【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题4.13 指数函数与对数函数全章综合测试卷-提高篇 Word版含解析.docx，共(17)页，236.330 KB，由小赞的店铺上传

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第四章指数函数与对数函数全章综合测试卷-提高篇参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2022·全国·高一单元测试）已知10𝑚=2，10𝑛=4，则103𝑚−𝑛2的值为（）A．2B．√2C．√10D．2√2【解题思路】根据指数

幂运算性质，将目标式化为含10𝑚、10𝑛的表达式，即可求值.【解答过程】103𝑚−𝑛2=103𝑚210𝑛2=(10𝑚)32(10𝑛)12=232412=√2．故选：B.2．（5分）（2022·全国·高一课时练习）用二分法研究函数𝑓(𝑥)=𝑥5+

8𝑥3−1的零点时，第一次经过计算得𝑓(0)<0，𝑓(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（）A．(0,0.5)，𝑓(0.125)B．(0,0.5)，𝑓(0.375)C．(0.5,1)，𝑓(0.75

)D．(0,0.5)，𝑓(0.25)【解题思路】根据函数零点的存在性定理可知零点𝑥0∈(0,0.5)，结合对二分法的理解即可得出结果.【解答过程】因为𝑓(0)𝑓(0.5)<0，由零点存在性知：零点𝑥0∈(0,0.5)，根据二分法，第二次应计算𝑓(0+0.52)，即𝑓(0.25)，

故选：D.3．（5分）（2022·四川省模拟预测（理））核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lg𝑋𝑛=𝑛lg(1+𝑝)+lg�

�0，其中𝑋0为DNA的初始数量，p为扩増效率．已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（）（参考数据：100.25≈1.778，10-0.25≈0.562）A．22.2%B．43.8%C．

56.02%D．77.8%【解题思路】根据lg𝑋𝑛=𝑛lg(1+𝑝)+lg𝑋0列方程，结合指数、对数运算求得正确答案.【解答过程】依题意lg𝑋12=12⋅lg(1+𝑝)+lg𝑋0，lg(1000𝑋0)=12⋅lg(1+�

�)+lg𝑋0，lg1000+lg𝑋0=12⋅lg(1+𝑝)+lg𝑋0，3=12⋅lg(1+𝑝),lg(1+𝑝)=0.25，1+𝑝=100.25,𝑝=100.25-1≈0.778=77.8%.故选：D.4．

（5分）（2022·浙江·高二阶段练习）函数𝑓(𝑥)=𝑥32𝑥+2-𝑥的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解题思路】确定函数的奇偶性，𝑥>0时函数值的正负以及函数图像的变化趋势可得答案.【解答过程】由题意可得：函数𝑓(𝑥

)的定义域为R，𝑓(-𝑥)=-𝑥32-𝑥+2𝑥=-𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)为奇函数，当𝑥>0时，𝑓(𝑥)>0，故可排除BC，当𝑥→+∞时，2𝑥→+∞，𝑥3→+∞，2-𝑥→0，因为指数函数𝑦=2𝑥比幂函数𝑦=𝑥3增长的速

度要快，所以当𝑥→+∞，函数值趋近于零，所以排除A.故选：D.5．（5分）（2022·浙江·高三期中）设函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥（𝑎>0且𝑎≠1），且𝑓(-1)=2，则下列结论正确的是（）A．𝑓(1.1)>𝑓(1.2)B．𝑓(𝑥)在定义域上的增

区间为(0,+∞)C．函数图象经过点(1,1)D．函数解析式为𝑓(𝑥)=2𝑥【解题思路】由题可得𝑎=12，进而可得𝑓(𝑥)=(12)𝑥，然后根据指数函数的性质逐项分析即得.【解答过程】由𝑓(-1)=𝑎-1=2，可得𝑎=12，所以𝑓(𝑥)=(12)𝑥

，故D错误；所以函数在定义域R上单调递减，所以𝑓(1.1)>𝑓(1.2)，故A正确，故B错误；又𝑓(1)=12，故C错误.故选：A.6．（5分）（2022·四川·高三阶段练习（文））已知实数x，y满足3𝑥+4𝑥=5𝑦，且𝑥=log25+log204，则

（）A．2<𝑥<𝑦B．2<𝑦<𝑥C．𝑥<2<𝑦D．𝑦<2<𝑥【解题思路】利用对数函数与指数函数单调性比较大小，即可得𝑥,𝑦,2的大小.【解答过程】解：因为log204>log254则𝑥=log25+log204>log25+lo

g254=log25+log52>2，所以5𝑦=3𝑥+4𝑥>32+42=52，故𝑦>2；设𝑓(𝑥)=3𝑥+4𝑥-5𝑥(𝑥>2)，则𝑓(𝑥)=32⋅3𝑥-2+42⋅4𝑥-2-52⋅5𝑥-2<32⋅4𝑥-2+

42⋅4𝑥-2-52⋅5𝑥-2=25(4𝑥-2-5𝑥-2)<0，所以3𝑥+4𝑥<5𝑥，又因为3𝑥+4𝑥=5𝑦，因此5𝑦<5𝑥，即𝑦<𝑥．综上，2<𝑦<𝑥.故选：B．7．（5分）（2

022·辽宁·高一阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=ln(2|𝑥|-1)+𝑥2-1，则不等式𝑥𝑓(𝑥-2)<0的解集是（）A．(-∞,0)∪(1,3)B．(-3,-1)∪(0,+∞)C．(-∞,0)

∪(1,2)∪(2,3)D．(-3,0)∪(0,2)∪(2,+∞)【解题思路】由题知函数𝑓(𝑥)为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，(-∞,0)上单调递减，再结合𝑓(1)=𝑓(-1)=0，根据函数

图像平移得𝑥∈(-∞,1)∪(3,+∞)时，𝑓(𝑥-2)>0，𝑥∈(1,2)∪(2,3)时，𝑓(𝑥-2)<0，再分𝑥<0和𝑥>0两种情况讨论求解即可.【解答过程】解：函数的定义域为{𝑥|𝑥≠0}，𝑓(-𝑥)=ln(2|-𝑥|-1)+(-𝑥)2-1=ln(2|𝑥|-1

)+𝑥2-1=𝑓(𝑥)，所以，函数𝑓(𝑥)为偶函数，因为𝑦=ln(2𝑥-1),𝑦=𝑥2-1在(0,+∞)上均为单调递增所以，当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=ln(2𝑥-1)+𝑥2-1为增函数，所以，当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=ln(2|𝑥

|-1)+𝑥2-1为增函数，当𝑥<0时，𝑓(𝑥)=ln(2|𝑥|-1)+𝑥2-1为减函数，因为𝑓(1)=𝑓(-1)=0，所以，当𝑥∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时，𝑓(𝑥)>0，当𝑥∈(-1,0)∪(0,1)时，𝑓(𝑥)<0，所以，当𝑥∈(-∞,1)∪(3

,+∞)时，𝑓(𝑥-2)>0，当𝑥∈(1,2)∪(2,3)时，𝑓(𝑥-2)<0所以，当𝑥<0时，不等式𝑥𝑓(𝑥-2)<0显然成立，当𝑥>0时，不等式𝑥𝑓(𝑥-2)<0的解集为𝑥∈(1,2)∪(2,3)，综上，𝑥𝑓(𝑥-2)<0的解集为(-∞,0)∪(

1,2)∪(2,3)故选：C.8．（5分）（2021·天津·高一期末）定义在R上的函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥+1)=𝑓(𝑥-1)，且当𝑥∈[-1,1)时，𝑓(𝑥)={log0.5(1−𝑥),−1≤𝑥≤0−|𝑥|,0<𝑥<1，若在区间[0,5]上函数𝑔(𝑥)=

𝑓(𝑥)-𝑚𝑥恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A．(-13,0)B．(-∞,-15)C．(-15,0)D．(-13,-15)【解题思路】由题可得函数𝑓(𝑥)的周期为2，函数𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑚𝑥

的图象在区间[0,5]上有4个交点，利用数形结合即得.【解答过程】因为定义在R上的函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥+1)=𝑓(𝑥-1)，所以𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥)，即𝑓(𝑥)是周期为2的函数，由𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)-𝑚𝑥=0，可得𝑓(𝑥)

=𝑚𝑥，因为在区间[0,5]上函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)-𝑚𝑥恰有4个不同的零点，所以函数𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑚𝑥的图象在区间[0,5]上有4个交点，作出函数𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑚𝑥的大致图象，由图象可知{3𝑚>-15�

�<-1，解得-13<𝑚<-15，即实数m的取值范围为(-13,-15).故选：D.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022·江苏·高一阶段练习）已知𝑎+𝑎-1=3，则下列选项中正确的有（）

A．𝑎2+𝑎-2=7B．𝑎12-𝑎-12=±1C．𝑎12+𝑎-12=±√5D．𝑎32+𝑎-32=2√5【解题思路】A选项，对𝑎+𝑎-1=3两边平方可得结果；B选项，先计算(𝑎12-𝑎-12)2=1，开方即可；C选项，先计算(𝑎12

+𝑎-12)2=5，再结合𝑎12>0,𝑎-12>0，开方求出答案；D选项，使用立方和即可求解.【解答过程】𝑎+𝑎-1=3两边平方得：(𝑎+𝑎-1)2=𝑎2+2+𝑎-2=9，所以𝑎2+𝑎-2=7，A正确；(𝑎12-𝑎

-12)2=𝑎-2+𝑎-1=3-2=1，因为𝑎12,𝑎-12的大小不确定，所以𝑎12-𝑎-12=±1，B正确；(𝑎12+𝑎-12)2=𝑎+2+𝑎-1=3+2=5，因为𝑎12>0,𝑎-12>0，所以𝑎12+𝑎-12=√5，C错误

；由立方和公式可得：𝑎32+𝑎-32=(𝑎12)3+(𝑎-12)3=(𝑎-12+𝑎12)(𝑎-1+𝑎-1)=√5×(3-1)=2√5，D正确.故选：ABD.10．（5分）（2022·全国·高一单元测试）已知当𝑥>𝑦>1时，lg𝑥>lg�

�>0．根据上述结论，若10𝑎=4，10𝑏=25，则（）A．𝑎+𝑏=2B．𝑏−𝑎=1C．𝑎𝑏>8(lg2)2D．𝑏−𝑎>lg6【解题思路】由对数函数的性质和运算法则，分析各选项即可.【解答过程】由10�

�=4，10𝑏=25，得𝑎=lg4，𝑏=lg25，选项A：𝑎+𝑏=lg4+lg5=lg100=2，正确；选项BD：𝑏−𝑎=lg25−lg4=lg254，因为254>6，所以lg254>lg6，B错误，D正确.选项C：𝑎𝑏=2×lg2×2×lg5>4lg2×lg4=8

(lg2)2，正确.故选ACD．11．（5分）（2022·浙江·高一期末）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+1|𝑥|（𝑎>0，𝑎≠1），则下列说法正确的是（）A．函数图象关于𝑦轴对称B．函数的图像关于(0,0)中心对称C．当𝑎>1时，函数在(0,+

∞)上单调递增D．当0<𝑎<1时，函数有最大值，且最大值为𝑎2【解题思路】根据函数奇偶性可判断A,B,由复合函数的单调性可判断C,D.【解答过程】𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+1|𝑥|的定义域为{𝑥|𝑥≠0}，当𝑥≠0时，则𝑓(−𝑥)=𝑎(−𝑥)2+1|−𝑥|=𝑎𝑥2

+1|𝑥|=𝑓(𝑥)，故𝑓(𝑥)是偶函数，因此图象关于𝑦轴对称，故A正确，B错误，当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+1𝑥=𝑎𝑥+1𝑥，令𝑢=𝑥+1𝑥，则𝑓(𝑢)=𝑎𝑢，当𝑎>1时，𝑓(𝑢

)=𝑎𝑢单调递增，𝑢=𝑥+1𝑥在0<𝑥<1上单调递减，在𝑥>1上单调递增，由复合函数的单调性可知:𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+1𝑥=𝑎𝑥+1𝑥在0<𝑥<1上单调递减，在𝑥>1上单调递增，故C错误，当0<𝑎<1时，当𝑥>0时，由于𝑓(𝑢)=𝑎�

�单调递减，𝑢=𝑥+1𝑥在0<𝑥<1上单调递减，在𝑥>1上单调递增，故𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+1𝑥=𝑎𝑥+1𝑥在0<𝑥<1上单调递增，在𝑥>1上单调递减，故当𝑥=1时，𝑓(𝑥)取最大值，且最大值为𝑓(1)=𝑎2，当𝑥<0时，由于𝑓(�

�)是偶函数，故最大值为𝑓(−1)=𝑎2，故D正确，故选：AD.12．（5分）（2022·河北·高三阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=e𝑥+12e𝑥+ln1-𝑥1+𝑥，则（）A．𝑓(𝑥)的定义域是(-1,1)B．𝑓(𝑥)是奇函数C．𝑓(𝑥)是单调减函数D．若�

�(𝑥2-2𝑥)>1，则0<𝑥<2，且𝑥≠1【解题思路】由对数型复合函数定义域可判断A；由奇函数的定义可判断B；利用指数函数及对数型复合函数的单调性可判断C；利用函数的单调性解不等式可判断D.【解答过程】对于A，由题意1-𝑥1+𝑥>0，即(𝑥+1)(

1-𝑥)>0⇒(𝑥+1)(𝑥-1)<0，解得-1<𝑥<1，所以𝑓(𝑥)的定义域是(-1,1)，故A正确；对于B，函数定义域关于原点对称，且𝑓(-𝑥)=e-𝑥+12e-𝑥+ln1+𝑥1-

𝑥=1+e𝑥2+ln1+𝑥1-𝑥，所以𝑓(-𝑥)+𝑓(𝑥)=1+𝑒𝑥2+ln1+𝑥1-𝑥+𝑒𝑥+12𝑒𝑥+ln1-𝑥1+𝑥=1+𝑒𝑥2+𝑒𝑥+12𝑒𝑥=(

𝑒𝑥+1)22𝑒𝑥>0所以𝑓(-𝑥)≠-𝑓(𝑥)，故𝑓(𝑥)不是奇函数，故B错误；对于C，𝑓(𝑥)=e𝑥+12e𝑥+ln1-𝑥1+𝑥=1+1e𝑥2+ln1+𝑥-2𝑥1+𝑥=12+12e𝑥+ln(1-21𝑥+1)，由指数型函数𝑦=

12e𝑥及对数型复合函数𝑦=ln(1-21𝑥+1)为(-1,1)上的减函数，所以𝑓(𝑥)是区间(-1,1)上的单调减函数，故C正确；对于D，由已知𝑓(0)=1，所以𝑓(𝑥2-2𝑥)>1等价于𝑓(𝑥2-2𝑥)>𝑓(0)，又𝑓(𝑥)是区间(

-1,1)上的单调减函数，故{-1<𝑥2-2𝑥<1𝑥2-2𝑥<0，解得0<𝑥<2且𝑥≠1，故D正确；故选：ACD.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2022·辽宁·高三阶段练习）已知𝑥1和𝑥2是方程9𝑥-3�

�+2+3=0的两根，则9𝑥1+9𝑥2𝑥1+𝑥2=75.【解题思路】由题知3𝑥1+3𝑥2=9，3𝑥1⋅3𝑥2=3，进而得𝑥1+𝑥2=1，再结合9𝑥1+9𝑥2=(3𝑥1+3𝑥2)2-2⋅3�

�1⋅3𝑥2求解即可.【解答过程】解：方程可化为(3𝑥)2-9⋅3𝑥+3=0，由韦达定理得3𝑥1+3𝑥2=9，3𝑥1⋅3𝑥2=3，所以3𝑥1+𝑥2=3，得𝑥1+𝑥2=1.又9𝑥1+9𝑥2=(3𝑥1+3𝑥2)2-2⋅3𝑥1⋅3𝑥2=81-6=75，所

以9𝑥1+9𝑥2𝑥1+𝑥2=75.故答案为：75.14．（5分）（2021·高一期中）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20∼79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上定义为醉酒驾车．

假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过5个小时才能驾驶．（结果保留整数，参考数据log0.70.2≈4.51）【解题思路】由题意可得𝑦

=100×0.7𝑥，指对数互化结合题中题意求解.【解答过程】设𝑥个小时后100ml血液中酒精含量为𝑦mg，则𝑦=100×(1-30%)𝑥，即𝑦=100×0.7𝑥，当𝑦=100×0.7𝑥<20，可得𝑥>log0.

70.2≈4.51，所以该驾驶员至少经过5个小时才能驾驶．故答案为：5.15．（5分）（2022·上海市高三阶段练习）已知定义在R上的偶函数𝑦=𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥)=𝑓(4-𝑥)，当𝑥∈[0,2]时，𝑓(𝑥)=2𝑥，则𝑓(-2022)

=4．【解题思路】根据𝑓(𝑥)=𝑓(4-𝑥)和𝑓(𝑥)为偶函数得到函数周期，然后利用周期性结合解析式求值即可.【解答过程】因为𝑓(𝑥)=𝑓(4-𝑥)，且𝑓(𝑥)为偶函数，所以𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥-4)，所以4是𝑓(𝑥)的一个周期，𝑓(-2022)=

𝑓(2)=22=4.故答案为：4.16．（5分）（2022·辽宁·高一阶段练习）已知定义在(0,+∞)上的函数𝑓(𝑥)={1-log3𝑥,0<𝑥≤3log3𝑥-1,3<𝑥≤94-√𝑥,𝑥>9，设𝑎,𝑏,𝑐为三个互不相同的实数，满足𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)=�

�(𝑐)，则𝑎𝑏𝑐的取值范围为(81,144).【解题思路】先判断函数的性质以及图像的特点，设𝑎<𝑏<𝑐，由图像得𝑎𝑏是个定值，及𝑐的取值范围，即可得出结论．【解答过程】解：作出𝑓(𝑥)的图像如图：当𝑥>9时，

由𝑓(𝑥)=4−√𝑥=0，得𝑥=16，若𝑎,𝑏,𝑐互不相等，不妨设𝑎<𝑏<𝑐，因为𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)=𝑓(𝑐)，所以由图像可知0<𝑎<3<𝑏<9,9<𝑐<16，由𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)，得1-log3𝑎=log3𝑏-1，即log3𝑎+

log3𝑏=2，即log3(𝑎𝑏)=2，则𝑎𝑏=9，所以𝑎𝑏𝑐=9𝑐，因为9<𝑐<16，所以81<9𝑐<144，即81<𝑎𝑏𝑐<144，所以𝑎𝑏𝑐的取值范围是(81,144)．故答案为：(81,144

)．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022·江苏·高一阶段练习）计算：(1)求值：0.125-13-(98)0+[(-2)2]32+(√2×√33)6；(2)12lg25+lg2-lg√0.1-log29×log32．【解题思路】（1）根据指数式的运算直接计算即可；（2）

根据对数式的运算直接计算即可．【解答过程】（1）原式=[(2)-3]-13-(98)0+(22)⬚32+(212×313)⬚6=2-1+8+8×9=81；（2）原式=lg5+lg2-12lg110-2log23×log3

2=1+12-2=-12.18．（12分）（2022·北京市高三阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥-2的图象经过点(1,12)，其中𝑎>0且𝑎≠1．(1)若𝑓(𝑡+2)=3，求实数𝑎和𝑡的值；(2)设函数𝑔(𝑥)={|

𝑥+1|,𝑥≤0𝑎𝑥-1,𝑥>0，请你在平面直角坐标系中作出𝑔(𝑥)的简图，①并根据图象写出该函数的单调递增区间.②求𝑔(𝑥)≤1的解集.【解题思路】（1）由𝑓(1)=12可求得𝑎的值

，可得出函数𝑓(𝑥)的解析式，进而可解方程𝑓(𝑡+2)=3，可得出𝑡的值；（2）①根据函数𝑔(𝑥)的解析式可作出函数𝑔(𝑥)的图象，根据图象可得出函数𝑔(𝑥)的单调递增区间；②分𝑥≤0、𝑥>0两种情况解不等式𝑔(

𝑥)≤1，综合可得出不等式𝑔(𝑥)≤1的解集.【解答过程】（1）解：由题意可得𝑓(1)=𝑎-1=12，解得𝑎=2，则𝑓(𝑥)=2𝑥-2，所以，𝑓(𝑡+2)=2𝑡=3，可得𝑡=log23

.（2）解：①由（1）可得𝑔(𝑥)={|𝑥+1|,𝑥≤02𝑥-1,𝑥>0，作出函数𝑔(𝑥)的图象如下图所示：由图可知，函数𝑔(𝑥)的单调递增区间为[-1,0]、(0,+∞)；②当𝑥≤0时，由𝑔(𝑥)=|𝑥+1|≤1可得-1≤�

�+1≤1，解得-2≤𝑥≤0，此时-2≤𝑥≤0；当𝑥>0时，由𝑔(𝑥)=2𝑥-1≤1可得2𝑥≤2，解得𝑥≤1，此时0<𝑥≤1.综上所述，不等式𝑔(𝑥)≤1的解集为[-2,1].19．（12分）（

2022·全国·高一专题练习）阅读材料求方程𝑥2−2=0的近似根有很多种算法，下面给出两种常见算法：方法一：设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005，算法：第一步：令𝑓(𝑥)=𝑥2−2．因为𝑓(1)

<0，𝑓(2)>0，所以设𝑥1=1，𝑥2=2．第二步：令𝑚=𝑥1+𝑥22，判断𝑓(𝑚)是否为0．若是，则𝑚为所求；若否，则继续判断𝑓(𝑥1)⋅𝑓(𝑚)大于0还是小于0．第三步：若𝑓(𝑥

1)⋅𝑓(𝑚)>0，则𝑥1=𝑚；否则，令𝑥2=𝑚．第四步：判断|𝑥1−𝑥2|<0.005是否成立？若是，则𝑥1,𝑥2之间的任意值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步．方法二：考虑𝑥2−2=0的

一种等价形式变形如下：𝑥=2𝑥，∴𝑥+𝑥=(𝑥+2𝑥)，∴𝑥=12(𝑥+2𝑥)这就可以形成一个迭代算法：给定𝑥0根据𝑥𝑘+1=12(𝑥𝑘+2𝑥𝑘)，𝑘=0，1，2，…

计算多次后可以得到一个近似值(1)分别运用方法一和方法二计算√2的近似值（结果保留4位有效数字），比较两种方法迭代速度的快慢；(2)根据以上阅读材料，设计合适的方案计算√5的近似值（精确到0.001）．【解题思路】（1）按照方法一和方法二进行迭代

求解，求出相应的近似值；（2）结合第一问作出的判断，选择方法二进行迭代求解.【解答过程】（1）𝑚=𝑥1+𝑥22=32，𝑓(32)=94−2=14>0，𝑓(1)⋅𝑓(32)<0，则𝑥2=32，所以|𝑥1−𝑥2|=|1−32|>0.005，返回

第二步；令𝑚=1+322=54，𝑓(54)=2516−2=−716<0，𝑓(1)⋅𝑓(54)>0，令𝑥1=54，所以|𝑥1−𝑥2|=|54−32|>0.005，返回第二步；令𝑚=54+322=

118，𝑓(118)=12164−2=−764<0，𝑓(54)⋅𝑓(118)>0，令𝑥1=118，所以|𝑥1−𝑥2|=|118−32|>0.005，返回第二步；令𝑚=118+322=2316，𝑓(2316)=529256

−2=17256>0，𝑓(118)⋅𝑓(2316)<0，令𝑥2=2316，所以|𝑥1−𝑥2|=|118−2316|>0.005，返回第二步；令𝑚=118+23162=4532，𝑓(4532)=20251024−2=−23256<0，𝑓(118)⋅𝑓(4532)>0，令𝑥1

=4532，所以|𝑥1−𝑥2|=|4532−2316|>0.005，返回第二步；令𝑚=4532+23162=9164，𝑓(9164)=82814096−2=894096>0，𝑓(9164)⋅𝑓(4532)<0，令𝑥2=9164，所以|𝑥1−𝑥2|=|

4532−9164|>0.005，返回第二步；令𝑚=4532+91642=181128，𝑓(181128)=3276116384−2=−716384<0，𝑓(4532)⋅𝑓(181128)>0

，令𝑥1=181128，所以|𝑥1−𝑥2|=|181128−9164|>0.005，返回第二步；令𝑚=9164+1811282=363256，𝑓(363256)=13176965536−2=69765536

>0，𝑓(181128)⋅𝑓(361256)<0，令𝑥2=363256，所以|𝑥1−𝑥2|=|363256−181128|<0.005，则𝑥1,𝑥2之间的任意值均为满足条件的近似值，其中𝑥2=363256≈1.418，𝑥1=181128≈1.414取可取1.414方法二：

𝑥𝑘+1=12(𝑥𝑘+2𝑥𝑘)，𝑘=0，1，2，…，不妨取𝑥0=1，则𝑥1=12(𝑥0+2𝑥0)=32，𝑥2=12(𝑥1+2𝑥1)=12(32+43)=1712，𝑥3=12(𝑥2

+2𝑥2)=12(1712+2417)=577408，其中577408≈1.414，显然，方法二的迭代速度更快（2）考虑𝑥2−5=0的一种等价形式，𝑥=5𝑥，∴𝑥+𝑥=(𝑥+5𝑥)，∴𝑥=12(𝑥+5𝑥)这就可以形成一

个迭代算法：给定𝑥0=2则𝑥𝑘+1=12(𝑥𝑘+5𝑥𝑘)，𝑘=0，1，2，…，计算过程如下：𝑥1=12(𝑥0+5𝑥0)=94，𝑥2=12(𝑥1+5𝑥1)=16172，𝑥3=12(𝑥2+5�

�2)=5184123184≈2.236.20．（12分）（2022·山东省高一期中）已知定义域为R的函数𝑓(𝑥)=-2𝑥+𝑏2𝑥+𝑎是奇函数．(1)求a，b的值．(2)判断函数𝑓(𝑥)的单

调性，并用定义证明．(3)当𝑥∈[1,3]时，𝑓(𝑘𝑥2)+𝑓(2𝑥-1)>0恒成立，求实数k的取值范围．【解题思路】（1）根据奇函数的性质，由𝑓(0)=0，𝑓(-1)=-𝑓(1)，

建立方程，结合奇函数定义，可得答案；（2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案；（3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案.【解答过程】（1）因为𝑓(𝑥)在定义域为R上是奇函数，所以𝑓(0)=0，即

-1+𝑏1+𝑎=0，∴𝑏=1，又∵𝑓(-1)=-𝑓(1)，即-12+112+𝑎=12+𝑎，∴𝑎=1．则𝑓(𝑥)=-2𝑥+12𝑥+1，由𝑓(-𝑥)=-2-𝑥+12-𝑥+1=-1+2𝑥1+2𝑥=--2-𝑥+12-𝑥+1=-

𝑓(𝑥)，则当𝑎=1，𝑏=1原函数为奇函数．（2）由（1）知𝑓(𝑥)=1-2𝑥1+2𝑥=-1+22𝑥+1，任取𝑥1,𝑥2∈R，设𝑥1<𝑥2，则𝑓(𝑥2)-𝑓(𝑥1)=22𝑥2+1-22𝑥1+1=2(2𝑥1-2𝑥2)(2𝑥1+1)(2𝑥2+1)，

因为函数𝑦=2𝑥在R上是增函数，∵𝑥1<𝑥2，∴2𝑥1-2𝑥2<0．又(2𝑥1+1)(2𝑥2+1)>0，∴𝑓(𝑥2)-𝑓(𝑥1)<0，即𝑓(𝑥2)<𝑓(𝑥1)，∴𝑓(𝑥

)在(-∞,+∞)上为减涵数．（3）因𝑓(𝑥)是奇函数，从而不等式：𝑓(𝑘𝑥2)+𝑓(2𝑥-1)>0，等价于𝑓(𝑘𝑥2)>-𝑓(2𝑥-1)=𝑓(1-2𝑥)，因𝑓(𝑥)为减函数，由上式推

得：𝑘𝑥2<1-2𝑥．即对一切𝑥∈[1,3]有：𝑘<1-2𝑥𝑥2恒成立，设𝑔(𝑥)=1-2𝑥𝑥2=(1𝑥)2-2⋅1𝑥，令𝑡=1𝑥,𝑡∈[13,1]，则有𝐺(𝑡)=𝑡2-2𝑡=(𝑡-1)2-1,𝑡∈[13,1]，∴𝑔(𝑥)min=𝐺(𝑡

)min=𝐺(1)=-1，∴𝑘<-1，即k的取值范围为(-∞,-1)．21．（12分）（2022·湖南·高一阶段练习）已知定义在R上的函数𝑓(𝑥)满足𝑓(−𝑥)−𝑓(𝑥)=0且𝑓(𝑥)=log2(2𝑥+1)+𝑘𝑥，

𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑥．(1)求𝑓(𝑥)的解析式；(2)若不等式𝑔(4𝑥−𝑎⋅2𝑥+1)>𝑔(−3)恒成立，求实数a取值范围；(3)设ℎ(𝑥)=𝑥2−2𝑚𝑥+1，若对任意的�

�1∈[0,3]，存在𝑥2∈[1,3]，使得𝑔(𝑥1)≥ℎ(𝑥2)，求实数m取值范围．【解题思路】（1）根据𝑓(−𝑥)−𝑓(𝑥)=0，代入计算可得；（2）根据𝑔(𝑥)单调性得4𝑥−𝑎⋅2𝑥+1>−3，分离参数求最值即可.（3）因为对任意的𝑥1∈[

0,3]，存在𝑥2∈[1,3]，使得𝑔(𝑥1)≥ℎ(𝑥2)，等价于𝑔(𝑥)min≥ℎ(𝑥)min，先求𝑔(𝑥)的最小值，再分类讨论对称轴𝑥=𝑚与区间[1,3]的位置关系，使ℎ(𝑥)的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.【解答过程】（

1）由题意知，log2(2−𝑥+1)−𝑘𝑥−log2(2𝑥+1)−𝑘𝑥=0，即2𝑘𝑥=log2(2−𝑥+1)−log2(2𝑥+1)=log22−𝑥+12𝑥+1=−𝑥，所以𝑘=−12，故𝑓(𝑥)=log2(2𝑥+1)−12𝑥.（2）由（1）知，𝑔(𝑥)=𝑓(

𝑥)+𝑥=log2(2𝑥+1)+12𝑥，所以𝑔(𝑥)在R上单调递增，所以不等式𝑔(4𝑥−𝑎⋅2𝑥+1)>𝑔(−3)恒成立等价于4𝑥−𝑎⋅2𝑥+1>−3，即𝑎<4𝑥+42𝑥恒成立.设𝑡=2𝑥，则𝑡>0，4𝑥+42

𝑥=𝑡2+4𝑡=𝑡+4𝑡≥4，当且仅当𝑡=2，即𝑥=1时取等号，所以𝑎<4，故实数a的取值范围是(−∞,4).（3）因为对任意的𝑥1∈[0,3]，存在𝑥2∈[1,3]，使得𝑔(𝑥1)≥ℎ(𝑥2)，所以𝑔(𝑥)在[0,3]上的最小值

不小于ℎ(𝑥)在[1,3]上的最小值，因为𝑔(𝑥)=log2(2𝑥+1)+12𝑥在[0,3]上单调递增，所以当𝑥∈[0,3]时，𝑔(𝑥)min=𝑔(0)=1，又ℎ(𝑥)=𝑥2−2𝑚𝑥+1的对称轴为𝑥=𝑚，𝑥∈[1,3]

，当𝑚≤1时，ℎ(𝑥)在[1,3]上单调递增，ℎ(𝑥)min=ℎ(1)=2−2𝑚≤1，解得𝑚≥12，所以12≤𝑚≤1；当1<𝑚<3时，ℎ(𝑥)在[1,𝑚)上单调递减，在[𝑚,3]上单调递增，ℎ(𝑥)min=ℎ(𝑚)

=1−𝑚2≤1，解得𝑚∈𝑅，所以1<𝑚<3；当𝑚≥3时，ℎ(𝑥)在[1,3]上单调递减，ℎ(𝑥)min=ℎ(3)=10−6𝑚≤1，解得𝑚≥32，所以𝑚≥3，综上可知，实数m的取值范围是[12,+

∞).22．（12分）（2022·安徽·高三阶段练习）设𝑓(𝑥)=2-𝑥+𝑎1+𝑥（a为实常数），𝑦=𝑔(𝑥)与𝑦=-e-𝑥的图像关于y轴对称.(1)若函数𝑦=𝑓[𝑔(𝑥)]为奇函数，求a的

取值；(2)当a=0时，若关于x的方程𝑓[𝑔(𝑥)]=𝑔(𝑥)𝑚有两个不等实根，求m的范围；(3)当|a|<1时，求方程𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)的实数根个数，并加以证明.【解题思路】（1）由奇函

数的性质列方程即可求得𝑎的值；（2）把关于x的方程𝑓[𝑔(𝑥)]=𝑔(𝑥)𝑚有两个不等实根，转化成一元二次方程根的分布去解决即可；（3）先构建一个新函数ℎ(𝑥)=𝑔(𝑥)-𝑓(𝑥)，再去判定函数ℎ(𝑥)的零点情况即可解

决.【解答过程】（1）设点𝑃(𝑥,𝑦)为𝑔(𝑥)图像上任意一点，𝑃(𝑥,𝑦)关于原点的对称点为𝑃'(-𝑥,-𝑦)，由题意可知𝑃'(-𝑥,-𝑦)在𝑦=-e-𝑥上，则有，-𝑦=-e𝑥，故𝑔(𝑥)=𝑒𝑥由𝑦=𝑓[𝑔(𝑥)]=2-e𝑥+𝑎1+e�

�为奇函数，则有𝑓[𝑔(0)]=2-e0+𝑎1+e0=1+𝑎2=0故，𝑎=-1（经检验，𝑎=-1时𝑓[𝑔(𝑥)]是奇函数）（2）𝑎=0时，𝑓(𝑥)=2-𝑥1+𝑥由𝑓[𝑔

(𝑥)]=𝑔(𝑥)𝑚可得，2-e𝑥1+e𝑥=e𝑥𝑚，即e2𝑥+(1+𝑚)e𝑥-2𝑚=0令e𝑥=𝑡，则𝑡2+(1+𝑚)𝑡-2𝑚=0有两个不等正根则有，{(1+𝑚)2-4(-2𝑚)>0-(1+𝑚)>0-2𝑚>0，解之得，𝑚<-5-2√6（3）令ℎ(𝑥)

=𝑔(𝑥)-𝑓(𝑥)=e𝑥-2-𝑥+𝑎1+𝑥=e𝑥+1-3+𝑎𝑥+1由|𝑎|<1，可知𝑎+3>0，则𝑥>-1时，𝑦=e𝑥+1与𝑦=-3+𝑎𝑥+1均单调递增，故ℎ(𝑥)在(-1,+∞)上单调递增，又|�

�|<1时，ℎ(0)=e0+1-(𝑎+3)=-1-𝑎<0，ℎ(1)=e1+1-𝑎+32=e-𝑎+12>e-1>0，故ℎ(𝑥)在(-1,+∞)上有唯一零点；又当𝑥∈(-∞,-1)时，ℎ(𝑥)=e�

�+1-3+𝑎𝑥+1>0恒成立，即ℎ(𝑥)在(-∞,-1)上无零点.综上可知，方程𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)有且仅有一个实数根.