【文档说明】《黑龙江中考真题数学》黑龙江省大庆市2021年中考数学真题（解析版）.docx，共(30)页，1.603 MB，由envi的店铺上传

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2021年大庆市初中升学考试数学一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序母填涂在答题卡上）1.在，12，3−，47这四个数中，整数

是（）A.B.12C.3−D.47【答案】C【解析】【分析】根据整数分为正整数、0、负整数，由此即可求解．【详解】解：选项A：是无理数，不符合题意；选项B：12是分数，不符合题意；选项C：3−是负整数，符合题意；

选项D：47是分数，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了有理数的定义，熟练掌握整数分为正整数、0、负整数是解决本题的关键．2.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合

即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．详解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此

图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．故选A．点睛：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．3.北京故宫的占地面积约为720000m2，将7200

00用科学记数法表示为().A.72×104B.7.2×105C.7.2×106D.0.72×106【答案】B【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【详解】

解：将720000用科学记数法表示为7.2×105．故选B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.下列说法正确的是（）A.||x

xB.若|1|2x−+取最小值，则0x=C.若11xy−，则||||xyD.若|1|0x+，则1x=−【答案】D【解析】【分析】根据绝对值的定义和绝对值的非负性逐一分析判定即可．【详解】解：A．当0x=时，||=xx，故该项

错误；B．∵10x−，∴当1x=时|1|2x−+取最小值，故该项错误；C．∵11xy−，∴1x，1y，∴||||xy>，故该项错误；D．∵|1|0x+且|1|0x+，∴|1|0x+=，∴1x=−，故该项正确；故选：D．【点睛】本题考查绝对值，掌

握绝对值的定义和绝对值的非负性是解题的关键．5.已知0ba，则分式ab与11ab++的大小关系是（）A.11aabb++B.11aabb+=+C.11aabb++D.不能确定【答案】A【解析】【分

析】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解．【详解】解：()()()()111111abbaaaabbbbbbb+−++−−==+++，∵0ba，∴()1011aaabbbbb+−−=++，∴11aabb++，故选：A．【点睛】本题考查分式的大小比较，掌握作差法

是解题的关键．6.已知反比例函数kyx=，当0x时，y随x的增大而减小，那么一次的数ykxk=−+的图像经过第（）A.一，二，三象限B.一，二，四象限C.一，三，四象限D.二，三，四象限【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的增减性得到0

k，再利用一次函数的图象与性质即可求解．【详解】解：∵反比例函数kyx=，当0x时，y随x的增大而减小，∴0k，∴ykxk=−+的图像经过第一，二，四象限，故选：B．【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，掌握反比例函数和一次函数的图象与性质

是解题的关键．7.一个儿何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形

的数目为俯视图中该列小正方数字中最大数字，从而可得出结论．【详解】由已知条件可知：主视图有3列，每列小正方形的数目分别为4，2，3，根据此可画出图形如下：故选：B．【点睛】本题考查了从不同方向观察物体和几何图像，是

培养学生观察能力．8.如图，F是线段CD上除端点外的一点，将ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90，得到ABE△．连接EF交AB于点H．下列结论正确的是（）A.120EAF=B.:1:3AEEF=C.2AFEHEF=D.::EBADEHHF=【答案】D【解析】【分析】

根据旋转的性质可以得到△EAF是等腰直角三角形，然后根据相似三角形的判定和性质，以及平行线分线段成比例定理即可作出判断．【详解】解：根据旋转的性质知：∠EAF=90°，故A选项错误；根据旋转的性质知：∠EAF=90°，EA=AF，则△E

AF是等腰直角三角形，∴EF=2AE，即AE：EF=1：2，故B选项错误；若C选项正确，则22•AFAEEHEF==，即EAEFEHEA=，∵∠AEF=∠HEA=45°，∴△EAF~△EHA，∴∠EAH=∠EFA，而∠EFA=45°，∠EAH45°，∴∠EAH∠EFA，∴假设不成立，故

C选项错误；∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，即BH∥CF，AD=BC，∴EB：BC=EH：HF，即EB：AD=EH：HF，故D选项正确；故选：D【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正确运用反证法是

解题的关键．9.小刚家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的总支出2019年的总支出增加了2成，则下列说法正确的是（）A.2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍；B.2020年衣食方面的支出

比2019年衣食方面的支出增加了10%；C.2020年总支出比2019年总支出增加了2%；D.2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同．【答案】A【解析】【分析】设2019年总支出为a元，则2

020年总支出为1.2a元，根据扇形统计图中的信息逐项分析即可．【详解】解：设2019年总支出为a元，则2020年总支出为1.2a元，A．2019年教育总支出为0.3a，2020年教育总支出为1.235%0

.42aa=，0.420.31.4aa=，故该项正确；B．2019年衣食方面总支出为0.3a，2020年衣食方面总支出为1.240%0.48aa=，()0.480.30.353%aaa−，故该项错误；C．2020年总支出比2019年总支出增加了2

0%，故该项错误；D．2020年其他方面的支出为1.215%0.18aa=，2019年娱乐方面的支出为0.15a，故该项错误；故选：A．【点睛】本题考查扇形统计图，能够从扇形统计图中获取相关信息是解题的关键．10.已知函数()211yaxax=

−++，则下列说法不正确的个数是（）①若该函数图像与x轴只有一个交点，则1a=②方程()2110axax−++=至少有一个整数根③若11xa，则()211yaxax=−++的函数值都是负数④不存在实数a，使得()2110axax−++对任意实数x都成立A.0B.1C.2D.3【答案

】C【解析】【分析】对于①：分情况讨论一次函数和二次函数即可求解；对于②：分情况讨论a＝0和a≠0时方程的根即可；对于③：已知条件中限定a≠0且a＞1或a＜0，分情况讨论a＞1或a＜0时的函数值即可；对于④：分情况讨论a＝0和a≠0时函数的最大值是否小于等于0即可．【详解】解：对于

①：当a＝0时，函数变为1yx=−+，与x只有一个交点，当a≠0时，22(1)4(1)0aaaD=+-=-=，∴1a=，故图像与x轴只有一个交点时，1a=或0a=，①错误；对于②：当a＝0时，方程变为10x−+=，有一个整数根为1x=

，当a≠0时，方程()2110axax−++=因式分解得到：(1)(1)0axx−−=，其中有一个根为1x=，故此时方程至少有一个整数根，故②正确；对于③：由已知条件11xa得到a≠0，且a＞1或a＜0当a＞1时，()211yaxax=−++开口向上，对称轴为111222axaa+=

=+，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，∵1111222aa+=+，∴1,1xxa==离对称轴的距离一样，将1x=代入得到0y=，此时函数最大值小于0；当a＜0时，()211yaxax=−++开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，∴1122xa=+时，函数

取得最大值为2224(1)21(1)444aaaaayaaa−+−+−−===−，∵a＜0，∴最大值2(1)04aa−−，即有一部分实数x，其对应的函数值0y，故③错误；对于④：a＝0时，原不等式变形为：10x−+对任意实数x不一定成立

，故a＝0不符合；a≠0时，对于函数()211yaxax=−++，当a＞0时开口向上，总有对应的函数值0y，此时不存在a对()2110axax−++对任意实数x都成立；当a＜0时开口向下，此时函数的最大值为2224(1)21(1)

444aaaaaaaa−+−+−−==−，∵a＜0，∴最大值2(1)04aa−−，即有一部分实数x，其对应的函数值0y，此时不存在a对()2110axax−++对任意实数x都成立；故④正确；综上所述，②

④正确，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键．二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1

1.()42=-________【答案】4【解析】【分析】先算4(2)−，再开根即可．【详解】解：()42-2222=16=4=故答案是：4．【点睛】本题考查了求一个数的4次方和对一个实数开根号，解题的关键是：掌握相关的运算法则．12.已知0234xyz==，则2xxyyz+=__

______【答案】56【解析】【分析】设234xyzk===，再将,,xyz分别用k的代数式表示，再代入约去k即可求解．【详解】解：设0234xyzk===，则234xkykzk===，，，故2222222(2)2

3461053412126xxykkkkkkyzkkkk+++====，故答案为：56．【点睛】本题考查了比例的性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键．13.一个圆柱形橡皮泥，底面积是212cm．高是5cm．如果用这个橡皮

泥的一半，把它捏成高为5cm的圆锥，则这个圆锥的底面积是______2cm【答案】18【解析】【分析】首先求出圆柱体积，根据题意得出圆柱体积的一半即为圆锥的体积，根据圆锥体积计算公式列出方程，即可求出圆锥的底面积．【详解】Ｖ圆柱＝Sh=212560cm?，这个橡皮泥的一半体积为：2160302Vc

m=?，把它捏成高为5cm的圆锥，则圆锥的高为5cm，故1303Sh=，即15=303Sg，解得=18S（cm2），故填：18．【点睛】本题考查了圆柱的体积和圆锥的体积计算公式，解题关键是理解题意，熟练掌握圆柱体积和圆锥体积

计算公式．14.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【解析】【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2nn−．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直

线相交最多有1123322+==个交点；4条直线相交最多有11236432++==个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==个交点；20条直线相交最多有120191902=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规

律，即n条直线相交最多有1(1)2nn−．15.三个数3，1,12aa−−在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为______【答案】32a−−【解析】【分析】根据三个数在数轴上的位置得到3112aa

−−，再根据三角形的三边关系得到1312aa−+−，求解不等式组即可．【详解】解：∵3，1,12aa−−在数轴上从左到右依次排列，∴3112aa−−，解得2a−，∵这三个数为边长能构成三角形，∴1312aa−+−，解得3a−，综上所述，a的取值范围为32a−−，

故答案为：32a−−．【点睛】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键．16.如图，作O的任意一条直经FC，分别以FC､为圆心，以FO的长为半径作弧，与O相交于点EA､和DB､，顺次连接ABBCCDDEEFFA,,,,,，得到六边形ABCDEF，则O

的面积与阴影区域的面积的比值为______；【答案】233【解析】【分析】可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设⊙O的半径与等边三角形的边长为a，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解【详解】连接OE，OD，OB，OA，由题可得：EFOFOEFAOAABOBBCOC

CDOD==========,,,,,EFOOFAOABOBCOCD△△△△△△ODE为边长相等的等边三角形可将图中阴影部分的面积转化为ODE和OAB的面积之和，如图所示：设⊙O的半径与等边三角形的边长为a，⊙O的面积为22Sra==等边OED与等边

OAB的边长为a234OABaSS==△OED△23=2OEDOABaSSS+=△△阴⊙O的面积与阴影部分的面积比为2223=332SaSa=阴故答案为：233．【点睛】本题考查了图形的面积转换，等边三角形面积以及圆面积的求法，将不规则图形的面积转换成规

则图形的面积是解题关键．17.某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天

共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共________间；【答案】18．【解析】【分析】根据客房数×相应的收费标准=1310元列出方程并解答．【详解】解：设住了三人间普通客房x间，则住了两人间普通客房

4632x-间，由题意，得：1500.5x×+1400.5×46-32x×=1310，解得：x=10，则：4632x-=8，所以，这个旅游团住了三人间普通客房10间，住了两人间普通客房8间，共18间．故答案

为：18．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，利用已知得出等式方程是解题关键．18.已知，如图1，若AD是ABC中BAC的内角平分线，通过证明可得=ABBDACCD，同理，若AE是ABC中BAC的外角平分线，通过探究也有类似的

性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在ABC中，2,3,BDCDAD==是ABC的内角平分线，则ABC的BC边上的中线长l的取值范围是________【答案】1522l【解析】【分析】根据题意得到2=

3ABAC，反向延长中线AE至F，使得AEEF=，连接CF，最后根据三角形三边关系解题．【详解】如图，反向延长中线AE至F，使得AEEF=，连接CF，2,3,BDCDAD==是ABC的内角平分线，2=3AB

ACDEECAEBCEFAEEF===()ABEFECSASABCF=由三角形三边关系可知，ACCFAFACCF−+15AF1522AE故答案为：1522l．【点睛】本题

考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．三．解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解有时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.计算()2222sin451−+−−【答案

】1【解析】【分析】直接利用去绝对值符号、特殊角度的三角函数值、负整数的平方运算计算出结果即可．【详解】解：()2222sin451−+−−222212=−+−1=故答案是：1．【点睛】本题考查了去绝对值符号、特殊角度的三角函数值、负整数的平方运算法则，解题的关键

是：掌握相关的运算法则．20.先因式分解，再计算求值：328xx−，其中3x=．【答案】()()222+−xxx，30【解析】【分析】先利用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入x的值即可．【详解】解：()()()322824222xxxxxxx−=−=+−，当3x=时，原式235130=

=．【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．21.解方程：542332xxx+=−−【答案】1x=【解析】【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】方程两边乘23x−，得：

54(23)xx−=−，解得：1x=，检验：当1x=时，230x−．∴1x=是原分式方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．22.小明在A点测得C点在A点的北偏西75方向，并由A点向

南偏西45方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5方向，求,AC两点之间的距离．（结果保留0.1km，参数数据31.732）

【答案】2.3km【解析】【分析】根据题中给出的角度证明△CDB为等腰三角形，得到CB=DB=2，再证明△CBA为30°，60°，90°直角三角形，最后根据3sinsin602CBCABAC?==即可求出AC的长．【详解】解：如下图所示，由题意可知：∠EAC=75°，∠FAB=∠NBA

=45°，∠CBN=45°，DB=2km，∠MDC=22.5°，在△BCD中，∠CDB=90°-∠MDC=90°-22.5°=67.5°，∠CBD=90°-∠CBN=90°-45°=45°，∠DCB=180°-∠CDB-∠CBD=180°-67.5°-45°=67.5°，∴∠DCB=∠CDB

，△CDB为等腰三角形，∴CB=DB=2，在△CBA中，∠CBA=∠CBN+∠NBA=45°+45°=90°，∴△CBA为直角三角形，又∠CAB=∠CAG+∠GAB=(90°-∠EAC)+∠GAB=(90°-75°)+45°=60°，∴△CB

A为30°，60°，90°直角三角形，∴3sinsin602CBCABAC?==，代入2CB=，∴432.33AC=?(km)，故,AC两点之间的距离为2.3km．【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形，读懂题意

，将题中信息转化成已知条件，本题中得出△CDB为等腰三角形是解题的关键．23.如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲

，乙两个水槽中水的深度()cmy与注水时间()minx之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：（1）图②中折线EDC表示_____________槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段AB表示_____

________槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为_____________cm．（2）注入多长时间，甲､乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）【答案】（1）乙，甲，16；（2）2分钟【解析】【分析】（1）根据图象分析可知水

深减少的图象为甲槽的，水深增加的为乙槽的，并水深16cm之后增加的变慢，即可得到铁块的高度；（2）利用待定系数法求出两个水槽中水深与时间的解析式，即可求解．【详解】解：（1）图②中折线EDC表示乙槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段AB表

示甲槽中水的深度与放出时间之间的关系；铁块的高度为16cm．（2）设甲槽中水的深度为111ykxb=+，把()0,14A，()7,0B代入，可得1111470bkb=+=，解得11214kb=−=，∴甲槽中水的深度为1214yx=−+，根据图象可知乙槽和甲槽水深相同时，在DE段，

设乙槽DE段水的深度为222ykxb=+，把()0,4E，()4,16D代入，可得2224416bkb=+=，解得2234kb==，∴甲槽中水的深度为234yx=+，∴甲､乙两个水槽中水的深度相同时，2143

4xx−+=+，解得2x=，故注入2分钟时，甲､乙两个水槽中水的深度相同．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，根据题意理解每段函数对应的实际情况是解题的关键．24.如图，在平行四边形ABCD中，3AB=，点E为线段

AB的三等分点（靠近点A），点F为线段CD的三等分点（靠近点C，且CEAB⊥．将BCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G，且DCDG=．（1）证明：四边形AECF为矩形；（2）求四边形AECG的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）7

34【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得//ABCD，ABCD=，根据题意三等分点可得AECF=，根据对边平行且相等得到四边形AECF为平行四边形，再根据一个角为90°的平行四边形是矩形即可得证

；（2）根据角度关系可得'BAG是等边三角形，'BBC是等边三角形，利用割补法即可求出面积．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴//ABCD，ABCD=，∵点E为线段AB的三等分点（靠近点A），点F为线段CD的三等分点（靠近点C），∴13AEAB=，13CFCD=，∴A

ECF=，∴四边形AECF为平行四边形，∵CEAB⊥，∴四边形AECF为矩形；（2）∵3AB=，点E为线段AB的三等分点（靠近点A），∴1AE=，2BE=，∵将BCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G，∴'24BBBE==，'BB=，∵DCDG=，∴DGCD

CG=，∵//ABCD，∴'BDCG=，''BAGDBB===，∴'''BAGBBGA==，∴'BAG是等边三角形，'BBC是等边三角形，作B'H⊥AG于H，∴33''22BHAB==，3232CEBC==，∴''1137323212224AE

CGCEBGABSSS=−=−=．【点睛】本题考查矩形的判定、割补法求面积、解直角三角形，掌握上述性质定理是解题的关键．25.某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛

中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下：甲：92，95，96，88，92，98，99，100乙：100，87，92，93，9▆，95，97，98由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，

（1）求甲成绩的平均数和中位数；（2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛．【答案】（1）平均数为95分，中位数为95.5分；（2）45；（3）甲【解析】【分析】（1）根据平均数

和中位数的定义求解即可；（2）设乙成绩模糊不清的分数个位数为a，求出乙成绩的平均数，解不等式得到a的范围，利用概率公式即可求解；（3）利用方差公式求出甲和乙的方差，选方差较小的即可．【详解】解：（1）甲成绩的平均数为：5929596889298

9910098+++++++=；甲成绩从小到大排列为：88，92，92，95，96，98，99，100，∴甲成绩的中位数为：959695.52+=；（2）设乙成绩模糊不清的分数个位数为a，（a为0-9的整数）则乙成绩的

平均数为：8100879293909759758829aa+++++++=++，当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时，即752958a+，解得8a，∴a的值可以为0~7这8个整数∴P(甲成绩的平均数大于乙

成绩的平均数)84=105=；（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，752958a+=，解得8a=，此时乙的平均数也为95，∴甲的方差为：()()()()()()()()22222222219

295959596958895929598959995100958s=−+−+−+−+−+−+−+−甲()19014999162514.758=+++++++=；乙的方差为：()()()()()()()()22222222211009587959295939598959595979598

958s=−+−+−+−+−+−+−+−乙()1256494914915.58=+++++++=，∵22ss甲乙，∴甲的成绩更稳定，故应选甲参加数学竞赛．【点睛】本题考查求平均数、中位数和方差，以及概

率公式，掌握求平均数、中位数和方差的公式是解题的关键．26.如图，一次函数ykxb=+的图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数4yx=的图像交于,PD两点．以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已知BOD的面积与AOB的面积之比为1:4．（1）求一

次函数ykxb=+的表达式：（2）求点P的坐标及CPD△外接圆半径的长．【答案】(1)344yx=−+；(2)点P的坐标为4(,3)3；CPD△外接圆半径的长为5136【解析】【分析】(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF

∥y轴交EF于F点，证明△ABF≌△DAE，4(,)(0)Daaa>，BOD的面积与AOB的面积之比为1:4得到16OAa=，进而得到16=aa，求出A、D两点坐标即可求解；(2)联立一次函数与反比例函数解析式即可求出P点坐标；再求出C点坐标，进而求出C

P长度，Rt△CPD外接圆的半径即为CP的一半．【详解】解：(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，如下图所示：∵BOD与AOB有公共的底边BO，其面积之比为1:4，∴DH:OA=1:4，设4(

,)(0)Daaa>，则416=DHOAOHAEaaa===，，，∵ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAF+∠EAD=90°，∵∠BAF+∠FBA=90°，∴∠FBA=∠EAD，在△ABF和△DAE中：==90=FEFBAEADABAD=,∴△

ABF≌△DAE(AAS)，∴BFAEOAa===又16OAa=，∴16=aa，解得4a=(负值舍去)，∴(0,4)(4,1)AD，，代入ykxb=+中，∴4014bkb=+=+，解得344kb=−=，∴一次函数

的表达式为344yx=−+；(2)联立一次函数与反比例函数解析式：3444yxyx=−+=，整理得到：2316160xx−+=，解得143x=，24x=，∴点P的坐标为4(,3)3；D点的坐标为（4,1

）∵四边形ABCD为正方形，∴2222=435DCADAEDE=+=+=，且2224100(4)(31)39PD=-+-=，在RtPCD中，由勾股定理：2221003252599PCDCPD=+=+=，∴5133PC=，又△CPD为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边PC的中点处，∴

△CPD外接圆的半径为5136．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，勾股定理求线段长，本题属于综合题，解题的关键是正确求出点A、D两点坐标．27.如图，已知AB是O的直径．BC是O的弦，弦ED垂直

AB于点F，交BC于点G．过点C作O的切线交ED的延长线于点P（1）求证：PCPG=；（2）判断2PGPDPE=是否成立？若成立，请证明该结论；（3）若G为BC中点，5OG=，5sin5B=，求DE的长．【答案】（1）见解

析；（2）结论成立，见解析；（3）46【解析】【分析】（1）连接OC，可得BOC为等腰三角形，则BOCB=，结合垂经定理和切线的性质可得90OCPBFG==，从而可得BGFPCG=，即可得到结论；（2）连接EC

，CD，CO并延长CO交⊙O于点H，连接DH，证明PCDPEC∽，在结合（1）中的结论即可求解；（3）连接OD，OG，根据垂经定理的推论得出OGBG⊥，BFGO=，在RtBOG△中利用三角函数求出

⊙O的半径，在RtOF△G中利用三角函数即可求得OF长，在利用勾股定理求出FD，从而可求DE【详解】（1）如图：连接OCBOC为等腰三角形BOCB=EDAB⊥，PC切⊙O于点C90OCPBFG

==90,90OCBPCGBBGF+=+=BGFPCG=BGFPGC=PGCPCG=PCPG=（2）结论成立；理由如下；如图：连接EC，CD，CO并延长CO交⊙O于点H，连接DHCH为⊙O的直径90HDC

=PC切⊙O于点C90HCP=90,90HHCDPCDHCD+=+=HPCD=HE=EPCD=PEC△PCD∽△PCPDPEPC=PCPG=2PGPDPE=（3）如图：连接OD，OG，G为BC中点OGBC⊥90

BGO=55,sin5OGB==55sin5OGBOBOB===5OB=5OBOD==EDAB⊥与点F2EDFD=90OFG=90,90BOGFGOBBOG+=+=BFGO=5sin55OFOFFGO

OG===1OF=在RtOFD中有222ODOFFD=+22251FD=+26FD=46DE=【点睛】本题考查了垂经定理及推论，相似三角形的判定和性质，切线的性质，以及解直角三角形等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练掌握各部分内容，将所学知识贯穿起来．28.如图，抛物线2yax

bxc=++与x轴交于除原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为()2,1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线2yaxbxc=++上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线2y=−的距离总相等．①证明上述结论并求出点F的坐

标；②过点F的直线l与抛物线2yaxbxc=++交于,MN两点．证明：当直线l绕点F旋转时，11MFNF+是定值，并求出该定值；（3）点()3,Cm是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点,PQ，使四边形PQBC周长最小，直接写出,PQ的坐标．【答案】（1）214yxx=

−；（2）()2,0F；111MFNF+=，证明见解析（3）6,07P，30,10Q−【解析】【分析】（1）先求出顶点B的坐标为()2,1−，在设抛物线的解析式为()221yax=−−，根据抛物线过原点，即可求出其解析式；（2）①设点F坐标为()2,b，点G坐标

为21,4aaa−，利用两点间距离公式，结合题目已知列出等量关系；②设直线l的解析式为()2ykx=−，直线l与抛物线交于点,MN，直线方程与抛物线联立得出224,4MNMNyykyyk+==

−，在结合①的结论，分别表示出,MFNF的值，即可求解；（3）先求出点C的坐标，分别作点C关于x轴的对称点C，点B关于y轴的对称点B，连接BC，交x轴于点P，交y轴于点Q，则点,PQ即为所求【详解】解：（1）点B关于x轴对称点的坐标为()2,1点B的坐标为()2

,1−设抛物线的解析式为()221yax=−−抛物点过原点()20021a=−−解得14a=抛物线解析式为：()21214yx=−−即214yxx=−（2）①设点F坐标为()2,b，点G坐标为21,4aaa−由题意可得：()22221122

44aaabaa−+−−=−+整理得：2202abab−−=0b=点F的坐标为()2,0②设直线l的解析式为()2ykx=−，直线l与抛物线交于点,MN()2142yxxykx=−=−21224ykykykk++=−整理得：222440

ykyk−−=224,4MNMNyykyyk+==−由①得2,2MNMFyNFy=+=+111122MNMFNFyy+=+++整理得：()41124MNMNMNyyMFNFyyyy+++=+++221144144kMFNFk++==+（3）点()3,Cm在抛物线214

yxx=−上，1393=44m=−−33,4C−如图：作点C关于x轴的对称点C，点B关于y轴的对称点B则点33,4C，点B()2,1−−，连接BC，交x轴于点P，交y轴于点Q，则此时四边形PQBC周

长最小设直线BC的解析式为ykxb=+21334kbkb−+=−+=解得310720bk=−=直线BC的解析式为732010yx=−点P坐标为6,07，点Q坐标为3

0,10−【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，点到直线的距离，两点间距离公式，以及线段最值问题，以及点的对称问题，综合性较强获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xian

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