【文档说明】四川省绵阳南山中学2024届高三上学期10月月考试题 数学(理)试题 含解析.docx,共(21)页,1.146 MB,由管理员店铺上传
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绵阳南山中学高2021级高三上期10月月考试题理科数学命题人:杜晓英审题人:周莉莎一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2=+28<0Axxx−,4,2,0,2,4B=−−,
则AB=()A.2,0−B.4,2,0,2−−C.0,2D.2,0,2,4−【答案】A【解析】【分析】解出集合A中的不等式,然后根据集合的交集运算可得答案.【详解】因为2=+28<0=4<<2Axxxxx
−−,4,2,0,2,4B=−−,所以2,0AB=−.故选:A2.已知ab,则()A.22abB.eeab−−C.()()ln1ln1ab++D.aabb【答案】D【解析】【分析】根据反例可判断AC,根据不等式的性质,结合函数的单调性即可判断BD.【详解】对于A,若1
,0ab=−=,显然满足ab,但不能得到22ab,故A错误,对于B,由于ab,所以ab−−,又exy=为单调递增函数,所以eeab−−,故B错误,对于C,若1,0ab=−=,显然满足ab,()()ln1ln2ln1ln10ab+=+==,故C错误
,对于D,若0ab,则22,aaabbb=-=-,函数2yx=−在(),0−上单调递增,所以22aaabbb=−=−,当0ab,则22,aaabbb==,函数2yx=在)0,+上单调递增,所以22aaabbb==,当0ab
,则22aaabbb=−=,综上可知D正确,故选:D3.设正项等比数列na的前n项和为nS,若321238Saa=+,则公比q=()A.2B.32−C.2或32−D.2或32【答案】A【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比.【详解】由321238Saa=+,有()123212
38aaaaa++=+,即321260aaa−−=.由等比数列的通项公式得2111260aqaqa−−=,即2260qq−−=,解得2q=或32q=−,由数列为正项等比数列,∴2q=.故选:A4.如图所示,在ABC中,点D是线段AC上靠近A的三等分点,点E是线段AB的中点,
则DE=()A.1136BABC−−B.1163BABC−−C.5163BABC−−D.5163BABC−+【答案】B【解析】【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】()111111323263DEDAAECAABCBBABABABC=+=+=+−=−−.故选:B5.纳
皮尔是苏格兰数学家,其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则(1614)和纳皮尔算筹(1617),而最大的贡献是对数的发明,著有《奇妙的对数定律说明书》,并且发明了对数表,可以利用对数表查询出任意对数
值.现将物体放在空气中冷却,如果物体原来的温度是1T(℃),空气的温度是0T(℃),经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式()()310304loglogtTTTT=−−−得出;现有一杯温度为70℃的温水,放在空
气温度为零下10℃的冷藏室中,则当水温下降到10℃时,经过的时间约为()参考数据:lg20.301,lg30.477.A.3.048分钟B.4.048分钟C.5.048分钟D.6.048分钟【答案】C【解析】【分析】先将已知数据代入公式,再用对数运算性质得到34l
og4,用换底公式将3为底的对数换成10为底的对数,代入已知对数值计算即可.【详解】依题意,170T=,010T=−,10T=,代入公式得:()()()31030334loglog4log80log20tTTTT=−−−=−33804lg44log4log
420lg3===8lg280.3015.048lg30.477=(分钟),故选:C.6.已知命题p:函数()afxx=在()0,+上单调递减;命题:qxR,都有220axxa−+.若pq为真命题,
pq为假,则实数a的取值范围为().A.()1,0−B.0,1C.(()10,−−+,D.((),11,−−+【答案】A【解析】【分析】根据题意求出,pq为真命题时的范围,进而根据,pq中一真一假分两类情况讨论即可求
解.【详解】若命题p为真,则a<0,若q为真,则201440aaa−=−,由于pq为真命题,pq为假,则,pq中一真一假若p真q假,则满足:0101aaa−−;若q真p假,则满足:01aa−,此时a无解,综上10a−
故选:A7.函数()2ln1cosxyx+=的图象可能是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】从图像利用排除法进行求解:先分析奇偶性,排除B;计算()00f=排除C;根据0x+→时,()0fx;排除D.即可得到答案.【详解】对于()()2
ln1cosxfxx+=,定义域为|,2xxkkZ+关于原点对称.因为()()()()()()22ln1ln1coscosxxfxfxxx+−+−===−,所以()fx是偶函数,排除B.当0x=时,()2ln1000cos01y+===,排除C;当0x+→时,()2ln10x
+,cos0x,()0fx;排除D.故选:A.8.已知()3sincossin2−+−=,则22sinsincos−=()A.2110B.32C.32D.2【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简可得tan的值,再利用弦化切可求得所求
代数式的值.【详解】解:由诱导公式可得()3sinsincos2cos2=−+−=−,所以,tan2=-.因此,2222222sinsincos2tantan102sinsincos2sincostan15
−−−====++.故选:D.9.已知0,函数()sin()4fxx=+在(,)2上单调递减,则的取值范围是()A.15[,]24B.13[,]24C.1(0,]2D.(0,2]【答案】A【解析】【详解】由题意可得,322,22442kkkZ++++
,1542,24kkkZ++,0,1524.故A正确.考点:三角函数单调性.10.若曲线()lnyxa=+的一条切线为yexb=+,其中a,b为正实数,则2eab++的取值范围是()A.)2,+
B.),e+C.)2,eD.2,2ee++【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出2bae=−,2ae,再利用基本不等式求解.【详解】设切点为()00,xy,则有()0001,2lnexabaexaexb=+=−+=+
,∵0b,∴2ae,122eaaba+=++,(当且仅当1a=时取等)故选:A【点睛】本题主要考查导数的几何意义,考查基本不等式求最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.定义在R上的奇函数()fx满足(2)(2)fxfx+=−,且当[0,2]x时,1π()sin24
fxx=,则方程1()8fxx=−在[4,20]−上所有根的和为()A.32B.48C.64D.80【答案】C【解析】【分析】根据奇函数性质判断出函数的周期,利用函数的对称性、数形结合思想进行求解即可.【详解】因为()fx是奇函
数,所以由(2)(2)(4)()()(8)(4)()fxfxfxfxfxfxfxfx+=−+=−=−+=−+=,因此函数的周期为8,当[0,2]x时,1π()sin24fxx=,所以当[2,0)x
−时,()()1π1πsinsin2424fxfxxx=−−=−−=,当(2,4]x时,由(2)(2)(4)()fxfxfxfx+=−−=,所以()()1π1π()4sin4sin2424fxfxxx=−=−=,
的所以当[4,2)x−−时,()()1π1πsinsin2424fxfxxx=−−=−−=,于当xR时,1π()sin24fxx=,该函数关于点(8,0)对称,而函数18yx=−也关于该点对称,在同一直角坐标系内图象如下图所示:由数形结合思想可知:这两个函数图象有8个交点,
即共有四对关于(8,0)对称的点,所以方程1()8fxx=−在[4,20]−上所有根的和为42864=,故选:C【点睛】关键点睛:方程根的问题转化为两个函数图象交点问题是解题的关键.12.若正实数1x是函数()2eexfxxx=−−的一个零点,2x是函数()
()()3eln1egxxx=−−−的一个大于e的零点,则()122eexx−的值为()A.1eB.21eC.eD.2e【答案】C【解析】【分析】依题意得1211eexxx−=,()()322eln1exx−−=
,则()()()131122eeeeln1xxxxx−==−−,即是()()()21ln11112eeln1eexxxx−++−=−−,从而同构函数()()1eexFxx+=−,0x,利用()Fx的单调性得到12ln1xx=−,代入()122eex
x−求解即可.【详解】依题意得,1211ee0xxx−−=,即1211eexxx−=,1>0x,()()322eln1e0xx−−−=,即()()322eln1exx−−=,2ex,是()()()1311
22eeeeln1xxxxx−==−−,()()()11122eeln1exxxx+−=−−,()()()21ln11112eeln1eexxxx−++−=−−又22ln1,ln10xx−,同构函数:()()1eexFxx+=−,0x,则()()312ln1eF
xFx=−=,又()()111eeeee1exxxxFxxx+++=−+=−+,0x>,0ee1x=,e10x−,又1e0xx+,()0Fx,()Fx单调递增,12ln1xx=−,()()()31222222eln1eeeeeexxxx−−−===.故
选:C.【点睛】关键点点睛:(1)函数零点即为函数()0fx=的x取值;(2)对12,xx的两个方程合理的变形,达到形式同一,进而同构函数()()1eexFxx+=−,0x,其中应注意定义域;(3)运用导
数研究函数()Fx的单调性,进而确定12ln1xx=−;(4)求解()122eexx−的值时,将1x替换后应注意分子的取值.二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分13.已知x,y满足约束条件1021010xyxyxy−−−+++,则目标函数2zxy=−+的最小值为___
___.【答案】4−【解析】【分析】作出可行域,作出目标函数对应的直线,平移该直线可得最优解.【详解】作出可行域,如图ABC内部(含边界),作目标函数对应的直线::20lxy−+=,在直线2zxy=−+中,纵截距为z,向下平移直线时,z减小,由10210xyxy−−=−+
=,得32xy==,即()3,2C,因此向下平移直线l,当l过点()3,2C时,2324z=−+=−为最小值.故答案为:4−.14.已知向量(23),(31)atb=−=−,,,且(2)abb+∥,则a=r___________.【答案】310【解析】
【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.【详解】因为(23)at=−,,(31)b=−,,所以()24,1abt+=+,又(2)abb+∥,所以()()41310t+−−=,解得7t=−,所以()93
a=−,,故310a=.故答案为:310.15.已知定义在()0,+上的函数()fx的导函数为()fx,若()2fx,且()45f=,则不等式()222loglog3fxx−的解集是______.【答案】()1,16【解析】【分析】构
造函数()()23gxfxx=−+,由导数确定其单调性,题设不等式化为2(log)(4)gxg,再利用单调性变形求解.【详解】令()()23gxfxx=−+,则()()20gxfx=−,∴()gx在(0,)+上是减函数,(4)(4)830gf
=−+=,不等式()222loglog3fxx−化为22(log)2log3fxx−,即22(log)2log30fxx−+,也即为2(log)(4)gxg,所以20log4x,116x.故答案为:(1,16),16.已知函数(
)2cos()fxx=+的部分图像如图所示,则满足条件74()()043fxffxf−−−的最小正整数x为________.【答案】2【解析】【分析】先根据图象求出函数()
fx解析式,再求出7(),()43ff−的值,然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知313341234T=−=,即2T==,所以2=;的由五点法可得232
+=,即6=−;所以()2cos26fxx=−.因为7()2cos143f−=−=,()2cos032f==;所以由74(()())(()())043
fxffxf−−−可得()1fx或()0fx;因为()12cos22cos1626f=−−=,所以,方法一:结合图形可知,最小正整数应该满足()0fx,即cos206x−,解得,36kxkk
++Z,令0k=,可得536x,可得x的最小正整数为2.方法二:结合图形可知,最小正整数应该满足()0fx,又(2)2cos406f=−,符合题意,可得x的最小正整数为2.故答案为:2.【点睛】关键点睛:根据图象求解函数的解析式是本题求解的关
键,根据周期求解,根据特殊点求解.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共6
0分.17.设函数()22sincos2cosπ4fxxxx=−+.(1)求函数()fx的单调递增区间及对称中心;(2)当π,02x−时,π365fx+=,求cos2x的值.【答案】(1)单调递增区间是()πππ,πZ44kkk−++
;π,12k−,Zk(2)34310+【解析】【分析】(1)由二倍角公式,诱导公式化简函数式,然后利用正弦函数的单调性与对称中心求解;(2)由两角差的余弦公式计算.【小问1详解】由题意得:()πsin21cos2sin21sin22sin212fxxx
xxx=−++=−+=−,由()ππ2π22πZ22kxkk−++,可得()ππππZ44kxkk−++;所以()fx的单调递增区间是()πππ,πZ44kkk−++;令2πxk=,Zk,解得:π2kx=,Zk,此
时函数值为1−,所以对称中心为π,12k−,Zk.【小问2详解】∵ππ32sin21635fxx+=+−=,∴π4sin235x+=,∵π,02x−,∴π2ππ2,333x+−,∵πs
in203x+,∴ππ0233x+,∴π3cos235x+=ππππππ343cos2cos2cos2cossin2sin33333310xxxx+=+−=+++=.18.在
各项均为正数的等比数列na中,12a=,1na+−,na,2na+成等差数列.等差数列nb满足121ba=+,523233bba−=−.(1)求数列na,nb的通项公式;(2)求数列()121nnb+的前n项和为nT.【答
案】(1)2nna=,23nbn=+;(2)69nn+【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式进行求解即可;(2)用裂项相消法进行求解即可【小问1详解】设各项均为正数的等比数列na的公比为()0qq,等差数列nb的公差为d,因为1n
a+−,na,2na+成等差数列,所以212nnnaaa++=−即111112nnnaqaqaq−+=−,因为0q,10a,所以22qq=−,解得2q=或1q=−(舍去),所以111222nnnnaaq−−===,21
21215ba=+=+=,由523233bba−=−可得()()32543523dd+−+=−,解得2d=,所以()()1152123nbbndnn=+−=+−=+;【小问2详解】因为23nbn=+,所以()()()1111121212322123nnbnnnn==−+++++
,所以11111111123525722123nTnn=−+−++−=++1111111111235572123232369nnnnn−+−++−=−=++++
19.在ABC中,角,,ABC的对边分别为,,abc,其中3b=,且(sin)cossincosaCBBC−=.(1)求角B的大小;(2)求ABC周长的取值范围.【答案】(1)3(2)(23,33【解析】【分析】(1)利用两角和的正弦公式及诱导公式得到
cossinaBA=,再由正弦定理得到1sincosbBB=,即可得到tanB,即可得解;(2)利用余弦定理及基本不等式得到03ac,再根据()222233acacacac+=++=+求出ac+的取值范围,即可得解;【小问1详解】解:因为()sincossincosaCBB
C−=,即cossincossincosaBCBBC−=,所以()cossincossincossinaBCBBCCB=+=+,即cossinaBA=,所以1sincosaAB=,又sinsinabAB=,3b=,所以1sincosbBB=,所以sintan3cosBBbB===,因为()
0,B,所以3B=;【小问2详解】解:因为3B=、3b=,由余弦定理2222cosbacacB=+−,即223acac=+−,即2232acacac+=+当且仅当3ac==时取等号,所以03ac,所以()22223
3acacacac+=++=+,所以()2312ac+,所以323ac+,所以2333ABCC,即三角形的周长的取值范围为(23,3320.已知函数()()322316fxxaxax=−++,其中a是正数.(1)讨论()fx的单调性;(2)若函数()yfx=在闭区
间0,1a+上的最大值为()1fa+,求a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)1,33【解析】【分析】(1)求导后,利用导数分类讨论确定单调性;(2)由(1)的结论分类讨论确定最大值点,从而得参数范围.【小
问1详解】因为()()()3223160fxxaxaxa=−++,所以()()()()2661661fxxaxaxxa=−++=−−.①当1a=时,()()2610fxx=−,()fx在R上严格递增;②当01a时,由()0fx¢>得xa或1x,由()0fx
得1ax,所以()fx在(),a−单调递增,在(),1a上单调递减,在()1,+单调递增;③当1a时,由()0fx¢>得1x或xa,由()0fx得1xa,所以()fx(),1−单调递增,在()1,a上单调递减,在(),
a+单调递增;【小问2详解】由(1)可知①当1a=时,()()2610fxx=−,()fx在0,1a+上严格递增,此时()fx在0,1a+上的最大值为()1fa+;②当01a时,()fx在()0,a单调递增,在(),1a上单调递减,在()
1,1a+单调递增;()fx在0,1a+上的最大值只有可能是()fa或()1fa+,因为()fx在0,1a+上的最大值为()1fa+,所以()()()()323213313310fafaaaaaaa+−=−++−−−+=−,解
得13a,此时113a;③当1a时,()fx在()0,1单调递增,在()1,a上单调递减,在(),1aa+单调递增;()fx在0,1a+上的最大值可能是()1f或()1fa+,因为()fx在0,1a+上的最大值为()1fa+,所以()()()()()3232211331
31330fafaaaaaaaa+−=−++−−−=−+=−−,在解得3a,此时13a<?,由①②③得,133a,∴满足条件的a的取值范围是1,33.21.已知函数()eaxfxx=−(,eaR
为自然对数的底数),()ln1gxxbx=++.(1)若()fx有两个零点,求实数a的取值范围;(2)若不等式()()xfxxgx+对())0,,1,xa++恒成立,求实数b的取值范围.【答案】(1)10,e(2)(,1−【解析】【分析】(1)()fx有两个
零点,通过参变分立,转换成两个函数图像的交点问题.(2)先利用参数放缩转变成eln1xxxbx++恒成立,再通过参变分离转化成()ln1e(0)xxFxxxx=−−最小值问题.【小问1详解】()fx有两个零点,关于x的方程eaxx=有两个相异实根,e0ax,
0,x()fx\有两个零点即lnxax=有两个相异实根.令()lnxGxx=,则()21lnxGxx−=,()0Gx得0ex,()0Gx得e,x()Gx在()0,e单调递增,在()e,+单调递减,()max1()eeGxG
==,又()10,G=当01x时,()0Gx,当1x时,()0Gx,当x→+时,()0,Gx→()fx\有两个零点时,实数a的取值范围为10,e;【小问2详解】1,0ax,所以eeaxxxx原命题等价于eln1xxxbx++对一切()0,x+恒成立
,ln1exxbxx−−对一切()0,x+恒成立,令()ln1e(0)xxFxxxx=−−,min(),bFx()222lnelnexxxxxFxxx+=+=令()()2eln,0,xhxxxx=++,则()x212ee0,
xhxxxx+=+()hx在()0,+上单增,又()120e11e0,e1e10ehh−==−−=,01,1ex使()00hx=,即0200eln0xxx+=①,当()0
0,xx时,()0hx,即()Fx在()00,x递减当()0,xx+时,()0hx,即()Fx在()0,x+递增,()00min000ln1()exxFxFxxx==−−由①知0200elnxxx=
−,001ln000000ln111elnlnexxxxxxxx=−==,函数()exxx=在()0,+单调递增,001lnxx=即00ln,xx=−0ln0min0000111()e11,xxFxxxxx−−=−−=+−=1,b实数b的取值范围为(,1−
.【点睛】(1)零点问题常用方法为直接讨论法和参变分离两种方法.(2)恒成立问题一般有三种方法:直接讨论法,参变分离法,端点效应.(二)选考题:共10分.考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所
选题号后的方框.22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为2cossinxy==(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程是2cossin20−+=.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)若
直线l与曲线C交于A,B两点,点()0,2P,求11PAPB+的值.【答案】(1)2214xy+=,220xy−+=;(2)8515.【解析】【分析】(1)消去参数可得C的普通方程,根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程;(2)将直线的参数方程代入椭圆普通方程,消元后根据参数的几何意义求
解.【小问1详解】由2cossinxy==(为参数),得2214xy+=,故曲线C的普通方程为2214xy+=.由2cossin20−+=,得220xy−+=,故直线l的直角坐标方程为220xy−+=.【小问2
详解】由题意可知直线l的参数方程为552525xtyt==+(t为参数).将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得217325600tt++=,设A,B对应参数分别是1t,2t,则1232517tt+=−,12601
7tt=,故12121212118515ttttPAPBtttt+++===.23.已知函数()3fxxxa=−++.(1)当2a=时,求不等式()7fx的解集;(2)若()2fx恒成立,求a的取值范围.【答案】(1)3,4−(2)(),51,−−−
+【解析】【分析】(1)分2x−、23x−、3x三种情况解不等式()7fx,综合可得出原不等式的解集;(2)利用绝对值三角不等式可得出关于a的不等式,即可解得实数a的取值范围.【小问1详解】因为()21,2325,23
21,3xxfxxxxxx−+−=−++=−−,的所以()7fx等价于2217xx−−+,或2357x−,或3217xx−,解得32x−−≤≤或23x−或34x,所以34x−,即不等式()7fx的解集为3,4−.【小问
2详解】因为()33fxxxaa=−+++,当且仅当()()30xxa-+?时等号成立;所以函数()3fxxxa=−++的最小值为3a+,由已知可得32a+,所以32a+或32a+−,解得1a−或5a−,即a的取值范围(),51,−−−+.获得更多资源请扫码
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