【文档说明】四川省雅安中学2024-2025学年高一上学期入学测试数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.587 MB，由小赞的店铺上传

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雅安中学高2024级入学测试数学一、选择题（每小题3分，共30分）1.不等式2210xx−−的解集是（）A.11,2−B.()1,2−C.1,12−D.()2,1−【答案】C【解析】【分析】利用了一元二次不等式的解法求解．【详解】解：不等式2210xx−

−，可化为(1)(21)0xx−+，解得112x−，即不等式2210xx−−的解集为1,12−．故选：C．2.在平面直角坐标系中，点()21,2Pm+关于原点对称的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由210m+，可

知点()21,2Pm+在第一象限，则点()21,2Pm+关于原点对称的点在第三象限.【详解】因为210m+,所以点()21,2Pm+在第一象限，所以点()21,2Pm+关于原点对称的点在第三象限.故选：C3.若442yxx=−+−+，则yx的值为（）A.8B.16C.-8D.16-【答案】

B【解析】.【分析】根据根式的性质可得4x=，进而可得2y=，代入即可求解.【详解】由40x−且40x−可得4x=，故2y=，则2416yx==，故选：B4.已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，

以下说法错误的是（）A.极差是5B.众数是8C.中位数是9D.方差是2.8【答案】C【解析】【分析】根据平均数解得9x=，将数据按升序排列，根据极差、众数、中位数和方差逐项分析判断.【详解】由题意可知：()18581085xx=++++=，解得9x=，将数据按升序排列可得

：5，8，8，9，10，则有：极差为1055−=，故A正确；众数是8，故B正确；中位数为8，故C错误；方差为()()()()()2222221588888981082.85s=−+−+−+−+−=，故D正确；故选：C.5.在四边形ABCD中，//ADBC，ABC

D=．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（）A.//ABCDB.ADBC=C.AB=D.AD=【答案】C【解析】【分析】根据矩形需满足的条件，对四个选项逐个判断即可.【详解】对于A，由//ABCD，//ADBC

，则四边形ABCD为平行四边形，但由ABCD=不能判定四边形ABCD为矩形，因此A不正确；对于B，由//ADBC，ADBC=，则四边形ABCD为平行四边形，但由ABCD=不能判定四边形ABCD为矩形，因此B不正确；对于C，由//ADBC，则1

80AB+=，又AB=，所以90AB==，ABAD⊥，ABBC⊥，所以AB的长度为AD与BC两平行线间的距离，又ABCD=，CDAD⊥，CDBC⊥，因此90CD==，故四边形ABCD为矩形，因此C正确；对于D，由//ADBC，则180AB+=，

180CD+=，又AD=，所以BC=，又ABCD=，则四边形ABCD可能为等腰梯形，因此D不正确；故选：C.6.已知直线3yxa=+与直线2yxb=−+交于点P，若点P的横坐标为5−，则关于x的不等式32xaxb+−+的解集为（）A.5x−B.3xC.

2x−D.5x−【答案】A【解析】【分析】根据题意求出ba−，再解一元一次不等式即可.【详解】由题意，()()3525ab−+=−−+，即25ba−=−，由32xaxb+−+可得525xba−=−，解得5x−.故选：A7.如图，建筑物

𝐶𝐷和旗杆𝐴𝐵的水平距离𝐵𝐷为9m，在建筑物的顶端C测得旗杆顶部A的仰角α为30°，旗杆底部B的俯角β为45°，则旗杆𝐴𝐵的高度为（）A.32B.33C.329+D.339+【答案】D【解析】【分析】构造直角三角形，

利用三角函数的知识求旗杆AB的长度.【详解】如图，9BD=，o45=，则四边形BDCE是正方形，所以9BECE==，在RtAEC△中，o30=，所以o3tan309333AEEC===，所以933ABAEBE=+=+.故选：D.8.若关于x的不等式组3210xxm−−

的所有整数解的和是6，则m的取值范围是（）A34mB.34mC.34mD.34m≤≤【答案】B【解析】【分析】首先解不等式组，利用m表示出不等式组的解集，然后根据不等式组所有整数解的和是6，即可求

得m的范围．.【详解】由不等式组3210xxm−−，得1xxm，得1xm，因为所有整数解的和是6，则由1236++=，即整数解为1,2,3，所以m的取值范围是34m.故选：B.9.如图，

在直角坐标系中，四边形OABC为正方形，且边BC与y轴交于点M，反比例函数()0kykx=的图像经过点A，若2CMBM=且135OBMS=△，则k的值为（）A.185−B.165C.185D.365【答案】D【解析】【分析】先设正方形OABC的边长为a，()11,Axy，然后利用题中条件

解出a，然后再利用，2tan3COM=,COMAOx=，求出点A坐标，代入函数()0kykx=求解即可.【详解】设正方形OABC的边长为a，()11,Axy，因为2CMBM=则13BMa=，所以11

13235OBMSaa==解得785a=由题可知，2tan3COM=,COMAOx=所以2tan3AOx=，又因为785OAa==，所以有1111221123,0,0785yxxyxy=+=解得1133052305xy==，因

为()0kykx=的图像经过点A所以有11kyx=，解得365k=.故选：D10.若关于x的方程22430−+=xaxa的一根小于1，另一根大于1，那么实数a的取值范围是（）A.113aB.1aC.13aD.1a=【答案】A【解析】【分析】结合二次方程根的分布讨论函数零点，只需

()2213014faa−+=，解不等式即可.【详解】由题：关于x的方程22430−+=xaxa的一根小于1，另一根大于1，记函数()2243fxxaxa=−+，则函数的两个零点一个小于1，另一个大于1，此二次函数开口向上，

只需()2213014faa−+=即可，即()()3110aa−−，解得：113a.故选：A【点睛】此题考查根据二次方程根的分布求参数的取值范围，转化为二次函数结合函数图象特征简化运算.二、填空题（本大题

共6个小题，每小题3分，共18分）11.因式分解：236mm−=____________．【答案】3(2)mm−【解析】【分析】利用提取公因式法进行因式分解，即得答案.【详解】由题意得()23632mmmm−=−，故答案为：3(2)mm−12.大连某中学七年级网络班

级计划将全班同学分成若干小组，开展数学探究活动，若每个小组8人，则还余3人，若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4人，则该班学生的人数是____________．【答案】51人或59人【解析】【分析】设全班同学分成x个小组，根据题意，列出不等式组运算求解.【详解

】设全班同学分成x个小组，则该班有学生()83x+人，由题意得，()()8391783914xxxx+−−+−−，解得58x，Zx，6x=或7，当6x=时，8351x+=，当7x=时，8359x+=，所以该班的学生人数是51或59人.故答案为：51或59人.13.如

图，ABCV是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与ABCV的三边相切，已知10m,8m,6mABACBC===．若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率为______________

____.（π取3）【答案】12##0.5【解析】【分析】根据给定条件，确定三角形形状并求出圆形水池及三角形面积即可得解.【详解】在ABCV中，由10m,8m,6mABACBC===，得222100ACBCAB+==，则90C=

∠，设圆形水池与ABCV的三边相切的切点分别为,,DEF，令圆形水池的圆心为O，连接,,ODOEOF，则,,ADAECDCFBEBF===，又,ODACOFBC⊥⊥，于是四边形CDOF是正方形，由2()4CDCDCFACADBCBFACBCAEBEACBCAB=+=−+−=+−+=+−=，得2C

D=，因此圆形水池的半径2mrCD==，面积2π12Sr==，而ABCV的面积1242SACBC==，所以树叶落入水池的概率12SPS==.故答案为：1214.设12xx，是一元二次方程2320xx−−

＝的两个实数根，则2211223xxxx++的值为_____．【答案】7【解析】【分析】由根与系数的关系得到123xx+=，122xx=−，又()222112212123xxxxxxxx++=++，代入即可求解.【详解】由12xx，是一元二次方程

2320xx−−＝的两个实数根，则123xx+=，122xx=−，又()2222112212123327xxxxxxxx++=++=−=.故答案为：7.15.已知三点(),am、(),bn和(),ct）在反比例函数kyx=（0k）的图象上，若0abc

，则m、n和t的大小关系是__________．（用“＜”连接）【答案】mtn<<【解析】【分析】根据反比例函数的图象性质，由横坐标坐标的大小确定即可确定纵坐标的大小.【详解】∵0k，∴反比例函数图象在一

、三象限，且都是随着自变量的增大而减小，且0abc，所以0mtn，即mtn<<.故答案为：mtn.16.二次函数()20yaxbxca=++的顶点为P，其图像与x轴有两个交点(,0)Am−，(1,0)B，交y轴于点(0,36)Cama−+以下说法中正确的是（）A.3

m=B.当120APB=时，63a=C.当120APB=时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得ABM是顶角为120的等腰三角形D.抛物线上存在点N，当ABN为直角三角形时，有12a【答案】ACD【解析】【分析

】二次函数2yaxbxc=++与x轴有两个交点(,0)Am−，(1,0)B，交y轴于点(0,36)Cama−+代入抛物线20036ambmcabccama−+=++==−+，解方程组abma+=，可得2

ba=可判断A；由3m=，可得抛物线解析式为()()()23114yaxxaxa=+−=+−，抛物线的顶点(1,4)Pa−−由120APB=，可求180302APBPABPBA−===，由23tan3PGAGP

AG==，可判断B；先在第一象限内作1204,ABMABBM===求出点()3,23M代入抛物线验证可判断C；由点N在抛物线上，ABN为直角三角形，90ANB=，以AB为直径作G，点N在G上，G与抛物线有交点，交点就是点N，当点P在G上或G外，抛物线与G只有3个交点，或4个交点，

存在直角三角形，可得2GP即42a，解得12a，可判断D.【详解】对于A选项：因为二次函数2yaxbxc=++与x轴有两个交点(,0)Am−，(1,0)B交y轴于点(0,36)Cama−+，所以20036ambmcabccama−+=

++==−+，所以abma+=，解得2ba=，23abaamaa++===，故选项A正确；对于B选项：如下图所示：∵3m=，∴(3,0)A−，设抛物线解析式为()()()23114yaxxaxa=+−=

+−，∴抛物线的顶点(1,4)Pa−−，∵A､B两点关于对称轴对称，120APB=，∴PAPB=，180302APBPABPBA−===，设抛物线的对称轴与x轴交于G，则323,tan233PGABPGAGPAG⊥===，∴2343a=，∴36

a=，故选项B错误；对于C选项：如下图所示：在第一象限内作1204,ABMABBM===，过点M作MHx⊥轴于H，18060MBHABM=−=，所以31sin423,cos4222MHBMMBHBHBMMBH====

==，所以点()3,23M，当3x=时，()()()()333133312366yxx=+−=+−=，∴点M在抛物线上，点M关于抛物线的对称轴对称点M也在抛物线上，故选项C正确；对于D选项：如下图所示：∵点N在抛物线上，ABN为直角三角形，90ANB=

，以AB为直径作G，点N在G上，∴G与抛物线有交点，交点就是点N，当点P在G内，抛物线与G只有两个交点，不存在直角三角形，当点P在G上或G外，抛物线与G只有3个交点，或四个交点，存在直角三角形，所以2GP即42a解得12a，故选项D正确.故选：ACD.【点睛】关键点

点睛：利用抛物线的性质，抛物线内接等腰三角形，内接直角三角形，锐角三角函数，以及辅助圆的点与圆的位置关系解题是关键.三、解答题（本大题共5个小题，共52分）17.（1）计算：()2012sin60|32|π33−+−+−−−（2）先化简，再求值：124222xx

xx−+−−−，其中24x=−．【答案】（1）10；（2）4x−−，2−【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数、整数指数幂的运算性质及绝对值的性质可求代数式的值；（2）通分后可求代数式的化简结果，从而可求当24x=−时对应的值.【详解】（1）原式(

)2012sin6032π33−=+−+−−−329231102=++−−=.（2）21241642(4)2222xxxxxxxxx−−−+−==−+−−−−.当24x=−，原式()2442=−−+=−.18.某零食店购进A、B两种网红零食共100件，A

种零食进价为每件8元，B种零食进价为每件5元，在销售过程中，顾客买了3件A种零食和2件B种零食共付款65元，顾客乙买了2件A种零食和3件B种零食共付款60元．（1）求A、B两种零食每件售价分别是多少元？（2）若

该零食店计划A、B两种零食的进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，则购进A、B两种零食有多少种进货方案？（3）在（2）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？【答案】（1）15，10；（2）答案见解析；（3）购进A种零食52

件，购进B种零食48件，获利最大，最大利润是604元.【解析】【分析】（1）设A种零食每件的售价是x元，B种零食每件的售价是y元，再列出方程组求解即得.（2）设购进A种零食m件，则购进B种零食（100m−）件，列出不等式组并求解即得.（3）求出（2）中每种方案所

获利润，再比较大小而得.【小问1详解】设A种零食每件的售价是x元，B种零食每件的售价是y元，依题意，32652360xyxy+=+=，解得1510xy==，所以A种零食每件的售价是15元，B种零食每件的售价是10元.【小问2详解】设购进A种零食m件，

则购进B种零食（100m−）件，由进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不低于600元，得85(100)656(158)(105)(100)600mmmm+−−+−−，解得5052m，的而m为整数，则m可取50，51，52，因此购进A、B两种零食有3种进货方案：①购进A种零

食50件，购进B种零食50件；②购进A种零食51件，购进B种零食49件；③购进A种零食52件，购进B种零食48件.【小问3详解】设获利w元，当购进A种零食50件，B种零食50件时，(158)50(105)50600w=−+−=（元），当购进A种零食51件，B种零食49件

时，(158)51(105)49602w=−+−=（元），当购进A种零食52件，B种零食48件时，(158)52(105)48604w=−+−=（元），而600602604，所以购进A种零食52件，B种零食

48件，获利最大，最大利润是604元．19.如图，一次函数(0)ykxbk=+与反比例函数()0ayax=的图象在第一象限交于,AB两点，A点的坐标为(),6m，B点的坐标为(2,3)，连接OA，过B作BCy⊥轴，垂足为C．（1）求一

次函数和反比例函数的表达式；（2）在射线CB上是否存在一点D，使得AOD△是直角三角形，求出所有可能的D点坐标．【答案】（1）6yx=，39yx=−+；（2）137,32+或()19,3【解析】【分

析】（1）根据反比例函数所过的点可求a，再求出A的坐标后可求一次函数的解析式.（2）就不同的直角顶点分类讨论后结合直角三角形的性质或距离公式可求D的坐标.小问1详解】∵点()2,3B在反比例函数ayx=的

图象上，∴326a==，【∴反比例函数的表达式为6yx=，∵点A的纵坐标为6且点A在反比例函数6yx=图象上，∴()1,6A，∴236kbkb+=+=，∴3,9kb=−=，∴一次函数的表达式为39yx=−+.【小问2详解】如图，①当190ODA=时，设BC与AO交于E，则1,

32E，而()1,6A，故E为OA的中点，∴113722AEOEDEOA====，1D的横坐标为1372+，∴1137,32D+.②当290OAD=，设()()2,30Dmm，则()()22222916136mm+=++−+−，解

得19m=，故()219,3D，综上所述，当AOD△是直角三角形，137,32D+或()19,3D.20.已知函数2|2|yxx=−．（1）在给出的坐标系中作出2|2|yxx=−的图象；（提示：先作出22yxx=−的图象，x轴上

方图象不变，将x轴下方的图象沿x轴作翻折，就得到了2|2|yxx=−的图象）（2）若方程2|2|xxa−=有三个实根，求实数a的值；（3）在同一坐标系中作直线yx=，观察图象写出不等式2|2|xxx−的解集．【答案】（1）图象见解析（2）

1（3）}{|13xx．【解析】【分析】（1）利用列表﹣描点﹣连线，可作出函数图象，或利用函数图象的平移以及翻折也可得到函数图象；（2）数形结合，观察ya=与2|2|yxx=−的图象的交点情况，即得答案；（3）作直线yx=，观察其与2|2|yxx=−的图

象的交点情况，即得答案；【小问1详解】方法一：列表﹣描点﹣连线，x-101234y301038即可得到2|2|yxx=−的图象，如图：方法二：先作出22yxx=−的图象，x轴上方图象不变，将x轴下方的图象沿x轴作翻折，就得到了2|2|yxx=−的图象函数()yfx=的图象如上图；【小问2详解】

由题意得，方程2|2|xxa−=恰有三个不等实根，结合直线ya=的图象可知，实数a的值为1．【小问3详解】作直线yx=，如图所示，结合图象可得，不等式()fxx的解集为}{|13xx．21.在平面直角坐标系中，抛物线

()220yaxxba=++与x轴交于A、B两点，()()1,0,4,0AB−，交y轴于点C．（1）如图1，求抛物线解析式；（2）如图2，直线yxm=+与x轴和抛物线分别交于点E、P，交CO于点D，P点的横坐标为t，CD的长用d表示，求d与t的函数关系式（不要求写出t取值范围）；（3）如图3

，在（2）问条件下，点M是OB上一点（点M的横坐标大于t），连接PM，PD的垂直平分线交BM于点F，交PM于点N，当cos,3OFDPOPNMNPM==，时，求m的值．【答案】（1）228233yxx=−++（2）223

dtt=−（3）2m=【解析】【分析】（1）将点()()1,0,4,0AB−代入抛物线解析式解得,ab，即可得结果；（2）设228,233Pttt−++，根据题意可得22833mtt=−+

+，即可得结果；（3）做辅助线，可知四边形PQOG是矩形，点Q、O、N、P共圆，根据三角形可得13DTPT=，分析可知2ppyx=，代入运算求解即可.【小问1详解】将点()()1,0,4,0AB−代入()220yaxxba=++，则201680abab−+=

++=，解得2383ab=−=，所以抛物线解析式228233yxx=−++.小问2详解】对于直线yxm=+，令0x=，则ym=，即()0,Dm，对于抛物线228233yxx=−++，因为P点的横坐标

为t，则228,233Pttt−++，令0y=，则83x=，即80,3C，则83dm=−，因为228,233Pttt−++在直线yxm=+上，则228233tmtt+=−++，解得22833mtt=−++，所以2282823333dtttt=

−−++=−.【小问3详解】如图，设PD的垂直平分线交y轴于Q，连接PQ，作PGOF⊥于G，过N点作NHQP⊥，交QP的延长线于H，HN交x轴于R，连接ON，作DTOP⊥于T，则PQDQ=，【因为yxm=+与y轴所成的锐角45PDQ=，则45QPDPDQ==，可知90

PQD=，则//PQx轴，因为QFPD⊥，则1452DQFPDFFQD===，又因为90QOF=，则tantan451OFDQFOQ===，即OQOF=，因为90PQOPGOQOG===，可知四边形PQOG是矩形，则PGOQOF==，又因为//PGOQ，则45DPG

PDQ==，因为cosPGGPMPM=OFPM=，cosOFOPDFM=，则GPMOPD=，可得GPMOPGOPDOPG+=+，则45OPMDPG==，即45OPMOQF==，可知点Q、O、N、P共圆，则18

0ONPPQO+=，因为90PQO=，则90ONP=，可知PON△是等腰直角三角形，则90,PNHONRPNON+==，因为90HNRO==，则90PNHNPH+=，可得NPHONR=，可知P

NHNORAASVV≌（），则PHNR=，因为//PQOF，则PHNMRN△∽△，可得FMMNPHFN=，又因为3PNMN=，则13FMPH=，可得13FMNP=，即1tan3MNR=，因为//RNPG，则MPGMNR=，可得OPDMNR=，即1tan3OPD=

，则1tan3DTOPDPT==，设,3DTnPTn==，则22PDDTPT=+=10n，则22PQDQPD===2102n5r=，设OTk=，则22ODDTOT=+22nk=+，由ODTOPQ△∽△可得OTDTOQPQ=，即225knnk++5nn=，则2kn=，则12PQDTOQOT

==，可得2ppyx=，则2282233xxx−++=，解得2x=或2x=−（舍去），即()2,4P，把2,4xy==代入yxm=+得2m=．