【文档说明】四川省邻水实验学校2020-2021学年高二下学期第一次月考数学（文）试卷含答案.doc，共(19)页，274.500 KB，由小赞的店铺上传

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数学（文科）试题注意:(1)全卷共22题,满分150分,考试时间120分钟;（2）试卷分为Ⅰ卷和Ⅱ卷,Ⅰ卷选择题均为单选题;Ⅱ卷填空题答案均应以最简形式出现,解答题必须有必要的文字说明,解答步骤和推导过程;（3）答题卡请勿折叠,请勿污损定位标记,个人

信息请清晰填写。第Ⅰ卷选择题(共60分)一．选择题(共12个小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．若复数z满足＝﹣4+i，则z的虚部为（）A．﹣3iB．﹣3C

．3iD．32．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模型1的相关指数R2为0.98B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50D．

模型4的相关指数R2为0.253．已知x与y之间的几组数据如表，则y与x的线性回归直线＝x+必过点（）x0134y1469A．（0，1）B．（2，5）C．（1，4）D．（5，9）4．已知曲线y＝2x2上一点A（2，8），则A处的切线斜率为（）A．4B．16C．8D．25．用反

证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度6．函数y＝f（x）在R上可导，且f（x）＝2x2﹣f'（1）•x﹣3，则f（

1）+f'（1）＝（）A．0B．1C．﹣1D．不确定7．设函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）＝exlnx+﹣1，则f'（1）＝（）A．e﹣3B．e﹣2C．e﹣1D．e8．如果下边程序执行后输出的结果是132，那么程序中UNTIL后面的“条件”应为（）i＝12s＝1

DOs＝s*ii＝i﹣1LOOPUNTIL“条件”PRINTsEND．A．i＞11B．i＞＝11C．i＜＝11D．i＜119．观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a10+b10＝（）A．28B．76C．123D．19910．设函

数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）在区间（0，2）上有两个极值点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．11．设函数f（x）＝xln，则函数f（x）的图象可能为（）A．B．C．D．12．若函数f（x）＝x2﹣ax﹣x+6在（0，1）内单调递减

，则实数a的取值范围是（）A．a＝1B．a≥1C．a≤1D．0＜a＜1第||卷（非选择题共90分）二．填空题（共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中相应位置）13．观察下列算式：13＝1

，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19……若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n＝．14．若复数z满足2z＝3+i，其中i是虚数单位，是z的共轭复数，则z＝15．读如图的流程图，若输入的值为﹣5时，输出的结果是16．已知函数f（

x）＝ex（e为自然对数的底数），g（x）＝a．若对任意的x1∈R，存在x2＞x1，使得f（x1）＝g（x2），且x2﹣x1的最小值为，则实数a的值为．三．解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）．（1）已知a，b∈R

，求证2（a2+b2）≥（a+b）2．（2）用分析法证明：．18（12分）．当实数m为何值时，复数z＝（m2﹣8m+15）+（m2+3m﹣28）i在复平面内的对应点：（1）位于第四象限；（2）位于x轴负半轴上；（3）在上半平面（含实轴）．19（12分）．某市统计局

就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[1000，1500））（Ⅰ）求居民收入在[1500，2500）的频率；（Ⅱ）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关

系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？20（12分）．我市为改善空气环境质量，控制大气污染，政府相应出台了多项改善环境的措施，

其中一项是为了减少燃油汽车对大气环境污染，从2018年起大力推广使用新能源汽车，鼓励市民如果需要购车，可优先考虑选用新能源汽车，政府对购买使用新能源汽车进行购物补贴，同时为了地方经济发展，对购买本市企业生产的新能源汽车比购买外地企业生产的新能源汽车补贴高，所以市民对购买使用本市企业生产的新能

源汽车的满意度也相应有所提高，有关部门随机抽取本市本年度内购买新能源汽车的100户，其中由70户购买使用本市企业生产的新能源汽车，对购买使用新能源汽车的满意度进行调研，满意度以打分的形式进行，满分100分，将分数按照[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），

[80，100]分成5组，得如下频率分布直方图．（Ⅰ）若本次随机抽取的样本数据中购买使用本市企业生产的新能源汽车的用户中有52户满意度得分不少于60分，得分不少于60分为满意，根据提供的条件数据，完成下面的列

联表，并判断是否有90%的把握认为购买使用新能源汽车的满意度与产地有关？满意不满意总计购本市企业生产的新能源汽车户数购外地企业生产的新能源汽车户数总计（Ⅱ）把满意度得分少于20分的用户称为很不满意用户，在很不满

意的用户中有2户购买使用本市企业生产的新能源汽车，其他是购买外地生产的。现在从样本中很不满意的用户中随机抽取2户进行了解很不满意的具体原因，求这2户恰好是一户购买本市企业生产新能源汽车的，另一户是购买外地企业生产的新能源汽车的概率？附：，其中n＝a+

b+c+d．P（k2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.82821（12分）．已知函数f（x）＝ex﹣2x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（

x）＝f（x）﹣a，x∈[﹣1，1]恰有2个零点，求实数a的取值范围．22（12分）．已知函数f（x）＝ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：（n＞1，n∈N*

）数学（文科）答案一．选择题1．若复数z满足＝﹣4+i，则z的虚部为（）A．﹣3iB．﹣3C．3iD．3【分析】由已知结合复数的四则运算先求出z，进而可求．【解答】解：由＝﹣4+i得z＝（﹣4+i）（3+i）﹣2i＝﹣13﹣3i，则z

的虚部为﹣3．故选：B．【点评】本题主要考查了复数的基本概念及概念的应用，属于基础试题．2．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模

型1的相关指数R2为0.98B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50D．模型4的相关指数R2为0.25【分析】两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，得到结果．【解答】解：两个变量

y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，∴拟合效果最好的模型是模型1．故选：A．3．已知x与y之间的几组数据如表，则y与x的线性回归直线＝

x+必过点（）x0134y1469A．（0，1）B．（2，5）C．（1，4）D．（5，9）【分析】求出平面数，根据线性回归方程的性质，直线＝x+必过点（2，5），得出答案．【解答】解：，，根据线性回归方程的性质，直线＝x+必过点（2

，5），故选：B．【点评】考查线性回归方程的性质，基础题．4．已知曲线y＝2x2上一点A（2，8），则A处的切线斜率为（）A．4B．16C．8D．2【分析】求曲线在点处的切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值．【解答】解：∵y＝2x2，∴y′＝4x，当x＝2时，y′＝

8，故选：C．【点评】本题考查了导数的几何意义．导数的几何意义是指函数y＝f（x）在点x0处的导数是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何

知识交汇的一个重要载体．5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【分析】

一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否

定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选：B．6．函数y＝f（x）在R上可导，且f（x）＝2x2﹣f'（1）•x﹣3，则f（1）+

f'（1）＝（）A．0B．1C．﹣1D．不确定【分析】求导函数得出f′（x）＝4x﹣f′（1），进而可求出f′（1）＝2，从而得出f（x）的解析式，从而可求出f（1）＝﹣3，进而可求出f（1）+f′（1）的值．【解答】解：f′（x）＝4x﹣f′（1），∴f′（1）＝4﹣f′

（1），∴f′（1）＝2，∴f（x）＝2x2﹣2x﹣3，f（1）＝﹣3，∴f（1）+f′（1）＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．7．设函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）＝exlnx+﹣1

，则f'（1）＝（）A．e﹣3B．e﹣2C．e﹣1D．e【分析】可以求出导函数，从而可求出f′（1）＝e﹣1．【解答】解：，∴．故选：C．【点评】考查基本初等函数和积的导数的计算公式，以及已知函数求值的方法．8．如果下边程序执行后输出的结果是132，那么程序中UNTIL后面的

“条件”应为（）i＝12s＝1DOs＝s*ii＝i﹣1LOOPUNTIL“条件”PRINTsEND．A．i＞11B．i＞＝11C．i＜＝11D．i＜11【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再

根据s＝1×12×11＝132得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是132，即s＝1×12×11，需执行2次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜11．故选：D．【点评】本题主要考

查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．9．观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b

3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a10+b10＝（）A．28B．76C．123D．199【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3

，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10＝123，故选：C．【点评】本题考查归纳推

理，实际上主要为数列的应用题．要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．10．设函数f（x）＝x（lnx﹣ax）（a∈R）在区间（0，2）上有两个极值点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】方法一：求导f′（x）＝lnx﹣2ax+1，由关

于x的方程a＝在区间（0，+∞）由两个不相等的实根，构造辅助函数，根据函数单调性即可求得a取值范围；方法二：由题意，关于x的方程2ax＝lnx+1在区间（0，2）由两个不相等的实根，则y＝2ax与y＝lnx+1有两个交点，根据导数的几何意义，即可求得a的取值范围．【解答】解：方法一：f

（x）＝x（lnx﹣ax），求导f′（x）＝lnx﹣2ax+1，由题意，关于x的方程a＝在区间（0，+∞）由两个不相等的实根，令h（x）＝，h′（x）＝﹣，当x∈（0，1）时，h（x）单调递增，当x∈（1

，+∞）单调递减，当x→+∞时，h（x）→0，由图象可知：函数f（x）＝x（lnx﹣ax），在（0，2）上由两个极值，只需＜a＜，故D．方法二：f（x）＝x（lnx﹣ax），求导f′（x）＝lnx﹣2ax+1，由题意，关于x的方程2ax＝lnx+1在区间（0，2）由两个不相等的实根，

则y＝2ax与y＝lnx+1有两个交点，由直线y＝lnx+1，求导y′＝，设切点（x0，y0），＝，解得：x0＝1，∴切线的斜率k＝1，则2a＝1，a＝，则当x＝2，则直线斜率k＝，则a＝，∴a的取值范围（，），故选：D．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数

与函数单调性及应用，考查数形结合思想，属于中档题．11．设函数f（x）＝xln，则函数f（x）的图象可能为（）A．B．C．D．【分析】由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数，再求出f（），则答案可求．【解答】解：函数f（x）

＝xln的定义域为（﹣1，1），由f（﹣x）＝﹣xln＝xln＝f（x），得f（x）为偶函数，排除A，C；又f（）＝＞0，排除D．故选：B．【点评】本题考查函数的图象与图象变换，考查函数奇偶性的应用，是中档题．12．若函数f（x）＝x

2﹣ax﹣x+6在（0，1）内单调递减，则实数a的取值范围是（）A．a＝1B．a≥1C．a≤1D．0＜a＜1【分析】求出函数的对称轴，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：函数f（x）的对称轴是x＝，开口向上，故≥1，解得：a≥1，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的

性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．二．填空题13．观察下列算式：13＝1，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19……若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n＝45．【分析】由已知规律可得：n3按上述规律展开后，发现等

式右边含有n个整数．而前面n﹣1个等式共含有1+2+……+（n﹣1）＝个数，可得2×＜2021，解出即可得出．【解答】解：由已知规律可得：n3按上述规律展开后，发现等式右边含有n个正奇数．而前面n﹣1个等式共含有1+2+……+（n﹣1）＝个奇数，∴2×＜2021，即n（n﹣1）＜20

21，而45×44＝1980＜2021.46×45＝2070＞2021．∴n＝45，故答案为：45．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、归纳推理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．若复数z满足2z＝3+i，其中i是虚数单位，是z的共轭复数，

则z＝1+i【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），代入2z＝3+i，整理后利用复数相等的条件求得a，b，则答案可求．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），由2z＝3+i，得2a+2bi+a﹣bi＝3a+bi＝3+i，得a＝1，b＝1，∴z＝1+

i．故答案为：1+i．【点评】本题考查复数相等的条件，是基础题．15．读如图的流程图，若输入的值为﹣5时，输出的结果是2【分析】用所给的条件，代入判断框进行检验，满足条件时，进入循环体，把数字变换后再进入判断框进行判断，直到不满足条件时，输出数据，得到结

果．【解答】解：∵输入的值为﹣5时，﹣5满足判断框中的条件A＜0，A＝﹣5+2＝﹣3，﹣3满足判断框中的条件A＜0，A＝﹣3+2＝﹣1，﹣1满足判断框中的条件A＜0．A＝﹣1+2＝1，1不满足判断框中的条件A＜0，A＝2×1＝2，即输出的数据是2，故答案为：2．16

．已知函数f（x）＝ex（e为自然对数的底数），g（x）＝a．若对任意的x1∈R，存在x2＞x1，使得f（x1）＝g（x2），且x2﹣x1的最小值为，则实数a的值为．【分析】假设“f（x1）＝g（x2）＝t”构建出一个

新函数h（t）＝，求出其单调性及最值即可求解；【解答】解：令f（x1）＝g（x2）＝t，则，∴x1＝lnt，，令h（t）＝，则，令h′（t）＝0，则；∴h（t）在（0，）内单调递减，在（，+∞）内单调递增；∴，∴a＝；故答案为：．

【点评】本题考查了导数的单调性及最值，考查学生的分析能力，计算能力，推理能力；属于难题．三．解答题17．（1）已知a，b∈R，求证2（a2+b2）≥（a+b）2．（2）用分析法证明：．【分析】（1）由于不等式的左

边减去右边，配方后等于（a﹣b）2≥0，可得不等式的左边大于或等于右边，从而证得不等式成立．（2）要证原不等式成立，只要证13+2＞13+4，即证＞2，即证42＞40．而42＞40显然成立，从而得到要证的不等式成立．【解

答】（1）证明：∵a，b∈R，且2（a2+b2）﹣（a+b）2＝a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，∴2（a2+b2）≥（a+b）2成立．（2）证明：要证，只要证13+2＞13+4，即证＞2，即证42＞40．

而42＞40显然成立，故成立．【点评】本题主要考查用比较法和分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．18．当实数m为何值时，复数z＝（m2﹣8m+15）+（m2+3m﹣28）i在复平面内的对应点：（1）位于第四象限；（2）位于x轴负半轴

上；（3）在上半平面（含实轴）．【分析】（1）要使点位于第四象限，须，解出即可；（2）要使点位于x轴负半轴上，须，解出即可；（3）要使点位于上半平面（含实轴），须m2+3m﹣28≥0，解出可得；【解答】解：（1）要使点位于第四

象限，须，即，解得﹣7＜m＜3，∴﹣7＜m＜3．（2）要使点位于x轴负半轴上，须，∴，解得m＝4，∴m＝4．（3）要使点位于上半平面（含实轴），须m2+3m﹣28≥0，解得m≥4或m≤﹣7．【点评】该题考查复数代数形式的表示及其几何意义，属

基础题．19．某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示[1000，1500））（Ⅰ）求居民收入在[1500，2500）的频率；（Ⅱ）为了分析居民的收

入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的这段应抽取多少人？【分析】（Ⅰ）根据频率＝小矩形的高×组距来求；（Ⅱ）求出月收入在[2500，3000）的人数，用分层抽样的抽取比例乘以人

数，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）月收入在[1500，2500）的频率为0.0009×500＝0.45；（Ⅱ）月收入在[2500，3000）的频数为0.25×10000＝2500（人），∵抽取的样本容量为100．∴抽取比例为＝，∴月收入在[2500，3000）的这段应抽取25

00×＝25（人）．【点评】题考查了频率分布直方图，分层抽样方法，是统计常规题型，解答此类题的关键是利用频率分布直方图求频数或频率．20．我市为改善空气环境质量，控制大气污染，政府相应出台了多项改善环境的措施，其中一项是为了减少燃油汽车对大气环境污染，从201

8年起大力推广使用新能源汽车，鼓励市民如果需要购车，可优先考虑选用新能源汽车，政府对购买使用新能源汽车进行购物补贴，同时为了地方经济发展，对购买本市企业生产的新能源汽车比购买外地企业生产的新能源汽车补贴高，所以市民对购买使用本市企业生产的新能源汽车的满意度也相应有所提高，

有关部门随机抽取本市本年度内购买新能源汽车的100户，其中由70户购买使用本市企业生产的新能源汽车，对购买使用新能源汽车的满意度进行调研，满意度以打分的形式进行，满分100分，将分数按照[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分

成5组，得如下频率分布直方图．（Ⅰ）若本次随机抽取的样本数据中购买使用本市企业生产的新能源汽车的用户中有52户满意度得分不少于60分，得分不少于60分为满意，根据提供的条件数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为购买使用新能源汽车的满意度与产

地有关？满意不满意总计购本市企业生产的新能源汽车户数购外地企业生产的新能源汽车户数总计（Ⅱ）以频率作为概率，政府对购买使用新能源汽车的补贴标准是：购买本市企业生产的每台补贴a2（a＞1）万元，购买外地企业生产的每台补贴a万元，但本市本年度所有购买新能源汽车的补贴每台的期望值不超过3.4万

元，则购买外地产的新能源汽车每台最多补贴多少万元？附：，其中n＝a+b+c+d．P（k2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图

中的数据可以求出满意度得分不少于6的用户数为70，再结合已知条件求出即可列出联表，进而求出结论；（Ⅱ）算出每个变量对应的概率，列出分布列，求出期望；结合每台的期望值不超过3.4万元即可求出结论．【解答】解：（I）．根据样

本频率分布直方图可知：满意度得分不少于6的用户数：（20×0.0200+20×0.0150）×100＝70，又因为本市企业生产用户有52户满意，所以外地企业生产的用户有18户满意，得如下列联表：满意不满意总计购买本市企业生产的新能源汽车户数521870购买外地企业生产的新能源汽车户数

181230总计7030100则，故没有90%的把握认为购买使用新能源汽车的满意度与产地有关．（II）．设政府对购买新能源汽车的补贴每台为x万元，则x＝a2或x＝a，，，随机变量x的分布列为：xa2aP0.70.3则E（x）＝0.7a2+0.3a，由E（x

）≤3.4，即0.7a2+0.3a≤3.4，即7a2+3a﹣34≤0，解得，又因为a＞1，故1＜a≤2，所以，购买外地产的新能源汽车每台最多补贴2万元．【点评】本题主要考察频率分布直方图的应用以及2×2列联表，分布列，期望，是对知识的综合考察，属于中档题．21．

已知函数f（x）＝ex﹣2x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣a，x∈[﹣1，1]恰有2个零点，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的

导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值和端点值，结合函数的零点个数端点关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝ex﹣2，f′（0）＝﹣1，f（0）＝1．故y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y＝﹣x+1；（Ⅱ）g（x）＝ex﹣2

x﹣a，g′（x）＝ex﹣2，由g′（x）＝0，解得：x＝ln2，当﹣1≤x＜ln2时，g′（x）＜0，g（x）在[﹣1，ln2）上单调递减，当ln2＜x≤1时，g′（x）＞0，g（x）在（ln2，1]上单调递增，故g（x）mi

n＝g（ln2）＝2﹣2ln2，又g（﹣1）＝+2﹣a＞g（1）＝e﹣2﹣a，结合题意得：，解得：2﹣2ln2＜a≤e﹣2．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．22．

已知函数f（x）＝ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：（n＞1，n∈N*）【分析】（1）求出函数的导函数，然后分k≤0

和k＞0讨论函数的单调区间；（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≤0，变形后把变量k分离出来，得到，然后利用导函数求不等式右边的最大值，则实数k的取值范围可求；（3）由（1）可知，若k＝1，当x∈（2，+∞）时有f（x）＜0，由此得到ln

x＜x﹣1（x＞1），依次取x的值为2，3，…，n，累加后利用分组求和可证不等式．【解答】（1）解：f（x）的定义域为（1，+∞），，当k≤0时，＞0，函数f（x）的递增区间为（1，+∞），当k＞0时，由＞0，得：，函数f（x）的递增区间为，由＜0，得：x＞，函数f（

x）的递减区间为；（2）由f（x）≤0，即ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1＜0得，，令，则，∴当x∈（1，2）时，y′＞0，函数递增；当x∈（2，+∞）时，y′＜0，函数递减．∴当x＝2时函数取得最大值为1，∴k≥1；（

3）由（1）可知若k＝1，当x∈（2，+∞）时有f（x）＜0，∴ln（x﹣1）﹣（x﹣1）+1＜0，即ln（x﹣1）＜x﹣2，即有lnx＜x﹣1（x＞1），令x＝n，则lnn＜n﹣1，∴ln2+ln3+…+lnn＜（2﹣1）+（3﹣1）+…+

（n﹣1）＝（2+3+…+n）﹣（n﹣1）＝＝（n＞1，n∈N*）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，训练了分离变量法，（3）中不等式的证明是该题的难点所在，考查了

学生灵活处理问题和解决问题的能力，此题是有一定难度题目．