【文档说明】广东省广州七中2022-2023学年高三上学期1月月考 数学 答案.docx，共(25)页，1.475 MB，由管理员店铺上传

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广州七中2023届高三1月月考试卷本试卷共22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应

题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择

题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若i12izz+=−，则|i|z−=（）A.55B.105C.5D.10【答案】A【解析】【分析】先化简求解iz−,即可求解复数的模.【详解】

解：由题意得1i2iz=+−,则()()()()1i2i+1i2i1ii12iii2i2i2i2i2i5z+−−++−−−=−====−−−−+，22125|i|555z−=+−=，故选：A.2.已知集合{|217}Axx=+，{|2}Byy=≤，则（）A.AB

=B.(3,4]AB=C.AB=RD.(,4]AB=−【答案】B【解析】【分析】化简A、B，进行交集、并集运算即可判断【详解】(){|217}3,Axx=+=+，{|2}0,4Byy==≤，故(3,4]AB=，)0,AB=+.故选：B3.已知1312a−=

，13logeb=，0.13c−=，则（）A.abcB.acbC.bacD.b<c<a【答案】D【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【详解】10311122a−==

，133logelog10b==，0.100331c−==，故b<c<a.故选：D.4.农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀的智慧结品”.它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”，约为29.5306天.由于

历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适应设数列na满足123111223111,,,111aaabbbbbb===+++，其中nb均为正整数

，且12b=，21b=，32b=，41b=，51b=，616b=，…，那么第n级修正是“平均一年闰na个月”，已知我国农历为“19年共闰7个月”，则它是（）A.第3级修正B.第4级修正C.第5级修正D.第6级修正【答案】C【解析】【分析】根据题意依次求

出123456,,,,,aaaaaa，再判断哪一个等于719即可.【详解】因为数列{}na满足111ab=，21211abb=+，3123111abbb=++，…，其中nb均为正整数：12b=，21b=，32b=，41b=，5

1b=，616b=，…，所以11112ab==，2111321a==+，313182112a==++，41234114111121111121abbbb===++++++，512345117111921111121111abbbbb===++++++++

，所以“19年共闰7个月”为第5级修正，故选：C5.若sin2cossin1cos2cossin−=++，则tan2=（）A.2−B.2C.1−D.1【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解1tantan1tan−=

+，即2tan2tan1+=，再由二倍角正切公式代入计算可得.【详解】解：因为sin2cossin1cos2cossin−=++，所以22sincoscossin2coscossin−=+，所以sincossincoscossin

−=+，即1tantan1tan−=+，即2tan2tan1+=，所以2221tan22tan21tantan211tan1tan12tantan−+====−−++；故选：D6.已知椭

圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，上顶点为A，直线1AF与C的另一个交点为B．若22AFBF⊥，则C的离心率为（）A.255B.55C.45D.35【答案】B【解析】【分析】由22AFBF⊥求出B点坐标，代入椭圆方程

，可求得离心率.【详解】左、右焦点分别为1F，2F，上顶点为A，∴12AFAFa==，设1BFn=，则22BFna=−，由22AFBF⊥，根据勾股定理，有22222ABAFBF=+，即()()2222anaan+=+−解得23na=，即123BFa=，由(

0,)Ab，1(,0)Fc−，1AFa=，123BFa=，1,,BFA三点共线，∴52(,)33Bcb−−，代入椭圆方程，有222231523cbab−−+=，化简得2215ca

=，所以椭圆离心率为55cea==.故选：B7.在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABC，2AD=，且异面直线AD与BC的夹角为30，则ABCD+的最大值为（）A.22B.2C.62D.6【

答案】B【解析】【分析】先根据题意画出图形，设出各边的值，异面直线AD与BC的夹角为30可求出BC,最后用三角换元法可求出答案.【详解】如图，将四面体ABCD放在一个长方体中，设,,ABaBCbCDc===，因为2AD=，所以222222ADACCDabc=+=+

+=即2224abc++=，因为//DECB，所以异面直线AD与BC的夹角为30EDA=，在ADEV，2222cos30AEDEADDEAD=+−即22234222acbb+=+−，联立2222

22434222abcacbb++=+=+−解得3b=，所以221ac+=设sin,cosac==，sincos2sin24ac+=+=+，所以，ABCD+的最大值为2.故选：B8.已知圆O的半径为1，A，B，C，D为圆O上四点，且||||1ABCD=

=，则ACADBCBD+的最大值为（）A.3B.23C.6D.43【答案】C【解析】【分析】借助单位圆建立直角坐标系，用向量数量积坐标运算求最大值.【详解】知圆O的半径为1，A，B，C，D为圆O上四点，且1ABCD==，3AOBCOD==π，为O为原点，OA为x

轴建立如图所示的直角坐标系：的则()1,0A，13,22B，设()cos,sinC，则有ππcos,sin33D++，()cosα1,sinαAC=−，cosα1,si

nα33AD=+−+ππ，13cosα,sinα22BC=−−，13cosα,sinα3232BD=+−+−ππ

，()cosα1,sinαcosα1,sinα331313cosα,sinαcosα,sinα223232ACADBCBD+=−+−++−−+

−+−ππππ化简得33cosαACADBCBD+=−，由1cos1−，当cos1=−时，ACADBCBD+有最大值6.故选：C【点睛】数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最

值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等，解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.二、选择题

：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()(ee)xxfxx−=+，则（）A.()fx是偶函数B.()fx单调递增C.曲线()yfx=在点(0,(0))f处切线的斜率为0D.23(log3)

()02ff+−【答案】BD【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断A，根据导函数即可判断函数单调性，根据导数的几何意义，即可求切线斜率，根据函数单调性和奇偶性，即可比较23(log3),()2ff−的大小.

【详解】解：函数定义域为R，又()(ee)()xxfxxfx−−=−+=−，所以函数为奇函数，故A错误；()(ee)(ee)xxxxfxx−−=++−，当0x=时，()0fx，当0x时，ee0xx−+，1e1,01exx

，所以()ee0,ee0xxxxx−−−−，所以()0fx，当0x时，ee0xx−+，11e0,1exx，所以()ee0,ee0xxxxx−−−−，所以()0fx，综上()0fx恒成立，故()fx单调递增，故B正确；

由B得，曲线()yfx=在点(0,(0))f处切线的斜率为(0)2kf==，故C错误；因为()fx在R上单调递增，且223log3log82=，所以23(log3)()2ff，所以2233(log3)()(log3)()022ffff+−=−，故D正

确.故选：BD.10.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出的球的数字为1X，第二次取出的球的数字为2X．设12[]XXX=，其中[]x表示不超过x的最大整数，如[1]1=，

[2.5]2=，则（）A.125()12PXX=B.122(5)9PXX+==C.事件“16X=”与“X0=”互斥D.事件“21X=”与“X0=”对立【答案】AC【解析】【分析】根据古典概型运算公式，结合互斥事件和对立事件的定义逐一判断即可.【详解】因为从中有放回的随机取两次，所以有6636

=种可能，有6种情况，所以12XX情况共有366152−=，所以12155()3612PXX==，因此选项A正确；两次取球数字和为5有以下4种情况：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，所以1241(5)369PXX+=

==，因此选项B正确；当16X=时，1226[][]0XXXX==，所以事件“16X=”与“X0=”互斥，因此选项C正确；当21X=时，112[][]0XXXX==，但是当212,2XX==时，12[]10XXX==

，所以事件“21X=”与“X0=”不是对立事件，故选：AC11.设双曲线222:1(0)2xyCbb−=的左、右焦点分别为1F，2F．点O为坐标原点，点(1,3)M，12MFMF⊥，点P为C右支上一点，则（）A.C的渐近线方程为yx=B.212||||||POPFPF=C.当P，M，1F

，2F四点共圆时，115PFM=D.当P，M，1F，2F四点共圆时，1215PFF=【答案】ABD【解析】【分析】对A，由11220MFMFFMMF⊥=，解出c，即可求b，求出渐近线；对B，设(),Pxy()2x，则222xy−=，结合12,PFexaPFexa=+=−，

222||POxy=+即可判断；对CD，由四点共圆，12MFMF⊥得12FF为直径，则有2221212||||PFPFFF+=，可解出3x=，即可算出2121tanPFPFFPF=、12tanMFF，根据P、M所在象限从而判断角【详解】由()

1,0Fc−，()2,0Fc，()()211,3,1,3McFFMc=−−−=−−，的则12122130MMFFMFMFc⊥=−+=，解得()20cc=，由2a=，故222bca=−=设(),Pxy()2x，则()()2222

2222222221222axcyaxacxacayPFxcyaa+++++=++==，由双曲线方程得222222bxayab−=，∴()2222222222222422212222axacxacbxabcxacxacxaPFexaaaa+++−+++====+，故1PFex

a=+，同理()2222PFxcy=−+()222cxaexaa−+==−+，故2PFexa=−，则1222,22PFxPFx=+=−，对A，C的渐近线方程为byxxa==，A对；对B，(),Pxy代入椭圆得22

2xy−=，则2222||22POxyx=+=−，2212||||22PFPFxPO=−=，B对；对CD，P，M，1F，2F四点共圆，12MFMF⊥，故2124FFc==为直径，则12PFPF⊥，由B得，2221212||||PFPFFF+=，即()()22212116xx++−=，解得3x

=，故1262,62PFPF=+=−，2121tan23PFPFFPF==−，又22tan153tan301tan153==−，解得tan1523=−，故1215PFF=，()()()()22212122212133tan303213MFMFFMF

FMF−+−====−−+−，M为第一象限的点，P可能为第一、第四象限的点，故115PFM=或45，C错D对.故选：ABD.12.如图，在五面体PQABCD中，底面ABCD为矩形，ADP和BCQ△均为等边三角形，//PQ平面ABCD，7AB=

，23AD=，且二面角PADC−−和QBCA−−的大小均为((0,))．设五面体PQABCD的各个顶点均位于球O的表面上，则（）A.有且仅有一个，使得五面体PQABCD为三棱柱B.有且仅有两个，使得平面ADP⊥平面BCQC.当1cos4=−时，五

面体PQABCD的体积取得最大值D.当cos0=时，球O的半径取得最小值【答案】ABC【解析】【分析】根据棱柱的定义，主要利用线面、面面平行判定和性质定理判定A；利用线面、面面垂直的判定定理和性质定理判定B；利用体积分割，求得体积关于角度的函数关系，利用导数判定函数单调

性，进而求得五面体的体积最大值的条件，从而判定C；利用球的性质找到外接球的球心，进而得到半径的变化规律，从而判定何时外接球的半径最小，从而判定D.【详解】对于选项A:∵//PQ平面ABCD,经过PQ的平面PQBA与

平面ABCD交于直线AB,∴//PQAB,取,ADBC的中点分别为,EF,连接EF,则////EFABPQ连接,PEQF,∵ADP和BCQ△均为等边三角形，∴,PEADQFBC⊥⊥,又∵底面ABCD为矩形，∴EF垂直,ADBC,故得二面角PADC−−的平面角为=PEF,二面角QBC

A−−的平面角为=QFE,因为//ADBC，,ADBC分别在平面PAD和平面QBC中，平面PQEF与平面PAD和QBC分别交于直线,PEQF，所以当且仅当//PEQF时，平面//PAD平面QBC,故当且仅当PEFPFE+=+=，即π2=时，平面//

PAD平面QBC,即五面体PQABCD为三棱柱，故A正确；对于选项B:当平面PAD和平面QBC不平行时，它们的交线为l,由于//ADBC,BC平面QBC，AD平面QBC，∴//AD平面QBC,又∵AD平面PAD,平面PAD平面QBC=直线l，∴//ADl，∴,PEl⊥同理QFl⊥，∴当且仅

当PEQF⊥时，平面PAD⊥平面QBC，由于四边形PQFE为等腰梯形，∴当且仅当π4=或3π4=时，PEQF⊥,∴当且仅当π4=或3π4=时，平面PAD⊥平面QBC，故B正确；对于选项C:设PEF的补角为=−，过A作直线AR与直

线PQ垂直相交，垂足为R，连接DR,∵AD⊥EF,EF//PQ,∴AD⊥PQ,又∵AD∩AR=A,AD,AR⊂平面ADF,∴平面ADR⊥直线PQ，同理做出S,得到平面SBC⊥直线PQ，,ADRBCS为直三棱柱ADRBCS−的底面，且RS=EF为直三棱柱的高，PR、QS为三棱锥PA

DR−和QBCS−的底面上的高因为()cos=cosπ=cos−−，3cos,3sin.OGPG==所以五面体PQABCD的体积为++PAEDQFCBADEBCFVVVV−−−=（如上图）或ADRBCS

PADRQBCSVVVV−−−−−=（如下图）两种情况下都有11=233sin23cos+723V()()2=33sin2cos+7=331cos2cos+7−，令=cos,(0,π),t则()1,1t−，所以()2=3312+7Vtt−

，对V求导得()()222142(2+7)=33+631=2311ttttVttt−−−−+−，令0V=得=2t−（舍去）或14t=，1,14t0V,11,4t−,0,V故14t=时体积取得极大值也是最大值.所以()1cos=cosπ=cos

=4−−，所以1cos=4−.五面体PQABCD的体积取得最大值.故C正确；对于D项：取等边QBC的中心1O，EF的中点2O，过1O作平面QBC的垂线与过2O的平面ABCD的垂线的交点O即为五面体PQABCD的外接球的球心

，如图所示，连接OB,2BO,则2222rOBOOOB==+,∵四边形ABCD为边长一定的矩形，∴2OB为定值，∴当且仅当1OO最小，即1,OO重合时外接球的半径最小，此时为锐角，故D不对.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.8

2()2yxx+的展开式中22xy的系数为__________（用数字作答）．【答案】7【解析】【分析】根据二项式通项公式进行求解即可.【详解】二项式82()2yxx+的通项公式为：88318821CC22rrrrrrrryTxxyx−−

+==，令2r=，所以22xy的系数为2281C72=，故答案为：714.书架上放有2本语文书和3本数学书，学生甲先随机取走2本书，学生乙再在剩下的书中随机取走1本书．已知甲

至少取走了1本数学书，则乙取走语文书的概率为__________．【答案】49【解析】【分析】根据题意列出样本空间“甲至少取走了1本数学书”所包含的样本点，再根据全概率公式即可求解.【详解】解：记2本语文书为,ab，3本数学书为1

,2,3，则甲至少取走了1本数学书包含以下基本事件：(,1),(,2),(,3),(,1),(,2),(,3),(1,2),(2,3),(1,3)aaabbb共9个基本事件，设“甲至少取走了1本数学书的情况下甲取走i本数学书”为事件iA，“乙取走语文书”为

事件B，则事件iA包含(,1),(,2),(,3),(,1),(,2),(,3)aaabbb共6个基本事件，故162(),93PA==同理可得122112(|),(),(|),333PBAPAPBA===

则()()()112221124(|)(|)33339PBPAPBAPAPBA=+=+=，故答案为：4915.已知奇函数()cos()(0)fxx=+在ππ(,)1212−单调递减，且1()32f=−，则(π)f=__________．

【答案】-1【解析】【分析】由题目条件得到()fx解析式，再求(π)f的值.的【详解】()fx为奇函数，∴(0)cos0f==，π+π2k=()kZ∴()sinfxx=或()sinfxx=−，

由()fx在ππ(,)1212−单调递减，∴()sinfxx=−且ππ122，得061()sin332f=−=−，12=或52=，∴()sin2xfx=−或5()sin2xfx=−，当()sin2xfx=−时，π(π)sin12f=−=−，当5()sin2xf

x=−时，5π(π)sin12f=−=−.故答案为：-116.已知函数32()fxxaxbxc=+++恰有两个零点1x，2x和一个极大值点0102()xxxx，且1x，0x，2x成等比数列，则21xx=

__________；若0()()fxfx的解集为(5,)+，则()fx的极大值为__________．【答案】①.4②.4【解析】【分析】根据已知，结合三次函数的图象特征可得2x是()fx的极小值点，借助导数及函数零点可得102,,xxx的关系即可求出21xx；由不等式的

解集求出0x，再验证即可求出极大值作答.【详解】因三次函数32()fxxaxbxc=+++有一个极大值点0x，则该函数必有一个极小值点，且极小值点大于0x，又()fx恰有两个零点1x，2x，且102xxx，因此2x也是()fx的极小值点，求导得：2()32fxx

axb=++，即0x，2x是方程()0fx=的二根，有02022313xxaxxb+=−=，即02023()23axxbxx=−+=，显然2322121212212()()()(2)(2)fxxxxxxxxxxxxxxx=−−=−+++−，则12023(2)()2xxa

xx−+==−+，整理得12023xxx+=，两边平方得：22211220449xxxxx++=，因102,,xxx成等比数列，即2012xxx=，于是得22112212449xxxxxx++=，即1212(4)()0xxxx−−=，而1

2xx，有124xx=，所以214xx=；显然有10201,22xxxx==，2001()()(2)2fxxxxx=−−，23000011()()()(2)022fxfxxxxxx−−−，因0()()fxfx的解集为(5,)+

，则5是方程2300011()(2)022xxxxx−−−=的根，即有2300011(5)(52)022xxx−−−=，整理得：200(2)(5)0xx−−=，解得02x=或05x=，当02x=时，2()(1)(4)f

xxx=−−，0()4fx=，不等式22(1)(4)4(2)(5)0xxxx−−−−，解得5x，符合题意，函数()fx的极大值为0()4fx=，当05x=时，25()()(10)2fxxx=−−，0125()2fx=，不等式22512525()(10)(5)()0222

xxxx−−−−，解得252x，不符合题意，舍去，所以函数()fx的极大值为0()4fx=.故答案为：4；4【点睛】方法点睛：可导函数()yfx=在点0x处取得极值的充要条件是0()0fx=，且在0x左侧与右侧()fx的符号不同．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤．17.记nS为数列{}na的前n项和，已知12(1)21nnnanaaS+−++=−．证明：（1）{}nS为等比数列；（2）12127nnaaa+++．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据

递推式可得11122nnnnnSaSSS++++==−，即12nnSS+=，由等比数列定义证明即可；（2）由（1）求得21,12,2nnnan−==，进而求出1212...nnaaa+++通项公式，结合23212222iiiiii−−−++=−，

即可证结论.【小问1详解】由已知得12(1)...21nnnanaaS+−++=−①，1211(1)...221nnnnanaaaS+++++++=−②，②−①：11122nnnnnSaSSS++++==−，即12nnSS+=，特别地，①中令1n=

得：1121naSS==−，即11S=，所以{}nS是首项为1，公比为2的等比数列；【小问2详解】由（1）知：12nnS−=，所以211,1{2,2nnnnnaSSn−−==−=，故12221,112...1,22nniinninaaa−==+++=+，注意到232

12222iiiiii−−−++=−，显然1n=时1117a=成立；当2n时，32222121212221()1(6)772222niinninniinnaaa−−−−=+++++++=+−=+−=−，所以12127nnaaa+++

得证.18.我国航空事业的发展，离不开航天器上精密的零件．某车间使用数控机床制造一种圆形齿轮零件A．由于零件A的高精度要求，该车间负责人需要每隔一个生产周期对所生产零件的直径进行统计，排查机床可能存在的问题并及

时调试维修．已知该负责人在两个相邻生产周期（分别记为周期Ⅰ和周期Ⅱ）中分别随机检查了10枚零件A，测量得到的直径（单位：mm）如下表所示：周期Ⅰ4.95.15.05.05.15.04.95.25.04.8周期Ⅱ4.85.25.05.04.84.85.25.15.0

5.1的周期Ⅰ和周期Ⅱ中所生产零件A直径的样本平均数分别记为1x和2x，样本方差分别记为21s和22s．（1）求1x，2x，21s，22s；（2）判断机床在周期Ⅱ是否出现了比周期Ⅰ更严重的问题（如果22212.050ss，则认为机床在周期Ⅱ出现了比周期Ⅰ更严重的问题，否则不认为出现了

更严重的问题）．【答案】（1）5.0；5.0；0.012；0.022（2）无法推测机床在周期Ⅱ出现了比周期Ⅰ更严重的问题．【解析】【分析】(1)根据平均数，方差公式即可求解.(2)根据题中公式，进行求值比较，即可求解.【小问1

详解】由表可知12222122221(4.95.15.05.05.15.04.95.25.04.8)5.0101(4.85.25.05.04.84.85.25.15.05.1)5.0101(40.120.2)0.012101(20.150.2)0.0

2210xxss=+++++++++==+++++++++==+==+=，，，．【小问2详解】由（1）可知22210.0221122.0500.0126sFs===，因此在0.15=的显著性水平下，无法推测机床在周期Ⅱ出现了比周期Ⅰ更严重的问题．19.在四

棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形AC⊥平面PBD，PBPD⊥，2AB=，且二面角PACD−−的大小为60．（1）求四棱锥PABCD−的体积；（2）设E为PC的中点，求直线AE与平面PBD所成角的正弦值．【答案】（1）263（2）3

1010．【解析】【分析】(1)先根据空间位置关系，证明PF为锥体的高，再根据锥体体积公式，即可求解.(2)找出线面角的平面角，即可求出正弦值.【小问1详解】设AC与BD交于点O，连接PO；在平面PBD中作PFBD⊥于F．因为AC⊥平面PBD，PO平面PBD，所以ACPO⊥．同理ACBD

⊥，ACPF⊥．因为PO平面PAC，OD平面ABCD，平面PAC平面ABCDAC=，所以POD就是二面角PACD−−的平面角，从而60POD=．因为底面ABCD是矩形，ACBD⊥，所以矩形ABCD是正方形．所以2ABB

CCDAD====，2OAOBOCOD====．又因为PBPD⊥，所以POD是等边三角形，故62PF=．因为ACPF⊥，PFBD⊥，ACBDO=，所以PF⊥平面ABCD，即PF是四棱锥PABCD−的高．故四棱锥PABCD−的体积22116

2623323VABPF===．【小问2详解】设POAEG=．因为PECE=，OAOC=，所以G是PAC△的重心，故1133OGPOOD==．因为AC⊥平面PBD，所以OGA即为直线AE与平面PBD所成角．于是ta

n313OAOAOGAOGOD===，因此，直线AE与平面PBD所成角的正弦值为31010．20.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知2ab+=，2cos1sin2cos1sinBBAA−=+．（1）证明：()2cab=−；（2）求ABC面

积的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）34．【解析】【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理角化边，即可求证；（2）根据（1）的结论，将其两边平方，再结合余弦定理，得到面积的表达式，再结合辅助角公式，即可求得最值，再根据取等条件，验证是否符合题意即可.

【小问1详解】由正弦定理及已知可得2cos1sin2cos1sinBBbAAa−==+，整理可得2cos2cosaBabAb−=+．由余弦定理可得2222222222acbbcaaabbacbc+−+−−=+，整理可得2()()()a

bababc+−=+，所以()2cab=−．【小问2详解】由（1）可知2224()4[()4]1616cabababab=−=+−=−．由余弦定理可得22216162cos()22cos422cosabababCabababC

ababC−=+−=+−−=−−，化简可得67cosabC=−．记ABC的面积为S，则1163sinsinsin227cos7cosCSabCCCC===−−．注意到273sincos9SCSCS=++≤，所以34S≤，等号成立当且仅当tan43C=．此时回代有78ab=，

可反解出214a=+，214b=−，2c=，易知符合题意．所以ABC面积的最大值为34．21.已知抛物线2:2(0)Cxpyp=的焦点到直线:25lyx=−的距离为655．（1）求C的方程；（2）若点P在l上，P

A，PB是C的两条切线，A，B是切点，直线AB与l交于点Q，证明：存在定点H，使得PHQH⊥．【答案】（1）24xy=（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用点到直线的距离公式，即可求解.(2)设211(,)4xAx，222(,)4xBx，根据导数求切线斜率，再由点斜式

得到直线PA,PB方程，联立求出P点坐标，再根据直线AB方程求出Q点坐标，设,()Hxy，则由PHQH⊥，即可建立关于定点H的方程，即可解出.【小问1详解】由题可知C的焦点为(0,)2p，依距离公式可得22|

205|652(0)52(1)pp−−=+−，解得2p=．所以C的方程为24xy=；【小问2详解】设211(,)4xAx，222(,)4xBx．由2xy=，可知直线PA的方程为2111()42xxyxx−=−，即21124

xxxy=−．同理直线PB的方程为22224xxxy=−．联立2112222424xxxyxxxy=−=−，，解得1212(,)24xxxxP+．若记(,25)Ptt−，则有121224

(25)xxtxxt+==−，．所以可写出直线AB的方程为222212122()()()()444xxxxxyxx−−=−−，即121244xxxxyx+=−，即252tyxt=−+．由AB与l相交可知4t．联立25252yxtyxt=−=−+，，可得4(5)320(,)

44ttQtt−−−−．设,()Hxy，则由PHQH⊥可知()()()45320,2544ttPHQHxtytxytt−−=−−−−−−−，()()()()()()(),25445,432014xtytt

xttytt=−−−−−−−−−−()()()()()()()1,25445,3454txtyxtxytyt=−−−+−−−−−−−()()()()()()()22224204523105545541xtxtxxyty

ytyyt=−−−−+−+−−+−++−−()()()2222212101075452504xytxyytxyxt=−+−−++−++−−=−上式关于t恒成立当且仅当22222100107505250xyxyyxyx+−=

++−=+−−=，，．解得05xy==，或81xy==，．因此，存在定点(0,5)H或(8,1)H，使得PHQH⊥．【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，根据题意，将条件翻译成代数式，

即可求解，对学生的综合分析能力，以及计算能力有较高的要求.22.已知函数3()sinfxxxax=−+．（1）当0x时，()0fx，求a的取值范围；（2）是否存在Nn，使得1113ln2sinsinsin1324(2)4nn++++？说明理由．【答案】（1

）1[,)6+（2）存在，理由见解析【解析】【分析】(1)利用导数，分类讨论判定单调性找最小值求a的取值范围.(2)右侧不等式利用放缩法证明，左侧不等式利用(1)中的结论，构造函数，求导数判断单调性证明.【小问1详解】由3()sinfxxxax=−+，得2()cos13fxxax=−+．令

2()cos13gxxax=−+，得()sin6gxxax=−+．令()sin6hxxax=−+，得()cos6hxxa=−+．（ⅰ）当16a=时，()cos10hxx=−+≥，且()0hx=当且仅当(Z)xkk

=，所以()gx在[0,)+单调递增，故()(0)0gxg=，且()0gx=当且仅当0x=．所以()fx在[0,)+也单调递增，故()(0)0fxf=，且()0fx=当且仅当0x=．所以()f

x在[0,)+仍单调递增，故()(0)0fxf=；（ⅱ）当106a时，注意到()hx在π(0,)2单调递增，且(0)610ha=−，()602ha=，所以存在唯一0π(0,)2x，使得0()0hx=，且在0(0,)x有()0hx．所以0()gx在

0[0,]x单调递减，故在0(0,]x有()(0)0gxg=．所以()fx在0[0,]x也单调递减，故在0(0,]x有()(0)0fxf=所以()fx在0[0,]x仍单调递减，故0()(0)0fxf=，()0fx不恒成立；（ⅲ

）当0a时，由（ⅰ）可知当0x就有()sin0fxxx−≤，()0fx不恒成立；（ⅳ）当16a时，由（ⅰ）可知31()sin06fxxxx−+≥≥．综合上述讨论，a的取值范围为1[,)6+；【小问2详解】对于右侧：由（1）

可知1111111sinsinsinsin1324(2)(2)(2)nnkknnkkkk==+++=+++，由()11111111113()122222124nknkkkkknn===−=+−−++++所以右侧不等号始终成立；对于左侧：由

（1）可知当0x时，31sin6xxx−．设31()ln(1)6Fxxxx=−−+，则211(1)(2)()1212(1)xxxFxxxx−+=−−=−++．在()0,1x有()0Fx，所以()Fx在[0,1]单调递增，故当01x时

，()0Fx．此时31sinln(1)6xxxx−+．令1(N)(2)xnnn=+，可知211(1)12sinln[1]lnlnln(2)(2)(2)1nnnnnnnnnnn++++==−+

+++．所以当2n，Nn时，22111sinsinsin1324(2)11sinsin3(2)112sin(lnln)31131sinlnln(1)321nknknnkknnnnn==++++=+++++−+=+−++，令131si

nlnln(1)ln2321n+−++，注意到1313sinlnln(1)lnln23232+++=，所以可得到一个充分条件131sinlnln2sin3231411e13e4n+−−=−−−．所以任取

1sin3413e4n+−，Nn，则该侧不等式成立．因此，对于任意1sin3413e4n+−，Nn，原不等式都成立．即所求的n是存在的.【点睛】1.导函数中常用的两种

常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要

注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号ww

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