【文档说明】备战2024年高考数学易错题（新高考专用）专题14 二项式定理、复数 Word版无答案.docx，共(14)页，667.704 KB，由小赞的店铺上传

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专题14二项式定理、复数易错点一：忽略了二项式中的负号而致错（（a-b）n化解问题）Ⅰ：二项式定理一般地，对于任意正整数，都有：011()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN−−+=+++++，这个公式所表示的

定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的rnrrnCab−做二项展开式的通项，用1rT+表示，即通项为展开式的第1r+项：1rnrrrnTCab−+=，其中的系数rnC（r=0，1，2，

…，n）叫做二项式系数，Ⅱ：二项式()nab+的展开式的特点：①项数：共有1n+项，比二项式的次数大1；②二项式系数：第1r+项的二项式系数为rnC，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排

列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；④项的系数：二项式系数依次是012rnnnnnnCCCCC，，，，，，，项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）．Ⅲ：两个常用的二项展开式：①（）②nnba)(+011()(1)(1)nnnrrnrrnnnnnnna

bCaCabCabCb−−−=−++−++−*Nn122(1)1nrrnnnnxCxCxCxx+=++++++Ⅳ：二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1rnrrrnTCab−+=()0,1,2,3,,rn=公式特点：①它表示二项展开式的第1r+项，

该项的二项式系数是；②字母b的次数和组合数的上标相同；③a与b的次数之和为n．注意：①二项式()nab+的二项展开式的第r+1项和()nba+的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置的．②通项是针对在()nab+这个标准形式下而言的，如()

nab−的二项展开式的通项是（只需把b−看成b代入二项式定理）．易错提醒：在二项式定理()nab−的问题要注意b的系数为1−，在展开求解时不要忽略.例、已知5axx−的展开式中含32x的项的

系数为30，则=a（）A．3B．3−C．6D．6−变式1：在5223xx−的展开式中，x的系数是．变式2：621xx−展开式的常数项为.变式3：612xx−的展开式中4x的系数为.1．712xx−的二项式展开式中x的系数为（）

A．560B．35C．-35D．-5602．若()*31Nnxnx−的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则231nxx+的展开式中的常数项为（）rnCrnrrnCab−rnrrnCba−1(1)

rrnrrrnTCab−+=−A．6B．8C．28D．563．621()xxyy−+的展开式中42xy的系数为（）A．55B．70−C．65D．25−4．若23132nxx−的展开式中含有常数项（非零），则正整数n的可能值是

（）A．3B．4C．5D．65．()7ymxyx+−的展开式中34xy的系数为105−，则实数m=（）A．2B．1C．1−D．2−6．在7(3)x−的展开式中，3x的系数为（）A．21−B．21C．189D．189

−7．()721232xxx−−的展开式中含x的项的系数为.8．已知91axx−的展开式中的常数项是672，则=a.9．在412xx−的展开式中，x的系数为．10．43(12

)(1)xx−+的展开式中，按x的升幂排列的第3项的系数为．11．在622xx−的展开式中的3x的系数是.12．二项式61xx−的展开式中常数项为．13．3nxx−的展开式的第三项的系数为135，则n

=．易错点二：三项式转化不合理导致计算麻烦失误（三项展开式的问题）求三项展开式式中某些特定项的系数的方法第一步：通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解第二步：两次利用二项式定理的通项公式求解第三步：由二

项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量易错提醒：对于三项式的展开问题，一般采取转化为二项式再展开的办法进行求解，但在转化为二项式的时候，又有

不同的处理策略：一是如果三项式能够化为完全平方的形式，或者能够进行因式分解，则可通过对分解出来的两个二项展开式分别进行分析，进而解决问题（如本例中的解法二）；二是不能化为完全平方的形式，也不能进行因式分解时，可直接将三项式加括号变为二项式，套用通项公式展开后对其中的二项式再利用通

项展开并进行分析求解，但要结合要求解的问题进行合理的变形，以利于求解.例、()5232xx++的展开式中，x的一次项的系数为（）A．120B．240C．320D．480变式1：在()523abc++的展开式中，含22abc的系数为.变式2

：()521xy−−展开式中24xy的系数为（用数字作答）．变式3：在5(2)xyz++的展开式中，形如3(,)mnxyzmnN的所有项系数之和是．1．811xx++的展开式中的常数项为（）A．588B．589C．798D．7992．在()52xy++的展开式中

，3xy的系数是（）A．24B．32C．36D．403．6sin1xx−+的展开式中4x的系数为12，则cos2=（）A．14B．12−C．12D．344．6(1)xy+−的展开式中2xy的系数为（

）A．60−B．60C．120−D．1205．设0a，已知2naxx+的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则22212axx++中2x的系数为（）A．

0B．2C．4D．86．5(3)xy−+的展开式中，3xy的系数为（）A．80B．60C．80−D．60−7．已知()51Rxaax++展开式的各项系数之和为1−，则展开式中2x的系数为（）A．270B．270−C．330D．330−8．2n

axx+的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256，则22212axx++中2x的系数为（）A．1B．4或1C．4或0D．6或09．6211xx++

的展开式中3x项的系数为．10．()82xyz+−展开式中，323xyz项的系数为.11．()522xxy−+的展开式中33xy项的系数为．12．在12202211xx+−的展开式中，2x的系数为.13．()52xaxy−+的展开式中，32xy的系数为10，则=a.14．421xx

+−展开式中的常数项为.（用数字做答）15．5(21)xy−+展开式中含3xy项的系数为．16．()52123xx+−的展开式中5x的系数为．17．6(23)xyz+−的展开式中23xyz的系数为（用数字作答

）．易错点三：混淆项的系数与二项式系数致误（系数与二项式系数问题）Ⅰ：二项式展开式中的最值问题1.二项式系数的性质①每一行两端都是1，即0nnnCC=；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即11mmmnnnCCC−+=+．②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mnmnn

CC−=．③二项式系数和令1ab==，则二项式系数的和为0122rnnnnnnnCCCCC++++++=，变形式1221rnnnnnnCCCC+++++=−．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令11ab==−，，则0123(1)(11)0nnnnnnnnCCCCC

−+−++−=−=，从而得到：0242132111222rrnnnnnnnnnCCCCCCC+−++++=++++==．⑤最大值：如果二项式的幂指数n是偶数，则中间一项12nT+的二项式系数2nnC最大；如果二项式的

幂指数n是奇数，则中间两项12nT+，112nT++的二项式系数12nnC−，12nnC+相等且最大．2.系数的最大项求()nabx+展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为121nAAA+，，，，设第

1r+项系数最大，应有112rrrrAAAA+++，从而解出r来．Ⅱ：二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对a，b的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a，b的值．①令，可得：②令11ab==，，可得：，即

：（假设为偶数），再结合①可得：()011222nnnnrnrrnnnnnnnabCaCabCabCabCb−−−+=++++++1ab==012nnnnnCCC=+++()012301nnnnnnnCCCCC=−+−+−02131nnnnnnn

nCCCCCC−+++=+++n．（2）若121210()nnnnnnfxaxaxaxaxa−−−−=+++++，则①常数项：令0x=，得0(0)af=．②各项系数和：令1x=，得0121(1)nnfaaaaa−=+++++．注意：常见的

赋值为令0x=，1x=或1x=−，然后通过加减运算即可得到相应的结果．易错提醒：二项式定理()nab+的问题要注意：项的系数与二项式系数的区别与联系（求所有项的系数只要令字母值为1）.例、设(6)nx−的展开式中，第三项的系数为36，试求含2x的项．变式1

：求533xx+的展开式中第3项的系数和二项式系数．变式2：计算()92xy+的展开式中第5项的系数和二项式系数．变式3：求612xx+的展开式中常数项的值和对应的二项式系数．1．在二项式612xx−的展开式中，二项式系数最大的是（）A

．第3项B．第4项C．第5项D．第3项和第4项2．已知二项式()21nx−的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（）A．6B．7C．8D．93．在二项式61()2xx−的展开式中，下列说法正确的是（

）A．常数项是134B．各项系数和为164C．第5项二项式系数最大D．奇数项二项式系数和为320213112nnnnnnnnnCCCCCC−−+++=+++=4．在二项式10(21)x−的展开式中，下列说法正确的是（）A．第6项的二项式系数最大B．第6项

的系数最大C．所有项的二项式系数之和为102D．所有项的系数之和为15．已知2，n，8成等差数列，则在12nxx−的展开式中，下列说法正确的是（）A．二项式系数之和为32B．各项系数之和为1C．常数项为40D．展开式中系数最大的项为8

0x6．下列关于612xx−的展开式的说法中正确的是（）A．常数项为－160B．第4项的系数最大C．第4项的二项式系数最大D．所有项的系数和为17．若31nxx−的展开式的二项式系数之和为16，则231nxx+的展开式中41x的系数为.8．已知常数0

a，在6axx−的二项展开式中的常数项为15，设23450125345(12)aaxaxaxaxxxaa=+++++−，则05aa+=．9．在32nxx−的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的

绝对值之和为．10．二项式6212xx+的展开式中常数项为（用数字作答）.11．已知()()*12Nnxn+的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则n=.12．42(12)4xx−−的展开式中含3x项的

系数为.13．若2nxx−展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为.14．若132nxx−的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是.15．已知2012(3

2)(1)(1)(1)nnnxaaxaxax−=+−+−+−，若(32)nx−展开式各项的二项式系数的和为1024，则4a的值为．16．已知22nxx+的展开式中二项式系数和是64，则展开式中x的系数为．17．已知二项式()21nx−的展开式中仅

有第4项的二项式系数最大，则n=.18．已知()12nx+的展开式中第7项和第8项的二项式系数相等，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项．易错点四：混淆虚部定义致错（求复数虚部）Ⅰ：复数的概念①复数的概念：形如a＋bi

(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别是它的实部和虚部，i叫虚数单位，满足21i=−（1）当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；（2）当b≠0时，a＋bi为虚数；（3）当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数

互为共轭复数．②两个复数,(,,,)abicdiabcdR++相等acbd==（两复数对应同一点）③复数的模：复数(,)abiabR+的模，其计算公式22||||zabiab=+=+Ⅱ：复数的加、减、乘、除的运算法则1、复数运算（1）()()()()iabicd

iacbd++=+（2）()()()()abicdiacbdadbci++=−++22222()()zz||||)2abiabiabzzzzza+−==+==+=(注意其中22||zab=+，叫z的模；zabi=−是zabi=+的共轭复数(,)abR．（3）

2222()()()()(0)()()abiabicdiacbdbcadicdcdicdicdicd++−++−==+++−+．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．2、复数

的几何意义（1）复数(,)zabiabR=+对应平面内的点(,)zab；（2）复数(,)zabiabR=+对应平面向量OZ；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的

点都表示复数．（4）复数(,)zabiabR=+的模||z表示复平面内的点(,)zab到原点的距离．易错提醒：1、求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.2、复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b

∈R)；②z∈R⇔z＝z；③z∈R⇔z2≥03、复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋z＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0例、复数113i−虚部是（

）A.110i−B.110−C.310D.310i变式1：已知复数1i2iz−=+（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．35-B．3i5−C．35D．35i变式2：已知i是虚数单位，则复数12i1i−

−的虚部是（）A．12−B．12C．32−D．32变式3：已知复数()()2i1iz=−+，则复数z的虚部为，z=．1．5(2i)(12i)i−++的虚部为（）A．4B．2−C．4−D．22．复数2iia+（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则实数

a的值为（）A．－2B．－1C．1D．23．已知2iz=+，则()izz+的虚部是（）的A．2B．2−C．2iD．2i−4．2i52i−−的虚部为（）A．i5B．1i5−C．15−D．155．若i是虚数单位，则复数23i1i++的虚部为（）A．52B．52iC．12D．1i26．已知复

数2iz=−，则(i)zz+的虚部为（）A．－2B．－1C．6D．27．已知复数z满足2izz=+，则复数z的虚部为（）A．iB．1C．i−D．1−8．已知复数z在复平面内的对应点为()1,1，则1zz+的虚部为（）A．1i2B．32C．12D．

3i29．若复数z满足3izz−=（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）A．32B．32−C．3i2D．3i2−10．已知i为虚数单位，复数z满足(1i)1iz−=+，则z的虚部是（）A．i−B．22C．2i2D．22−11．已知

复数z满足456izz+=+，其中z是z的共轭复数，则复数z的虚部是（）A．1B．iC．2−D．2i−12．已知复数z满足()2ii2z++=（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．45B．45−C．4i5D．4i5−13．已知25i1iz−=−，则z的虚部为（）A．3i2−B．32

C．32−D．3i2易错点五：复数的几何意义应用错误（复数有关模长的求算）复数的模：复数(,)abiabR+的模，其计算公式22||||zabiab=+=+易错提醒：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.例、若zC，且22i1z

+−=，则22iz−−最小值为（）A．2B．3C．4D．5变式1：已知复数z满足1i22z−+=，z为z的共轭复数，则zz的最大值为.变式2：已知i为虚数单位，且2i1z−=，则z的最大值是.变式3：已

知复数z满足|2|2|2i|zz−=−，则||z的最大值为．1．设复数z满足|2i|3z−=，z在复平面内对应的点为(,)xy，则（）A．22(2)3xy−+=B．22(2)3xy+−=C．22(2)3xy+−=D．22(2)3xy++=2．已知复数z满足|2i|1z+=（i为虚数

单位），则|32i|z−−的最小值为（）A．7B．6C．5D．43．若复数z满足2zz+R，则iz+（i为虚数单位）的最小值为（）A．21+B．21−C．31+D．31−4．若复数z满足3i1z−−=(i为虚数单位），则z的最大值为（）A．1B．2C．3D．3+15．复数z满足=1iz（i为

虚数单位），则43iz−+的最小值为（）A．3B．4C．5D．66．设复数z满足1i2z−+=，z在复平面内对应的点为(),xy，则（）A．()()22114xy++−=B．()()22114xy+++=的C．()()22114xy−+−=D．()()22114xy−++=7．设复数z满足

34i1z−−=，则z的最大值是（）A．5B．6C．7D．88．已知复数z满足3ii+=−zz，则12iz++的最小值为（）A．1B．3C．3D．59．已知复数z满足2i2izz−=+，则（）A．z的虚部为1−B．2z=C．z在复平面内对应的点在第四象限

D．若复数z满足11zz−=，则1||2121z−+,10．已知复数z满足334zz++−=，则iz−的最大值是．11．复数z满足43i2z+−=（i为虚数单位），则z的最大值为．12．若复数z满足|3||3|10zz−++=，则

||z的最小值为.13．已知复数z满足1z=，则34iz−+的最小值为.14．已知i为虚数单位，且12i2z+−=，则z的最大值是．15．已知复数z满足24i3z++=，则|1|z−的最大值是．16．设复数z满足1i1z−+=，z在复平面内对应的点为(),P

xy，则点P的轨迹方程为.17．若复数z满足2Rzz+，则iz+的最小值为．