【文档说明】黑龙江省龙东十校2024-2025学年高二上学期开学联考试题 数学 Word版含答案.docx，共(23)页，2.745 MB，由小赞的店铺上传

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2023级高二上学年入学考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章，选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中

，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()()1,3,5,2,,abxy=−=，且a∥b，则xy+=（）A.10B.6C.4D.4−2.若32iiz=+，则z=（）A.12i−B.12i−+C12i−−D.12i+3.若向量()

()1,2,1,2abm=−=+，且()aba+⊥，则m=（）A.−8B.8C.−2D.24.某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在70,100内.现将所有学生的体能测试成绩按))70,80,80,90,90

,100分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在)70,80内的被抽取的学生人数为（）A.4B.6C.8D.105.已知,是两个不同的平面，l，m

是内两条不同的直线，则“//l，且//m”是“//”的.（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则

该圆台的体积V=（）A.29πB.31πC.87πD.93π7.图，在九面体ABCDEFGH中，平面AGF⊥平面ABCDEF，平面AGF∥平面,HCDAGGFCHHDAB====，底面ABCDEF为正六边形，下列结论错误的

是（）A.GH∥平面ABCDEFB.GH⊥平面AFGC.平面HCD⊥平面ABCDEFD.平面ABG⊥平面ABCDEF8.如图，在棱长为12的正方体1111ABCDABCD−中，,EF分别是棱11,CDBC的中点，

平面1AEF与直线1CC交于点N，则NF=（）A.10B.15C.65D.213二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分

分，有选错的得0分.9.已知甲组数据为4,3,2，乙组数据为6,7,8，将甲､乙两组数据混合后得到丙组数据，则（）A.丙组数据的中位数为5B.甲组数据的70%分位数是2C.甲组数据的方差等于乙组数据的方差D.甲组数据的平均数小于

乙组数据的平均数10.记ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且sinsin5sin,1aBcAAbcbc+==++，ABCV的面积为22，则ABCV的周长可能为（）A.8B.517+C.9D.515+11.已知边长为43的正三角形ABC的三个顶点都在球O的

表面上，P为球O表面上一动点，且P不在平面ABC上，当三棱锥PABC−的体积最大时，直线PA与平面ABC所成角的正切值为2，则下列结论正确的是（）A.球O的表面积为64πB.PA的最大值为10C.三棱锥PABC−体积的最大值为323D.当三棱锥PABC−的体积最大时

，若点Q与点P关于点O对称，则三棱锥QABC−的体积为83三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知空间向量()()()1,0,0,0,1,0,1,1,abcm===，若,,abc共面，则m=_

_________.13.已知数据1,1,3,,4,7m的极差为6，且80%分位数为220m−，则m=__________.14.如图，平行六面体1111ABCDABCD−的所有棱长均为12,,,ABADAA两两所成夹角均为60o

，点,EF分别在棱11BB,DD上，且112,2BEBEDFDF==，则EF=__________；直线1AC与EF所成角的余弦值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过

程或演算步骤.15.7月23日，第8届中国一南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作､共谋发展”为主题，会期从23日至28日，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引

82个国家､地区和国际组织参会，2000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在90,100内，并将部分数据整理如下表：分数)90,92)92,94)94,96

98,100频数10102020（1）估计这100家企业评分的中位数（保留小数点后一位）；（2）估计这100家企业评分的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.16.记ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc.已知2222,2abbc

bca=++=.（1）求B；（2）若42a=，在BC边上存在一点D，使得DAAC⊥，求AD长.17.如图，在三棱锥PABC−中，O为AC的中点，平面POB⊥平面,ABCABC△是等腰直角三角形，,2,3ABB

CACPAPB⊥===.（1）证明：PAPC=；（2）求二面角CPAB−−的正弦值.18.如图，甲船在点M处通过雷达发现在其南偏东60o方向相距20海里的N处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从N处向南

偏西60o的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距303海里的P处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在H处会合．（1）求PN的长；（2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？的19.将菱形ABCD绕直线AD旋转到AEFD位置，使得二面角EADB−−的大小为π3，连接,B

ECF，得到几何体ABEFDC−.已知π4,,,3ABDABMN==分别为,AFBD上的动点且(01)AMBNAFBD==.（1）证明：MN∥平面CDF；（2）求BE长；（3）当MN长度最小时，求直线MN到平面CDF的距离.的的的2023

级高二上学年入学考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号

.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章，选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()()1,3,5,2,,abxy=−=，且a∥b，则xy+=（）A.10B.6C.4D.4−【答案】C【解析】【分析】运用空间向量平行的坐标结论计算.【详解】因为a∥b，所以352xy−==

1,即6,10xy=−=，则4xy+=.故选：C.2.若32iiz=+，则z=（）A.12i−B.12i−+C.12i−−D.12i+【答案】A【解析】【分析】运用复数乘除，结合乘方计算即可.【详解】由题意得()i2i12iz=−+=−.故

选：A.3.若向量()()1,2,1,2abm=−=+，且()aba+⊥，则m=（）A.−8B.8C.−2D.2【答案】B【解析】【分析】运用向量坐标运算，结合垂直的坐标结论计算即可.【详解】由题意得(),4abm+=.因为()aba+⊥，所以()80abam+=−

+=，即8m=.故选：B.4.某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在70,100内.现将所有学生的体能测试成绩按))70,80,80,90,90,100分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比

例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在)70,80内的被抽取的学生人数为（）A.4B.6C.8D.10【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合给定的频率分布直方图中的数据，即可求解.【详解】根据题意得，体能测试成绩在)70,80内的被

抽取的学生人数为0.22040.30.20.5=++.故选：A.5.已知,是两个不同的平面，l，m是内两条不同的直线，则“//l，且//m”是“//”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C【解析】的【分析】由面面平行的判定与性质即可判断．【详解】若//lm，//m，则,不一定平行（缺少条件lm,相交）；若//，,lm，则//l，且//m，故“//lm，且//m”是“//”的必要不充分条件

，故选：C．6.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则该圆台的体积V=（）A.29πB.31πC.87πD.93π【答案】B【解析】【分析】设出母线，根据侧面积列出方程，求出母线，进而得到圆台的高，得到

圆台的体积.【详解】设该圆台的母线长为l，根据题意可得()π1530πl+=，解得5l=，由题意得5AD=，22514DFDOOF=−=−=，所以该圆台的高为()225513AF=−−=，则()22π31

15531π3V=++=．故选：B7.图，在九面体ABCDEFGH中，平面AGF⊥平面ABCDEF，平面AGF∥平面,HCDAGGFCHHDAB====，底面ABCDEF为正六边形，下列结论错误的是（）A.GH∥平面ABCDEFB.GH⊥平面AFGC.平面HCD⊥平面ABCDEFD.平面A

BG⊥平面ABCDEF【答案】D的【解析】【分析】运用面面垂直，结合面面平行得到面面垂直，判定C；证明GM⊥平面ABCDEF.同理可得⊥HN平面ABCDEF，则//HNGM，运用线面平行判定判断A；证明MN⊥平面AFG，结合//MNGH，得到GH⊥平面AFG，

判断B；利用反证法，得到AE⊥平面AGF，不成立，判断D.【详解】取AF的中点,MCD的中点N，连接,,GMHNMN.因为平面AGF⊥平面ABCDEF，平面//AGF平面HCD，所以平面HCD⊥平面ABCDEF，C正确.因为AGGFABAF===，所以GMAF⊥，GM面

AFG，平面AGF⊥平面ABCDEF，又平面AGF平面ABCDEFAF=，所以GM⊥平面ABCDEF.同理可得⊥HN平面ABCDEF，则//HNGM，因为HNGM=所以四边形HNMG为平行四边形，所以//GHMN.因为GH平面,ABCDEFMN平面ABCDEF，所以//GH平面,AABCDEF

正确.连接,ANFN，易得ANFN=，则,MNAFGM⊥⊥平面ABCDEF，MN面ABCDEF，则GMMN⊥.因为GMAFM=且都在面AFG内，所以MN⊥平面AFG.因为//MNGH，所以GH⊥平面AFG，B正确.连接AE，则AEA

B⊥，若平面ABG⊥平面ABCDEF成立，根据面面垂直的性质易得AE⊥平面ABG，再由线面垂直的性质有AEAG⊥.因为GMAE⊥，根据线面垂直的判定得AE⊥平面AGF，这显然不成立，所以平面ABG⊥平面ABCDEF不成立，D错误.故选：D.8.如图，在棱长为12的正方体1111A

BCDABCD−中，,EF分别是棱11,CDBC的中点，平面1AEF与直线1CC交于点N，则NF=（）A.10B.15C.65D.213【答案】A【解析】【分析】分别在棱1,,CADCBC上取点,,MNG，使得1,3,2AMCMDCNNGCBG===，易证

1////MEAGAF，1//NFAM，则平面1AEF截该正方体所得的截面图形是五边形1AMENF.再计算即可．【详解】分别在棱1,,CADCBC上取点,,MNG，使得1,3,2AMCMDCNNGCBG===，连接1

,,,,AMMEENNFAG，根据正方体特征及平行公理，易证1////MEAGAF，1//NFAM，则平面1AEF截该正方体所得的截面图形是五边形1AMENF.由题中数据，知道16CF=，18CN=，可得221

110NFCFCN=+=.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知甲组数据为4,3,2，乙

组数据为6,7,8，将甲､乙两组数据混合后得到丙组数据，则（）A.丙组数据的中位数为5B.甲组数据的70%分位数是2C.甲组数据的方差等于乙组数据的方差D.甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数【答案】ACD【解析】【分析】根据已知条件，

结合中位数，百分位数，方差，平均数的公式求解即可.【详解】将丙组数据从小到大排列为2,3,4,6,7,8，可得丙组数据的中位数为4652+=，A正确．将甲组数据从小到大排列为2,3,4，因为370%2.1

=，所以甲组数据的70%分位数是4,B错误．易得甲组数据的方差为23，乙组数据的方差为23，C正确．甲组数据的平均数为43233++=，乙组数据的平均数为6787,373++=，D正确．故选：ACD10.记ABCV的内角,,

ABC的对边分别为,,abc，且sinsin5sin,1aBcAAbcbc+==++，ABCV的面积为22，则ABCV的周长可能为（）A.8B.517+C.9D.515+【答案】AB【解析】【分析】由正弦定理得5bc+=，由三角形

面积公式得22sin3A=，进而得出1cos3A=，再根据余弦定理求得3a=或17，即可求解．【详解】由正弦定理得5abaca+=，得5bc+=，则16bcbc=++=，由1sin222ABCSbcA==，得22sin3A=，

所以21cos1sin3AA=−=，由余弦定理2222cosabcbcA=+−，得22()22cos9abcbcbcA=+−−=或17，所以3a=或17，所以ABCV的周长为8或517+，故选：AB．11.已知边长为43的正三角

形ABC的三个顶点都在球O的表面上，P为球O表面上一动点，且P不在平面ABC上，当三棱锥PABC−的体积最大时，直线PA与平面ABC所成角的正切值为2，则下列结论正确的是（）A.球O的表面积为64πB.PA的最大值为10C.三棱锥PABC−体

积的最大值为323D.当三棱锥PABC−的体积最大时，若点Q与点P关于点O对称，则三棱锥QABC−的体积为83【答案】BCD【解析】【分析】画出草图，设正三角形ABC的外心为O，当三棱锥PABC−的

体积最大时，,,POO三点共线.找出直线PA与平面ABC所成的角，求出3,5,OOR==.进而分别运用球的表面积公式计算表面积，PA的最大值为210R=，运用棱锥体积公式计算三棱锥PABC−，QABC−的体积即可.【详解】如图，设正三角形ABC的外心为O，当三棱锥PABC−

的体积最大时，,,POO三点共线.设球O的半径为R，易得23432AOAB==.直线PA与平面ABC所成的角为,tan2POPAOPAOAO==，得28POAO==.由22222168RA

OAOOOOOPOPOOOROO==+=+=+=+=，得3,5,OOR==球O的表面积为24π100πR=，A错误，PA的最大值为210R=，B正确.三棱锥PABC−体积的最大值为13233ABCSP

O=，C正确.三棱锥QABC−的体积为()1833ABCSROO−=，D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知空间向量()()()1,0,0,0,1,0,1,1,abcm===，

若,,abc共面，则m=__________.【答案】0【解析】【分析】由已知可得cxayb=+，代入坐标计算可求m的值.【详解】因为,,abc共面，所以cxayb=+，即()()()()1,1,1,0,00,1,0,,0mxyxy=+=，则110xym===.故答案为：0.13.

已知数据1,1,3,,4,7m的极差为6，且80%分位数为220m−，则m=__________.【答案】5【解析】【分析】运用数据极差和百分位数概念和计算方法分类讨论即可.【详解】因为716−=，所以17m.当14m时，数据1,1,3,,4,7m的80%分位数为4，由2

204m−=，得26m=，不符合题意，舍去.当47m时，数据1,1,3,4,,7m的80%分位数为m，由220mm−=，得5m=（负根舍去），符合题意.故5m=.故答案为：5.14.如图，平行六面体1111ABCDABCD−的所有棱长均为12

,,,ABADAA两两所成夹角均为60o，点,EF分别在棱11BB,DD上，且112,2BEBEDFDF==，则EF=__________；直线1AC与EF所成角的余弦值为__________.【答案】①.2103②.1515【

解析】【分析】表达出113EFABADAA=−+−，平方后求出2409EF=，求出2103EF=；求出126AC=，利用向量夹角余弦公式求出异面直线距离的余弦值.【详解】连接,AFAE，111121,333EFAFA

EADDDABBBABADAA=−=+−−=−+−22221111222933EFABADAAABADABAAADAA=++−+−4π2π2π4044222cos22cos22cos9333339=++−+−=，故2103EF=；11ACABADAA=++，

故21121122222AAABAAABACABAADDDAAA=+++++11144422222222224222=+++++=，故126AC=，则()111113210263ABADAAABADA

AACEFACEF++−+−=12211214281533331581581533ABADAAABAAADAA−+−−+−===−，故直线1AC与EF所成角的余弦值为1515.故答案为：2103；1515四､解答题：本题共5小

题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.7月23日，第8届中国一南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作､共谋发展”为主题，

会期从23日至28日，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家､地区和国际组织参会，2000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在90,100

内，并将部分数据整理如下表：分数)90,92)92,94)94,9698,100频数10102020（1）估计这100家企业评分的中位数（保留小数点后一位）；（2）估计这100家企业评分的平均数与方差（同一组

中的数据用该组区间的中点值作代表）.【答案】（1）96.5（2）96，5.8【解析】【分析】（1）由中位数的佑计值的定义求解即可；（2）由平均数的估计值与方差的计算公式计算即可.【小问1详解】由题意得这100家企业评分在[96,98)内的频数

为1001010202040.−−−−=设这100家企业评分的中位数的估计值为x，因为评分在)90,96内的频数之和为1010204050++=，评分在)90,98内的频数之和为40408050+=，所以)96,98x，由504096409

896x−−=−，得96.5x=.【小问2详解】这100家企业评分的平均数的估计值为()19110931095209740992096,100x=++++=这100家企业评分的方差的估计值为：2222221(9196)10(9396)10(9596)

20(9796)40(9996)205.8100s=−+−+−+−+−=.16.记ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc.已知2222,2abbcbca=++=.（1）求B；（2）若42a=，在BC

边上存在一点D，使得DAAC⊥，求AD的长.【答案】（1）π6（2）843−【解析】【分析】（1）运用正弦定理进行边角互化，再用余弦定理可解;（2）运用正弦定理，结合勾股定理可解.【小问1详解】由余弦定理得22222cos222bcabcAbcb

c+−−===−，因为()0,πA，所以3π4A=.因为2ab=，所以sin2sinAB=，解得1sin2B=，因为2abb=，所以π6B=.【小问2详解】因为42,2aab==，所以4ACb==.设ADx=，在ABD△中，由正弦定理得π3ππsinsin642xBD=−，则

2BDx=，422CDx=−，由2216(422),xx+=−解得843x=−或843+（舍去），故AD的长为843−.17.如图，在三棱锥PABC−中，O为AC的中点，平面POB⊥平面,ABCABC△是

等腰直角三角形，,2,3ABBCACPAPB⊥===.（1）证明：PAPC=；（2）求二面角CPAB−−的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得ACOB⊥，

结合面面垂直的性质可得AC⊥平面POB，然后根据等腰三角形的性质结合条件可得.（2）作PDBO⊥，垂足为D，连接,DADC，由面面垂直的性质可得PD⊥平面ABCD，再由三角形全等，得出DADC⊥，从而建立空间坐标系利用空间向量解决问题.【小问1详

解】证明：因为ABCV是等腰直角三角形，,ABBCO⊥为AC中点，所以ACOB⊥，AC平面ABC，的又因为平面POB⊥平面ABC，平面POB平面ABCOB=，所以AC⊥平面.POB因为PO平面POB，所以ACPO⊥，又O为AC的中点，所

以PAC是等腰三角形，故PAPC=.【小问2详解】在平面POB上，作PDBO⊥，垂足为D，连接,DADC.平面POB⊥平面ABC，平面POB平面ABCOB=，又PD平面POB，所以PD⊥平面ABCD.由（1）PAPC=

，又2ACPA==，则PAC为等边三角形.所以2262OPAPAO=−=，222ACOB==，所以2223cos23OPOBBPBOPOPOB+−==−，所以3cos3DOP=，2cos,2DOPODOP==221DPOPDO=−=，所以221ADDCAPDP==−=,在等腰直角三角形A

BCV中，1ABBC==，所以ABCV与PAC全等，故90ADCABC==，即DADC⊥，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,0PABC.()()()1,0,1,0,1,0,1,1,0PAABAC=−

==−.设平面PAB的法向量为()111,,nxyz=，则0,0,nPAnAB==即1110,0,xzy−==取11x=，可得()1,0,1n=.设平面PAC的法向量为()222,,mxyz=，则0,0,mPAmAC

==即22220,0,xzxy−=−+=取21y=，可得()1,1,1m=设二面角CPAB−−的大小为，则63coscos,,sin33nmnmnm====.故二面角CPAB−−的

正弦值为33.18.如图，甲船在点M处通过雷达发现在其南偏东60o方向相距20海里的N处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从N处向南偏西60o的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距303海里的P处的补给船，补给船

立刻以25海里/时的速度与货船在H处会合．（1）求PN的长；（2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？【答案】（1）70海里（2）2小时【解析】【分析】（1）由题可得5π6PMN=，利用余弦定理即可求解；（2）由余弦定理可得cosM

PN，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出cosPNH，再在PNH△中，利用余弦定理即可求出时间.【小问1详解】根据题意可得ππ5π236PMN=+=．因为303PM=海里，20MN=海里，.所以根据余弦定理可得5π2700

400230320cos706PN=+−=海里．【小问2详解】由余弦定理可得2700490040043cos7230370MPN+−==，则1sin7MPN=，所以ππππcoscoscoscoss

insin2366PNHMPNMPNMPN=+−=−4331111727214=−=．设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为t小时，则15HNt=海里，25PHt=海里．在PNH△中，22490022

562511cos,2701514ttPNHt+−==解得2t=或498−（舍去），故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时．19.将菱形ABCD绕直线AD旋转到AEFD的位置，使得二面角EADB−−的大小为π3，连接,BECF，得到几何体ABEFDC−.已知π4,,,3AB

DABMN==分别为,AFBD上的动点且(01)AMBNAFBD==.（1）证明：MN∥平面CDF；（2）求BE的长；（3）当MN的长度最小时，求直线MN到平面CDF的距离.【答案】（1）证明见解析（

2）23（3）61313【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，进而线面平行，求出平面HMN∥平面CDF，得到线面平行；（2）作出辅助线，得到EOB为二面角EADB−−的平面角，并求出各边长，得到

答案；（3）作出辅助线，证明线面垂直，进而建立空间直角坐标系，写出点的坐标，并求出()()6,3,3,2,23,0AMBN=−=−−，表达出221||5232MN=−+，求出12=，()1,

3,0N−，求出平面CDF的法向量，利用点到平面距离公式求出答案.【小问1详解】证明：在AD上取点H，使得(01)AHAMBNADAFBD===，连接,HMHN，如图1.因为AHAMADAF=，所以HM∥DF.因为DF平面

,CDFHM平面CDF，所以HM∥平面CDF.因为AHBNADBD=，所以HN∥AB，又CD∥AB，所以HN∥CD.因为CD平面,CDFHN平面CDF，所以HN∥平面CDF.因为HMHNH=且都在面HMN内，所以平面HMN∥平面CDF.因为M

N平面HMN，所以MN∥平面CDF.【小问2详解】取AD的中点O，连接,,OEOBED，如图2.由题意可得,EADBAD是边长为4的正三角形，则224223EOBO==−=，且,EOADBOAD⊥⊥，所以EOB为二面角EADB−−的平

面角，即π3EOB=，则EOB为正三角形，所以23BE=.【小问3详解】取OB的中点G，连接EG，则EGOB⊥，且22(23)(3)3EG=−=.由（2）得,EOADBOAD⊥⊥，EOOBO=，,EOOB平面OBE，所以AD⊥平面OBE，因为EG平面OBE，所以EG

AD⊥.又因EGOB⊥，ADOBO=，,ADOB平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD.以O为坐标原点，,OAOB所在直线分别为x轴，y轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，则()()()()()2,0,0,0,23,0,

4,3,3,2,0,0,4,23,0ABFDC−−−，()()()()6,3,3,2,23,0,2,23,0,0,3,3AFBDCDCF=−=−−=−=−.又()()6,3,3,2,23,0AMAFBNBD==−==−−，所以()2,232

3,0N−−.连接AN，则()22,2323,0AN=−−−，()42,2333,3MNANAM=−=−−−，所以222221||(42)(2333)(3)5232MN=−+−+−=−+.当12

=时，2||MN取得最小值，且最小值为3，则MN的最小值为3,此时()1,3,0N−，则()1,3,0ND=−−.设平面CDF的法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则0,0,nCDnCF==即2230,330,xyyz−=−+=取3y=，得()3,3,1n=.因为MN∥平

面CDF，所以直线MN到平面CDF的距离就是点N到平面CDF的距离，则点N到平面CDF的距离61313NDndn==.为故直线MN到平面CDF的距离为61313.