【文档说明】湖北省宜昌市长阳土家族自治县第一高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷 Word版含答案.docx，共(10)页，756.829 KB，由小赞的店铺上传

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长阳一中2024级九月月考数学试题2024.9满分150时间120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()i1i(iz=+为虚数单位)在复平面上对应的点位于（）A.第一象限

B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知两条直线12:410,:20laxylxay+−=++=，则“2a=”是“1l∥2l”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.过点()1,0且与直线220xy−−=垂直的直线方程是（）A.210

xy−−=B.210xy−+=C.220xy+−=D.210xy+−=4.将95,96,97,98,99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过

1的概率为（）A.15B.25C.35D.455.函数()yfx=的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（）A.112yfx=−B.112yfx=−−C.()42yfx=−D.

()42yfx=−−6.若直线10xy−+−与圆22()2xay−+=有公共点，则实数a取值范围是（）A.3,1−−B.3,1−C.1,3−D.(),31,−−+7.一个三角形纸板的三个顶点为,,,3,2,5ABCABBCAC===，以AB边上的高所在直线为旋转轴，

将三角形纸板旋转180，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（）A.5π6B.πC.5π3D.2π8.已知圆22:16Oxy+=，点12,192F−+，点E是:2160lxy−+=上的动点，过E作圆O的切线，切点分别为,AB，直线

AB与EO交于点M，则MF的最小值为（）A.32B.352C.552D.3192二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对

的得部分分，有选错的得0分.9.动点(),Axy在圆221xy+=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间0t=时，点A的坐标是13,22，则当012t时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数递增的区间可以是（）A.0,1B.

1,7C.5,8D.7,1210.已知圆22:(1)(2)25Cxy++−=，直线()():311420lmxmym+++−−=，直线l与圆C交于,AB两点，则（）A.直线l恒过定点()1,1B.当15m=时，A

B最长C.当35m=−时，弦AB最短D.最短弦长25AB=11.已知四面体,2,ABCDABAB−=⊥平面,BCDBEAC⊥，垂足为,EBFAD⊥，垂足为F，则下列结论正确的是（）A.若BCCD⊥，则ACEF⊥B.若BCCD⊥

，则AD⊥平面BEFC.若BCBD=.则EF∥CDD.若2BCBD==，则四面体ABEF−体积的最大值为2227三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系中，已知()()()()5,2,1,4,2,1,0,1,0,1,0,1ABCD−−

，则直线AB与CD所成角的余弦值为__________.13.P是函数2yxx=+图象上任意一点，过P向直线yx=和y轴分别作垂线，垂足分别为,AB，则PAPB=__________.14.在等腰直角三角形ABC中

，4ABAC==，点P是边AB上异于,AB的一点，光线从点P出发，经,BCCA发射后又回到原点P（如图）.若光线QR经过ABC的重心，则AP=__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知以点()1,2A−为圆心的圆

与直线1:270lxy++=相切，过点()2,0B−的动直线l与圆A相交于,MN，当219MN=时，求直线l的方程.16.已知ABC三个内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且coscos3CAcba=−.（1）求sinC的值；（2

）若ABC的面积52S=，且()6cab=−，求ABC的周长.17.如图，三棱柱111ABCABC−中，侧面11BBCC⊥底面ABC，且11,ABACABAC==.（1）证明：1AA⊥平面ABC；（2）若1

2,90AABCBAC===，求平面1ABC与平面11ABC夹角的余弦值.18.在平面直角坐标系中，曲线261yxx=−+与坐标轴的交点都在圆C上，（1）求圆C的方程；（2）如果圆C与直线0xya−+=交于,AB两点，且OAOB⊥，求a的值.19.如图，点(),Zab，复数()i,Zabab=

+R可用点(),Zab表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一

个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数izab=+都可以表示成()cosisinr+的形式，即cos,sin,arbr==其中r为复数z的模，叫做复数z的辐角（以x非负半轴为

始边，OZ所在射线为终边的角），我们规定02π范围内的辐角的值为辐角的主值，记作()argz.cosisinr+叫做复数izab=+的三角形式.复数三角形式的乘法公式：()()()()111222121212

cosisincosisincosisinrrrr++=+++.棣莫佛提出了公式：()()[cosisin]cosisinnnrrnn+=+，其中*0,rnN.（1）已知1322zi,i2222w=+=

+，求3zwzw+的三角形式；（2）已知0为定值，00π，将复数001cosisin++化为三角形式；（3）设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为1220,,,zzz，求复数2024202420241220,,,zzz所对应不同点的个数.参考答案题号1

234567891011121314答案BACDABABADACBCD1551−431-3略4.列举，十组数据中，只有95，96;97,98这两组数据不符合.5.结合三角函数图象变换中,,A对图象的影响和选择题的特点来分析：0,0A很容易看出，而类比周期变大变小这个特点，即

可得6.圆22()2xay−+=的圆心(),0Ca到直线10xy−+=的距离为d，则12212312adraa+=+−7.设AB边上高为CD，则旋转得到的几何体为分别以CD为轴，,DADB为半径的两个半圆锥，即()221132CDDAD

B+，而,ACDBCD中，22222(3)ACDACBDACD−=−−=代入数据得.8.如图，设(),Mxy，由题可知AOEMOA，则OAOMOEOA=，即2||OAOEOM=，所以2222||16||OEOAOMOMx

y==+，所以点22221616,,xyExyxy++将点E的坐标代入:2160,lxy−+=化简得2215(1)24xy++−=（,xy不同时为0)，故点M的轨迹是以11,2−为圆心，52为半径的圆，又22115(21)19

20224−+++−=，点F在该圆外，所以MF的最小值为22115535(12)192522222−++−−−=−=法二：设(),216,EaaAB+过定点()2,1N−，又()OMABMN⊥故M的轨迹是以AN为直径

的圆；9.不需要写函数表达式，直接看图即可得!10.直线方程写为()3420mxyxy+−++−=，得过定点()1,1M，过圆心C时最长，与CM垂直时最短；11.对于A与B,,,BCCDCDABCD⊥⊥⊥平面ABC，即1CDB⊥，即BE⊥平面ACDBEA，由题意得,BFADAD⊥⊥平面,BEF

ADEF⊥，即AC与EF不垂直，故A不正确，B正确；对于C,BC,,,AFAFBDABCABDEFACAD==∥CD，故C正确；对于D，在ABC中，可求得11,39ABEFABCDAEAFVVACAD−−===，又当且仅当90

DBC=时，ABCDV−有最大值1122222,323=四面体ABEF−体积的最大值为2227，故D正确.12.注意异面直线所成角的范围，其余弦值非负!13.法一：设2,Paaa+，写PA直线方程，求AB､点坐标，用向量坐标计算；法二

：填空题，题干中有提示为定值，不妨取()2,22P，算,,cosPAPBAPB14.设(),0,PxBC的中点()2,2.DABC的重心O在中线的23处，44,33O.分别求P点关于BC即4xy+=的对称点()4,4Ma−，关于AC对

称点(),0Na−，则,,,,MQORN共线，即MON共线即得15.易知()1,2A−到直线270xy++=的距离为圆A半径r，所以22112272512r−++==+，则圆A方程为22(1)(2)20xy++−=过A做AQMN⊥，由垂径定理可知90MQA=，且1

9MQ=，在RtAMQ中由勾股定理易知222||||||20(19)1AQAMMQ=−=−=当动直线l斜率不存在时，设直线l的方程为2x=−，经检验圆心到直线l的距离为1，且根据勾股定理可知219MN=，显

然2x=−合题意，当动直线l斜率存在时，l过点()2,0B−，设l方程为：()2ykx=+，由()1,2A−到1距离为1知22211kkk−+−=+得34k=，代入解之可得3460xy−+=，所以3460xy−+=或2x=−为所求l方程.16.（1）由题意，coscossin3sinsinCACB

A=−，得：3sincossincoscossinBCACAC−=.所以()3sincossincoscossinsinBCACACAC=+=+.又()()sinsinπsinACBB+=−=，且si

n0B，所以1cos3C=.由sin0C，故222sin1cos3CC=−=.（2）1sin522SabC==，所以15ab=.由余弦定理，222222cos10cababCab=+−=+−.又()22226()6180cabab=−=+−.联立得：22

34,26abc+==.2228ababab+=++=.所以ABC的周长为826abc++=+.17.（1）取BC的中点M，连结1MAMA､.因为11,ABACABAC==，所以1,BCAMBCAM⊥⊥.由于1,AMAM平面1

AMA，且1AMAMM=，因此BC⊥平面1AMA.因为1AA平面1AMA，所以1BCAA⊥.又因为1AA∥1BB，所以1BBBC⊥，因为平面11BBCC⊥平面ABC，平面11BBCC平面ABCBC=，且1BB平面11BBCC，所以1BB

⊥平面ABC.因为1AA∥1BB，所以1AA⊥平面ABC.（2）因为90BAC=，且2BC=，所以2ABAC==.以1,,ABACAA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()110,0,2,2,0,0,0,2,0,0,2,2ABCC.所以()(

)()11112,0,2,0,2,2,0,2,0ABACAC=−=−=.设平面1ABC的法向量为()111,,mxyz=，则1100mABmAC==，可得11112020xzyz−=−=，令11z=，则()2,2,1m=，

设平面11ABC的法向量为()222,,nxyz=，则11100nABnAC==，可得222200xzy−==，令21z=，则()2,0,1n=，设平面1ABC与平面11ABC夹角为，则315cos553mnmn===，所以平面1ABC与平面11ABC夹角的余弦值为

155.18.（i）曲线261yxx=−+，与y轴交点为()0,1，与x轴交点为()()322,0,322,0+−因而圆心坐标为()3,Ct，则有22223(1)(22)1ttt+−=+=半径为223(1)3t+−=，所以圆方程是22(3)(1)9xy−+

−=（ii）设点()()1122,,,AxyBxy满足220(3)(1)9xyaxy−+=−+−=解得：()222228210Δ561640xaxaaaa+−+−+==−−21212214,2aaxxaxx−++=−=12121122,0,,OAOBxxyyyxayxa⊥+=

=+=+()2121220,1xxaxxaa+++==−代入Δ检验符合.19.（1）35π5π2cossin66zwzwi+=+；（2）000001cossin2coscossin222ii++=+；

（3）5解【1】()()321322315π5π1ii1i2i2cosisin22222266zwzwzww+=+=+++=−+=+.【2】2000

000001cosisin2cos2isincos2coscosisin222222++=+=+.【3】正二十边形每边所对的中心角为2π20，设1cosisinz=+（为常

数），则()()()21π21πcosisincosisin,1,2,,202020kkkzk−−=++=，所以()()()202421π21πcos2024sin2024cos2024isin20242020kkkzi−−=++()12

π2πcos2024isin2024cos2024isin20242020k−=++()12π2πcos2024isin2024cosisin55k−=++，由周期性可知，2024kz共有5个不同的值，故复数2024202420241220,

,,zzz所对应不同点的个数为5.