【文档说明】安徽省蚌埠市2024-2025学年高三上学期开学调研考试数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.330 MB，由小赞的店铺上传

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蚌埠市2025届高三调研性考试数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将

答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集为Z，集合1,2,3,4,5A=，1,2B=，则()zAB=ð（）A.1,2B.3,4,5

C.1,3,5D.1,2,3,4,5【答案】B【解析】【分析】先求出补集，再求交集即可.【详解】1,2B=，则z{,3,2,1,0,3,4,5,6,}B=−−−ð，则()z{3,4,5}AB=ð.故选：B.2.已

知i为虚数单位，复数z满足()1i2z−=，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先求出复数z，再进行判断即可.【详解】由题意：21iz=−()()()21i1i1i+=−+()21i1i2+==+，所以复数z对应的点的坐标为：(

)1,1，在第一象限.故选：A3.设a，b为夹角是锐角的单位向量，则ab+与ab−的夹角为（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】D【解析】【分析】利用数形结合的方法确定向量的位置关系.【详解】如图：设OAa=，O

Bb=，四边形OACB为平行四边形，则=+OCab，BAab=−.因为a，b为夹角是锐角的单位向量，所以OACB为菱形，故OCBA⊥，所以()ab+⊥()ab−，即ab+与ab−的夹角为π2.故选：D4.已知1sinsin3+=，

1coscos2+=，则()cos−=（）A.572B.49−C.5972−D.16【答案】C【解析】【分析】两个式子两边平方后再相加即可.【详解】因为1sinsin3+=,两边平方得221sinsin2sin

sin9++=，同理可得221coscos2coscos4++=,两边同时相加得()1322sinsincoscos36++=,即()1322cos36+−=,所以()59cos72−=−，故选：C.

5.设函数()()21,1,21,1xaxxfxaxx−+−=−+是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A.31,2−B.31,2−C.(1,2−D.3,22【答案】A【解析】【分析】利用分段函数的单调性及一次函数，二次函数的单调性计算即可

.【详解】由题意可得：()123101221111aaaaa+−−+−+−，故实数a的取值范围是31,2−.故选：A.6.在直角坐标xOy平面中，平行直线()00,1,2,3,4,5xyaa+−==与平

行直线20xyb−+=()0,1,2,3,4,5b=组成的图形中，平行四边形共有（）A.25个B.36个C.100个D.225个【答案】D【解析】【分析】从平行直线()00,1,2,3,4,5xyaa+−==中选2条，再从平行直线20xyb−+=()0,1,2,3,4,5

b=选2条，即可确定1个平行四边形，从而确定平行四边形个数.【详解】从平行直线()00,1,2,3,4,5xyaa+−==中选2条，再从平行直线20xyb−+=()0,1,2,3,4,5b=选2条，即可确定1个平行四边形，所以可确定平行四边形的个数为：2266CC1515225==个.

故选：D7.某圆台的下底面半径是上底面半径的3倍，一个半径为3的球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个圆台的体积为（）A.39πB.60πC.78πD.117π【答案】C【解析】【分析】先求圆台的上下底半径与高，再利用体积公式求

解.的【详解】如图，作圆台的轴截面：设HDr=，则3FAr=，过D作DMAB⊥于M，则2AMr=，又4ADAEDEAFDHr=+=+=，6DMGF==，在RtAMD中，222ADAMDM=+2221646rr=+23r=.所以圆台的体积为：()22π333V

rrrrHG=++78π=.故选：C8.从解决一元二次方程到解决一元三次方程，人类历经数千年，直到公元16世纪，意大利数学家费罗（1465－1526）、塔尔塔利亚（1500－1557）等人出现，人们才彻底掌握实系数的一元三次方程的求根公式．其过程是先发现了形如3xp

xq=+的三次方程的求解方法，再将一般形式的一元三次方程转化为形如3xpxq=+的三次方程．求解形如3xpxq=+的三次方程的具体方法是利用恒等式()333()3uvuvuvuv+=+++，作变换：333,uvpuvqxuv=+==+，转化为

关于3u，3v的二次方程就可以得到3u，3v的值，进而求出未知数x的值．利用此方法求解方程333650xx−−=的解为（）A.312+B.3323+C.313+D.3342−【答案】B【解析】【分析】令xuv

=+，则根据题意的333336,5uvuv=+=，解方程得到uv、的值，然后还原成x即可.【详解】因为333650xx−−=，令xuv=+，则33()36()50uvuv+−+−=，即33()36()5uvuv+=++依题意333336,5uvuv=+=即3

336,5uuvv=+=，所以33365vv+=，整理得63560vv−+=,即33(2)(3)0vv−−=解得32v=或33v=当32v=时，33u=，即332,3vu==；当33v=时，3

2u=，即333,2vu==所以3323xuv=+=+.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()πsin23fxx

=+．下列说法正确的是（）A.()fx图象关于直线π12x=轴对称B.()fx在区间π0,2内单调递增C.()fx的图象关于点π,03中心对称D.将()fx图象上各点先横坐标

扩大为原来的2倍，再向右平移π6个单位得到正弦曲线【答案】AC【解析】【分析】根据三角函数的图象和性质可判断ABC的真假，根据函数的图象变换判断D的真假.【详解】对A：因为ππsin1122f==，是函数的最大值，所以π12x=是函数

()fx的对称轴，故A正确；对B：由πππ2π22π232kxk−++，Zk，可得：5ππππ1212kxk−+，Zk.的所以函数()fx在π0,12上递增，在ππ,122上递减，故

B错误；对C：因为πsinπ03f==，所以π,03是函数()fx的对称中心，故C正确；对D：将()fx图象上各点先横坐标扩大为原来的2倍，可得πsin3yx=+的图象，再向右平移π6个单位得到πππsinsin636yxx=−+

=+的图象为正弦型曲线，不是正弦曲线，故D错.故选：AC10.下列命题正确的是（）A.若M，N两组成对数据的样本相关系数分别0.8Mr=，0.9Nr=−，则N组数据比M组数据的线性相关性更强B.现有10个互不相等的样本数据，去掉其中最大和最小的数据后

，剩下的8个数据的25%分位数大于原样本数据的25%分位数C.由样本数据点()()()1122,,,,,,nnxyxyxy求得的回归直线至少经过其中一个样本数据点D.若随机变量()5,0.4XB，随机变量21YX=+，则()4.8DY=【答案】ABD【解析】【分析】对于A

,相关系数的绝对值越大，相关性越强，据此判断A;对于B,将数据从小到大排列后，原样本数据的25％分位数为第三位数，新样本数据的25％分位数为第二位、第三位数的平均数，由此可判断B;对于C,回归直线一定经过样本点中心，但不一定至少经过一个样本点;对于D,根据方差的性质计算即可.【详解】对于A，

因为0.90.8−,所以N组数据比M组数据的线性相关性更强，A正确；对于B，将数据从小到大排列后，原样本数据的25％分位数为第三个数据，新样本数据的25％分位数为第二、三位数的平均数，即原样本数据中的第三、四位数据的平均数，因为这些数据互不相等，

所以新数据的25％分位数大于原样本数据的25％分位数，B正确；对于C，回归直线一定经过样本点中心，但不一定至少经过一个样本点，C错误；对于D，因为()~5,0.4XB,所以()50.40.61.2DX==,因为2

1YX=+,所以()41.24.8DY==，D正确.故选：ABD.11.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，线段AB的中点为M．过点A，B分别向C的准线作垂线

，垂足分别为点P，Q，过点M向C的准线作垂线，交抛物线于点T，交准线于点N，O为坐标原点，则（）A.以PQ为直径的圆与直线l相切B.MTNT=C.当PFAF=时，点P，T，F共线D.OABTABSS=△

△【答案】ABC【解析】【分析】设直线l：2pxty=+，代入抛物线方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到各点的坐标，利用向量的方法进行判断各选项的真假.【详解】如图：设直线l：2pxty=+，带入22ypx=，并整理得：2220

yptyp−−=.设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，则122yypt+=，212yyp=−，2122xxptp+=+.所以1,2pPy−，2,2pQy−，,2pNpt−，2,2pMptpt+，2,2ptT

pt.则()()21212,,0FQFPpypypyy=−−=+=，()()22222,,0FNFMpptptptptpt=−−=−+=.所以FQFP⊥，FNAB⊥，所以以PQ为直径的圆与直线l相切，故A正

确；又22ptpMT+=，22ptpNT+=，所以MTNT=，故B正确；2,2ptOTpt=，()2,FMptpt=，因为2202ptptptpt−，所以直线OT与直线AB不平行，所以OABTAB

SS=△△不成立，故D错误；对D：如图：当PFAF=时，因为APAF=，所以APF为等边三角形，又,02pF，所以3,32pAp−或3,32pAp，当3,32pAp−时，3,63pBp，则53,63p

pM−，3,63ppT−，,32pPp−−，所以().3FPpp=−−，3,33ppFT=−−，因为3FPFT=,所以点P，T，F共线；当3,32pAp时，同理可证点P，T，F共线.故

C正确.故选：ABC【点睛】关键点点睛：再选择填空题中，有关圆锥曲线的问题，一定要先考虑圆锥曲线定义的应用.该题就考查了抛物线的定义的应用.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.双曲线的实轴长与虚轴长的比为2

，则该双曲线的离心率为_________．【答案】52【解析】【分析】根据双曲线的几何性质，结合离心率公式即可求解.【详解】由题意可知222ab=，故2ab=，所以离心率为22512cbeaa==+=.故答案为：52.13.512(2)yxyx

−−的展开式中24xy的系数为_________．【答案】80【解析】【分析】把已知多项式展开得555112(2)(2)22)(yyxyxyxyxx−−−=−−，再利用二项式5(2)xy−的通项求解即可

.【详解】555112(2)(2)22)(yyxyxyxyxx−−−=−−，二项式5(2)xy−的通项为()()()555155C2C21rrrrrrrrrTxyxy−−−+=−=−，

令3r=得，()332232345C2140Txyxy=−=−，512(2)yxyx−−的展开式中24xy的系数为2(40)80−−=.故答案为：80.14.已知正方体1111ABCDABCD−的底面ABCD内有一个动点P，初始位置位于点A处，每次移动都会到达正方

形ABCD的一个顶点，其中到达相邻顶点的概率为14，到达对角顶点的概率为12，则移动两次后，“1PC为正方体的对角线”的概率是_________；对任意*Nn，移动n次后，”1PC⊥平面ABCD”的概率是_________

．【答案】①.38②.11142n++−【解析】【分析】根据题意求出概率的递推关系，进一步求通项公式即可.【详解】如图：设移动n次后，点P移动到,,,ABCD的概率分别为na，nb，nc，nd，则10a=，114b=，112c=，114d=，1nnnnabcd+++=，1111111

11111111424111442111424111244nnnnnnnnnnnnnnnnabcdbacdcbaddbca−−−−−−−−−−−−=++=++=++=++，所以()11111122nnnnnnbdabcd−−−−+=+++=，()

1112nnnnbddb−−−=−，又110bd−=，所以nnbd=.所以14nnbd==.所以11111182121182nnnnnnacacca−−−−=+=+=+所以1111822nnaa−=+−13182nnaa−=−11

11424nnaa−−=−−又11144a−=−，所以14na−是以14−为首项，以12−为公比的等比数列，故1111442nna−−=−−111422nna=+−又

12nnac+=，所以11111142242nnnc+=−−=+−.移动两次后，“1PC为正方体的对角线”，表示P点移动到点A，所以概率为：2211134228a=+−=；移动n次后，”1PC⊥平面ABC

D”，表示P点移动到点C，所以概率为：11142nnc+=+−.故答案为：38；11142n++−【点睛】方法点睛：可设移动n次后，点P移动到,,,ABCD的概率分别为na，nb，nc，nd，根据题意，先求数列的首项和数列的递推关系，解方程组，可求数列的通项

公式.四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()ln21xfxxx=++.（1）求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程；（2）设函数()()()1gxxfx=+

，求()gx的最值．【答案】（1）3270xy+−=；（2）最小值为3ln2+，没有最大值．【解析】【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程，（2）求导，由函数的单调性，即可计算极值即可求解.【小问1详解】由()22221ln21ln2(1)(1)xxxxxxfxxxxxx+

−+−=−=−++，则()312f=−，又()12f=，所求切线方程为()3212yx−=−−，即3270xy+−=．【小问2详解】.()()()21ln2gxxfxxx=+=++，定义域为(0,+∞)，所以()22122xgxxxx=−=−，列

表如下：x(0,2)2()2,+()gx－0＋()gx3ln2+因此()gx的最小值为()23ln2g=+，没有最大值．16.已知ABCV的内角,,ABC的对边分别为a，b，c，点D是边BC的中点，1AD=，且ABCV的面积为2．（1）若45CAD=，求a

；（2）若2212bc+=，求A．【答案】（1）25（2）3π4A=【解析】【分析】（1）由题意得112CADABCSS==△△，再用三角形面积公式可解得b的值，在ACD中，由余弦定理可求出CD的值，继而可求出a；（2）利用CDA与BDA的

互补关系，在ACD和ABD△中运用余弦定理，结合题意可得2a的值，由面积公式可得sin4bcA=，再由余弦定理可得cos4=−bcA，从而可得tanA的值，由A的范围即可求解.【小问1详解】因为点D是边BC的中点，所以112CADABCSS==△△．而

1sin12CADSADbCAD==△，由1AD=，45CAD=，解得22b=．在ACD中，由余弦定理，2222cosCDADbbADCAD=+−，解得5CD=，则225aCD==．小问2详解】在ACD中，

由余弦定理，2222cosbADCDADCDCDA=+−，在ABD△中，由余弦定理，2222coscADBDADBDBDA=+−，而1AD=，2aBDCD==，180CDABDA+=，所以22222122abcAD+=+=，

解得220a=．又1sin22ABCSbcA==△，得sin4bcA=，在ABCV中，由余弦定理，2222cosabcbcA=+−，得cos4=−bcA，所以sintan1cosAAA==−，()0,πA，则3π4A=．17.如图，在四棱锥P

ABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，PAD△是正三角形，6PB=．平面PAD⊥平面ABCD，点E在棱PC上．（1）若平面ADE与棱PB交于F点，求证：//EF平面ABCD；（2）若二面角EADB−−的余弦值为55，求直线AE与平面ABCD所成

角的正弦值．【【答案】（1）证明见解析（2）3010【解析】【分析】（1）运用线面平行判断得到AD∥平面PBC，再用线面平行性质得到//ADEF，进而得到线面平行；（2）建立空间直角坐标系，设PEtPC=，0,1t

，根据题意得到平面ADE的法向量为()0,1,ntt=−，而平面ABCD的法向量为()0,0,3OP=，运用向量夹角公式求出13t=．进而运用向量法求出直线AE与平面ABCD所成角的正弦值.【小问1详解】因为底面ABCD是

菱形，所以ADBC∥，又BC平面PBC，AD平面PBC，则//AD平面PBC．点E在线段PC上，平面ADE与线段PB交于F点，所以平面ADE平面PBCEF=，而AD平面ADE，所以//ADEF．又AD平面ABCD，EF平面A

BCD，所以//EF平面ABCD．【小问2详解】取AD的中点O，连接OP，OB，如图所示，由条件，PAD△正三角形，2AD=，则OPAD⊥，1OA=，3OP=，而平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，OP平面PAD，所以OP⊥平面ABCD，又

OB平面ABCD，则OBOP⊥，而6PB=，得3OB=．在OAB△中，2AB=，结合勾股定理易得OBOA⊥．以O为原点，OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，是则𝑂(0,0,0)，𝐴(1,0,0)

，()0,3,0B，()2,3,0C−，()1,0,0D−，()0,0,3P，设PEtPC=，0,1t，则()()()()0,0,32,3,32,3,31OEOPPEtttt=+=+−−=−−，所以点()()2,3,31Ett

t−−，()2,0,0AD=−，()()21,3,31AEttt=−−−，设平面ADE的法向量为(),,nxyz=，由()()20213310,nADxnAEtxtytz=−==−+++−=取zt=，则0x=，1yt=−，平面ADE的法向量为()0

,1,ntt=−，而平面ABCD的法向量为()0,0,3OP=，故()2235cos<,531nOPtnOPnOPtt===−+，解得13t=（舍负），所以5323,,333AE=−．设直线AE与平面ABCD所成角为，230sincos<,1021

033OPAEOPAEOPAE====．18.已知椭圆C的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点()3,1和62,3−．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点()2,0M作不与坐标轴平行的直线l交曲线C于A，B两点，过点A，B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D，E，直

线AE与直线BD相交于P点．①求证：点P在定直线上；②求PAB面积的最大值．【答案】（1）22162xy+=（2）①证明见解析；②34．【解析】【分析】（1）根据椭圆过两个点，求椭圆方程.（2）设出直线AB的方程

，与椭圆方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系，得A，B点坐标的关系，进一步E，D的坐标，表示出直线AE与直线BD的方程，求其交点即可；再利用换元法，结合基本（均值）不等式可求PAB面积的最大值．【小问1详解】设椭圆C的方程为221(0,

0,)mxnymnmn+=，代入已知点的坐标，得：312413mnmn+=+=，解得1612mn==，所以椭圆C的标准方程为22162xy+=．【小问2详解】如图：①设直线l的方程为()20xmym=+，并记点𝐴(𝑥1,𝑦

1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，𝑃(𝑥0,𝑦0)，由222,162xmyxy=++=消去x，得()223420mymy++−=，易知()()222Δ16832410mmm=++=+，则12243m

yym−+=+，12223yym−=+．由条件，()1,0Dx，()2,0Ex，直线AE的方程为()1212yyxxxx=−−，直线BD的方程为()2121yyxxxx=−−，联立解得()()2112211212012121222223myymyyxyxymyyxyyyyyy

++++===+=+++，所以点P在定直线3x=上．②02121211131222PABSADxxyxymy=−=−=−11212ymyy=−而121212myyyy=+，所以()121212myyyy=+，则()212112121211142244PAByyS

yyyyyyy+=−=−=+−()226126mm+=+，令21tm=+，则1t，所以266161322222422PABtSttt===++△，当且仅当2t=时，等号成立，所以PAB面积的最大值为34．19.如果

数列na的任意相邻三项1ia−，ia，1ia+满足211(2,)iiiaaaii−+N，则称该数列为“凸数列”．（1）已知na是正项等比数列，nb是等差数列，且111ab==，3241abb+=+，2

32ab+=．记nnnbca=．①求数列nc的前n项和；②判断数列nc是不是“凸数列”，并证明你的结论；（2）设n项正数数列12,,,naaa是“凸数列”，求证：1112121111211nnnnijijijij

aaaannnn−−====−−−，2n其中，.nN【答案】（1）①()*113N3nnnSn−+=−；②是“凸数列”，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据n

c的通项公式再应用错位相减即可求解；（2）应用数列新定义即可得证；（3）记121nSaaa−=+++，利用分析法，只需证()()200nnSaSanaa++，由数列{𝑎𝑛}为对数性凸数列，得到2110121nnnnaaaaaaaa

−−−，01122nnnaaaaaa−−，再用基本不等式证明即可.【小问1详解】①设{𝑎𝑛}的公比为(0)qq，{𝑏𝑛}的公差为d，由题意可得2124,212,qdqd+=++=+解得3q=或1q=−（舍去），2=d，因此()1*3Nnnan−

=，()*21Nnbnn=−．故1213nnnc−−=，从而123122135232113333nnnnnnnSccccc−−−−−=+++++=+++++，（i）23111352321333333n

nnnnS−−−=+++++，（ii）（i）－（ii）得，2312111121221223333333nnnnnnS−−+=+++++−=−，即()*113N3nnnSn−+=−．②由①，1213nnnc−−=，所以2222112222212321443441

2133333iiiiiiiiiiiiiiiccc−+−−−−−+−−−+−====，故数列nc是“凸数列”．【小问2详解】记12312njnjaSaaa−−===+++，则原不等式等价于()()()()2

11(1)2nnnSSaannSaSa−++−++，即()2221(1)(1)nnSnSaa−+−+()()()()211222nnnnSnnSaannaa−+−++−，因而只需证明()()2112nnSSaannaa++−，因为()2*112,

Niiiaaaii−+，所以123212321nnnnnnaaaaaaaaaa−−−−−，故12132nnnaaaaaa−−，而()()()()2312132231212nnnnnSaaaaaaaaaaa−−−−−=+++=++++++++

()2132231212nnnnnaaaaaaaanaa−−−−++++−，从而()()()2221111(2)222nnnnSSaanaanaannaa++−+−=−，即()()2112nnSSaannaa++−，结论得证.【点睛】方法点睛：解决数列新定义题型，需要耐心读题，分析

新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，结合所学习过的知识点，逐一分析、证明、求解.