数，所以eeab−−，故B错误，对于C，若1,0

ab=−=，显然满足ab，()()ln1ln2ln1ln10ab+=+==，故C错误，对于D，若0ab，则22,aaabbb=-=-，函数2yx=−在(),0−上单调递增，所以22aaabbb=−=−，当0ab，则22,aaab

bb==，函数2yx=在)0,+上单调递增，所以22aaabbb==，当0ab，则22aaabbb=−=，综上可知D正确，故选：D3.设正项等比数列na的前n项和为nS，若321238

Saa=+，则公比q=（）A.2B.32−C.2或32−D.2或32【答案】A【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比.【详解】由321238Saa=+，有()12321238aaaaa++=+，即321260aa

a−−=．由等比数列的通项公式得2111260aqaqa−−=，即2260qq−−=，解得2q=或32q=−，由数列为正项等比数列，∴2q=．故选：A4.如图所示，在ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE=（）A

.1136BABC−−B.1163BABC−−C.5163BABC−−D.5163BABC−+【答案】B【解析】【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】()111111323263DEDAAECAABCBBABABABC=+=+=+−=−−.故选：B5.纳皮尔是苏

格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T（℃），空气的温度是0

T（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式()()310304loglogtTTTT=−−−得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（

）参考数据：lg20.301，lg30.477.A.3.048分钟B.4.048分钟C.5.048分钟D.6.048分钟【答案】C【解析】【分析】先将已知数据代入公式，再用对数运算性质得到34log4

，用换底公式将3为底的对数换成10为底的对数，代入已知对数值计算即可.【详解】依题意，170T=，010T=−，10T=，代入公式得：()()()31030334loglog4log80log20tTTTT=−−−=−33804lg44log4log420lg3===8lg280.3015

.048lg30.477=（分钟），故选：C.6.已知命题p：函数()afxx=在()0,+上单调递减；命题:qxR，都有220axxa−+．若pq为真命题，pq为假，则实数a的取值范围为（）．A.()1,0−B.

0,1C.(()10,−−+,D.((),11,−−+【答案】A【解析】【分析】根据题意求出,pq为真命题时的范围，进而根据,pq中一真一假分两类情况讨论即可求解.【详解】若命题p为真，则a<0，若q为真，则201440aaa−=−，由于pq为真命题，pq为假

，则,pq中一真一假若p真q假，则满足：0101aaa−−；若q真p假，则满足：01aa−，此时a无解，综上10a−故选：A7.函数()2ln1cosxyx+=的图象可能是（）A.B.C.D.【

答案】A【解析】【分析】从图像利用排除法进行求解：先分析奇偶性，排除B；计算()00f=排除C；根据0x+→时，()0fx；排除D.即可得到答案.【详解】对于()()2ln1cosxfxx+=，定义域为|,2xxkkZ

+关于原点对称.因为()()()()()()22ln1ln1coscosxxfxfxxx+−+−===−，所以()fx是偶函数，排除B.当0x=时，()2ln1000cos01y+===，排除C；当0x+→时，

()2ln10x+，cos0x，()0fx；排除D.故选：A.8.已知()3sincossin2−+−=，则22sinsincos−=（）A.2110B.32C.32D.2【答

案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简可得tan的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】解：由诱导公式可得()3sinsincos2cos2=−+−=−，所以，tan2=-.

因此，2222222sinsincos2tantan102sinsincos2sincostan15−−−====++.故选：D.9.已知0，函数()sin()4fxx=+在(,

)2上单调递减，则的取值范围是（）A.15[,]24B.13[,]24C.1(0,]2D.(0,2]【答案】A【解析】【详解】由题意可得,322,22442kkkZ++++，1542,24kkkZ++，0，1

524．故A正确．考点：三角函数单调性．10.若曲线()lnyxa=+的一条切线为yexb=+，其中a，b为正实数，则2eab++的取值范围是（）A.)2,+B.),e+C.)2,eD.2,2ee++【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出2ba

e=−，2ae，再利用基本不等式求解.【详解】设切点为()00,xy，则有()0001,2lnexabaexaexb=+=−+=+，∵0b，∴2ae，122eaaba+=++，（当且仅当1a=时取等）故选：A【点睛

】本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.定义在R上的奇函数()fx满足(2)(2)fxfx+=−，且当[0,2]x时，1π()sin24fxx=，则方程1

()8fxx=−在[4,20]−上所有根的和为（）A.32B.48C.64D.80【答案】C【解析】【分析】根据奇函数性质判断出函数的周期，利用函数的对称性、数形结合思想进行求解即可.【详解】因为()fx是奇函数，所以由(2)(2)(4)()()

(8)(4)()fxfxfxfxfxfxfxfx+=−+=−=−+=−+=，因此函数的周期为8，当[0,2]x时，1π()sin24fxx=，所以当[2,0)x−时，()()1π1πsinsin2424fxfxxx=−−=−−=，当(2,4]x时，

由(2)(2)(4)()fxfxfxfx+=−−=，所以()()1π1π()4sin4sin2424fxfxxx=−=−=，的所以当[4,2)x−−时，()()1π1πsinsin2424fxfxxx=−−

=−−=，于当xR时，1π()sin24fxx=，该函数关于点(8,0)对称，而函数18yx=−也关于该点对称，在同一直角坐标系内图象如下图所示：由数形结合思想可知：这两个函数图象有8个交点，即共有四对关于(8,0)对

称的点，所以方程1()8fxx=−在[4,20]−上所有根的和为42864=，故选：C【点睛】关键点睛：方程根的问题转化为两个函数图象交点问题是解题的关键.12.若正实数1x是函数()2eexfxxx=−−的一个零点，2x是函数()()

()3eln1egxxx=−−−的一个大于e的零点，则()122eexx−的值为（）A.1eB.21eC.eD.2e【答案】C【解析】【分析】依题意得1211eexxx−=，()()322eln1exx−−=，则()()()131122eeeeln1

xxxxx−==−−，即是()()()21ln11112eeln1eexxxx−++−=−−，从而同构函数()()1eexFxx+=−，0x，利用()Fx的单调性得到12ln1xx=−，代入()122eexx−求解即可.【详解】依题意得，121

1ee0xxx−−=，即1211eexxx−=，1>0x，()()322eln1e0xx−−−=，即()()322eln1exx−−=，2ex，是()()()131122eeeeln1xxxxx−==−

−，()()()11122eeln1exxxx+−=−−，()()()21ln11112eeln1eexxxx−++−=−−又22ln1,ln10xx−，同构函数：()()1eexF

xx+=−，0x，则()()312ln1eFxFx=−=，又()()111eeeee1exxxxFxxx+++=−+=−+，0x>，0ee1x=，e10x−，又1e0xx+，()0Fx，()Fx单调递增，12ln1xx=−，()

()()31222222eln1eeeeeexxxx−−−===.故选：C.【点睛】关键点点睛：（1）函数零点即为函数()0fx=的x取值；（2）对12,xx的两个方程合理的变形，达到形式同一，进而同构函数()()1eexFxx+=−

，0x，其中应注意定义域；（3）运用导数研究函数()Fx的单调性，进而确定12ln1xx=−；（4）求解()122eexx−的值时，将1x替换后应注意分子的取值.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分1

3.已知x，y满足约束条件1021010xyxyxy−−−+++，则目标函数2zxy=−+的最小值为______．【答案】4−【解析】【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图ABC内部（含边界），作目标函数对应

的直线：:20lxy−+=，在直线2zxy=−+中，纵截距为z，向下平移直线时，z减小，由10210xyxy−−=−+=，得32xy==，即()3,2C，因此向下平移直线l，当l过点()3,2C时，2324z=−+=−为最小值．故答案为：4−．14.已知向量

(23),(31)atb=−=−，，，且(2)abb+∥，则a=r___________.【答案】310【解析】【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.【详解】因为(23)at=−，，(31)b=

−，，所以()24,1abt+=+，又(2)abb+∥，所以()()41310t+−−=，解得7t=−，所以()93a=−，，故310a=.故答案为：310.15.已知定义在()0,+上的函数()fx的导函数为()fx，若()2f

x，且()45f=，则不等式()222loglog3fxx−的解集是______．【答案】()1,16【解析】【分析】构造函数()()23gxfxx=−+，由导数确定其单调性，题设不等式化为2(log)(4)gxg，再利用单调性变形求解．【

详解】令()()23gxfxx=−+，则()()20gxfx=−，∴()gx在(0,)+上是减函数，(4)(4)830gf=−+=，不等式()222loglog3fxx−化为22(log)2log3fxx−，即22(log)2log30fxx−+

，也即为2(log)(4)gxg，所以20log4x，116x.故答案为：(1,16)，16.已知函数()2cos()fxx=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043fxffxf−−−的最小正整数x为________．

【答案】2【解析】【分析】先根据图象求出函数()fx解析式，再求出7(),()43ff−的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知313341234T=−=，即2T==

，所以2=；的由五点法可得232+=，即6=−；所以()2cos26fxx=−.因为7()2cos143f−=−=，()2cos032f==；所

以由74(()())(()())043fxffxf−−−可得()1fx或()0fx；因为()12cos22cos1626f=−−=，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0fx，即cos

206x−，解得,36kxkk++Z，令0k=，可得536x，可得x的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0fx，又(2)2cos406f

=−，符合题意，可得x的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21

题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设函数()22sincos2cosπ4fxxxx=−+．（1）求函数()fx的单调递增区间及对称中心；（2）当π,0

2x−时，π365fx+=，求cos2x的值．【答案】（1）单调递增区间是()πππ,πZ44kkk−++；π,12k−，Zk（2）34310+【解析】【分析】（1）由二倍角公式，诱导公式化简函数式，然后利用正弦函数的单调性与对称中心求解；

（2）由两角差的余弦公式计算．【小问1详解】由题意得：()πsin21cos2sin21sin22sin212fxxxxxx=−++=−+=−，由()ππ2π22πZ22kxkk−++，可得()ππππZ44kxk

k−++；所以()fx的单调递增区间是()πππ,πZ44kkk−++；令2πxk=，Zk，解得：π2kx=，Zk，此时函数值为1−，所以对称中心为π,12k−，Zk．【小问2详解】∵ππ32sin21635fxx+=+−

=，∴π4sin235x+=，∵π,02x−，∴π2ππ2,333x+−，∵πsin203x+，∴ππ0233x+，∴π3cos235x+=ππππππ343cos2co

s2cos2cossin2sin33333310xxxx+=+−=+++=．18.在各项均为正数的等比数列na中，12a=，1na+−，na，2na+成等差数列．等差数列nb满足121ba=+，523233bba−=−．（1）

求数列na，nb的通项公式；（2）求数列()121nnb+的前n项和为nT．【答案】（1）2nna=，23nbn=+；（2）69nn+【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式进行求解即可;（2）用裂项相消法进行求解即可【小问1详解】设各项均为正数

的等比数列na的公比为()0qq，等差数列nb的公差为d，因为1na+−，na，2na+成等差数列，所以212nnnaaa++=−即111112nnnaqaqaq−+=−，因为0q，10a，所以22qq=−，解得2q

=或1q=−（舍去），所以111222nnnnaaq−−===，2121215ba=+=+=，由523233bba−=−可得()()32543523dd+−+=−，解得2d=，所以()()1152123nbbndnn=+−=+−=+；【小

问2详解】因为23nbn=+，所以()()()1111121212322123nnbnnnn==−+++++，所以11111111123525722123nTnn=−+−++−=++111111

1111235572123232369nnnnn−+−++−=−=++++19.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，其中3b=，且(sin)cossincosaCBBC−=.（1）求角B的大

小；（2）求ABC周长的取值范围.【答案】（1）3（2）(23,33【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到cossinaBA=，再由正弦定理得到1sincosbBB=，即可得到tanB，即可得解；（2）利用余弦定理及基本

不等式得到03ac，再根据()222233acacacac+=++=+求出ac+的取值范围，即可得解；【小问1详解】解：因为()sincossincosaCBBC−=，即cossincossincosaBCBBC−=，所以()cossincossincossinaBCBBCCB=

+=+，即cossinaBA=，所以1sincosaAB=，又sinsinabAB=，3b=，所以1sincosbBB=，所以sintan3cosBBbB===，因为()0,B，所以3B=；【小问2详解】解：因为3B=、3b=，由余弦定理2222co

sbacacB=+−，即223acac=+−，即2232acacac+=+当且仅当3ac==时取等号，所以03ac，所以()222233acacacac+=++=+，所以()2312ac+，所以323ac+，所以2333ABCC

，即三角形的周长的取值范围为(23,3320.已知函数()()322316fxxaxax=−++，其中a是正数．（1）讨论()fx的单调性；（2）若函数()yfx=在闭区间0,1a+上的最大值为()1fa+，求a

的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）1,33【解析】【分析】（1）求导后，利用导数分类讨论确定单调性；（2）由（1）的结论分类讨论确定最大值点，从而得参数范围．【小问1详解】因为()()()3223160fxxaxaxa=−++，所以()()()()2

661661fxxaxaxxa=−++=−−．①当1a=时，()()2610fxx=−，()fx在R上严格递增；②当01a时，由()0fx¢>得xa或1x，由()0fx得1ax，所以()fx在(),a−单调递增，在(),1a上单调递减，在()1,+单调递增；③

当1a时，由()0fx¢>得1x或xa，由()0fx得1xa，所以()fx(),1−单调递增，在()1,a上单调递减，在(),a+单调递增；【小问2详解】由（1）可知①当1a=时，()()2610fxx=−，()fx在

0,1a+上严格递增，此时()fx在0,1a+上的最大值为()1fa+；②当01a时，()fx在()0,a单调递增，在(),1a上单调递减，在()1,1a+单调递增；()fx在0,1a+上的最大值只有可能是()

fa或()1fa+，因为()fx在0,1a+上的最大值为()1fa+，所以()()()()323213313310fafaaaaaaa+−=−++−−−+=−，解得13a，此时113a；③当1a时，()fx在()0,1单调递增，在()1,

a上单调递减，在(),1aa+单调递增；()fx在0,1a+上的最大值可能是()1f或()1fa+，因为()fx在0,1a+上的最大值为()1fa+，所以()()()()()323221133131330fafaaaaaaaa+−=−++−−−=−+=−−

，在解得3a，此时13a<?，由①②③得，133a，∴满足条件的a的取值范围是1,33．21.已知函数()eaxfxx=−（,eaR为自然对数的底数），()ln1gxxbx=++.（1）若()fx有两个零点，求实数a的取值范围；（2）若不等式()()xfxxgx

+对())0,,1,xa++恒成立，求实数b的取值范围.【答案】（1）10,e（2）(,1−【解析】【分析】（1）()fx有两个零点，通过参变分立，转换成两个函数图像的交点问题.（2）先利用参数放缩转变成eln1xxxbx++恒成立，再通过参变分离转化成()ln

1e(0)xxFxxxx=−−最小值问题.【小问1详解】()fx有两个零点，关于x的方程eaxx=有两个相异实根，e0ax，0,x()fx\有两个零点即lnxax=有两个相异实根.令()lnxGxx=，则()21lnxGxx−=，()0G

x得0ex，()0Gx得e,x()Gx在()0,e单调递增，在()e,+单调递减，()max1()eeGxG==，又()10,G=当01x时，()0Gx，当1x时，()0Gx，当x→+时，()0,Gx→

()fx\有两个零点时，实数a的取值范围为10,e；【小问2详解】1,0ax，所以eeaxxxx原命题等价于eln1xxxbx++对一切()0,x+恒成立，ln1exxbxx−−对一切()0,x

+恒成立，令()ln1e(0)xxFxxxx=−−，min(),bFx()222lnelnexxxxxFxxx+=+=令()()2eln,0,xhxxxx=++，则()x212ee0,xhxxxx+=+()hx在()0,+上单增，又()12

0e11e0,e1e10ehh−==−−=，01,1ex使()00hx=，即0200eln0xxx+=①，当()00,xx时，()0hx，即()Fx在()00,x递减当()0,xx+时，()0hx，即()Fx在()0,x+递增，()00m

in000ln1()exxFxFxxx==−−由①知0200elnxxx=−，001ln000000ln111elnlnexxxxxxxx=−==，函数()exxx=在()0,+单调递增，001lnxx=即00ln,xx=−0ln0min0000111()e11,xxFxxx

xx−−=−−=+−=1,b实数b的取值范围为(,1−.【点睛】(1)零点问题常用方法为直接讨论法和参变分离两种方法.(2)恒成立问题一般有三种方法：直接讨论法，参变分离法，端点效应.（二）

选考题：共10分.考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cossinxy==（为参数），以坐

标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是2cossin20−+=．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点()0,2P，求11PAPB+的值．【答案】（1）2214xy+=，220

xy−+=；（2）8515.【解析】【分析】（1）消去参数可得C的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入椭圆普通方程，消元后根据参数的几何意义求解.【小问1详解】由2cossinxy=

=（为参数），得2214xy+=，故曲线C的普通方程为2214xy+=．由2cossin20−+=，得220xy−+=，故直线l的直角坐标方程为220xy−+=．【小问2详解】由题意可知直线l的参数方程为552

525xtyt==+（t为参数）．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得217325600tt++=，设A，B对应参数分别是1t，2t，则1232517tt+=−，126017tt=

，故12121212118515ttttPAPBtttt+++===．23.已知函数()3fxxxa=−++．（1）当2a=时，求不等式()7fx的解集；（2）若()2fx恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）3,4−（2）(),51,−−−+【解析】【分析】（1）分2x

−、23x−、3x三种情况解不等式()7fx，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可得出关于a的不等式，即可解得实数a的取值范围.【小问1详解】因为()21,2325,2321,3xxfxx

xxxx−+−=−++=−−，的所以()7fx等价于2217xx−−+，或2357x−，或3217xx−，解得32x−−≤≤或23x−或34x，所以34x−，即不等式()7fx的解集为3,4−．【小问2详解】因为

()33fxxxaa=−+++，当且仅当()()30xxa-+?时等号成立；所以函数()3fxxxa=−++的最小值为3a+，由已知可得32a+，所以32a+或32a+−，解得1a−或5a−，即a的取值范围(),51,−−−+．获得更多资

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