【文档说明】天津市五所重点学校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(15)页，936.336 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-ae7b9e3cef2ec7cad3dcd8929799f6d5.html

以下为本文档部分文字说明：

2022～2023学年度第二学期期中重点校联考高一数学一、选择题（本题共9小题，每小题4分，共36分）1.已知()13z−=−ii，其中i为虚数单位，则z=（）A.5B.5C.2D.2【答案】A【解析】【分析】应用复数除法求得复数2iz=+，再求其模.【详

解】由3i(3i)(1i)42i2i1i(1i)(1i)2z−−++====+−−+，故5z=.故选：A2.已知向量()3,2a=−，()1,bx=，若ab∥，则x=（）A.32B.23C.32−D.23−【答案】D【解析】【分析】根据向量的平行的

坐标表示，即可求解.【详解】因为ab∥，则32x−=，得23x=−.故选：D3.已知a，b是夹角为60°的单位向量，则32ab−=（）A.7B.13C.7D.13【答案】C【解析】【分析】对表达式直接平方，结合数量积的运算进行求解.【详解】()22223232912491211cos6047aba

baabb−=−=−+=−+=，于是327ab−=.故选：C4.已知a、b为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若//ab，b，则//aB.若a，b，//ab，则//C若//，a，则//aD.若//，a，b，则//

ab【答案】C【解析】【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，对四个选项逐一判断即可.【详解】对于A：若//ab，b，则//a或a，故A错误；对于B：若a，b，//,ab则//或与

相交，故B错误；对于C：若//，a，则//a，故C正确；对于D：若//，a，b，则//ab或a与b异面，故D错误.故选：C.5.在ABC中，已知()sin2sincosAACC=+，那么ABC一定是（）A等腰直角三角形B.直

角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【答案】C【解析】【分析】利用三角函数诱导公式和正弦定理余弦定理化简题给条件即可得到bc=，进而得到ABC为等腰三角形.【详解】因为()sin2sincosAACC=+，()sinsinACB+=，所以sin2sincosA

BC=，所以由正弦定理和余弦定理得22222abcabab+−=，化简得22bc=，所以bc=，所以ABC为等腰三角形.故选：C6.已知2ab=，若a与b的夹角为120°，则2ba−在a上的投影向量为（）A.33a−B.32a−C.12a−D.3a..【答案

】B【解析】【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的运算律求2ba−在a上的投影向量.【详解】2ba−在a上的投影向量为|2|cos2,||ababaaa−−，2(2)2|2|cos2,||||baaabababaaaa−−−−==，所以，2ba−在a上的投影向量为222222||cos

120||32||||abaaaaaaaa−−==−.故选：B7.在ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若4a=，43b=，π6A=，则角B的大小为（）A.π3B.π3或2π3C.2π3D.π6【答案】B【解析】【分析】由正弦定理及三角形内角和性质求角B的大小.【详解】由s

insinabAB=，则sin3sin2bABa==，而(0,π)B，故B=π3或2π3，显然，所得角B均满足0πAB+.故选：B8.若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为（）A.233B.32C.2D.2【答案】C【解析】【分析】设正方体的棱

长为a，则外接球的直径为正方体的体对角线，从而可得球的半径，利用公式求出两者的表面积后可得它们的比值．【详解】设正方体的棱长为a，外接球的半径为R，则23Ra=，故球的表面积为()222423RRa==

，而正方体的表面积为26a，故正方体与这个球的表面积之比为22623aa=．故选：C．【点睛】本题考查正方体和其外接球的表面积的计算，注意弄清楚球的半径与正方体的棱长的关系，本题属于基础题．9.如图，在ABC中，π3BAC=，23ADAB=，P为CD上一点，且满足1

2APmACAB=+，若2AC=，3AB=，则AP的值为（）A.13B.132C.133D.134【答案】B【解析】【分析】由,,CPD三点共线，结合向量的线性运算将AP用,ACAD表示，根据共线的条件得出参数值m，然后对等式12APmACAB=+两边同时平方即可.【详解】12APmA

CAB=+，又2332ADABADAB==，即34APmACAB=+，由,,CPD三点共线可知，314m+=，即14m=，故1142APACAB=+.由题知，224,9ACAB==，π23cos33ACAB==.将上

式两边平方可得，2221111316444APACABABAC=++=，即132AP=.故选：B二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）10.若复数z满足(34i)1z++=，则z虚部是______【答案】4−【解析】【分析】应用复数的减法运算求复数，即可确定其虚部.的【详解】由题设1(

34i)24iz=−+=−−，故虚部为4−.故答案为：4−11.已知圆锥的底面半径为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为___________.【答案】833##833【解析】【分析】先计算圆锥的底面

周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，即为圆锥的母线长，再求得圆锥的高，从而求得体积即可【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以rl=，又2r=，所以圆锥的母线长24lr==，所以圆锥的高2223hlr=−=

，所以圆锥的体积218333Vrh==，故答案为：833.12.若一个圆柱和一个圆锥的底面周长之比为12，圆柱的体积是圆锥体积的2倍，则圆柱的高与圆锥的高的比为______.【答案】83##8:3【解析】【分析】设圆柱的底面半径为R，高为1h，圆锥

的底面半径为r，高为2h，结合题意得到2rR=，结合圆柱和圆锥的体积公式，求得12hh的值，即可求解.【详解】设圆柱的底面圆的半径为R，高为1h，圆锥的底面圆的半径为r，高为2h，因为圆柱和圆锥的底面周长之比为12，可得2π12π2RRrr==

，所以2rR=，又因为圆柱的体积是圆锥体积的2倍，可得22211112222222π3332144π3RhRhRhhrhRhhrh====，解得1283hh=，即圆柱的高与圆锥的高的比为83.故答案为：83.13.在ABC中，,,abc分别为内角,,ABC所对的边，若()226acb=−+，

π3A=，则ABC的面积是______.【答案】332##332【解析】【分析】根据题意求得22226cbabc+−=−，再由余弦定理列出方程求得6bc=，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】因为()226acb=−+，

可得22226acbbc=+−+，即22226cbabc+−=−，又因为π3A=，由余弦定理可得222261cos222cbabcAbcbc+−−===，解得6bc=，所以ABC的面积为11π33sin6sin2

232SbcA===.故答案为：33214.一艘轮船沿北偏东28o方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东32o方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为19海里，则灯塔与轮船原来的距离为______海里.【答案】2【解析】【分析】如图，设A为

轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，然后在ABC中利用余弦定理求解即可.【详解】如图，设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，由题意知1018360AB==，19BC=，18032

28120BAC=−−=．由余弦定理得2222cosBCABACABACBAC=+−，所以21993ACAC=++，化简得23100ACAC+−=，解得2AC=或5AC=−（舍去），所以灯塔与轮船原来的距离为2海里，故答案为：2

.15.如图，在平面四边形ABCD中，ABBC⊥，ADCD⊥，120BAD=，1ABAD==.若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则EAEB的取值范围为______.【答案】21316，【解析

】【分析】设()01DEDC=，根据条件找出3DCBC==，3DE=，且DE与AB的夹角为30，DA与AB的夹角为60，从而根据向量的加法法则和减法的定义写出()()EAEBDADEEDDAA

B=−++，然后表示为关于的二次函数，通过求二次函数的最小值即可解决问题.【详解】延长,CDBA交于点H，因为,,120ABBCADCDBAD⊥⊥=，所以60BCD=，30DHA=，在RtADH中，30DHA=，1AD=，所以2,3AH

DH==，在RtBCH△中，30CHB=，3BH=，所以23,3CHBC==，所以3DCBC==，不妨设()01DEDC=，则3DE=，且DE与AB的夹角为30，DA与AB的夹角为60，则()()EA

EBDADEEDDAAB=−++DAEDDADADAABDEEDDEDADEAB=++−−−220cos6030cos30DADAABDEAB=+++−−221333130332222=++−−=−+，设()233322f=−+，

()01，所以312234−=−=时，()2min1313213424216f=−+=.()()2331311322ff=−+=，则EAEB的范围是21316，.故答案为：21316，.三、解答题（本大题共4小题，共60分）16.已知

()4,3a=，()1,2b=−.（1）求a与b夹角的余弦值；（2）若()()2abab−⊥+，求实数的值；（3）若2ABab=−，BCamb=+，且A、B、C三点共线，求m的值.【答案】（1）2525（2）529=（3）12−【解析】【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算和夹角公式

即可得出；（2）依题意可得()()20abab−+=，根据数量积的运算律得到方程，解得即可；（3）首先求出AB，BC的坐标，依题意可得//BCAB，根据向量共线的坐标表示计算可得．【小问1详解】()4,3a=，()1,2b=−．14322ab=

−+=，22435a=+=，()22125b=−+=．225cos,2555ababab===．【小问2详解】()()2abab−⊥+，()()20abab−+=，即()()()22

2221221222512250aabbaabb+−−=+−−=+−−=，整理得952=，解得529=．【小问3详解】因为()()()224,31,29,4ABab=−=−−=，()()()4,31,24,32BCambmmm=+=+−=−+

，因为A、B、C三点共线，所以//BCAB，即()()93244mm+=−，解得12m=−.17.在非等腰ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且3a=，4c=，2CA=.（1）求cosA的值；（2）求ABC的周长；（3）求πco

s26A+的值.【答案】（1）2cos3A=（2）283（3）34518+−【解析】【分析】（1）由正弦定理得34sinsinAC=，根据2CA=，解得cosA．（2）由余弦定理222–2cosabcbcA=+，建立方程216–703bb+=，

根据a，b，c互不相等，求得b，即可求出周长．（3）由2cos3A=，得5sin3A=，应用二倍角的三角函数求得sin2,cos2AA，应用两角和差的三角函数求πcos26A+.【小问1详解】在

ABC中，由正弦定理sinsinsinabcABC==，3a=，4c=，可得34sinsinAC=，因为2CA=，所以34sinsin2AA=，即34sin2sincosAAA=，显然sin0A，解得2cos3A=．【小问2详解】在ABC中，由余弦定理222–2c

osabcbcA=+，得216–703bb+=，解得3b=或73b=．由已知a，b，c互不相等，所以73b=，所以7283433ABCCabc=++=++=．【小问3详解】因为2cos3A=，所以25sin1cos3AA=−=，所以45sin22sincos9AAA==，21co

s22cos19AA=−=−，所以πππ13451345cos2cos2cossin2sin666929218AAA++=−=−−=−.18.如图：在正方体1111ABCDABCD−中2AB=，M为1DD的中点.（1）求三棱锥MABC−的体积；（2）求证：1

//BD平面AMC；（3）若N为1CC的中点，求证：平面//AMC平面1BND.【答案】（1）23（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据锥体的体积公式计算即可；（2）根据线面平行的判定进行证

明；（3）根据面面平行的判定进行证明.【小问1详解】显然MD⊥平面ABC，于是11121223323MABCABCVMDS−===.【小问2详解】设ACBDO=，连接OM，在正方体1111ABCDABCD−中，四边形ABCD是正方形，O是BD中点，的M是

1DD的中点，1OMBD∥，1BD平面,AMCOM平面,AMC1BD平面AMC；【小问3详解】NQ为1CC的中点，M为1DD的中点，11,CNDMCNDM=∥，四边形1CNDM为平行四边形，1DNCM∥，又MC平面1,AMCDN平面1,AMCDN平面A

MC，由（2）知1BD平面1111,,AMCBDDNDBD=平面11,BNDDN平面1BND，平面AMC平面1BND.19.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2cos2cos212sinsinABCAB+−=−.（1）求角C大小；（2）若AB

C为锐角三角形，求sinsinsinABC++的取值范围.【答案】（1）π6（2）3333,222+【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理的得到222abcab+−=，进而由余弦定理得到()0

,πC，求出角C；（2）由三角函数和差公式求出3sinsinsin3sin62πABCA++=++，由ππ62A,求出取值范围.【小问1详解】因为cos2cos2cos212sinsinABCAB+−=−，所以()22212sin12sin12sin12sinsi

nABCAB−+−−−=−，整理得222sinsinsinsinsinABCAB+−=，由正弦定理得222abcab+−=，的由余弦定理得2221cos22abcCab+−==，因为()0,πC，所以π3C=.【小问2详解】23sinsinsinsinsin32πABCAA++=+−+

223sinsincoscossin32ππ3AAA=+−+333sincos222AA=++33sin62πA=++在ABC中，因为π3C=，三角形是锐角三角形，π022ππ032AA−,所以ππ62A，所以ππ2π363A

+，所以πsin1263A+，所以33π3333sin22622A+++，所以sinsinsinABC++的取值范围为3333,222+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.x

iangxue100.com