【文档说明】湖北省武汉情智学校2023-2024学年高二上学期10月质量检测数学试题 含解析.docx，共(25)页，3.730 MB，由小赞的店铺上传

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武汉情智学校2023-2024学年上学期10月质量检测高二数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.平行六面体1111ABCDA

BCD−中，化简1ABADCC+−=（）A.1ACB.1CAC.1BDD.1DB【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．【详解】1111ABCDABCD−为平行四面体，1111111.ABADCCDCADCCACCCACCCAC+−=++=+=+=故选：A

．2.已知点A、B、C不共线，对空间任意一点O，若111244OPOAOBOC=++，则点P、A、B、C（）A.不共面B.共面C.不一定共面D.无法判断【答案】B【解析】【分析】根据共面向量的基本定理可得出结论.【详解】因为11

1244OPOAOBOC=++，则()()()111244OPOAOBOPOCOP−=−+−，即111244APPBPC=+，即1122APPBPC=+，所以,,APPBPC共面，又因为它们有公共点P，所以点P、A、B、C共面.故选：B.3.如图，在四面体OABC−中

，1G是ABC的重心，G是1OG上的一点，且12OGGG=，若OGxOAyOBzOC=++，则(,,)xyz为（）A.111(,,)222B.222(,,)333C.111(,,)333D.222(,,)999【答案】D【解析】【分析】根据空间向量线性运算进行计算，用,,OAOBOC表示出OG．【

详解】因为E是BC中点，所以1()2OEOBOC=+，1G是ABC的重心，则123AGAE=，所以122()33AGAEOEOA==−，因为12OGGG=所以112224()()3339OGOGOAAGOAOEOA==+=+−242

2222()9999999OAOEOAOBOCOAOBOC=+=++=++，若OGxOAyOBzOC=++，则29xyz===．故选：D．【点睛】本题考查空间的向量的线性运算，掌握向量线性运算的运算法则是解

题关键．4.已知向量()2,1,3a=−，()1,4,2b=−−，()1,3,c=，若a，b，c共面，则=（）A.4B.2C.3D.1【答案】D【解析】【分析】根据空间向量共面定理得到存在两个实数m、n，使得cmanb=+，即可得到方程组，解得即可.【详解】因为a，b，c共面，所以存在

两个实数m、n，使得cmanb=+，即()()()1,3,2,1,31,4,2mn=−+−−，即214332mnmnmn−=−+=−=，解得111mn===．故选：D5.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点EF、分

别是棱AB、BC的中点，则点1C到平面1BEF的距离等于（）A.23B.223C.233D.43【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，找到平面1BEF的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可.【详

解】以1D为坐标原点，分别以11DA，11DC，1DD的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则1(2,2,0)B，1(0,2,0)C，(2,1,2)E，(1,2,2)F.设平面1BEF的法向量为(,,)nxyz=，1(0,1,2)BE=−1(1,

0,2)BF=−则1100nBEnBF==，即2020yzxz−+=−+=令1z=，得(2,2,1)n=.又11(2,0,0)BC=−，点1C到平面1BEF的距离1122|||2200|4

3||221nBChn−++===++，故选：D.【点睛】本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.6.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SAS

BSC==，且90ASBBSCCSA===，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为（）A.105−B.105C.1010−D.1010【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求异面直线夹角.【详解】不妨设1SASBSC=

==，如图建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为()1,0,0A，()0,1,0B，()0,0,1C，()0,0,0S，又M，N分别是AB和SC的中点，则11,,022M，10,0,2N．所以11,,022SM=，10,

1,2BN=−，所以222112++0=222SM=，()222150122BN=+−+=110022SMBN=+−+=−，1102cos,52522SMBN−==−因为

异面直线所成角为锐角或直角，所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为105，故选：B.7.如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且1,2PDADAB===，点E是AB上一点，当二面角PECD−−为4时，AE=的A.2

3−B.12C.22−D.1【答案】A【解析】【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,0,1),(1,,0)ABCDEt，设平面PEC的一个法向量为(,,)nxyz=，由于(1,,1),(0,2,1)PEtPC=−=−，所以201202x

txtyzyyzz=−+−==−==，即(2,1,2)nt=−，又平面ABCD的一个法向量是1(0,0,1)n=且2122(2)4122nnt=−++=，解之得23t=−，应选答案A．8.已知三棱柱111ABCABC-的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC内的射影为

ABC的中心，则1AB与底面ABC所成角的正弦值等于A.13B.23C.33D.23【答案】B【解析】【详解】由题意不妨令棱长为2，如图1A在底面ABC内的射影为ABC的中心，故233DA=由勾股定理得1426433AD=−

=过1B作1BE⊥平面ABC，则1BAE为1AB与底面ABC所成角，且1263BE=如图作1ASAB⊥于中点S13AS=13923AB=+=1AB与底面ABC所成角的正弦值12623sin323BAE==故答案选B点睛：本题考查直线与平面所成的角，要先过点作垂线构

造出线面角，然后计算出各边长度，在直角三角形中解三角形．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分9.已知v为直线l的方向向量，1n，2n分别为平面，的法向量（，不重合），那么下列说法中，正确的有（）．A.1n∥2n∥B.12nn⊥⊥C.1vnl∥∥D.1vnl⊥⊥【答案】AB【解析】

【分析】利用法向量与平面的位置关系以及线面垂直的判定定理判定即可.【详解】对于选项A，1n，2n分别为平面，的法向量，若1//n2n，则//，若//则1//n2n，选项A正确；对于选项B，因为12120nnnn⊥⊥=，选项B正确；

对于选项C，因为1vn∥，则l⊥，选项C错误；对于选项D，因为1vn⊥，则l∥或l，选项D错误；故选：AB.10.给出下列命题，其中正确的命题是（）A.若直线l的方向向量为()1,0,3e=，平面的法向量为22,0,3n=−，则直线//lB.若,,

abc为空间的一个基底，则ab+、bc+、ca+构成空间的另一基底C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线D.已知向量()9,4,4a=−，()1,2,2b=，则a在b上的投影向量为()1,2,2【答案】BCD【解析】【分析】利用空间向量位置关系与向量的关系可判

断A选项；利用空间向量的基本定理可判断BC选项；利用投影向量的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，若直线l的方向向量为()1,0,3e=，平面的法向量为22,0,3n=−，则220en=−+=，即en⊥，所以，//l或l，A错；对于B选项，假设ab+、

bc+、ca+不是构成空间的一组基底，不妨设()()()abmbcncanambmnc+=+++=+++，又因为,,abc为空间的一个基底，则a、b、c不共面，所以，110nmmn==+=，矛盾，故ab+、bc+、c

a+构成空间的另一基底，B对；对于C选项，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，不妨设这两个非零向量不共线，设这两个非零向量为a、b，由空间向量的基本定理可知，在空间中必存在非零向量c，使得,,abc为空间的一个基，假设不成立，故这两个非零向量共线，C对；对于D选项，因为向量

()9,4,4a=−，()1,2,2b=，则a在b上的投影向量为()()29cos,1,2,21,2,29babbabaababbabbb====，D对.故选：BCD11.在四面体P-A

BC中，下列说法正确的是（）.A.若1233ADACAB=+，则3BCBD=B.若Q为△ABC的重心，则111333PQPAPBPC=++C.若0PABC=，0PCAB=，则0ACPB=D.若四面体P-ABC的棱长都为2，点M，N分别为PA，BC的中点，则1MN=【答案】ABC【解析】

【分析】根据立体几何的向量运算法则、重心的向量表示法则以及向量的模值计算进行逐项判断即可.【详解】解：由题意得：对于A：∵1233ADACAB=+，∴32ADACAB=+，∴22ADABACAD−=−，∴2BDDC=，∴3BDBD

DC=+，即3BDBC=uuuruuur故A正确；对于B：若Q为△ABC的重心，则0QAQBQC++=，∴33PQPQQAQBQCPAPBPC=+++=++，∴111333PQPAPBPC=++故B正确；对于C：∵0PABC=，0PCAB=∴()PABCPCABPABCPCACBC+

=+−()PABCPCACPCBCPAPCBCPCACCABCPCAC=+−=−+=+()0ACCBPCACACCBPCACPB=+=+==，故C正确；对于D：∵111()()222MNPNPMPBPCPAPBP

CPA=−=+−=+−，∴12MNPBPCPA=+−∵222222PBPCPAPAPBPCPAPBPAPCPBPC+−=++−−+22211122222222222222222=++−−+=∴2MN=故D错误．故选：ABC12.如图，在四棱锥PABCD−中，底

面ABCD为平行四边形，π3DAB=，22ABADPD==，PD⊥底面ABCD，则（）A.PABD⊥B.PB与平面ABCD所成角为π3C.异面直线AB与PC所成角的余弦值为255D.平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为27

7【答案】ACD【解析】【分析】证明出BD⊥平面PAD，结合线面垂直的性质可判断A选项；利用线面角的定义可判断B选项；利用异面直线所成角的定义可判断C选项；利用空间向量法可判断D选项.【详解】设222ABADPD===，对于A选项，π3DAB=，由余弦定理可得222π12co

s41221332BDABADABAD=+−=+−=，所以，222ADBDAB+=，所以，ADBD⊥，因为PD⊥底面ABCD，BD平面ABCD，则BDPD⊥，因为ADPDD=I，AD、PD平面PAD，所以，BD⊥平面PAD，因为PA平面PAD，所以，PAB

D⊥，A对；对于B选项，因为PD⊥底面ABCD，所以，PB与平面ABCD所成的角为PBD，且13tan33PDPBDBD===，又因为PBD为锐角，故π6PBD=，即PB与平面ABCD所成角为π6，B错；对于C选项，因为四边形AB

CD为平行四边形，则//CDAB，且2CDAB==，所以，异面直线AB与PC所成角为PCD或其补角，因为PD⊥底面ABCD，CD平面ABCD，则PDCD⊥，所以，22145PCPDCD=+=+=，则225cos55CDPCD

PC===，故异面直线AB与PC所成角的余弦值为255，C对；对于D选项，因为PD⊥底面ABCD，ADBD⊥，以点D为坐标原点，DA、DB、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()

1,0,0A、()0,3,0B、()1,3,0C−、()0,0,1P，设平面PAB的法向量为()111,,mxyz=，()1,3,0AB=−，()1,0,1AP=−，则1111300mABxymAPxz=−+==−+=，取13x=，则()3,1

,3m=，设平面PBC的法向量为()222,,xnyz=，()1,0,0BC=−，()0,3,1BP=−，则222030nBCxnBPyz=−==−+=，取21y=，可得()0,1,3n=，所以，427cos,772mnmnmn===，所以，

平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为277，D对.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13.已知点()1,1,1A，直线l过原点O，且平行于向量()1,0,2，则点A到直线l的距离是________.【答案】305##1305【解析】【分

析】利用空间向量数量积的坐标运算可求得点A到直线l的距离.【详解】由题意可得()1,1,1OA=，易知直线l的一个方向向量为()1,0,2u=，所以，点A到直线l的距离为2sin,1cos,dOAOAuOAOAu==−22330131535OAuOAOAu=−=−

=.故答案为：305.14.在平面直角坐标系中，点()1,2A−关于x轴的对称点为()1,2A−−，那么，在空间直角坐标系中，()1,2,3B−关于x轴的对称轴点B坐标为___________，若点(

)1,1,2C−关于xOy平面的对称点为点C，则BC=___________．【答案】①.()1,2,3−−−②.6【解析】【分析】在空间直角坐标系中，B关于x轴的对称轴点B坐标为横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，若点C关于xOy

平面的对称点为点C，横、纵坐标均不变，竖坐标变为原来的相反数，再由两点间距离公式能求出BC．【详解】在空间直角坐标系中，()1,2,3B−关于x轴的对称轴点B坐标为()1,2,3−−−，若点()1,1,2C−关于xOy平面的对称点为点C，则()1,1,2C−−，所以222(11)

(21)(32)6BC=−−+−++−+=．故答案为：()1,2,3−−−，6．15.平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝1，且AB，AD，AA1的夹角都是60°，则11ACBD=____．【

答案】3【解析】【分析】设出向量ABa=，ADb=，1AAc=，它们两两之间夹角为60，然后表示出向量1ACuuur，1BD，再利用数量积的定义和运算法则即可求解．【详解】如图，可设ABa=，ADb=，1AAc

=，故||2a→=，||1b→=，||2c→=，又因为111ACABBCCCABADAAabc=++=++=++，同理可得，1BDabc=−++，于是有11ACBD=(abc++)•(abc−++)a=−2b+2c+2+2b•c＝﹣4+4+1+2×|b|•|c|cos6

0°＝1+2×2×112＝3故答案为：316.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，1AB=，3BC=，点M在棱1CC上，且1MDMA⊥，则当1MAD的面积取得最小值时其棱1AA=________.【答案】322【解析】【分析】设(

)10AAmm=，()0MnnCm=，建立空间直角坐标系，由向量的垂直可得1mnn−=，进而可得1221452MADSnn=++△，由基本不等式即可得解.【详解】设()10AAmm=，()0MnnCm=，如图建立空间直角坐标系，则()10

,0,Dm，()0,1,Mn，()3,0,0A，所以()10,1,MnmD=−，()3,1,AMn=−，又1MDMA⊥，所以()110MADMnnm=+−=，所以1mnn−=，所以()122122111113114222MADSMAMmnnnnD

==+−++=++△()2222221114143415522222nnnnnn=++=+++=，当且仅当2n=，322m=时，等号成立，所以当1MAD的面积取得最小值时其棱1322AA=.故答案为：322.【点睛】本题考查了空间向量及基本不等式

的应用，考查了运算求解能力，合理转化、细心计算是解题关键，属于中档题.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设()1,5,1a=−，()2,3,5b=−.（1）若()(

)//3kabab+−，求k；（2）若()()3kabab+⊥−，求k.【答案】（1）13k=−（2）1063k=【解析】【分析】（1）求出向量kab+、3ab−的坐标，利用空间向量共线的坐标表示可求得实数k的值；（

2）分析可知()()30kabab+−=，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数k的值.【小问1详解】解：因为()1,5,1a=−，()2,3,5b=−，则()()()1,5,12,3,52,53,5kabkkkk+=−+−=−+−，()()()31,

5,132,3,57,4,16ab−=−−−=−−，若()()//3kabab+−，则25357416kkk−+−==−−，解得13k=−.【小问2详解】解：若()()3kabab+⊥−，则()()()()()37245316531060kababkkkk+−=−−+−−=−=，解得106

3k=.18.如图，在空间四边形OABC中，2BDDC=，点E为AD的中点，设OAa=，OBb=，OCc=．（1）试用向量a，b，c表示向量OE；（2）若2OAOBOC===，60AOCBOCAOB===，求OEBC的值．【答案】（1）111236OEabc=++（2）13

−【解析】【分析】（1）先把OD表示出来，然后由点E为AD的中点得1122OEOAOD=+，化简即得结果；（2）把,OEBC用,,OAOBOC表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果.【小问1详解】因为2BDDC=，所以()1133BDB

COCOB==−，所以()121333ODOBBDOBOCOBOBOC=+=+−=+，因为点E为AD的中点，所以111111222212111133363622OOBOCOBOCbEOAODOAOAac

=+=+=++++=+.小问2详解】因为BCOCOB=−，113612OOEOABOC=++，所以()211361COOEBCBOCOOAOB=+−+221111126623OCOAOCOBOCOBO

AOB=++−−2211111111122222222226262233=++−−=−.19.在平面四边形ABCD中，1ABBDCD===，,ABBDCDBD⊥⊥，将ABD沿BD折起，使得【平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：ABCD⊥；

（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）63．【解析】【详解】试题分析：(1)由ABBD⊥,将ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD,即可得AB垂直于平面BCD

.从而得到结论.(2)依题意,可得0DBC=45,又由AB⊥平面BCD.如图建立直角坐标系.求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.等价于求出直线AD与平面MBC的法向量所成的角的余弦值.写出相应的点的坐标以及相应的向量,求出法向量即可得到结论.试题解析：(

1)因为ABD⊥平面BCD,平面ABD平面,BCDBDAB=平面,,ABDABBD⊥所以AB⊥平面.BCD又CD平面,BCD所以ABCD⊥.(2)过点B在平面BCD内作BD的垂线作为x轴,建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，C

D⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M11022，，．∴AD=（0，1，﹣1），BC=（1，1，0），11022BM=，，．设平面BCM的法向量n=（x，y，z），则011022nBCxynBMyz=+

==+=，令y＝﹣1，则x＝1，z＝1．∴n=（1，﹣1，1）．设直线AD与平面MBC所成角为θ．则sinθ＝|cosnAD＜，＞|26332nADnAD===．考点：1.线面的位置关系.2.空间直角坐标系.3.空间想象力.20.

如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，ABAD⊥，//BCAD，M是棱PD上一点，且2ABBC==，4ADPA==.（1）若:1:2PMMD=，求证：//PB平面ACM；（2）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为63，求DM的长

.【答案】（1）证明见解析（2）2DM=【解析】【分析】（1）连接BD交AC于点N，连接MN，证明出//PBMN，再利用线面平行判定定理可证得结论成立；（2）以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

设DMDP=，其中01≤≤，利用空间向量法可得出关于的方程，结合01≤≤求出的值，即可得解.的【小问1详解】证明：连接BD交AC于点N，连接MN，因为//BCAD，且12BCAD=，所以，12BNBCDN

AD==，又因为12PMDM=，则PMBNDMDN=，所以，//PBMN，因为PB平面ACM，MN平面ACM，故//PB平面ACM.【小问2详解】解：因为PA⊥平面ABCD，ABAD⊥，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如

下图所示的空间直角坐标系，因为2ABBC==，4ADPA==，则()0,0,0A、()2,2,0C、()0,4,0D、()0,0,4P，设()()0,4,40,4,4DMDP==−=−，其中01≤≤，则()()()0,4,00,4,40,44,4AMADDM

=+=+−=−，设平面PCD的法向量为(),,mxyz=，()2,2,0DC=−，()0,4,4DP=−，则220440mDCxymDPyz=−==−+=，取1y=，可得()1,1,1m=，由题意可得()2246cos,334416mA

MmAMmAM===−+，整理可得()2210−=，解得12=，此时点M为PD的中点，故1222DMPD==.21.如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD=，ABBD=.（1）证明：平面ACD⊥平面ABC（2）过A

C的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求平面DAE与CAE夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）77【解析】【分析】（1）取线段AC的中点O，连接OB、OD，证明出OD⊥平面ABC，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立

；（2）分析可知，E为PD的中点，以点O为坐标原点，OA、OB、OD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面DAE与CAE夹角的余弦值.【小问1详解】取线段AC的中点O，连接OB、OD，因为ABC为等边三角形

，则ABBC=，又因为ABDCBD=，BDBD=，所以，ABDCBD≌△△，所以，ADCD=，因为O为AC的中点，则ODAC⊥，因为ADC△为直角三角形，故90ADC=，且OAOD=，因为ABC为等边三角形，O为A

C的中点，则OBAC⊥，因为ABBD=，则222222BDABOAOBODOB==+=+，所以，ODOB⊥，因为ACOBO=，AC、OB平面ABC，所以，OD⊥平面ABC，又因为OD平面ACD，所以，平面ACD⊥平面ABC.【小问2详解】设点A到平面BCD的距离为d，由题意可知，ABCEA

CDEVV−−=，即1133BCECDESdSd=△△，可得BCECDESS=△△，.所以，E为BD的中点，因为OD⊥平面ABC，OBAC⊥，以点O为坐标原点，OA、OB、OD所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设2ABBD==，则()1,0,0A、()0,3,0B、()

1,0,0C−、()0,0,1D、310,,22E，设平面DAE的法向量为()111,,mxyz=，()1,3,0AB=−，()1,0,1AD=−，则1111300mABxymADxz=−+==−+=，取13x=，可得()3,1,3m=，设平面

ACE的法向量为()222,,xnyz=，()2,0,0CA=，311,,22AE=−uuur，则22222031022nCAxnCExyz===−++=，取21y=，则()0,1,3n=−，所以，27cos772mnmnmn==−=−，所以，平面DAE

与CAE夹角的余弦值为77.22.已知三棱柱111ABCABC-，15AA=，ABBC=，30BAC=，1A在平面ABC上的射影为B，二面角1AACB−−的大小为45，（1）求1AA与BC所成角的余弦值；（2）在棱1A

A上是否存在一点E，使得二面角1EBCB−−为90，若存在，求出1AEAA的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）55（2）存在，34【解析】【分析】（1）根据已知结合几何知识得出BFAC⊥与1AFAC⊥，即可得出1AF

B为二面角1AACB−−的平面角，则1ABBF=，令1ABa=，则BFa=，在RtABF中，得出2ABa=，在1RtABA△中，根据1ABa=，2ABa=，15AA=，190ABA=，列式求解即可得出1a=，过B作BMBC⊥，又因为1AB⊥平面ABC，所以BM、

BC、1AB两两垂直，即可以BM、BC、1BA为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，得出()13,1,1AA=−，()0,2,0BC=uuur，即可根据直线间夹角的向量求法得出答案；（2）1AEtAA

=，所以1AEtAA=，得出()()31,1,Ettt−−，则()()31,1,BEttt=−−，根据平面的法向量的求法求出平面EBC与平面1BBC的法向量，即可根据二面角1EBCB−−为90，列式求解出t，即可得出答案.【小问1详解】连接1AB，因为1A在平面ABC上的射影

为B，所以1AB⊥平面ABC，取AC的中点F，由于ABBC=，所以BFAC⊥，连接1AF，由三垂线定理可得1AFAC⊥，则1AFB为二面角1AACB−−的平面角，即145AFB=，则1ABBF=，令1ABa=，则BFa=，则在RtABF中，=30

BAC°，所以2ABa=，在1RtABA△中，1ABa=，2ABa=，15AA=，190ABA=，所以()2225aa+=，解得1a=，过B作BMBC⊥，又因为1AB⊥平面ABC，所以BM、BC、1AB两两垂直，以BM、BC、1BA为x、y、z轴正方向建立如图所示空

间直角坐标系，可得()0,0,0B，()0,2,0C，()3,1,0A−，()10,0,1A，则()13,1,1AA=−，()0,2,0BC=uuur，则125cos,52311AABC==++，则1AA与BC所成角的余弦值为55【小问2详解】设

1AEtAA=，所以1AEtAA=，可求得()()31,1,Ettt−−，则()()31,1,BEttt=−−，设平面EBC的法向量为()1111,,nxyz=，由10nBE=，10nBC=，得()()1111311020txty

tzy−+−+==，解得()()1,0,31ntt=−−，因为111ABCABC-是三棱柱，所以()113,1,1BBAA==−，设平面1BBC的法向量()2222,,nxyz=，由210nBB=，20nBC=，得22

223020xyzy−++==，解得()21,0,3n=，若二面角1EBCB−−为90，则120nn=，即()0310tt−++−=，解得3t4=，所以1AEAA的值为34.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号w

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