【文档说明】河北省衡水市武强中学2025届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(14)页，681.896 KB，由小赞的店铺上传

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武强中学2024-2025学年度上学期期中考试高三数学试题一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U=R，集合0,1,2,3A=，1ln(1)2Bxx=+，则AB=（）A

.3B.1,2C.2,3D.1,2,3【答案】C【解析】【分析】由对数函数的性质求出集合B，再集合交集的概念求解可得答案.【详解】由题意得2e1e1Bxx=−−，又因为e2.7，所

以24e9，所以2,3AB=，故选：C.2.若角为第二象限角，2tan4=−，则cos=（）A.223B.223−C.13D.13−【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系得到方程组，解得即可.【详解】因为2

2sincos1+=，sin2tancos4==−，又角为第二象限角，解得22cos3=−.故选：B3.已知1i+是关于x的方程20xaxb−+=的一个根，,ab挝RR，则ab+=（）A.0B.2C.1D.4【答案】D【解析

】【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【详解】因为1i+是关于x的方程20xaxb−+=的一个根，,ab挝RR，所以1i−是关于x的方程20xaxb−+=的一个根，于是有()()1i1i241i1i2aaabbb++−==+=+−==

，故选：D4.若1sin()6−=，且tan2tan=，则sin()+=（）A.32B.22C.23D.12【答案】D【解析】【分析】利用正弦差角公式结合弦切关系分别计算sincos,cossin，再根据和角公式计算即可.【详解】因为1sin()sinc

oscossin6−=−=，又tan2tan=，即sin2sincoscos=，则sincos2cossin=，所以11sincos,cossin36==，故111sin()sinco

scossin362+=+=+=.故选：D5.已知函数()()e1xfxfx=−，则（）A.()e12f=−B.()e12f=−C.()22eef=−D.()22eef=−【答案】C【解析】【分析】求导，通过赋值逐项判断即可.【详

解】因为()()e1xfxfx=−，所以()()e1xfxf=−，的则()()1e1ff=−，所以()e12f=，则()ee2xfxx=−，所以()()()22ee1,2e,2ee22fff==−=−

.故选：C6.若1,22x，使得2310xx−+成立是真命题，则实数的最大值为（）A.72B.23C.4D.132【答案】B【解析】【分析】依据题意先将问题等价转化成13xx+在1,22x上恒成立，接着将恒成立问

题转化成最值问题min113,,22xxx+，再结合基本不等式即可求解.【详解】1,22x，使得2310xx−+成立是真命题，所以1,22x,2310xx−+恒成立.所以13xx

+在1,22x上恒成立，所以min113,,22xxx+，因为1132323xxxx+=，当且仅当13xx=即31,232x=时等号成立，所以min1323xx+=，所以23，即实数的最

大值为23.故选：B.7.已知圆22:4640Cxyxy+−−+=关于直线():100laxbyab+−=对称，则1123ab+的最小值是（）A.2B.3C.6D.4【答案】D【解析】【分析】转化为直线l过圆心即231

ab+=，再利用基本不等式可得答案.【详解】因为圆()()22:239Cxy−+−=关于直线():100laxbyab+−=对称，所以直线l过圆心()2,3，即231ab+=，则()111123223232323+=++=++aba

bababab因为0ab，且231ab+=，所以0,0ab，所以1122242323332232+=+++=abbabababa，当且仅当3232=abab即11,46ab==等号成立，则1123ab+的最小值是4.故选：D.8.若函数()2log1,13

(),3xxfxaxxx+−=+，在(1,)−+上单调递增，则a的取值范围是（）A.3,9−B.)3,−+C.0,9D.(,9−【答案】A【解析】【分析】根据对数函数性质判断13x−

上()fx的单调性和值域，结合其区间单调性及分式型函数的性质，讨论参数确定参数范围.【详解】当13x−时，2log(1)yx=+单调递增且值域为(,2]−，而()fx在(1,)−+上单调递增，则ayxx=+在(3,)+上单调递增，且3233a

a+−，当30a−时，ayxx=+在(3,)+上单调递增，满足题设；当0a时，ayxx=+在(,)a+上单调递增，此时只需3a，即09a；综上，39a−.故选：A二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在

每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.设正实数,mn满足1mn+=，则（）A.12mn+的最小值为322+B.mn+的最大值为2C.m

n的最大值为14D.22mn+的最小值为12【答案】ABD【解析】分析】运用基本不等式逐一运算判断即可.【详解】对于A，因为正实数,mn，满足1mn+=，所以()121223322nmmnmnmnmn+=++=+++，当且仅当2nmmn=且1mn+=

，即21m=−，22n=−时等号成立，故A正确；对于B，()222mnmnmnmnmn+=+++++=，则2mn+，当且仅当12mn==时等号成立，故B正确；对于C，12mnmn=+，12mn，当且仅当

12mn==时等号成立，所以mn的最大值为12，故C错误；对于D，由2222mnmn++，可得()222122mnmn++=，当且仅当12mn==时等号成立，故D正确.故选：ABD.10.已知函数()sin3cos(0)fxxx=+的最小正周期为π，则（）A.()f

x的最大值为2B.()fx在ππ,36−上单调递增【C.()fx的图象关于点π,06−中心对称D.()fx的图象可由2cos2yx=的图象向右平移π12个单位得到【答案】ACD【解析】【分析】利用辅

助角公式及周期公式可得函数解析式，根据三角函数的值域、单调性、对称性及图象变换一一判定选项即可.【详解】易知()πsin3cos2sin3fxxxx=+=+，其最小正周期为2ππT==，所以2=，即()π2

sin23fxx=+，显然()2fx，故A正确；令()πππππ22π,2ππ,πZ3221212xkkxkkk+−++−++，显然区间ππ,36−不是区间()πππ,πZ1212kkk−++

的子区间，故B错误；令ππ2063xx=−+=，则π,06−是()fx的一个对称中心，故C正确；将2cos2yx=的图象向右平移π12个单位得到()πππππcos2cos2sin2sin2126263yxxxxfx

=−=−=+−=+=，故D正确.故选：ACD11.已知函数()32142fxxxx=+−，则（）A.2x=是()fx的极小值点B.()fx有两个极值点C.()fx的极小值为1D.()fx在

0,2上的最大值为2【答案】BD【解析】【分析】对应()fx求导，根据其符号确定单调区间并判断极值点、求极值判断ABC；进而求函数在0,2上的最大值判断D.【详解】由题设2()34(34)(1)fxxxxx=+−=+−

，令()0fx，则43x−或1x，令()0fx，则413x−，所以4(,)3−−、(1,)+上()fx递增，4(,1)3−上()fx递减，故4104327f−=为极大值，

5(1)2f=−为极小值，A、C错误，B正确；在0,2上，()fx在[0,1)上递减，在(1,2]上递增，而(0)0(2)2ff==，所以()fx在0,2上的最大值为2，D正确.故选：BD三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已

知曲线()2lnxfxxa=+在点()()1,1f处的切线的倾斜角为π3,则a的值为______.【答案】31+##13+【解析】【分析】对原函数进行求导,1x=代入得出切线斜率.曲线()fx在1x=处的切线倾斜角为π3可得出斜率.构造关于a的方程，解方

程即可.【详解】曲线()2lnxfxxa=+的导数()12xfxxa+=,∵曲线()fx在1x=处的切线的倾斜角为π3,∴()2113fa=+=,∴231a=−,∴31a=+故答案为:31+.13.已知函数π()sin(0)3fxx=

−图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，若()fx在(,)mm−上是增函数，则正数m的取值范围是_______.【答案】π0,12【解析】【分析】根据正弦型函数对称轴与周期的关系，结合正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为函数π()sin(0)3fxx

=−图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以2π1π22=，解得2=，即()πsin23fxx=−，因为()fx在(,)mm−上是增函数，则0m，所以函数()πsin23fxx=−的增区间包含0，令πππ2232x−−，得π

51212πx−，所以()π5π,,1212mm−−，所以5π,12π,12mm−−故m的取值范围为π0,12.故答案为：π0,1214.已知a、b、c分

别为ABCV的三个内角A、B、C的对边，2a=，且()(sinsin)()sinabABcbC+−=−，则ABCV面积的最大值为______．【答案】3【解析】【分析】先求出角A的大小，由1sin2SbcA=，考虑余弦定理建立,

bc的方程，再由基本不等式求bc的最大值.【详解】解析：因为()(sinsin)()sinabABcbC+−=−，根据正弦定理可知(ab)()(cb)abc+−=−，即222bcabc+−=，由余弦定理

可知1cos2A=，又(0,π)A，故π3A=，又因为2a=，所以224bcbc+−=，2242bcbcbcbcbc=+−−=（当且仅当bc=时取等号），即4bc所以113sin43222SbcA=

=，即ABCV面积的最大值为3，故答案为：3.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.在ABCV中，角、、ABC的对边分别为abc、、，面积为S，且()22243Sbac=−−.（1）求B；（2）若

2a=，27b=，D为AC边的中点，求BD的长.【答案】（1）2π3（2）3【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理计算即可；（2）利用余弦定理先求c，结合平面向量数量积公式及其运算律计算即可【小问1详解】由三角形面积公式及条件可知：()222432sin

SbacacB=−−=，由余弦定理知2222cosbacacB−−=−，所以3cossintan3BBB−==−，因为()0,πB，所以2π3B=；【小问2详解】结合（1）的结论，根据余弦定理有22222c

os2240acbacBcc+−=−−=，所以4c=，易知2BDBABC=+uuuruuruuur，所以222142164224122BDBABCBABC=++=++−=，即3BD=..16.设三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a

、b、c且()2sin23sin2ABC+=．（1）求角A的大小；（2）若3b=，BC边上的高为3217，求三角形ABC的周长．【答案】（1）π3A=（2）57+【解析】【分析】（1）利用内角和为180化简()sinsinBC

A+=，利用二倍角公式化简21cossin22AA−=，再利用辅助角公式化简即可求得π3A=；（2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可.【小问1详解】因为A，B，C为ABCV的内角，所以()sinsinBCA+=，因为21cossin22AA−=，所以()2sin2

3sin2ABC+=可化为：()sin31cosAA=−，即sin3cos3AA+=，即π3sin32A+=，因为ππ4π,333A+，解得：π2π+33A=，即π3A=．【小问2详解】由三角

形面积公式得11321sin227bcAa=，3b=代入得：1π13213sin2327ca=，所以72ac=，由余弦定理222272cos4abcbcAc=+−=得：24120cc−=+，解得：2c=或6c=−舍去，即7a=，所以ABCV周长为57+.17

.已知函数()2()exfxaxx=+−．的（1）若()fx在R上单调递减，求a的取值范围；（2）若1a=，判断()fx是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，请说明理由．【答案】（1）5,4−−（

2）()fx有最大值，最大值为e【解析】【分析】（1）求导，得到210xxa−−++恒成立，根据根的判别式得到不等式，求出a的取值范围；（2）求导，得到函数单调性，从而求出函数的最大值.【小问1详解】因为()2()exfxaxx=

+−，所以()2()1exfxxxa=−−++，因为()fx在R上单调递减，所以210xxa−−++恒成立，所以2(1)4(1)0a=−++，54a−，所以a的取值范围是5,4−−

．【小问2详解】当1a=时，()2()1exfxxx=+−，()2()2e(1)(2)exxfxxxxx=−−+=−−+，令()0fx，解得(2,1)x−，令()0fx，解得()()1,,2x+−

−，所以当(2,1)x−时，()fx单调递增，当(1,)x+，(),2x−−时，()fx单调递减，当(),2x−−时，()(1)efxf=，又(),2x−−时，()2()1e0exfxxx=+−，所以()fx有最大值，最大值e．18.

已知函数2)()(exfxxax=−.（1）若曲线()yfx=在=1x−处的切线与y轴垂直，求()yfx=的极值.（2）若()fx在(0,)+只有一个零点，求a.【答案】（1）极小值1e−，无极大值；为（2）2e4a=.【解析】【分析】（

1）求出函数()fx的导数，结合几何意义求出a，再分析单调性求出极值.（2）由函数零点的意义，等价变形得2exax=在(0,)+只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解.【小问1详解】函数2)()(exfxxax=−的定义域为R

，求导得2()(1)e3xfxxax=+−，(1)3fa−=−，依题意，(1)0f−=，则0a=，()e,()(1)exxfxxfxx==+，当1x−时，()0fx，当1x−时，()0fx，因此函数()fx

在(,1)−−上单调递减，在(1,)−+上单调递增，所以函数()fx在=1x−处取得极小值1(1)fe−=−，无极大值.【小问2详解】函数2)()(exfxxax=−在(0,)+只有一个零点，等价于2exyax=−在(0,)+只有一个零点，设2()exgxax=−，则函数()

gx在(0,)+只有一个零点，当且仅当()0gx=在(0,)+只有一解，即2exax=在(0,)+只有一解，于是曲线2e(0)xyxx=与直线ya=只有一个公共点，令2e()(0)xxxx=，求导得3e(2)()xxx

x−=，当2x时，()0x，当2x时，()0x，因此函数()x在(0,2)上单调递减，在(2,)+上单调递增，函数()x在2x=取得极小值同时也是最小值2e(2)4=，当0x→时，()x→+

；当x→+时，()x→+，画山2()xexx=大致的图象，如图，()gx在(0,)+只有一个零点时，2e(2)4a==，所以()fx在(0,)+只有一个零点吋，2e4a=.19.基本不等式是高中

数学的重要内容之一，我们可以应用其解决数学中的最值问题．（1）已知x，yR，证明222xyxy+；（2）已知x，y，a，bR，证明22222()()()xyabaxby+++，并指出等号成立的条件；（3）已知x，y，a，0b，证明：222()xyxyabab+++，并指出等

号成立的条件.（4）应用（2）（3）两个结论解决以下两个问题：①已知2242ab+=，证明：222ab−+；②已知a，0b，且1ab+=，求121aab++的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析，当且仅当aybx=时取

“=”（3）证明见解析，当且仅当aybx=时取“=”（4）①证明见解析；②54.【解析】【分析】（1）由2()0xy−展开即可得结果；（2）根据题意结合（1）中结论分析证明；（3）根据题意结合（1）中结论分析证明；（4）①根据题意结合（2）中结论分析证明；②根据题意结合（3）中结论分析求解.【

小问1详解】由2()0xy−可知，2220xyxy+−，当且仅当xy=时取“=”，所以222xyxy+.【小问2详解】因为22222222()()()()()()xyabaxbyaybx++=+++，由（1）可得22()()2aybxaxby+，当且仅当ayb

x=时取“=”，则22222222222()()()()()()()()2()xyabaxbyaybxaxbyaxbyaxby++=+++++=+，所以22222()()()xyabaxby+++，当且仅当aybx=时取“=”.【小问3详解】当x，y，a，0b时，因为22222

2()xybxayabxyabab++=+++，由（1）可得222bxayxyab+，当且仅当aybx=时取“=”则222222222()2()xybxayabxyxyxyxyabab++=+++++=+，所以222()xyxyabab+++，当

且仅当aybx=时取“=”.【小问4详解】①由（2）可知22222(2)(11)(2)abab+++，当且仅当2ab=时取“=”，即24(2)ab+，所以222ab−+②因为1122121411212222242a

aabaaaaaa−++=+=+−=+−+−−−，由（3）可得：()212114511212422424aabaaaa++=+−−=+−+−，当且仅当424aa−=，即21,33ab==时，等号成立，故121aab++的最小值为54.