【文档说明】广东省清远市阳山县南阳中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.291 MB，由小赞的店铺上传

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南阳中学2023-2024学年第一学期高二级第一次月考数学科试卷满分：150分考试时间：120分钟一、单选题，8个小题，每小题5分共40分.1.点()3,2,1M−关于平面yOz对称的点的坐标是（）A.()3,2,1−−B.()3,2,1−−C.()3,2

,1−−−D.()3,2,1−【答案】A【解析】【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果.【详解】由空间直角坐标系的性质可知，点()3,2,1M−关于平面yOz对称的点的坐标是()3,2,1−−.故选：A2.()2,,0am=

，()1,3,1bn=−，若//ab，则2mn+=（）A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量共线求出m，n的值作答.【详解】因为()2,,0am=，()1,3,1bn=−，//ab

，则存在R，使得ba=，即()()1,3,12,,0(2,,0)nmm−==，于是21310mn==−=，解得1,6,12mn===，所以28mn+=.故选：C3.某人连续投篮两次，则他至少投中一次的对立事件是（）A.至多投中一次B.两次都投中C.只投中一次D.

两次都没投中【答案】D【解析】【分析】根据对立事件的定义判断.【详解】至少投中1次的反面是没有一次投中，因此选项D正确．故选：D．4.已知直线1l的一个方向向量()2,4,ax=，直线2l的一个方向向量()2,,2by=，若6a=，且12ll⊥，则xy+=（）

A.-3或1B.3或1−C.-3D.1【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的模的坐标表示结合6a=即可求得x的值，再根据0ab=，列出方程，即可求得y，从而可得答案.【详解】因为222246ax=++=，所以4x=，又12ll⊥，所以0ab=，所以22420abyx=++=，所以11

2yx=−−，所以当4x=时，=3y−，则1xy+=，当4x=−时，1y=，则3xy+=−，所以3xy+=−或1.故选：A.5.在空间直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为()6,1,4A−，()3,0,2B，()1,4,5C−，则点D的坐标为（）A.(

)2,3,7B.()4,5,3−C.()10,5,1−D.()4,5,3−−【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形对角线的交点为中点可得答案.【详解】设(),,Dxyz，因为AC与BD的中点相同，所以613140452,,222222xyz−+−++++

===，解得2,3,7xyz===，所以()2,3,7D.故选：A.6.利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率．甲、乙两名选手进行比赛，采用三局两胜制决出胜负，若每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概

率为0.6．利用计算机产生1~5之间的随机整数，约定出现随机数1或2时表示一局比赛甲获胜，由于要比赛3局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数如下：354151314432125334541112443534312324252525453114344423123243

，则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为（）A.0.40B.0.35C.0.30D.0.25【答案】B【解析】【分析】根据题意分析随机数中表示甲获胜的数目，然后利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】根据题意，在20组随机数中，表示甲获胜有：151，125，112，312，25

2，114，123，共7种情况，所以可估计甲选手最终赢得比赛的概率为70.3520=，故选：B7.已知直线l经过点()211A，，，且()101n=，，是l的方向向量，则点()432P，，到l的距离为（）A1

2B.22C.322D.2【答案】C【解析】【分析】由空间向量夹角的坐标表示求cos<,>APn，再根据点到直线距离为||sin<,>APAPn即可求结果.【详解】由题设=(2,2,1)AP，则22222232

cos<,>===2||||221101APnAPnAPn++++，所以22sin<,>=1cos<,>2APnAPn−=，而||=3AP，故P到l的距离为32||sin<,>=2APAPn.故选：C8.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−

中，M是棱1AA的中点，点P在侧面11ABBA内，若的.1DPCM⊥，则PBC的面积的最小值是（）A.255B.510C.55D.5【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的坐标运算求得()0,1,21BPyy=−−，进而结合二次函数性质求

得min55BP=，利用三角形面积公式，即可求得答案.【详解】以点D为空间直角坐标系的原点，分别以DA，DC，1DD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则点()1,,,0,1Pyzyz，()10,0,1D，所以()11,,1D

Pyz=−．因为()0,1,0C，11,0,2M，所以11,1,2CM=−,因为1DPCM⊥，所以()11102yz−+−=，所以21zy=−．因为()1,1,0B，所以()0,1,21BPyy=−−，

所以()()222121562BPyyyy=−+−=−+,因为01y，所以当35y=时，min55BP=．因为正方体中，BC⊥平面11ABBA，BP平面11ABBA,故BCBP⊥，所以()min15512510PBCS==△，故选：B．二、多选题，4个小题，每小题5分共20分

，有错选不得分，少选且正确得2分.9.已知向量()1,1,1a=，()1,0,2b=−，则下列说法正确的是（）A.(0,1,3)ab+=B.3a=C.2ab=D.15cos,15ab=【答案】A

D【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算并判断.【详解】对于A，向量()1,1,1a=，()1,0,2b=−，则()0,1,3ab+=，A正确；对于B，222||1113a=++=，B错误

；对于C，由数量积的定义得1(1)10121ab??+??，C错误；对于D，22||(1)25b=−+=，所以115cos,1535ababab===，D正确.故选：AD.10.设,,abc构成空间的一个基底，下列说法正确的是（）A.a，b，c两两不共线，但两两共面B.对空间任一向

量p，总存在有序实数组(),,xyz，使得pxaybzc=++C.a，ac−，ac+能构成空间另一个基底D.若0xaybzc++=，则实数x，y，z全为零【答案】ABD【解析】【分析】根据空间向量基本

定理一一判断即可.【详解】因为,,abc构成空间的一个基底，所以a，b，c两两不共线，但两两共面，故A正确；对空间任一向量p，总存在有序实数组(),,xyz，使得pxaybzc=++，故B正确；因为()()2acaca−++=，所以a，ac−

，ac+共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误；根据空间向量基本定理可知，若0xaybzc++=，则实数x，y，z全为零，故D正确；故选：ABD11.已知事件,,ABC满足()0.6PA=，()0.2PB=，则下列结论正确的是（）A.如果()1PABC=，那么()

0.2PC=B.如果BA，那么()0.6PAB=C.如果A与B互斥，那么()0.8PAB=D.如果A与B相互独立，那么()0.32PAB=【答案】BCD【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐个分析判

断即可【详解】对于选项A，设一个盒子里有标号为1到10的小球，从中摸出一个小球，记下球的编号，记事件A=“球的编号是偶数”，事件B=“球的编号是1，2，3”，事件C=“球的编号是奇数”满足()1PABC=

，但是()0.5,PC=选项A错误；对于选项B，如果BA，那么()()0.6PABPA==，选项B正确；对于选项C，如果A与B互斥，那么()()()0.8PABPAPB=+=，所以选项C正确；对于选项D，如果A与B相互独立，那么()()()(1())(1())0.4

0.80.32PABPAPBPAPB==−−==，所以选项D正确.故选：BCD12.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P为侧面11BBCC内（不含边界）的动点，则（）A.1DOAC⊥B.存在一点P，使得11//D

OBPC.三棱锥1ADDP−的体积为43D.若1DOPO⊥，则1CP的最小值为85【答案】AC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设点(),2,Pxz，其中02x，02z，利用空间向量法判断A、B、D，根据锥体

的体积公式判断C.【详解】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A、()0,2,0C、()0,0,0D、()10,0,2D、()12,2,2B、()10,2,2C、()1,1,0O，设点(),2

,Pxz，其中02x，02z，对于A选项，()2,2,0AC=−，()11,1,2DO=−，则1220ACDO=−+=，所以1DOAC⊥，故A正确；对于B选项，()12,0,2BPxz=−−，()11,1,2DO=−，若11/

/BPDO，则202112xz−−==−，解得2xz==，不符合题意，所以不存在点P，使得11//BPDO，故B错误；对于C选项，121222ADDS==△，点P到平面1ADD的距离为2，所以11142233ADDPPADDVV−−===，故C正确；对于D选项，()

1,1,OPxz=−，若1DOPO⊥，则111220DOOPxzxz=−+−=−=，可得2xz=，由02022zz，可得01z，所以()()222221216452225445555CP

xzzzz=+−+−=−+=−+，当且仅当25z=时取等号，故D错误；故选：AC三、填空题，4个小题，每小题5分共20分.13.从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为__________.【答案】310##0.3【解

析】【分析】采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果.【详解】从5条线段中任取3条，则有2,4,6，2,4,8，2,4,10，2,6,8，2,6,10，2,8,10，4,

6,8，4,6,10，4,8,10，6,8,10，共10个基本事件；其中三条线段能够成三角形的基本事件有：4,6,8，4,8,10，6,8,10，共3个；所求概率310p=.故答案为：310.14.已知空间向量()1,0,1a=，()2,1,2b=r，则向量a

在向量b上的投影向量的模是___________【答案】43##113【解析】【分析】根据给定条件，求出投影向量，再求出模作答.【详解】向量()1,0,1a=，()2,1,2b=r，则1201124ab=++=，222||2123b=++=r，因此向量a在向量b上的投影向量为4

9||||abbbbb=，所以向量a在向量b上的投影向量的模是444||||993bb==.故答案为：4315.已知()2,1,3a=−，()1,4,2b=−−，()3,2,c=，若a，b，c三向量共面，则实数等于__________

.【答案】4【解析】【分析】依题意设cmanb=+，列方程组能求出结果．【详解】解：(2a=，1−，3)，(1b=−，4，2)−，(3c=，2，)，且a，b，c三向量共面，设cmanb=+，(3，2，)(2mn=−，4mn−+，32)mn−，234232m

nmnmn−=−+=−=，解得2m=，1n=，4=．故答案为：4．16.点P是棱长为4的正四面体表面上的动点，MN是该四面体内切球的一条直径，则PMPN的最大值是______________

_.【答案】163【解析】【分析】作出图形，计算出正四面体ABCD内切球O的半径，由此可求得AO，由空间向量数量积的运算性质得出223PMPNPO=−，进而可知当点P为正四面体的顶点时，PMPN取得最大值，即可得解.【详解】如下图所示：正四面

体ABCD的棱长为4，其内切球球心为点O，连接AO并延长交底面BCD于点E，则E为正BCD△的中心，且⊥AE平面BCD，连接BE并延长交CD于点F，则F为CD的中点，且BFCD⊥，2223BFBCCF=−

=，24333BEBF==，AE^Q平面BCD，BE平面BCD，AEBE⊥，则22463AEABBE=−=，BCD△面积为1432BCDSCDBF==△，正四面体ABCD的体积为116233ABCDBCDVSAE−=

=△，设球O的半径为R，则1443ABCDOBCDOACDOABDOABCOBCDBCDVVVVVVSR−−−−−−=+++==△，3643ABCDBCDVRS−==△，6AOAEOE=−=，PMPOOM=+，PNPO

ONPOOM=+=−，()()22223PMPNPOOMPOOMPOOMPO=+−=−=−，当点P位于正四面体ABCD的顶点时，PO取最大值，因此，222221663333PMPNPOAO=−−=−=.的故答案为：163.【点睛】本题考查空间向量数量积的最值的计算，同时也考查了正四面

体内切球半径的计算，考查计算能力，属于较难题.四、解答题，6个小题，第17题10分，第18-22每题12分，共70分.17.()2,4,2a=−，()1,0,2b=−r，(),2,1cx=−.（1）若//acrr，求cr.（2）若bc⊥，求()()2acbc−

+的值【答案】（1）6（2）15−【解析】【分析】（1）依题意可得ca=，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；（2）依题意可得0bc=，根据数量积的坐标表示得到方程，解得x，即可求出c，再根据空间向量线性运算的坐标表

示及数量积的坐标运算计算可得.【小问1详解】解：因为()2,4,2a=−，(),2,1cx=−且//acrr，所以ca=，即()(),2,12,4,2x−=−，即22412x==−=−，即112x==，所以()1,2,1c=−

，所以()2221216c=++−=.【小问2详解】解：因为()1,0,2b=−r，(),2,1cx=−且bc⊥，所以()210bcx=−+−=，解得2x=−，所以()2,2,1c=−−，所以()()()2,4,22,2,14,2,1ac−=−−−−=−，()()()2

21,0,22,2,14,2,3bc+=−+−−=−，所以()()()()244221315acbc−+=−++−=−.18.抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.求下列事件的概率.（1）A

=“两个骰子的点数之和是5”；（2）B=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.【答案】（1）19（2）512【解析】【分析】（1）利用列举法，结合古典摡型概率计算公式，即可求解；（2）利用列举法，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；【小问1详解】解：由抛掷两枚质地均匀的骰子，基

本事件共有36个不同的结果，因为A=“两个骰子的点数之和是5”，可得事件()()()()1,4,2,3,3,2,4,1A=，所以()4nA=，所以()()()41Ω369nAPAn===.【小问2详解】解：因为B=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的

点数”，可得事件{(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1)B=,(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}，即()15mB=，所以()()()155Ω3612n

BPBn===.19.如图，已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E是AD的中点.（1）求证：ADBC⊥；（2）求BACE的值.的【答案】（1）证明过程见解析；（2）1【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据空间向量基本定理，

结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解计算即可.【小问1详解】连接BE，因为ABCD是正四面体，所以,ABDACD△△是等边三角形，又因为点E是AD的中点，所以,BEADCEAD⊥⊥，而,,BECEEBECE=平面BCE，因此A

D⊥平面BCE，而BC平面BCE，因此ADBC⊥；【小问2详解】因为点E是AD的中点，所以有111()222BACEBACACDBACABACD=+=+，由（1）同理可证明ABCD⊥，即0BACD=，因为ABCD是正四面体，所以A

BC是等边三角形，且边长是2，因此1111122122222BACEBACABACDABAC=+===.20.近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数BMI=()()22kgm体重身高衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的B

MI数值标准是：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<23.9为正常：24≤BMI<27.9为偏胖；BMI>28为肥胖．下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100名居民体检数据，将其BMI值分成以下五组：)12,16，)16,

20，)20,24，)24,28，28,32，得到相应的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，求a的值，并估计该社区居民身体质量指数BMI的样本数据的80%分位数；（2）现从样本中利用分层抽样的方法从)16,20，)24,28的两组中抽取6名居民，再从这6人中随机抽取2

人，求抽取到2人的BMI值不在同一组的概率．【答案】（1）0.04a=，80%分位数为26.5（2）815【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积和为1求出0.04a=，再根据频率分布直方图求百分位数步骤求解即可；（2）先按照分层抽样在)16,20，)

24,28分别抽取2人和4人，再应用古典概型计算可解.【小问1详解】根据频率分布直方图可知组距为4，所有矩形面积和为1，所以()0.010.10.080.0241a++++=，解得0.04a=因为)12,16，)16,20，)20,24三组频率之和为()0.010.040.140.60.

8++=，而)12,16，)16,20，)20,24，)24,28，四组的频率之和为0.60.0840.920.8+=，故样本数据的80%分位数在)2428，内，设为x，则0.6(24)0.080.8x+−=，解得26.5x=

，即该社区居民身体质量指数的样本数据80%分位数为26.5.【小问2详解】由频率分布直方图可知)16,20的频数为1000.04416=，)24,28的频数为1000.08432=，所以两

组人数比值为1:2，按照分层抽样抽取6人，则在)16,20，)24,28分别抽取2人和4人，记)16,20这组两个样本编号为12{,}aa，)24,28这组编号为1234,,,bbbb，故从6人随机抽取2人所有可能样本的构成样本

空间：()()()()()()()()()()()()121112131421222324121314Ω{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,aaababababababababbbbbbb=，()()()232434,,,,,}bbbbbb设事件A=“从6个人中随机抽取2人，

抽取到2人的BMI值不在同一组”，则()()()()()()()()1112131421222324,,,,,,,,,,,,,,,Aabababababababab=，故()815PA=，即从这6个人中随机抽取2人，抽取到2人的

BMI值不在同一组的概率为815.21.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，90ACB=，12ACBCCC===．（1）求证：11ABBC⊥；（2）求点B到平面11ABC的距离．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出11,ABB

C的坐标后利用它们的数量积为零可证异面直线的垂直.（2）求出平面11ABC的法向量和AB的坐标后可求点面距.【小问1详解】建立直角坐标系，其中C为坐标原点.依题意得11(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)ABBC，因为11(2,2,2)(0,2,2)0ABBC

=−−=，所以11ABBC⊥.【小问2详解】设()1111,,nxyz=是平面11ABC的法向量，由11110,0nABnAC==得1111100xyzxz−++=−+=所以1110yxz==，令11z=，则1(1,0,1)n=，因为(2,2,0)AB=−，所以B到平面1

1ABC的距离为12122211nABnd−===+.22.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，//ADBC，ADDC⊥，PAPDPB==，122BCDCAD===，E为AD的中点，且4PE=．记PE的中点为N，若M

在线段BC上（异于B、C两点）．（1）若点M是BC中点，证明：//MN平面PCD；（2）若直线MN与平面PAB所成角的正弦值为39，求线段BM的长．【答案】（1）证明见解析（2）211BM=【解析】【分析】（1）取线段P

D的中点G，连接NG、CG，然后证明四边形CGNM为平行四边形，从而//MNCG，从而//MN平面PCD.（2）以点E为坐标原点，EA、EB、EP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出

线段BM的长.【小问1详解】证明：取线段PD的中点G，连接NG、CG，因为//ADBC，12BCAD=，因为E为AD的中点，则//BCDE且BCDE=，因为M为BC的中点，则//CMDE且12CMDE=，因为N、G分别

为PE、PD的中点，所以，//NGDE且12NGDE=，所以，//CMNG且CMNG=，所以，四边形CGNM为平行四边形，则//MNCG，因为MN平面PCD，CG平面PCD，所以，//MN平面PCD.【

小问2详解】连接BE，因为//ADBC，12BCAD=，E为AD的中点，则//BCDE且BCDEAE==，所以，四边形BCDE为平行四边形，所以，//BECD，且BECD=，因为12CDADAE==，则AEBE=，又因为ADCD⊥，则BEAD⊥，因为PAPD=，E为AD的中点，则PEAD

⊥，因为PAPB=，EAEB=，PEPE=，所以，PAEPBE△≌△，所以，90PEBPEA==，则PEBE⊥，又因ADBEE=，AD、BE平面ABCD，所以，PE⊥平面ABCD，为以点E为坐标原点，EA、EB、EP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标

系，则()2,0,0A、()0,2,0B、()0,0,4P、()0,0,2N，设()02BMaa=，则(),2,0Ma−，()2,2,0AB=−，()2,0,4AP=−，设平面PAB的法向量为(),,mxyz=，则220240mABxymA

Pxz=−+==−+=，取2x=，可得()2,2,1m=，(),2,2MNa=−，若直线MN与平面PAB所成角的正弦值为39，则2223cos,983MNnaMNnMNna−===+，整理可得2112440aa−+=，因为02a，解得211a=，故21

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