【文档说明】备战2024年高考数学易错题（新高考专用）专题14 二项式定理、复数 Word版含解析.docx，共(45)页，2.028 MB，由小赞的店铺上传

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专题14二项式定理、复数易错点一：忽略了二项式中的负号而致错（（a-b）n化解问题）Ⅰ：二项式定理一般地，对于任意正整数，都有：011()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN−−+=+++++，这个公式所表示的定理叫做二项式定

理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的rnrrnCab−做二项展开式的通项，用1rT+表示，即通项为展开式的第1r+项：1rnrrrnTCab−+=，其中的系数rnC（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，Ⅱ：二项式()nab+的展开式的特点：①项数：共有1n+项，比二项式的次

数大1；②二项式系数：第1r+项的二项式系数为rnC，最大二项式系数项居中；③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均

为n；④项的系数：二项式系数依次是012rnnnnnnCCCCC，，，，，，，项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）．Ⅲ：两个常用的二项展开式：①（）②nnba)(+011()(1)(1)nnnrrnr

rnnnnnnnabCaCabCabCb−−−=−++−++−*Nn122(1)1nrrnnnnxCxCxCxx+=++++++Ⅳ：二项展开式的通项公式二项展开式的通项：1rnrrrnTCab−+=()0,1,2,3,,rn=

公式特点：①它表示二项展开式的第1r+项，该项的二项式系数是；②字母b的次数和组合数的上标相同；③a与b的次数之和为n．注意：①二项式()nab+的二项展开式的第r+1项和()nba+的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理

时，其中的a和b是不能随便交换位置的．②通项是针对在()nab+这个标准形式下而言的，如()nab−的二项展开式的通项是（只需把b−看成b代入二项式定理）．易错提醒：在二项式定理()nab−的问题要注意b的系数为1−，在展开求解时不要忽略.例、已知5axx

−的展开式中含32x的项的系数为30，则=a（）A．3B．3−C．6D．6−错解：()552155CCrrrrrrraTxaxx−−+==，令1r=，可得530a=，∴6a=．错因分析：二项式5axx−中的项为x，ax−，错解

中误认为是x，ax，忽略了负号而出现了错解．正解：D()5215C1rrrrrTax−+=−，令1r=，可得530a−=，∴6a=−．变式1：在5223xx−的展开式中，x的系数是．【详解】二项式5223xx−展开式的通项为()()52510

31552C3C32rrrrrrrrTxxx−−−+=−=−（其中05r且Nr），令1031r−=，解得3r=，所以()33245C32720Txx=−=−，所以展开式中x的系数是720−.故答案为：720−变式2：621xx−

展开式的常数项为.rnCrnrrnCab−rnrrnCba−1(1)rrnrrrnTCab−+=−【详解】展开式的通项公式为66316621C(1)CkkkkkkkTxxx−−+=−=−，令63

0k−=，解得2k=，所以常数项为236C15T==，故答案为：15.变式3：612xx−的展开式中4x的系数为.【详解】设展开式中的第1r+项含有4x项，即()()6662661C212Crrrrrrrxxx−−−−=−

，令624r−=，解得1r=，即()1515144661C22C192xxxx−=−=−，所以展开式中4x的系数为192−.故答案为：192−1．712xx−的二项式展开式中x的系数为（）A．560B．35C．

-35D．-560【答案】D【分析】712xx−中利用二项式定理可求得x的系数，从而求解.【详解】由题意知712xx−的展开式为()()77721771C21C2rrrrrrr

rTxxx−−−+=−=−，令721r−=，得3r=，所以x的系数为()337371C2560−−=−，故D项正确.故选：D.2．若()*31Nnxnx−的展开式中所有项的二项式系

数之和为16，则231nxx+的展开式中的常数项为（）A．6B．8C．28D．56【答案】C【分析】根据31nxx−的展开式中所有项的二项式系数之和求出n的值，从而写出231nxx

+的展开式的通项公式，再令x的指数为0，即可求解常数项．【详解】由()*31Nnxnx−的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得216n=，所以4n=，则二项式831xx+的展开式的通项公式为()848331881CCrrrrrrTxxx−−+

==（08r且Nr），令8403r−=，解得2r=，所以238C28T==，故831xx+的展开式中的常数项为28，故选：C．3．621()xxyy−+的展开式中42xy的系数为（）A．55B．70−C．65D．25−

【答案】D【分析】根据6()xy+展开式的通项公式进行计算即可.【详解】含42xy的项为242333426621CC25xTxyxyxyy=−=−，所以展开式中42xy的系数为25−．故选：D.4．若23132nxx−的展开式中含有常数项（非零），则正整数n的可能值是

（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】根据二项展开式的通项公式建立方程，求解即可.【详解】由二项式定理知，2131C(3)()2rnrrrnTxx−+=−251C3()2rnrrnrnx−−=−，因为其含有常数项，即存在*,Nnr，使得25,nr=此时52rn=，所以2r=

时，5n=，故选：C.5．()7ymxyx+−的展开式中34xy的系数为105−，则实数m=（）A．2B．1C．1−D．2−【答案】D【分析】利用二项式的展开式公式展开，再与前面的项相乘求解即可.【详

解】()7xy−的展开式的通项公式为()7171CrrrrrTxy−+=−，所以()61171CrrrrryTxyx−++=−．令6314rr−=+=，解得3r=，()7171CrrrrrmTmxy−+=−．令734

rr−==，解得4r=．由题意，可知()()()3434343777771C1CCC1C105mmm−+−=−+=−=−，所以2m=−．故选：D．6．在7(3)x−的展开式中，3x的系数为（）A．21−B．21C．189D．189−【答案】B【分析

】利用二项展开式的通项公式可得解.【详解】由二项展开式的通项公式得11772277C3()C3(1)rrrrrrrxx−−−=−，令132r=得6r=，所以3x的系数为667C3(1)21−=.故选：B.7．()721232xxx−−的展开式中含x的项的系数

为.【答案】960【分析】利用二项展开式的通项公式分析运算求解.【详解】712x−的展开式的通项为7217C2(1)rrrrrTx−−+=−，故令0,2r=，可得()721232xxx−−的展开式中含x的项的系数为：()0725773C22

C23841344960−+=−+=.故答案为：960.8．已知91axx−的展开式中的常数项是672，则=a.【答案】2【分析】写出二项式通项1rT+，整理后让x的次数为0，得出r的值，再

根据常数项的值列出等式方程即可得出a的值．【详解】展开式的通项为()()399929191CC1rrrrrrrrTaxaxx−−+−=−=−，令3902r−=，得6r=，所以常数项是36619C672Ta+==，故2a=．故答案为：2．9．在412xx−的展

开式中，x的系数为．【答案】24【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出指定项的系数即得.【详解】二项式412xx−展开式的通项为()()344421441C212C,N,4rrrrrrrrTxxrrx−−−+=−=−，由34

12r−=，得2r=，则()2223412C24Txx=−=，所以x的系数为24.故答案为：24.10．43(12)(1)xx−+的展开式中，按x的升幂排列的第3项的系数为．【答案】3【分析】根据已知得出按x的升幂排

列的第3项即含2x的项.结合二项式定理，分类讨论求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，展开式中含有常数项、一次项、两次项，所以，按x的升幂排列的第3项即含2x的项.()412x−展开式中的常数项为()0044C121x−=，()31x+展开

式中含2x的项为21223C13xx=；()412x−展开式中含x的项为()1134C128xx−=−，()31x+展开式中含x的项为123C13xx=；()412x−展开式中含2x的项为()22224C1224xx−=

，()31x+展开式中的常数项为0303C11x=.所以，43(12)(1)xx−+的展开式中，含2x的项为22213832413xxxxx−+=.故答案为：3.11．在622xx−

的展开式中的3x的系数是.【答案】402−【分析】根据二项展开式的通项公式，可令3r=求得3x的系数.【详解】622xx−展开式的通项公式为：()()()662361662CC12rrr

rrrrrTxxx−−−+=−=−，令363r−=，解得：3r=，所以3x的系数为()()3336C12402−=−.故答案为：402−.12．二项式61xx−的展开式中常数项为．【答案】20−

【分析】根据给定的条件，利用二项式定理求解作答.【详解】61xx−的展开式的通项为()6621661C1CrrrrrrrTxxx−−+=−=−．令620r−=，得3r=，故常数项为633()C012−=−．故答案为：20−.13．3nxx−的展

开式的第三项的系数为135，则n=．【答案】6【分析】先写出展开式的通项公式1rT+；再令2r=，列出等式求解即可.【详解】3nxx−的展开式的通项公式为()213C3CrrrnrrnrrnnTxxx−−+=−=−，则第三项的系数为()()22213C

9C91352nnnn−−===，即()130nn−=，解得5n=−（舍去）或6n=．故答案为：6.易错点二：三项式转化不合理导致计算麻烦失误（三项展开式的问题）求三项展开式式中某些特定项的系数的方法第一步：

通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解第二步：两次利用二项式定理的通项公式求解第三步：由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多

少种方法从这几个因式中取因式中的量易错提醒：对于三项式的展开问题，一般采取转化为二项式再展开的办法进行求解，但在转化为二项式的时候，又有不同的处理策略：一是如果三项式能够化为完全平方的形式，或者能够进行因式分解，则可通过对分

解出来的两个二项展开式分别进行分析，进而解决问题（如本例中的解法二）；二是不能化为完全平方的形式，也不能进行因式分解时，可直接将三项式加括号变为二项式，套用通项公式展开后对其中的二项式再利用通项展开并进行分析求解，但要结合要求解的问题进行合理的变形，以利于求解.例、()5232xx++的展开式中

，x的一次项的系数为（）A．120B．240C．320D．480易错分析：本题易出现的错误是盲目套用解决三项式展开的一般方法（转化为二项式处理：()5232xx++），而不针对要求解的问题进行合

理的变通，导致运算繁杂并出现错误．正解：解法一由于()()55223223xxxx++=++，展开式的通项为()()5215C23rrrrTxx−+=+，0≤r≤5，当且仅当r＝1时，展开式才有x的一次项，此时()()412125C23rTTxx+==+．所以展开式中x的一次项为14

454CC23x，它的系数为14454CC23240=．故选B．解法二由于()()()55523212xxxx++=++，所以展开式中x的一次项为4555445555CC2CC2240xx

x+=．故x的一次项的系数为240．故选B．变式1：在()523abc++的展开式中，含22abc的系数为.【详解】把()523abc++的展开式看成是5个因式(23)abc++的乘积形式，展开式中，含2

2abc项的系数可以按如下步骤得到：第一步，从5个因式中任选2个因式，这2个因式取a，有25C种取法；第二步，从剩余的3个因式中任选2个因式，都取2b，有23C种取法；第三步，把剩余的1个因式中取3c，有11C种取法；根据分步相乘原理，得；含22abc项的系数是222115

31C2C3C360=故答案为：360.变式2：()521xy−−展开式中24xy的系数为（用数字作答）．【详解】由于()521xy−−表示5个因式()21xy−−的乘积，故其中有2个因式取2y−，2个因式取x，剩余的一个因式取

1−，可得含24xy的项，故展开式中24xy的系数为()22253CC0(1)13−−=−，故答案为：30−．变式3：在5(2)xyz++的展开式中，形如3(,)mnxyzmnN的所有项系数之和是．【详解】()()5522xyzxyz++=++展开式的通

项为()()515C2rrrrTxyz−+=+．令53r−=，得2r=．令1yz==，得所求系数之和为2325C22320=．故答案为：3201．811xx++的展开式中的常数项为（）A．588B．589C．798D．799【答案】B【分析】因为

811xx++展开式中的项可以看作8个含有三个单项式1,,1xx各取一个相乘而得，分析组合可能，结合组合数运算求解.【详解】因为811xx++展开式中的项可以看作8个含有三个单项式1,,1xx中各取一个

相乘而得，若得到常数项，则有：①8个1；②2个x，1个1x，5个1；③4个x，2个1x，2个1；所以展开式中的常数项为()()2248821554222886584211C1CCC1CCC1589xxxx++=.故选：B.2．在()5

2xy++的展开式中，3xy的系数是（）A．24B．32C．36D．40【答案】D【分析】根据题意，3xy的项为1331541CCC2xy，化简后即可求解.【详解】根据题意，3xy的项为13313541CCC240xyxy=，所以3xy的系数是40.故选：D．3．6sin1xx

−+的展开式中4x的系数为12，则cos2=（）A．14B．12−C．12D．34【答案】C【分析】根据乘法的运算法则，结合组合数的性质、二倍角的余弦公式进行求解即可.【详解】6sin1xx

−+的展开式中4x的系数可以看成：6个因式sin1xx−+中选取5个因式提供x，余下一个因式中提供sinxx或者6个因式sin1xx−+中选取4个因式提供x，余下两个因式中均提供1，故4x的系数为4566CCsin12−=，∴1sin2=，∴21

1cos212sin1242=−=−=，故选：C4．6(1)xy+−的展开式中2xy的系数为（）A．60−B．60C．120−D．120【答案】A【分析】先把1x−看作整体写出二项式展开的通项，再根据指定项确定1x−的次数，再写一次二项式展开的通项，最后根据指定项配凑

出项的系数.【详解】因为6(1)xy−+展开式的通项为616C(1)rrrrTxy−+=−，当2r=时才能出现2y，此时()41x−展开的通项为()414C1rrrrTx−+=−，当3r=时出现x的一次，所以展开式中2xy的系数为23364CC(1)

60−=−．故选：A.5．设0a，已知2naxx+的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则22212axx++中2x的系数为（）A．0B．2C．4D．8【答案】C【分析】根据题意得到8n=和1a=，再根据2x项的取

法为1个2x和1个2再计算即可.【详解】因为2naxx+的展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以展开式一共有9项，即8n=，令1x=，得展开式中所有项的系数和为()81256a+=，所以1a=，22212xx++中2

x项的取法为1个2x和1个2，所以2x系数为1121CC24=.故选：C6．5(3)xy−+的展开式中，3xy的系数为（）A．80B．60C．80−D．60−【答案】D【分析】由题得()55(33)xyyx−+

=+−，再利用二项式的通项即可得到答案.【详解】()55(33)xyyx−+=+−，则其展开式通项为()515C3,05,NrrrrTxyrr−+=−，令2r=，则5(3)xy−+的展开式中含3x的项为()2323233325C(3)1096906010xyxyyx

xyxy−=−+=−+，所以3xy的系数为60−，故选：D．7．已知()51Rxaax++展开式的各项系数之和为1−，则展开式中2x的系数为（）A．270B．270−C．330D．330−【答案】D【分析】令1x=，得()5111a++=−，

得3a=−.再根据二项展开式的通项公式即可求解.【详解】令1x=，则()5111a++=−，得3a=−.所以()55401551113CC3xxxxxx−=+++−++()()3223523511C3C3xxxx

+−++−()()4545551C3C3xx++−+−，又因为只有()4151C3xx+−，()23351C3xx+−展开式中有含2x的项，所以2x的系数为()()3113545CC3C3330−+

−=−.故选：D8．2naxx+的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256，则22212axx++中2x的系数为（）A．1B．4或1C．4或0D．6或0【答案】C【分析】展开式中只有第5项

的二项式系数最大，可以得到n的值，然后再赋值法求出所有项的系数和的表达式可解出a的值，再分类求出22212axx++中2x的系数即可得出答案.【详解】展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以总共有9项，8,n=令1,x=得所有项的系数和为()81256a+=，1a=或3.−当1a

=时，22212xx++展开式中2x的系数为：12C2=4，当3a=−时，62212xx−++展开式中不含2x项.故选：C.9．6211xx++的展开式中3x项的系数为．【答案】80【分析】只需6个

因式中3个因式取2x、3个因式取1x或2个因式取2x、1个因式取1x、3个因式取1，根据组合知识得到答案.【详解】6211xx++可以看成6个因式211xx++相乘，所以6211xx++的展开式中含3x的项为

3个因式取2x、3个因式取1x或2个因式取2x、1个因式取1x、3个因式取1，所以6211xx++的展开式中含3x项的系数为3321363643CCCCC80+=．故答案为：8010．()82xyz+−展开式中，323xyz项

的系数为.【答案】2240−【分析】由二项式定理求解．【详解】()()8822xyzxyz+−=+−，∵z的指数是3，∴得到()()5338C2xyz+−，∵y的指数是2，得到()2235C2xy，∴323xyz项的系数为()332285C1

C22240−=−.故答案为：2240−11．()522xxy−+的展开式中33xy项的系数为．【答案】160−【分析】根据多项式相乘展开方法求解.【详解】()522xxy−+的展开式中，构成33xy项只能是一个2x、一个()x−、3个()2y相

乘，故此项为()1213333543CCC(2)160xxyxy−=−．故答案为：160−.12．在12202211xx+−的展开式中，2x的系数为.【答案】66【分析】根据二项式的含义，结合组合数的计算，求得答案.【详解】由题意，12202211xx+−表示

12个因式202211xx+−的乘积，故当2个因式取x，其余10个因式取1时，可得展开式中含2x的项，故2x的系数为2101210CC66=.故答案为：66.13．()52xaxy−+的展开式中，32xy的系数为10，则=a.【答案】1−【分析】化()()5522

xaxyxaxy−+=−+,利用二项展开式的通项公式求得展开式中32xy的系数,列方程求出a的值.【详解】()()5522xaxyxaxy−+=−+其展开式的通项公式为()5215,05,NCrrrrTaxryrx−+

−=，令2r=得()()323323325232133C0xTyxaxaxaxaxy==−−−+因为32xy的系数为10，则31010a−=，解得1a=−，故答案为：1−.14．421xx+−

展开式中的常数项为.（用数字做答）【答案】49【分析】利用分类计数原理求解即可.【详解】42222211111xxxxxxxxxx+−+−+−+−+−=展开式中得到常数项的方法分类如下：（1）4个因式中都不取x，则不取1x，

全取1−，相乘得到常数项.常数项为444C(1)1−=；（2）4个因式中有1个取x，则再取1个1x，其余因式取1−，相乘得到常数项.常数项为112432CC(1)24xx−=；（3）4个因式中有2个取x，则再取2个1x，相乘得到常数项.常数项为22

22422CC24xx=.合并同类项，所以展开式中常数项为1242449++=.故答案为：49.15．5(21)xy−+展开式中含3xy项的系数为．【答案】-160【分析】变形为()521

xy−+，写出通项公式，求出3,1kr==，得到答案.【详解】5(21)xy−+变形为()521xy−+，故通项公式得()515C2rrrTxy−+=−，其中()52rxy−−的通项公式为()55C2kkrkrxy−−−−，故通项公式为()5

55CC2krkrkrxy−−−−，其中0505krr−，,Nkr，令3,51krk=−−=，解得3,1kr==，故()313354CC2160xyxy−=−.故答案为：-16016．()52123xx+−的展开式中5

x的系数为．【答案】92【分析】由于()()()5552123113xxxx+−=−+，根据二项式定理分别求得()51x−和()513x+的展开式的通项，从而分析可得5x的系数.【详解】()()()5552123113xxxx+−=−+，又()51x−展开式的通项(

)()5155C1C1,0,1,2,3,4,5rrrrrrrTxxr−+=−=−=，()513x+展开式的通项()5155C13C3,0,1,2,3,4,5kkkkkkkSxxk−+===，所以含5x的项为162534435261TSTSTSTSTSTS+++++则含5x的

系数为()()()()()()012345055144233322411500555555555555C1C3C1C3C1C3C1C3C1C3C1C392−+−+−+−+−+−=.故答案为：92.17．6(23)xyz+−的展开式中23xyz的系数为（用数字作答）．

【答案】6480−【分析】()66(23)23xyzxyz=−+−+，然后两次利用通项公式求解即可；【详解】因为()66(23)23xyzxyz=−+−+，设其展开式的通项公式为：()()66661C(2)3C(,06

,2)N3rrrrrrrrTrxyzxyrz−−+=−=+−+，令3r=，得3(2)xy+的通项公式为()3333C2C2,03,Nmmmmmmmxyxymm−−=，令2m=，所以6(23)xyz++的展开式中，32xyz的系数为()332263C3C

26480−=−，故答案为：6480−易错点三：混淆项的系数与二项式系数致误（系数与二项式系数问题）Ⅰ：二项式展开式中的最值问题1.二项式系数的性质①每一行两端都是1，即0nnnCC=；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即11mmmnnnCCC−+=+．②对称

性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mnmnnCC−=．③二项式系数和令1ab==，则二项式系数的和为0122rnnnnnnnCCCCC++++++=，变形式1221rnnnnnnCCCC+++++=−．④奇数项的二项式系数和等于偶数项的

二项式系数和在二项式定理中，令11ab==−，，则0123(1)(11)0nnnnnnnnCCCCC−+−++−=−=，从而得到：0242132111222rrnnnnnnnnnCCCCCCC+−++++=++++==．⑤最大

值：如果二项式的幂指数n是偶数，则中间一项12nT+的二项式系数2nnC最大；如果二项式的幂指数n是奇数，则中间两项12nT+，112nT++的二项式系数12nnC−，12nnC+相等且最大．2.系数的最大项求()nabx+展开式中最大的项，一般采用待定系

数法．设展开式中各项系数分别为121nAAA+，，，，设第1r+项系数最大，应有112rrrrAAAA+++，从而解出r来．Ⅱ：二项式展开式中系数和有关问题常用赋值举例：（1）设，二项式定理是一个恒等式，即对a，b的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a，

b的值．①令，可得：②令11ab==，，可得：，即：（假设为偶数），再结合①可得：．()011222nnnnrnrrnnnnnnnabCaCabCabCabCb−−−+=++++++1ab==012nnnnnCCC=+++()012301nnnnn

nnCCCCC=−+−+−02131nnnnnnnnCCCCCC−+++=+++n0213112nnnnnnnnnCCCCCC−−+++=+++=（2）若121210()nnnnnnfxaxaxaxaxa−−−−=+++++，则①常数项：令0x=，得0(0)af=．②各项

系数和：令1x=，得0121(1)nnfaaaaa−=+++++．注意：常见的赋值为令0x=，1x=或1x=−，然后通过加减运算即可得到相应的结果．易错提醒：二项式定理()nab+的问题要注意：项的系数与二项式系数的区别与联系（求所有项的系数只要令字母值为1）.例、设(6)nx−的展开式中

，第三项的系数为36，试求含2x的项．错解：第三项的系数为2Cn，依题意得2C36n=，化简得2720nn−−=，解此方程并舍去不合题意的负值，得n＝9，设9(6)x−的展开式中2x项为第r＋1项，则919C(6)rrrr

Tx−+=−，由9－r＝2，得r＝7，故9(6)x−的展开式中含2x的项为727289C(6)77766Txx=−=−．错因分析：错解将“二项展开式中的第三项的二项式系数”当作了“第三项的系数”，解答显然是错误的．正解：(6)nx−的展开式的第三项为2223C(6)n

nTx−=−，∴22C(6)36n−=，即2120nn−−=，解此方程并舍去不合题意的负值，得n＝4，设4(6)x−的展开式中2x项为第r＋1项，则414C(6)rrrrTx−+=−，由4－r＝2，得r＝2，即4(6)x−的展开式中2x项为22224C(6)36xx−=

．变式1：求533xx+的展开式中第3项的系数和二项式系数．【详解】二项式533xx+展开式通项公式为51533()()rrrrTCxx−+=，第三项为：532252623523339()()1090TCxxxx

x−===，所以第三项系数为90，第3项的二项式系数为25C10=．变式2：计算()92xy+的展开式中第5项的系数和二项式系数．【详解】因为()92xy+的展开通项为()()949199C22C09,NkkkkkkkTxyxykk−−+==，所以()92xy+的展

开式中第5项是445454592C2016Txyxy==，故所求第5项的系数是2016，第5项的二项式系数是49C126=．变式3：求612xx+的展开式中常数项的值和对应的二项式系数．【详

解】因为661122122xxxx−+=+，所以展开式中的第1k+项为611666322221666C2C2C2kkkkkkkkkkkTxxxx−−−−−−−+===．要得到常数项，必须有30k-=，从而有3k=，因此常数项是第4项，且363

3346C2160Tx−−==．从而可知常数项的值为160，其对应的二项式系数为36C20=．1．在二项式612xx−的展开式中，二项式系数最大的是（）A．第3项B．第4项C．第5项D．第3项和第4项【答案】B【分析】根据二项式系数的

性质分析求解.【详解】二项式612xx−的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.故选：B.2．已知二项式()21nx−的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（）A．6B．7C．8D．9【答案】A【分析】分析可知，二项

式()21nx−的展开式共7项，即可求出n的值.【详解】因为二项式()21nx−的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则二项式()21nx−的展开式共7项，即17n+=，解得6n=.故选：A.3．在二项式61()2xx−

的展开式中，下列说法正确的是（）A．常数项是134B．各项系数和为164C．第5项二项式系数最大D．奇数项二项式系数和为32【答案】BD【分析】根据二项式理及二项式系数的性质逐项判断即可.【详解】二项式61()2xx−的展开式的通项为()36326611CC,0,1,2,,6

22rrrrrrxxrx−−−=−=当2r=时，得常数项为226115C24−=，故A不正确；当1x=时，可得展开式各项系数和为611(1)264−=，故B正确；由于6n=，则二项式系

数最大为36C20=为展开式的第4项，故C不正确；奇数项二项式系数和为02466666CCCC11515132+++=+++=，故D正确.故选：BD.4．在二项式10(21)x−的展开式中，下列说法正确的是（）A．第6项的二项式系数最大B．第6项的系数最

大C．所有项的二项式系数之和为102D．所有项的系数之和为1【答案】ACD【分析】由系数和二项式的系数的性质可判断A，B，C；由赋值可判断D.【详解】通项公式为10101011010C(2)(1)(1)2Crrrrrrr

rTxx−−−+=−=−，0,1,2,,10r=，其二项式系数为10Cr，二项式10(21)x−的展开式共11项，中间项的二项式系数最大，故第6项的二项式系数510C是最大的，故A正确；二项式系数和为102，所以C正

确；令1x=得所有项的系数和为1，故D正确；因为展开式中第六项的系数为负数，所以第六项的系数不可能为最大，故B选项错误，故选：ACD.5．已知2，n，8成等差数列，则在12nxx−的展开式中，下列说法正确的是（）A．二项式系数之和为32B．各项系数之和为1C

．常数项为40D．展开式中系数最大的项为80x【答案】ABD【分析】根据等差中项可得5n=.对于A：根据二项式系数之和的结论直接运算求解；对于B：利用赋值法运算求解；对于C、D：利用二项展开式的通项公式运算求解.【详解】

由题意可得：22810n=+=，则5n=，对于选项A：二项式系数之和为5232=，故A正确；对于选项B：令1x=，可得各项系数之和为()5211−=，故B正确；对于选项C、D：因为512xx−

的展开式的通项公式为：()()55521551C21C2,0,1,2,3,4,5rrrrrrrrTxxrx−−−+=−=−=，所以553135123280804010xxxxxxxx−−−−=−+−

+−，展开式中没有常数项，故C错误；展开式中系数最大的项为80x，故D正确；故选：ABD.6．下列关于612xx−的展开式的说法中正确的是（）A．常数项为－160B．第4项的系数最大C．第4项的二项式系数最大D．所有项的系数和为1【答案】ACD【分析】利用二项展开式的通项和二

项式系数的性质求解.【详解】612xx−展开式的通项为()()6261661C22CkkkkkkkTxxx−−=−=−＋.对于A，令260k−=，解得3k=，∴常数项为()3362C820160−=−=−，A正确；对于B，由通项公式知，

若要系数最大，k所有可能的取值为0，2，4，6，∴61Tx−=，222364C60Txx−−==，()4422562C240Txx=−=，()6667264Txx=−=，∴展开式第5项的系数最大，B错误；

对于C，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确；对于D，令x＝1，则所有项的系数和为6(112)−=，D正确.故选：ACD.7．若31nxx−的展开式的二项式系数之和为16，则231nxx+

的展开式中41x的系数为.【答案】56【分析】通过二项式系数和求出4n=，然后求出831xx+展开式的通项公式，最后求出指定项的系数即可.【详解】由31nxx−的展开式的二项式系数之和为16，得216n=，所以4n=，则831xx+

的展开式的通项公式为()848331881CCrrrrrrTxxx−−+==，令8443r−=−，解得=5r，故231nxx+的展开式中41x的系数为58C56=.故答案为：568．已知常数0a，在6axx−的二项展开式中的常数项为15，设2

3450125345(12)aaxaxaxaxxxaa=+++++−，则05aa+=．【答案】-31【分析】先求出1a=，再由二项式的展开式进行求解即可.【详解】解：6axx−的展开式为：()

()6321666CC−+−−==−rrrrrrrTxaxxa，令630r−=，得2r=，则()226C15−=a，因为0a，所以1a=，则55(12)(12)=−−axx的展开式为：()()1552CC2+=−−=kkkkkk

xTx，得()0005C21=−=a，()5555C232=−=−a，则0513231（）+=+−=−aa，故答案为：-31.9．在32nxx−的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为．【答案】7

29/63【分析】根据二项式系数之和求出n的值，进而设出各项的系数，然后采用赋值法即可求得答案.【详解】由题意32nxx−的二项式中，所有的二项式系数之和为64，即264,6nn==，设632xx−的各项的系数为0126,,,,aaaa，则各项的系数的绝对值之和为01

26||||||||aaaa++++，即为632xx+中各项的系数的和，令1x=，660126||||||||(12)3aaaa++++=+=，即各项的系数的绝对值之和为63729=，故答案为：72910．二项式6212xx+的展开

式中常数项为（用数字作答）.【答案】60【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求得正确答案.【详解】二项式6212xx+展开式的通项公式为()62612366C2C12rrrrrrxxx−−−=，由题意令

1230r−=，解得4r=，所以二项式展开式中的常数项为64266426C0252C2461−===.故答案为：60.11．已知()()*12Nnxn+的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则n=.【答案】14或23【分析】根据二项式系数的定义

列出等式，解方程即可求得14n=或23.【详解】由题意可得8910C,C,Cnnn成等差数列，则98102CCCnnn=+，即()()()!!!29!9!8!8!10!10!nnnnnn=+−−−，即()()()2119998109nnn=+−−−，即237

3220nn−+=，解得14n=或23.故答案为：14或2312．42(12)4xx−−的展开式中含3x项的系数为.【答案】70−【分析】先对第一个括号中选取单项式进行分类，然后再在每一类中分步，结合计数原理以及组合数即可求解.【详解】要得到4

2(12)4xx−−的展开式中含有3x的项，分以下两种情形：情形一：先在第一个括号中选取“2”，然后在后面四个括号中选取3个“2x−”和1个“1”，由分步乘法计数原理可知此时“3x”的系数为()()3342C2124864−

=−=−；情形二：先在第一个括号中选取“4x−”，然后在后面四个括号中选取2个“2x−”和2个“1”，由分步乘法计数原理可知此时“3x”的系数为()222411C2164644−−=−=−.综上所述：由分类加

法计数原理可知42(12)4xx−−的展开式中含3x项的系数为()()64670−+−=−.故答案为：70−.13．若2nxx−展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为.【答案】15【分析】

根据二项式系数和得到6n=，再计算第三项的二项式系数即可.【详解】2nxx−展开式的二项式系数和为264n=，故6n=，展开式中第三项的二项式系数为2615C=.故答案为：15.14．若132nxx−

的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是.【答案】13516【分析】先求得n的值，然后根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】依题意，264,6nn==，则二项式6612113322xxxx−−−

=展开式的通项公式为()16261C32rrrxx−−3662613C2rrrrx−−=，令3602r−=，解得4r=，所以展开式中的常数项是46446111353C91521616−=

=.故答案为：1351615．已知2012(32)(1)(1)(1)nnnxaaxaxax−=+−+−+−，若(32)nx−展开式各项的二项式系数的和为1024，则4a的值为．【答案】17010【分析】由题意，利用二项式系数的性质求出n值，再根据二项式展开式的通项公式，求出4a值

．【详解】2012(32)(1)(1)(1)[13(1)]nnnnxaaxaxaxx−=+−+−+−=+−，(32)nx−展开式各项的二项式系数的和为21024n=，10n=，故1010(32)3(1)1x

x−=−+展开式的通项公式为110C3(1)rrrrTx+=−．则令4r=，可得44410C317010a==．故答案为：17010．16．已知22nxx+的展开式中二项式系数和是64，则展开式中

x的系数为．【答案】60【分析】手续爱你根据二项式系数和公式求出n，再利用二项展开式的通项公式即可得到答案.【详解】由题意得2264n=，解得3n=，则62xx+的二项展开式通项为()62621662

CC2,06,NrrrrrrrTxxrrx−−+==，令6212r−=，解得2r=，则x的系数为226C260=，故答案为：60.17．已知二项式()21nx−的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n=.【答案】6【分析】根据二项展开

式的二项式系数的性质，即可求解.【详解】因为二项式()21nx−的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项，所以n为偶数且32n=，可得6n=.故答案为：6.18．已知()12nx+的展开式中第7项和第8项的二项式系

数相等，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项．【答案】答案见解析【分析】利用二项式系数相等可得n的值，再利用二项式系数的性质可得二项式系数最大的项，利用不等式法可求得系数最大的项，从而得解.【详解】因为()12nx+的

展开式中第7项的二项式系数是6Cn，第8项的二项式系数是7Cn，则67CCnn=，解得13n=，所以()12nx+的展开式共有14项，则二项式系数最大的是第7和第8项，又()1312x+的展开通项公式为()11313C0NC

)123(2,rrrrrrTrxrx+==，则66667131098242CxxT==，77778132196482CxxT==；而第1r+项的系数是132Crr，不妨设第1r+项为系数最大的项，则1113

131113132C2C2C2Crrrrrrrr++−−，即1131311313C2C2CCrrrr+−，即()()()()()()13!13!2!13!1!12!13!13!2!13!1!14!rrrrrrrr−+−−−−，即121312

114rrrr−+−，解得252833r，则9r=，即第10项的系数最大，399991013660802CxxT==；综上，()12nx+展开式中系数最大的项为910366080Tx=，二项式系数最大的项为67109824Tx=与782

19648Tx=.易错点四：混淆虚部定义致错（求复数虚部）Ⅰ：复数的概念①复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别是它的实部和虚部，i叫虚数单位，满足21i=−（1）当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；（2）当b≠0

时，a＋bi为虚数；（3）当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．②两个复数,(,,,)abicdiabcdR++相等acbd==（两复数对应同一点）③复数的模：复数(,)abiab

R+的模，其计算公式22||||zabiab=+=+Ⅱ：复数的加、减、乘、除的运算法则1、复数运算（1）()()()()iabicdiacbd++=+（2）()()()()abicdiacbdadbci++=−++22222()()zz||||)2abiabiabzzzzza+

−==+==+=(注意其中22||zab=+，叫z的模；zabi=−是zabi=+的共轭复数(,)abR．（3）2222()()()()(0)()()abiabicdiacbdbcadic

dcdicdicdicd++−++−==+++−+．实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．2、复数的几何意义（1）复数(,)zabiabR=+对

应平面内的点(,)zab；（2）复数(,)zabiabR=+对应平面向量OZ；（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．（4）复数(,)zabiabR=+的模||z表示复平面内的点(,)zab到原点的距离．易错提醒：1、求一个

复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.2、复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝z；③z∈R⇔z2≥03、复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a

，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋z＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0例、复数113i−虚部是（）A.110i−B.110−C.310D.310i错解】D【错因分析】误认为复数的虚部为bi.【正解】因为1131313(13)(13)1010

iziiii+===+−−+，所以复数113zi=−的虚部为310.故选：D.变式1：已知复数1i2iz−=+（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．35-B．3i5−C．35D．35i【详解】因为()()()()1i2i1i13i13i2i2i2i555

z−−−−====−++−，即13i55z=−，所以z的共轭复数为13i55z=+，其虚部为35.故选：C.的【变式2：已知i是虚数单位，则复数12i1i−−的虚部是（）A．12−B．12C．32−D．32【详解】()()()()12i1i12i3i31i1i1i1i222−+−−===

−−−+，所以复数12i1i−−的虚部为12−，故选：A.变式3：已知复数()()2i1iz=−+，则复数z的虚部为，z=．【详解】由题意()()22i1i22iii3iz=−+=+−−=+，所以复数z的虚部为1，223110z=+=.故答案为：1，10.1．5(2i)(12i)

i−++的虚部为（）A．4B．2−C．4−D．2【答案】B【分析】根据复数除法和乘法运算以及虚部的概念即可得到答案.【详解】5(2i)(12i)23i25i42ii−++=++−=−，则其虚部为2−，故选：B.2．复数2i

ia+（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为（）A．－2B．－1C．1D．2【答案】C【分析】应用复数的除法运算化简2iia+，根据实部与虚部互为相反数列方程求a的值.【详解】由22i1(1)i(1)iiiiaaaa+

−−===−，由其实部与虚部互为相反数，即10a−=，则，1a=.故选：C3．已知2iz=+，则()izz+的虚部是（）A．2B．2−C．2iD．2i−【答案】A【分析】根据共轭复数的概念结合复数的乘法运算，求得()izz+，即可得答案.【详解】因为2i

z=+，则()()()()i2i2ii22i42izz+=+−+=+=+，所以()izz+的虚部为2，故选：A.4．2i52i−−的虚部为（）A．i5B．1i5−C．15−D．15【答案】C【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1

21i55−−，结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数的运算法则，可得()()()()2i52i2i5121i2i2i2i55−+−==−−−−+，所以复数的虚部为15−.故选：C.5．若i是虚数单位，则复数23i1i++的虚部为（）A．52B．52iC．12D．1i

2【答案】C【分析】利用复数除法化简，即可确定虚部.【详解】()()()()23i1i23i5i51i1i1i1i222+−++===+++−.所以复数23i1i++的虚部为12.故选：C.6．已知复数2iz=−，则(i)zz+的

虚部为（）A．－2B．－1C．6D．2【答案】D【分析】利用复数乘法法则计算出(i)62izz+=+，从而求出虚部.【详解】2(i)(2i)(2ii)(2i)(22i)44i2i2i62izz+=−++=−+=+−−=+，虚部为2，故选：D．7．已知复数z满足2izz=+，则复数z的虚部为（）

A．iB．1C．i−D．1−【答案】D【分析】利用共轭复数的概念和复数的运算解求解.【详解】设复数izab=+，izab=−，又2izz=+，可得ii2iabab−=++，解得1b=-，所以复数z的虚部为1−.故

选：D.8．已知复数z在复平面内的对应点为()1,1，则1zz+的虚部为（）A．1i2B．32C．12D．3i2【答案】C【分析】利用已知条件先得到1iz=+，再利用复数的运算法则求解即可得出结果.【详解】因为复数z在复平面内的对应点为()1,1所以1iz=+

11311ii1i22zz+=++=++所以虚部为12.故选：C9．若复数z满足3izz−=（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）A．32B．32−C．3i2D．3i2−【答案】B【分析】利用共轭复数的定义以及加减运算法则即可得复数z

的虚部为32−.【详解】根据题意可设i,,Rzabab=+，则izab=−，,Rab，所以由3izz−=可得i3iiabab−−=+，所以3bb−−=,解得32b=−，即复数z的虚部为32−.故选：

B10．已知i为虚数单位，复数z满足(1i)1iz−=+，则z的虚部是（）A．i−B．22C．2i2D．22−【答案】D【分析】通过复数的模及除法运算化简复数，再利用共轭复数的定义及虚部的定义求解即可.【详解】因为(1i)1i2z−=+=，所以()()()21i222i

1i1i1i22z+===+−−+，所以22i22z=−，所以z的虚部是22−.故选：D11．已知复数z满足456izz+=+，其中z是z的共轭复数，则复数z的虚部是（）A．1B．iC．2−D．2i−【答案】C【分析】设iza

b=+后代入已知条件解方程即可【详解】设()i,zabab=+R，则izab=−，所以4i44i53i56izzababab+=++−=−=+，则55,36,ab=−=解得1,2,ab==−即12zi=−，所以z的虚部为2−．故选：C12．已知复数z满足()2ii2

z++=（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．45B．45−C．4i5D．4i5−【答案】B【分析】根据复数四则运算计算可得34i55z=−，再由虚部定义可得结果.【详解】由()2ii2z++=可得()()()2222i2

i4i4i34i34i2i2i2i4i555z−−+−−=====−++−−，所以可得z的虚部为45−.故选：B13．已知25i1iz−=−，则z的虚部为（）A．3i2−B．32C．32−D．3i2【答案】C【分析】由复数除法求得z后，根据定义可得．【详解】25i(25i)(1i)73i1i22

z−−+−===−，所以虚部为32−．故选：C．易错点五：复数的几何意义应用错误（复数有关模长的求算）复数的模：复数(,)abiabR+的模，其计算公式22||||zabiab=+=+易错提醒：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两

个复数差的模可以理解为两点之间的距离.例、若zC，且22i1z+−=，则22iz−−最小值为（）A．2B．3C．4D．5【错解】设()i,zabab=+R，因此有()22i1ab++−=．即()()2222

1ab++−=又()()2222i22zab−−=−+−()()2221218aaa=−+−+=−因为aR，所以最小值为1.【错因分析】利用复数代数形式令izab=+，得()()22221ab++−=，而22i18za−−=−．此时会因不会确定a范围导致出错；

若用数形结合法．错在一般是看不出22i1z+−=表示的几何意义．【正解】方法一：设()i,zabab=+R，因此有()22i1ab++−=．即()()22221ab++−=又()()2222i22zab−

−=−+−()()2221218aaa=−+−+=−而21a+即31a−−，∴当1a=−时，22iz−−取最小值3．的的方法二：（利用数形结合法）22i1z+−=表示圆心在（-2，2），半径为1的圆．而22iz−−表

示圆上点与点（2，2）的距离，其最小值为3．变式1：已知复数z满足1i22z−+=，z为z的共轭复数，则zz的最大值为.【详解】设()i,zabab=+R，则1i22z−+=的几何意义为z在复平面内所对应的点(),ab到()1,1-的距离为22，所以z所对应的点(),ab的轨迹是以()

1,1-为圆心，22为半径的圆，而22zzab=+可看作该圆上的点(),ab到原点的距离的平方，所以()()2max22218zz=+=.故答案为：18.变式2：已知i为虚数单位，且2i1z−=，则z的最大

值是.【详解】设()i,zabab=+R，由2i1z−=的几何意义知：z对应的点(),ab的轨迹是以()0,2为圆心，1为半径的圆，即()2221ab+−=，z的几何意义为点(),ab到坐标原点()0,0的距离，()()22max002013z=−+−+=.故答

案为：3.变式3：已知复数z满足|2|2|2i|zz−=−，则||z的最大值为．【详解】设复数i(,R)zxyxy=+，由|2|2|2i|zz−=−，得2222(2)2(2)xyxy−+=+−，整理得2241640

33xyxy++−+=，即222832()()339xy++−=，因此复数z在复平面内对应点(,)xy在以点28(,)33C−为圆心，423为半径的圆，O为原点，所以22max42284221742||||()()33333zOC+=+=−++=.故答案为：217423+1．设复数z满

足|2i|3z−=，z在复平面内对应的点为(,)xy，则（）A．22(2)3xy−+=B．22(2)3xy+−=C．22(2)3xy+−=D．22(2)3xy++=【答案】C【分析】利用复数模的坐标表示即可得解.【详解】因为

z在复平面内对应的点为(,)xy，所以izxy=+，则()2i2izxy−=+−，又|2i|3z−=，所以22(2)3xy+−=，即22(2)3xy+−=.故选：C．2．已知复数z满足|2i|1z+=（i为虚数单位），则|32i|z−−的最小值为（）A．7B．6C

．5D．4【答案】D【分析】设出复数的代数形式，结合条件得到复数在复平面内所对应的点的轨迹是一个圆，从而将问题转化为点与圆的位置关系求解.【详解】设i(,R)zxyxy=+，在复平面内对应的点P的坐标为(,)xy，由|2i|1z+=，得|(2)i|1

xy++=，即22(2)1xy++=，因此点(,)Pxy在圆22:(2)1Cxy++=上运动，圆心C的坐标为(0,2)−，半径1r=，又22|32i||(3)(2)i|(3)(2)zxyxy−−=−+−=−+−，于是|32i|z−−可以看成是点(,)Pxy到点(3,2)A的距离，显然此

点在圆C外，所以22minmin|32i|||||3(22)14zPAACr−−==−=++−=.故选：D3．若复数z满足2zz+R，则iz+（i为虚数单位）的最小值为（）A．21+B．21−C．31+D．31−【答案】B【分析】首先设复数izab=+，(,Rab且不同时为0)，根据条件化简

求得,ab的关系式，再根据复数模的几何意义求最值.【详解】设izab=+，(,Rab且不同时为0)，222222222(i)22iiiiababzabababzabababab−+=++=++=++−++++由题意可知2220bbab−=+，得0

b=或222ab+=，当0b=时，z的轨迹是x轴（除原点外），此时iz+的几何意义表示复数对应的点和(0,1)−的距离，此时|i|1z+，当222ab+=时，复数所对应点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，如图，根据复数模的几何意义可知，iz+的几何意义是圆上的点到(0,1)−的距离，如图可

知，iz+的最小值是点A与(0,1)−的距离21−.故选：B4．若复数z满足3i1z−−=(i为虚数单位），则z的最大值为（）A．1B．2C．3D．3+1【答案】C【分析】设izab=+(),Rab，根据已知可得出()()22311ab−+−=.根据几何意

义，结合三角恒等变换化简，即可得出答案.【详解】设izab=+(),Rab，则()3i31izab−−=−+−.由已知3i1z−−=可得，()()22311ab−+−=.设3cos1sinab−=−=，0,2π，则cos3sin1ab=+=+.所以，()()2

2222cos3sin1zab=+=+++22cossin23cos2sin4=++++13π4sincos54sin5223=++=++.当ππ32+=，即π6=时，该式有最

大值9，所以，29z，所以，3z.故选：C.5．复数z满足=1iz（i为虚数单位），则43iz−+的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【分析】根据复数模的几何意义求解．【详解】==1iizz，∴1z=，z对应的点在以原点为圆心1为半径的圆上，43i(43

i)zz−+=−−表示复数z对应点和43i−对应的点间距离，又()2243i=435−+−=，所以43iz−+的最小值是514−=，故选：B．6．设复数z满足1i2z−+=，z在复平面内对应的点为(),xy，则

（）A．()()22114xy++−=B．()()22114xy+++=C．()()22114xy−+−=D．()()22114xy−++=【答案】D【分析】根据复数模的运算公式进行求解即可.【详解】复数z满足()i,Rzx

yxy=+，则()11i2xy−++=，∴()()22114xy−++=，故选：D7．设复数z满足34i1z−−=，则z的最大值是（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】设复数izxy=+，根据题意得到22(

3)(4)1xy−+−=，得到复数对应的点的轨迹为()3,4为圆心半径为1的圆，进而求得z的最大值.【详解】设复数()i,Rzxyxy=+，可得i34i1xy+−−=，所以22(3)(4)1xy−+−=，所以复数对应的

点的轨迹为()3,4C为圆心半径为1r=的圆，所以z的最大值是22341516OCr+=++=+=．故选：B.8．已知复数z满足3ii+=−zz，则12iz++的最小值为（）A．1B．3C．3D．5【答案

】A【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z，由复数的几何意义可知点Z的轨迹为1y=−，则问题转化为1y=−上的动点Z到定点()1,2−−距离的最小值，从而即可求解．【详解】设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足3ii+=−zz，所以由复数的几何意义可知

，点Z到点()0,3−和()0,1的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为1y=−，又12iz++表示点Z到点()1,2−−的距离，所以问题转化为1y=−上的动点Z到定点()1,2−−距离的最小值，当Z为()1,1−−时，到定点()1,2−−的距离最小，最小值为1，所以12iz++的最小值为

1，故选：A．9．已知复数z满足2i2izz−=+，则（）A．z的虚部为1−B．2z=C．z在复平面内对应的点在第四象限D．若复数z满足11zz−=，则1||2121z−+,【答案】AD【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，对z化简，选项

ABC依次判断即可；选项D，由复数的三角不等式可得.【详解】由2i2izz−=+，得12i2iz−=+，即()()()2i1i2i1i1i1i1iz−−−===−−++−，选项A，z的虚部为1−，故A正确；选项B，22(1)(1)2z=−+−=，故B错误，选项C，z在复平面内对应

的点Z(1,1)−−在第三象限，故C错误；选项D，方法一：复数z满足11zz−=，且2z=，则由复数加减法的几何意义可知，1111||||||||||||zzzzzzzzzz−−=−+−+，故121||21z−+，故12121z−+，，故D正确.方法二：由1

1zz−=，得1(1i)1z−−−=，则复数1z对应点1Z的集合是以Z(1,1)−−为圆心，1为半径的圆，如图可知，11minmax21,21zz=−=+，则12121z−+，，故选：AD.10．已知复数z满足334zz++−=，则iz−的最大值是．【答案】

433/433【分析】根据复数模公式，复数的几何意义及椭圆的定义可得复数z对应的点(,)Zxy，然后利用三角代换结合条件即可求解．【详解】设i,(,R)zxyxy=+，由334zz++−=，得()()222233423yyxx++

+=+−，因此在复平面内，复数z对应的点(,)Zxy在以()3,0为焦点，长轴长为4的椭圆上，所以可设椭圆方程为22221(0)xyabab+=，则2,3,1acb===，所以椭圆方程为2214xy+=，而iz−表示点Z与点()0,1的距离，可设()2cos,sinZ

，所以()2cos,sinZ与点()0,1的距离()()22252cossin13sin2sind=+=−−+−23sin11633−=++，所以当1sin3=−时，433d=

，即iz−的最大值是433.故答案为：43311．复数z满足43i2z+−=（i为虚数单位），则z的最大值为．【答案】7【分析】由复数模的几何意义确定复数z对应点的轨迹，问题化为圆上点到原点的距离最大值，即可得结果.【详解】令izxy=

+且,Rxy，又43i2z+−=，所以22(4)(3)2xy++−=，即22(4)(3)4xy++−=，所以复数z对应点在以(4,3)−为圆心，半径为2的圆上，又22zxy=+表示圆上点到原点的距离，而圆心到原点

距离为5，所以z的最大值为527+=.故答案为：712．若复数z满足|3||3|10zz−++=，则||z的最小值为.【答案】4【分析】根据题设条件确定复数z对应点在以(3,0),(3,0)−为焦点，长轴长为10的椭圆上，结合椭圆性质及||z的几何意义确定最小值.【详解】设izxy=+且,R

xy，又|3||3|10zz−++=，所以2222(3)(3)10xyxy−++++=，即点(,)xy到两定点(3,0),(3,0)−的距离之和为10，所以点(,)xy在以(3,0),(3,0)−为焦点，长轴长为10的椭圆上，由2

2||zxy=+表示椭圆上点到原点距离，故其最小值为短半轴2222534bac=−=−=.故答案为：413．已知复数z满足1z=，则34iz−+的最小值为.【答案】4【分析】根据题意，由条件可得复数z表示以()0,0

为圆心，1为半径的圆，然后再结合其几何意义即可得到结果.【详解】设()i,zabab=+R，∵1z=，∴221ab+=，表示以()0,0为圆心，1为半径的圆，∴()()()()2234i34i34zabab−+=−++=−++，表示圆上的

点到点()3,4−的距离，∴34iz−+的最小值为()2203(04)14−++−=.故答案为：4.14．已知i为虚数单位，且12i2z+−=，则z的最大值是．【答案】52+/25+【分析】利用复数模长的几何意义可知点(),ab的轨迹是以()1,2-为圆心，2为半径的圆，根据z几何意义为点()

,ab到坐标原点()0,0的距离，结合圆的知识即可得解.【详解】依题意，设()i,Rzabab=+，由12i2z+−=，得i12i2ab++−=，则()()22124ab++−=，其几何意义为：z对应

的点(),ab的轨迹是以()1,2-为圆心，2为半径的圆，因为z的几何意义为点(),ab到坐标原点()0,0的距离，所以()()22max1020252z=−−+−+=+.故答案为：52+.15．已知复数z满足24i3z++=，则|1|z−的最

大值是．【答案】8【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．【详解】设i,(,R)zxyxy=+，由24i3z++=，得22(2)(4)3xy+++=，即22(2)(4)9xy+++=，因此在复平面内，复数z

对应的点(,)Zxy在以(2,4)−−为圆心，3r=为半径的圆上，而|1|z−表示点Z与点(1,0)的距离，显然圆心(2,4)−−与点(1,0)的距离22(12)(04)5d=+++=，所以|1|z−的最大值是8dr+=.故答案为：816．设复数z满足1i1

z−+=，z在复平面内对应的点为(),Pxy，则点P的轨迹方程为.【答案】()()22111xy−++=【分析】由题意izxy=+，由1i1z−+=根据复数模的运算可得()()22111xy−++=.【详解】因为z在复平面内对应的点为(),Pxy，所以izxy

=+，由1i1z−+=得()()11i1−++=xy，所以()()22111xy−++=，即()()22111xy−++=，所以点P的轨迹方程为()()22111xy−++=，故答案为：()()22111xy−++=17．若复数z满足2Rzz+，则iz+的最小值为【答案】21−/12

−+【分析】设izab=+，代入2zz+中化简，由2Rzz+，得0b=或222ab+=，利用复数模的几何意义求iz+的最小值。【详解】设izab=+，（,ab不同时为0），()2222222i2222i+i+iia

babzabababzabababab−+=+=+=++−++++，由题意可知2220bbab−=+，得0b=或222ab+=，当0b=时，z的轨迹是x轴（除原点外），此时iz+的几何意义表示复数表示

的点和()0,1−的距离，此时i1z+，当222ab+=时，复数z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，如图，根据复数模的几何意义可知，iz+的几何意义是圆上的点到()0,1−的距离，如图可知，iz+的最小值是点A与()0,1−的距离

21−.故答案为：21−.