【文档说明】《【补习教材+寒假作业】九年级数学（苏科版）》练习2 一元二次方程的应用（解析版）.docx，共(13)页，149.304 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1.练习2一元二次方程的应用1．2020年以来，受疫情影响，一些传统商家向线上转型发展，某商家通过“直播带货”，商品网上零售额得以逆势增长．若该商家销售一种进价为每件40元的商品，当销售单价为80元时，平均每天可销售100件；经数据分析发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加10件．（1

）当销售单价为65元时，每天的销售量为250件；（2）该商家想在每天获得6000元利润的前提下，最大程度让利于顾客，应将销售单价定为多少元？【分析】（1）利用每天的销售量＝100+10×降低的价格，即可求出结论；（2））设将销售单价定为x元

，则销售每件商品的利润为（x﹣40）元，平均每天的销售量为100+10（80﹣x）＝（900﹣10x）件，根据总利润＝销售每件商品的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【解答】解：（1）100+10×（80﹣65）＝

250（件）．故答案为：250．（2）设将销售单价定为x元，则销售每件商品的利润为（x﹣40）元，平均每天的销售量为100+10（80﹣x）＝（900﹣10x）件，依题意，得：（x﹣40）（900﹣10x）＝6000，整理，得：x2﹣130x+4200＝0，解得：x1＝60，x2＝70，又∵要最

大程度让利于顾客，∴x＝60．答：销售单价定为60元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．为贯彻落实党的十九大关于实施健康中国战略的要求，满足职工群众对美

好生活的新期待，促进城乡加2速融合，我市总工会决定对开展职工春秋（乡村）游活动予以推进．据统计，我市某农庄今年7月接待了1280人参观游玩，后几月每月都有增加，若9月份该农庄接待了2880人参观游玩，且进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率相同．（

1）求该农庄游玩人数的月平均增长率；（2）因条件限制，该农庄每月接待能力不超过5000人，在进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率不变的条件下，该农庄能否全部接待10月份的参观游玩人数？并说明理由．【分析】（1）设该农庄游玩人数的月平均增长率为x，根据该农庄7月及9月接待参观游玩的人数

，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据10月份参观游玩的人数＝9月参观游玩的人数×（1+增长率），可求出10月份参观游玩的人数，将其与5000比较后即可得出结论．【解答】解：（1）

设该农庄游玩人数的月平均增长率为x，依题意，得：1280（1+x）2＝2880，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．答：该农庄游玩人数的月平均增长率为50%．（2）2880×（1+50%）＝4320（人），∵4320＜500

0，∴该农庄能全部接待10月份的参观游玩人数．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．某商店进了一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，使库存减少最快，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如

果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，当每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利达到1200元？【分析】设每件衬衫应降价x元，则销售每件衬衫的利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，根据总利润＝销售每件的利润×日销售

量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答】解：设每件衬衫应降价x元，则销售每件衬衫的利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，解

得：x1＝10，x2＝20．当x＝10时，20+2x＝40；当x＝20时，20+2x＝60．3∵要使库存减少最快，∴x＝20．答：当每件衬衫应降价20元时，商场平均每天盈利达到1200元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一

元二次方程是解题的关键．4．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度．【分析】设AB长为xm，则BC长为（24﹣3x）m，根据围成花圃的面积为45m2，即可

得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答】解：设AB长为xm，则BC长为（24﹣3x）m．依题意得：x（24﹣3x）＝45，整理得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10

成立．答：AB的长为5m．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．某体育用品店的“世园会纪念T恤”每天销售20件，每件T恤盈利40元．经过市场调查发现：如果T恤每降价1元，则每天多售出2件．（1）当

降价5元时，分别求每天售出的数量和每天的盈利；（2）如果每天盈利1200元，那么T恤降价了多少元？【分析】（1）用原销售数量+2×下降的价格可得降价后的销售数量，用单件利润乘销售数量可得总利润；（2）设

降价x元，根据总利润＝每件利润×销售数量可得关于x的一元二次方程，解之可得x的值，从而得出答案．【解答】解：（1）当降价5元时，每天售出的数量为20+2×5＝30（件），每天的盈利为30×（40﹣5）＝1050（元）；（2

）设降价x元，4根据题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，解得x1＝10，x2＝20，答：降价了10元或30元．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．6．如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝

12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．（1）当t＝4时，求△APQ的面积．（2）经过多少秒时，△APQ的面

积是△ABC面积的一半．【分析】（1）根据点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，AP＝4cm，AQ＝4cm，利用面积公式求解；（2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，则BP＝2tcm，CQ＝2tcm，进而表示出AP＝（12﹣2t）cm，AQ＝（8﹣

t）cm，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论．【解答】解：（1）∵点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，当t＝4时，BP＝2t＝8cm，CQ＝t＝4cm，∴AP＝4cm，AQ＝4cm，∴S△APQ=12×4×4＝8．（2）设经过t秒△APQ的面积

是△ABC面积的一半．根据题意得：12S△ABC=12×12×12×8＝24cm2，当0＜t＜6时如图1：5S△APQ=12（12﹣2t）（8﹣t）＝24，整理得t2﹣14x+24＝0，解得t＝12（舍去

）或t＝2．当6＜t＜8时如图2：S△APQ=12（2t﹣12）（8﹣t）＝24，整理得t2﹣14x+72＝0，解得t＝12（舍去）或t＝2．当t＞8时如图3：S△APQ=12（2t﹣12）（t﹣8）＝24，整理

得t2﹣14x+24＝0，解得t＝12或t＝2（舍去）．综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，特别是动点问题更是中考的热点考题之一，注意审题，分类讨论思想的应用．7．张师傅今年初开了一家商店，二月份开始盈利，二月份的盈利是5000元，四

月份的盈利达到7200元，且从今年二月到四月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计今年五月份的盈利能达到多少元？【分析】（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量

关系：二月份盈利额×（1+增长率）2＝四月份的6盈利额列出方程求解即可．（2）五月份盈利＝四月份盈利×增长率．【解答】解：（1）设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200．解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（

不符合题意，舍去），答：每月盈利的平均增长率为20%；（2）7200（1+20%）＝8640（元），答：按照这个平均增长率，预计今年五月份这家商店的盈利将达到8640元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2＝后来的量

，其中增长用+，减少用﹣，难度一般．8．为了满足市场上的口罩需求，某厂购进A、B两种口罩生产设备若干台，已知购买A种口罩生产设备共花费360万元，购买B种口罩生产设备共花费480万元．购买的两种设备数量相同，且两种口罩生产设备的单价和为140万元．（1）求A、B两种口罩生产设备

的单价；（2）已知该厂每生产一盒口罩需要各种成本40元，如果按照每盒50元的价格进行销售，每天可以售出500盒．后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每天减少20盒，要保证每天销售口罩盈利6000元，且规

避过高涨价风险，则每盒口罩可涨价多少元？【分析】（1）设A种口罩生产设备的单价为x万元，则B种口罩生产设备的单价为（140﹣x）万元，根据购买的两种设备数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设每盒口罩可涨价m元购进A口罩m个，根

据每天销售口罩盈利6000元，即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）设A种口罩生产设备的单价为x万元，则B种口罩生产设备的单价为（140﹣x）万元，依题意有360𝑥=480140−𝑥，解得x＝60，经检验，x＝60是原方

程的解，且符合题意，则140﹣x＝140﹣60＝80．答：A种口罩生产设备的单价为60万元，则B种口罩生产设备的单价为80万元；（2）设每盒口罩可涨价m元，依题意有7（50﹣40+m）（500﹣20m）＝6000，解得m1＝5，m2＝10（舍去）．故每盒口罩可涨价5元．【

点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程．9．疫情结束后，某广场推出促销活动，已知商品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该商品的销

售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．【销售利润＝销售总额﹣进货成本】．（1）若该商品的单价为43元时，则当天销售商品250件，当天销售利润是3250

元；（2）当该商品的销售单价为多少元时，该商品的当天销售利润是3450元．【分析】（1）根据当天销售量＝280﹣10×增加的销售单价，即可求出结论；（2）设该纪念品的销售单价为x元（x＞40），则当天的销售量为[280﹣（x﹣40）×10]件，根据当天的销售利润

＝每件的利润×当天销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；【解答】解：（1）280﹣（43﹣40）×10＝250（件），当天销售利润是250×（43﹣30）＝3250（元）．故答案为：250，3250；（2）设该商品的销售单价为x元（x＞40

），则当天的销售量为[280﹣（x﹣40）×10]件，依题意，得：（x﹣30）[280﹣（x﹣40）×10]＝3450，整理，得：x2﹣98x+2385＝0，整理，得：x1＝53，x2＝45．答：当该商品的销售单价为45元或53元时，该商品的当

天销售利润是3450元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．材料：某地有A，

B两家商贸公司（以下简称A，B公司）．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中m＝3n，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为29；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了x%，

B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为37，同时公共营销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．问题：8（1）根据上述材料，针对去年下半年，提

出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比），并解答；（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B

公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．【分析】（1）问题：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比？根据比的定义即可求解；（2）根据同一个公司去年下半年和今年上半年

每平方千米产生的经济收益持平，列出方程求出x，再求出去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．【解答】解：（1）问题：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比？3n×29=23n，23n：n=23；（2）依题意有37×3n（1+x%）＝[3n（1+x%）+n（1+4

x%）−37×3n（1+x%）][3n×29÷（3n+n−23n）+x%]，100（x%）2+45x%﹣13＝0，解得x%＝20%，x%＝﹣65%（舍去），设B公司每半年每平方千米产生的经济收益为a，则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a，今年上半年两公司总经济收益为1

.5a×3n×（1+20%）+an×（1+4×20%）＝7.2na，去年下半年两公司总经济收益为1.5a×3n+an＝5.5na，故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为（5.5na）：（7.2na）＝55：72．故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为55：72．【

点评】考查了一元二次方程的应用，列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．本题难度较大．11．一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售

价每降低0.1元，每天可多售出20斤．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低9多少元？【分析】（1）销售量＝原来销售量+下降销售量，据此列

式即可；（2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解即可．【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+𝑥0.1×20＝100+200x（斤）；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，解得：x1=12，x2＝1，当

x=12时，销售量是100+200×12=200＜260；当x＝1时，销售量是100+200＝300（斤）．∵每天至少售出260斤，∴x＝1．答：水果店需将每斤的售价降低1元．【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每

千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．12．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为35000米2，施工队在绿化了11000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（

1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【分析】（1）直接利用每天的

工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程，进而得出等式求出答案；（2）利用矩形绿地，它们的面积之和为56米2，进而得出等式求出答案．【解答】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，10根据题意得：35000−11000𝑥−35000−110001.5𝑥=

4，解得：x＝2000，（4分）经检验，x＝2000是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）＝56，解得：x1＝2，x2=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为

2米．【点评】此题主要考查了一元二次方的应用以及分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时

出发，运动时间为t（s）．（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的14，求t的值？（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为12×4×8＝16，△P

CQ的面积为12t（8﹣2t），由题意列出方程解答即可；（2）由等量关系S△PCQ=12S△ABC列方程求出t的值，但方程无解．【解答】解：（1）∵S△PCQ=12t（8﹣2t），S△ABC=12×4×8＝16，∴

12t（8﹣2t）＝16×14，整理得t2﹣4t+4＝0，解得t＝2．11答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的14；（2）当S△PCQ=12S△ABC时，12t（8﹣2t）＝16×12，整理得t2﹣4t+8＝0，△＝（﹣

4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，∴此方程没有实数根，∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．【点评】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量

关系，列出方程，再求解．14．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转

化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三

次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；（2）拓展：用“转化”思想求方程√2𝑥+3=

x的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C

．求AP的长．【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；12（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP＝10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，【解答】解：（

1）x3+x2﹣2x＝0，x（x2+x﹣2）＝0，x（x+2）（x﹣1）＝0所以x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；故答案为：﹣2，1；（2）√2𝑥+3=x，方程的两边平方，得2x+3＝x2即x2﹣2x﹣3＝0（x﹣3）（x+1）＝0∴x﹣3＝0或x+1＝0∴x1

＝3，x2＝﹣1，当x＝﹣1时，√2𝑥+3=√1=1≠﹣1，所以﹣1不是原方程的解．所以方程√2𝑥+3=x的解是x＝3；（3）因为四边形ABCD是矩形，所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m设AP＝xm，则PD＝

（8﹣x）m因为BP+CP＝10，BP=√𝐴𝑃2+𝐴𝐵2，CP=√𝐶𝐷2+𝑃𝐷2∴√9+𝑥2+√(8−𝑥)2+9=10∴√(8−𝑥)2+9=10−√9+𝑥2两边平方，得（8﹣x）2+9＝100﹣20√9+𝑥2+9+x2整理，得5√𝑥2+9=4x

+9两边平方并整理，得x2﹣8x+16＝0即（x﹣4）2＝0所以x＝4．经检验，x＝4是方程的解．13答：AP的长为4m．【点评】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．