【文档说明】贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学 Word版含解析.docx，共(15)页，984.858 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答

无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合2230,1,2,3,4AxxxB=−−=∣，则AB=（）A.1,2B.1

,2,3C.3,4D.42.下列函数在其定义域内单调递增的是（）A.1yx=−B.2lnyx=C.32yx=D.exyx=3.已知等差数列na满足376432,6aaaa+=−=，则1a=（）A.2B.4C.6D.84.已知点A是抛物线()2:

20Cypxp=上一点，若A到抛物线焦点的距离为5，且A到x轴的距离为4，则p=（）A.1或2B.2或4C.2或8D.4或85.已知函数()23fx−的定义域为2,3.记()fx的定义域为集合(),21xAf−的定义域为集合B.则“xA”是“xB”的（）A.充分不必要条件B.必要

不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数()fx的定义域为R.设函数()()exgxfx−=+，函数()()5exhxfx=−.若()gx是偶函数，()hx是奇函数，则()fx的最小值为（）A.eB.22C.26D.2e7.从51xx+的二项展开式中随机取出不同的

两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（）A.25B.35C.13D.238.已知圆221:220Cxyxy+−−=，设其与x轴､y轴正半轴分别交于M，N两点.已知另一圆2C的半径为22，且与圆1C相外

切，则22CMCN的最大值为（）A.20B.202C.10D.102二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.离散型随机变量X的分布列如下

表所示，,mn是非零实数，则下列说法正确的是（）X20242025PmnA.1mn+=B.X服从两点分布C.()20242025EXD.()DXmn=10.已知函数()()214log21fxaxax=−+，下列说法正

确的是（）A.()fx的定义域为R，当且仅当01aB.()fx的值域为R，当且仅当1a…C.()fx的最大值为2，当且仅当1516a=D.()fx有极值，当且仅当1a11.设定义在R上的可导函数()fx和()gx的导

函数分别为()fx和()gx，满足()()()()11,3gxfxfxgx−−==+，且()1gx+为奇函数，则下列说法正确的是（）A.()00f=B.()gx的图象关于直线2x=对称C.()fx的一个周期是4D.20251()0kgk==三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15

分）12.过点()0,0作曲线(0xyaa=且1)a的切线，则切点的纵坐标为__________.13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安顺黄果树瀑布､荔波小七

孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答

）14.已知函数()223,0,ln,0,xxxfxxx++=„若存在实数123,,xxx且123xxx，使得()()()123fxfxfx==，则()()()112233xfxxfxxfx++的最大值为__________.四､解答题（共77分.解答应

写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（

2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到n个图形.记第n个图形中实心三角形的个数为na，第n个图形中实心区域的面积为nb.（1）写出数列na和nb的通项公式；（2）设1211

21nnnnncabababab−−=++++，证明43nnnaca„.16.（本小题满分15分）如图，在三棱台111ABCABC−中，111ABC和ABC都为等腰直角三角形，111112,4,90,CCCACAACCBCCCBAG======为线段AC的中点，H为线

段BC上的点.（1）若点H为线段BC的中点，求证：1AB∥平面1CGH；（2）若平面1CGH分三棱台111ABCABC−所成两部分几何体的体积比为2:5，求二面角11CGHB−−的正弦值.17.（本小题

满分15分）已知双曲线()2222:10,0xyMabab−=与双曲线2222:12xyNmm−=的离心率相同，且M经过点()2,2,N的焦距为23.（1）分别求M和N的方程；（2）已知直线l与M的左､右两支相交于点,AB，与

N的左､右两支相交于点C，D，62ABCD=，判断直线l与圆222:Oxya+=的位置关系.18.（本小题满分17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后

测量小白鼠的某项指标值，按))))0,20,20,40,40,60,60,80,80,100分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的

22列联表，并根据列联表及0.01=的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40

只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率P；（ii）以（i）中确定的概率P作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X.求()EX及()PXk=取最

大值时的k值.参考公式：()()()()22()nadbcabcdacbd−=++++（其中nabcd=+++为样本容量）参考数据：0.1000.0500.0100.005x2.7063.8416.6357.87919.（本小题满

分17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①3sin33sin4sin=−；②3cos34cos3cos=−.根据以上研究结论，回

答：（1）在①和②中任选一个进行证明；（2）已知函数()323fxxaxa=−+有三个零点123,,xxx且123xxx.（i）求a的取值范围；（ii）若1231xxx=−，证明：222113xxxx

−=−.贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DCBCBCAA【解析】1.由

题，{1Axx=−∣或3},1,2,3,4xB=，则4AB=，故选D.2.对于A选项，1yx=−的定义域为()(),00,−+，该函数在(),0−和()0,+上单调递增，在定义域内不单调；对于B选项，2lnyx=的

定义域为()(),00,−+，该函数在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增，在定义域内不单调；对于C选项，332yxx==的定义域为)0,+，该函数在定义域上单调递增；对于D选项，exyx=的定义域为().1exyx=+R，当(),1x−−时，0y；当()

1,x−+时，0y，xeyx=在(),1−−上单调递减，在()1,−+上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C.3.53756415232,16,26,3,44aaaadaadaad=+===−===−=，故选B.4.设点()00,Axy，则20

0002,5,24,ypxpxy=+==整理得582pp−=，解得2p=或8p=，故选C.5.()23fx−的定义域为2,3.当23x剟时，()1233,xfx−剟的定义域为1,3，即1,

3A=.令1213x−剟，解得()12,21xxf−剟的定义域为1,2，即1,2B=.,BA“xA”是“xB”的必要不充分条件，故选B.6.由题，()()()()()()()(),ee,5e5e,xxxxgxgxfxfxhxhxfxfx−−=−+=−+=−−−=−−

+解得()3e2exxfx−=+，所以()3e2e23e2e26xxxxfx−−=+厖，当且仅当3e2exx−=，即12ln23x=时，等号成立，min()26fx=，故选C.7.设51xx+的二项展开式的通项公式为

53521551C()C,0,1,2kkkkkkTxxkx−−+===，3,4,5，所以二项展开式共6项.当0,2,4k=时的项为无理项；当1,3,5k=时的项为有理项.两项乘积为有理数当且仅

当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为223326CC2C5+=，故选A.8.由题，221:(1)(1)2Cxy−+−=，即圆心为()11,1C，半径为2，且()()2,0,0,2MN，MN为1C的直径.1C与2C相外切，

1222232CC=+=.由中线关系，有()()2222222222121222218240,202CMCNCMCNCCCMCMCN++=+=+==„，当且仅当22CMCN=时，等号成立，所以22C

MCN的最大值为20，故选A.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBCBCD【解析】9.对于A选项，由分布列性质可知正确；对于B选项，由两

点分布定义可知错误；对于C选项，()()()202420252024120252024.01,20242025EXmnnnnnEX=+=−+=+，正确；对于D选项，令2024YX=−，则Y服从两点分

布，()()1DYnnmn=−=，()()()2024DXDYDYmn=+==，正确，故选ACD.10.令()2221,Δ44gxaxaxaa=−+=−，对于A选项，()fx的定义域为0a=R或0,01Δ0aa„，故A错误；对于B选项，()fx的值域为()gxR在定义域内的

值域为()0,0,1Δ0aa+……，故B正确；对于C选项，()fx的最大值为()2gx在定义域内的最小值为()0,11511616116aag==，故C正确；对于D选项，()fx有极

值()gx在定义域内有极值()0,110aag且0a，故D选项错误，故选BC.11.对于A选项，因为()1gx+为奇函数，所以()10g=，又由()()11gxfx−−=，可得()()()101,01gff−==−，故A错误；对

于B选项，由()()3fxgx=+可得()()3,fxgxCC=++为常数，又由()()11gxfx−−=，可得()()11gxfx−−=，则()()131gxgxC−−+−=，令1x=−，得()()221ggC−−=，所以1C=−，所以()()()13,g

xgxgx−=+的图象关于直线2x=对称，故B正确；对于C选项，因为()1gx+为奇函数，所以()()()311gxgxgx+=−=−+，所以()()()()()2,42gxgxgxgxgx+=−+=−+=，所以()gx是一个周期为4的周期函数，()()()()()(

)31,47131fxgxfxgxgxfx=+−+=+−=+−=，所以()fx也是一个周期为4的周期函数，故C正确；对于D选项，因为()1gx+为奇函数，所以()()()()10,204gggg==−=−，又()()310gg

==，又()gx是周期为4的周期函数，所以20251()(1)0kgkg===，故D正确，故选BCD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案e14433e6−【解析】12.设切点坐标为(),,ln,txtayaa=切线方程为lnxyaax=.将(),t

ta代入得lnttaata=，可得1loge,lnata==切点纵坐标为elogetaaa==.13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有22A种方法，再安排梵净山的位置共有13C种方法，再排其余元素共有44A种排法，故共有214234ACA144=种

不同的方案.14.设()()()123fxfxfxt===，由()fx的函数图象知，23t„，又1232,lnxxxt+=−=，()()()3112233e,2ettxxfxxfxxfxtt=++=−+.令()()()()2e,23,1e20,tttttt

ttt=−+=+−„在(2,3上单调递增，则()3max()33e6t==−，()()()112233xfxxfxxfx++的最大值为33e6−.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）（1）解：数列na是首项为1，公

比为3的等比数列，因此11133nnna−−==；数列nb是首项为1，公比为34的等比数列，因此，1133144nnnb−−==.（2）证明：由（1）可得12100121121121333333334444nnnnnnnnncabababa

b−−−−−−=++++=++++12101111134444nnn−−−=++++121114134311414nnnn−−−

==−−因为2114314411334nnnnnnca−−−==−，所以413nnca„，所以43nnnaca„.16.（本小题满分15分）（1）证明：

如图1，连接1AC，设11ACCGO=，连接1,HOAG，三棱台111ABCABC−，则11AC∥AC，又122CGAC==，四边形11ACCG为平行四边形，则1COOA=.点H是BC的中点，1BA∥OH.又OH平面11,CHGAB平面1CHG

，1AB∥平面1CHG.（2）解：因为平面1CGH分三棱台111ABCABC−所成两部分几何体的体积比为2:5，所以11127CGHCABVVBCABC−=−，即()111111121373GHCABCABCABCABCSCCSSSSCC=++，化简得12GHCABCSS=，此

时点H与点B重合.1190CCABCC==，11,,CCBCCCACBCACC⊥⊥=且都在平面ABC，则1CC⊥平面ABC，又ABC为等腰直角三角形，则BGAC⊥.又由（1）知1AG∥1CC，则1AG⊥平面ABC，建立如图2所示的坐标系,Gxyz−则()

()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0HAGC−，()()110,2,2,1,1,2CB−−设平面1CHG的法向量()()()1,,,0,2,2,2,0,0nxyzGCGH==−=，则220,20,yzx−+==令1y=，解得()0,1,1n=，设平面1BGH的

法向量()()1,,,1,1,2mabcGB==−，则20,20,abca−+==令2b=，解得()0,2,1m=.设二面角11CGHB−−的平面角为，22222212310coscos,10011021mnmnmn+====++++，所以210s

in1cos10=−=，所以二面角11CGHB−−的正弦值为1010.17.（本小题满分15分）解：（1）由题意可知双曲线N的焦距为22222323mmm+==，解得21m=，即双曲线22:12yNx−=.因为双曲线M与双曲线N的离心率相同，不妨设双曲

线M的方程为222yx−=，因为双曲线M经过点()2,2，所以42−=，解得2=，则双曲线M的方程为22124xy−=.（2）易知直线l的斜率存在，不妨设直线l的方程为()()()()11223344,,,,

,,,,ykxtAxyBxyCxyDxy=+，联立22,,2ykxtyx=+−=消去y并整理得()2222220,kxktxt−−−−=此时()()222222Δ44220,20,2ktkttk=+−+−−−可得22k，当2=时，由韦达定理得212122224,

22kttxxxxkk−−+==−−；当1=时，由韦达定理得234342222,22kttxxxxkk−−+==−−，则()()()()()()2222222212122222222234344424142462

2442214ktktkxxxxABtkCDtkktktkxxxx−−+++−−+====−+−−+++−，化简可得222tk+=，由（1）可知圆22:2Oxy+=，则圆心O到直线l的距离22222223121111ttkdkkkk−====−

+++++„，所以直线l与圆O相切或相交.18.（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在)0,20内有0.00252020010=（只）；在[20,40）内有0.006252020

025=（只）；在[40,60）内有0.008752020035=（只）；在[60,80）内有0.02520200100=（只）；在80,100内有0.00752020030=（只）由题意，有抗体且指标值小于60的有5

0只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为0

H：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中数据，得220.01200(502020110)4.9456.6351604070130x−==.根据0.01=的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.（2）（i

）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B=“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.记事件,,ABC发生的概率分别为()()(),,PAPBPC，则()()160200.8,0.520040PAPB====，()1PC=−()(

)10.20.50.9PAPB=−=.所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9P=.（ii）由题意，知随机变量()100,0.9XB，所以()1000.990EXnp===.又()()C0.90.

10,1,2,,kknknPXkkn−===，设0kk=时，()PXk=最大，所以00000000000010011910010010011101100100C0.90.1C0.90.1,C0.90.1C0.9

0.1,kkkkkkkkkkkk−++−−−−−解得089.990.9k剟，因为0k是整数，所以090k=.19.（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：()()22

sin3sin2sin2coscos2sin2sincos12sinsin=+=+=+−()()2232sin1sin12sinsin3sin4sin=−+−=−若选②，证明如下：()()22cos3cos2cos2cossin2

sin2cos1cos2sincos=+=−=−−()3232coscos21coscos4cos3cos=−−−=−.（2）（i）解：()233fxxa=−，当0a„时，()0fx…恒成立，所以()fx在(),−+上单调递增

，至多有一个零点；当0a时，令()0fx=，得xa=；令()0fx，得axa−，令()0fx，得xa−或xa，所以()fx在(),aa−上单调递减，在()(),,,aa−−+

上单调递增.()fx有三个零点，则()()0,0,fafa−即2220,20,aaaaaa+−解得04a，当04a时，4aa+，且()()()()32224(4)3445160faaaaaaaaa

+=+−++=++++，所以()fx在(),4aa+上有唯一一个零点，同理()()22,2220,aagaaaaaaa−−−=−+=−所以()fx在()2,aa−−上有唯一一个零点.又()fx在(),aa−上有唯

一一个零点，所以()fx有三个零点，综上可知a的取值范围为()0,4.（ii）证明：设()()()()321233fxxaxaxxxxxx=−+=−−−，则()212301faxxx==−=.又04a，所以1a=.此时()()()()210,130,110,2

30ffff−=−−==−=，方程3310xx−+=的三个根均在()2,2−内，方程3310xx−+=变形为3134222xx=−，令ππsin222x=−，则由三倍角公式31sin33sin4sin2=−=.因为3

π3π3,22−，所以7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818=−=−.因为123xxx，所以1237ππ5π2sin,2sin,2sin181818xxx=−==，所以222221π7ππ7π4sin4sin21cos21cos181899xx−=−=

−−−137ππ5π7π2cos2cos2sin2sin991818xx=−=−−=−.