【文档说明】2023届高考数学优质二诊模拟试题分类汇编 专题02 解析几何 Word版含解析.docx，共(21)页，1.711 MB，由管理员店铺上传

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2023届优质二诊模拟试题分类汇编解析几何一．单选1．（广东省佛山市2023届高三二模）若斜率为1的直线l与曲线()lnyxa=+和圆2212xy+=都相切，则实数a的值为（）A．1−B．0C．2D．0或2【详解】设直线l与曲线()lnyxa=+的切点为()00,Pxy，由()

1lnyxaxa=+=+，则011xa=+，则01xa=−，00y=，即切点为()1,0Pa−，所以直线l为1yxa=−+，又直线l与圆2212xy+=都相切，则有1222a−+=，解得2a=或0a=．故选：D．2．（广东省广州市2023届

高三二模）已知椭圆C：22221xyab+=（0ab），过点(),0a−且方向向量为()1,1n=−的光线，经直线yb=−反射后过C的右焦点，则C的离心率为（）A．35B．23C．34D．45【详解】设过点(),0Aa−且方向向量为()1,1n=−的光线，经直

线yb=−的点为B，右焦点为C.因为方向向量()1,1n=−的直线斜率为1−，则45CAB=，1ABk=−，又由反射光的性质可得1BCk=，故ABBC⊥，所以ABC为等腰直角三角形，且B到AC的距离为b，又ACca

=+，故2acb+=，()22222244acacbac++==−，则()()350acac−+=，故35ac=，离心率35cea==.故选：A3．（广东省深圳市2023届高三二模）设椭圆C：22221xyab+=(0)ab的左、右焦点分别为1F，2F，直线l过点1F.若点2F关于l的对称

点P恰好在椭圆C上，且211212FFFPa=，则C的离心率为（）A．13B．23C．12D．25【详解】设12PFF=，由已知可得，1122PFFFc==，根据椭圆的定义有21222PFaPFac=−=−.又21121

2FFFPa=，所以2214cos2ca=.在12PFF△中，由余弦定理可得，22221121122cosPFPFFFPFFF=+−，即()222222288cos8acccca−=−=−，整理可得224850caca+−=，等式两边同时除

以2a可得，24850ee+−=，解得，12e=或52e=−（舍去），所以12e=.故选：C.4．（湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研）设抛物线26yx=的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一

点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120，则PF=（）A．3B．6C．9D．12【详解】依题意π3QFH=，3HF=，33QH=，6QF=，又PFQP=，π3PQF=，则PQF△为等边三角形，有6PF=，故选：B5．（山东

省济南市2023届高三二模）已知抛物线()220ypxp=的焦点在圆224xy+=上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A．1B．2C．4D．8【详解】由于抛物线()220ypxp=的焦点为x正半轴

上，224xy+=与x正半轴的交点为()2,0，故抛物线的焦点为()2,0，所以242pp==，因此抛物线的焦点到准线的距离为4p=，故选：C6．（山东省济南市2023届高三二模）已知直线1yx=−与曲线exay+=相切，则实数a的值为（

）A．2−B．1−C．0D．2【详解】设切点为()00,xy，易知exay+=，则00001e1exaxayx++=−==，解之得022xa==−，故选：A二．多选7．（广东省佛山市20

23届高三二模）如图拋物线1的顶点为A，焦点为F，准线为1l，焦准距为4；抛物线2的顶点为B，焦点也为F，准线为2l，焦准距为6．1和2交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的

直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则（）A．5AB=B．四边形MNST的面积为100C．0FSFT=D．CD的取值范围为255,3【详解】设直线AB与直线12,ll分别交于,GH，由题可知2,3GAAFFBBH====，所以10GHMN==，5AB

=，故A正确；如图以A为原点建立平面直角坐标系，则()2,0F，1:2lx=−，所以抛物线1的方程为28yx=，连接PF，由抛物线的定义可知,PFMPPFNP==，又10MN=，所以3Px=，代入28yx=，可得26Py=，所以46MTNS==，又10MN=，故四边形MN

ST的面积为406，故B错误；连接QF，因为QFQTQS==，所以,QFTQTFQFSQSF==，所以π22QTFQFTQFSQSFTFSQFTQFS+++=+==，故0FSFT=

，故C正确；根据抛物线的对称性不妨设点D在封闭曲线APBQ的上部分，设,CD在直线12,ll上的射影分别为11,CD，当点D在抛物线BP，点C在抛物线AQ上时，11CDCCDD=+，当,CD与,AB重合时，C

D最小，最小值为5CD=，当D与P重合，点C在抛物线AQ上时，因为()()3,26,2,0PF，直线():262CDyx=−，与抛物线1的方程为28yx=联立，可得2313120xx−+=，设()()1122,,,CxyDxy，则12133xx+=，122543CDxx=+

+=，所以255,3CD；当点D在抛物线PA，点C在抛物线AQ上时，设:2CDxty=+，与抛物线1的方程为28yx=联立，可得28160yty−−=，设()()3344,,,CDxyyx，则34

8yyt+=，()2343448888CDxxtyyt=++=++=+，当0=t，即CDAB⊥时取等号，故此时258,3CD；当点D在抛物线PA，点C在抛物线QB上时，根据抛物线的对称性可知，255,3CD；综上，255

,3CD，故D正确.故选：ACD.8．（广东省广州市2023届高三二模）已知双曲线()222:0xyaa−=的左，右焦点分别为1F、2F，过2F的直线l与双曲线的右支交于点B、C，与

双曲线的渐近线交于点A、D（A、B在第一象限，C、D在第四象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A．若BCx⊥轴，则1BCF△的周长为6aB．若直线OB交双曲线的左支于点E，则1//BCEFC．AOD△面积的最小值为24aD．1ABBF+的取值范围为()3,a+【详解

】双曲线的标准方程为22221xyaa−=，则222caaa=+=，易知点()12,0Fa−、()22,0Fa，双曲线的渐近线方程为yx=.对于A选项，当BCx⊥轴，直线BC的方程为2xa=，联立2222xaxya

=−=，可得2xaya==，此时，2BCa=，则()()11222246BFCFBFaCFaBCaa+=+++=+=，此时，1BCF△的周长为118BCBFCFa++=，A错；对于B选项，因为双曲线关于原点对称，则点B关于原点O的对称点也在双曲

线上，因为若直线OB交双曲线的左支于点E，则点B、E关于原点对称，即BE、12FF的中点均为原点，故四边形12BFEF为平行四边形，所以，12//EFBF，即1//EFBC，B对；对于C选项，易知OA的方程为yx=，OD的方程为yx=−，所以，OAOD⊥，因为直线l与双曲

线的右支交于点B、C，则直线l不与x轴重合，设直线l的方程为2xmya=+，设点()11,Bxy、()22,Cxy，联立2222xmyaxya=+−=可得()2221220mymaya−++=，则()()222222210Δ841

410mmamaam−=−−=+，解得1m，由韦达定理可得122221mayym+=−−，212201ayym=−，可得11m−，联立2xmyayx=+=可得21ax

ym==−，即点22,11aaAmm−−，联立2xmyayx=+=−可得21axm=+，21aym=−+，即点22,11aaDmm−++，所以，22111AaOAxm=+=−，()22111DaODxm=+−+

，所以，222221222211AODaaSOAODamm===−−△，当且仅当0m=时，等号成立，C错；对于D选项，()2212222122122211amABBFABBFaAFamaaamm++=++=+

=++=+−−22212222121212mmaaaammmm+=+=+++−+−，当0m=时，122ABBFaa+=+，当01m时，12222122121122mABBFaaaammmm+=++=+++

−+−，因为函数12ymm=+−在()0,1上单调递减，此时()1221222,12ABBFaaaamm+=+++++−，当10m−时，因为函数12ymm=+−在()1,0−上单调递减，此时()122123,2212ABBFaaaaamm+=++

++−，综上所述，1ABBF+的取值范围是()3,a+，D对.故选：BD.9．（广东省深圳市2023届高三二模）设抛物线C：2yx=的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，A

B的中点为Q，则（）A．PQx⊥轴B．PFAB⊥C．PFAPFB=D．2AFBFPF+=【详解】对于A选项：设()()()1212112200,,,,,,,22xxyyAxyBxyPxyQ++,2yx=,2yx=,过点A切线

为：()1112yyxxx−=−①,过点B切线为:()2222yyxxx−=−②,①−②得121222,yyxxxx−=−化简可得()2212122,xxxxx−=−1202xxx+=PQx⊥轴,A选项正确.设()()10,0,1,1,0,,4AB

F过A点的切线为0y=,过B点的切线为()121yx−=−,交点为1,0,2PAB的中点为11,22Q，所以1,1,2PFABkk=−=1,PFABkk−PF不垂直AB,B选项错误；222222

13311501,22442242AFBFPF+=+++==+=,所以2AFBFPF+,D选项错误;作抛物线准线的垂线,AABB,连接,,,,,APBPPFAFBF110,,,,22PAxxp

pFAxky=−=则11,,FAPAxpkkxp=−=显然1,FAPAkk=−,所以,FAPA⊥又因为由抛物线定义,得AAAF=,故知PA是线段FA的中垂线,得到PAPF=则PAAPFA=同理可证：PBPF=,

PBBPFB=，所以PAPBPF==，即PABPBA=,所以90?90?=PAAPABPBAPBB=+=+,即PFAPFB=.故选:AC.10．（湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研）椭圆()222210xyab

ab+=的一个焦点和一个顶点在圆225440xyxy+−−+=上，则该椭圆的离心率的可能取值有（）A．12B．14C．255D．55【详解】22525(2)24xy−+−=，圆与x轴的交

点坐标为()1,0或()4,0，与y轴的交点为()0,2，而椭圆()222210xyabab+=的焦点在x轴，当焦点是()1,0，右顶点()4,0，此时4,1ac==，离心率14e=，当焦点是()1,0，上顶点()0,2，此时2,1bc==，那么

5a=，离心率55e=，当焦点是()4,0，上顶点()0,2，此时2,4bc==，那么25a=，离心率255e=故选：BCD11．（浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测（二模））若直线1ykx=+与圆C：()2229xy−+=相交于A，B两点，则AB的长度可能．．等于（）A．2B．3C．4

D．5【详解】已知直线1ykx=+恒过点()0,1P，圆()22:29Cxy−+=的圆心坐标为()2,0C，半径3r=.当直线经过圆心时，所得弦长AB最大，max26ABr==；当直线与PC所在直线垂直时，所得弦长AB最小，2

2min22954ABrPC=−=−=，因此可得：46AB，故AB的长度可能等于4或5.故选：CD三．填空12.（广东省佛山市2023届高三二模）已知1F、2F分别为椭圆22143xy+=的左、右焦点，P是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，

则12sinFPF的最大值为______．【详解】不妨设点P在直线2x=上，若点P为()2,0，则12sin0FPF=，当点P不为长轴端点时，由对称性，不妨设点P在第一象限，设点()()2,0Ptt，在椭圆22143xy+=中，2a=，3b=，221cab=−=，则点()11

,0F−、()21,0F，设直线1PF、2PF的倾斜角分别为、，则tan213tt==+，tan21tt==−，所以，()1222tantan22233tantan31tantan333123tttFPF

tttttt−−=−=====++++，当且仅当3tt=时，即当3t=时，等号成立，所以，12FPF的最大值为π6，所以，12π1sinsin62FPF=.故答案为：1213．（广东省广州市2023届高三二模）在平面直角坐标系xOy中，定义()1212,dABxxyy=

−+−为()11,Axy，()22,Bxy两点之间的“折线距离”.已知点()1,0Q，动点P满足()1,2dQP=，点M是曲线21yx=上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为___________，(),

dPM的最小值为___________【详解】设(),Pxy，()1,12dQPxy=−+=，当1,0xy时，则112xy−+=，即302xy+−=，当1,0xy时，则112xy−−=，即302xy−−=，当1,0xy时，则112xy--=，即

102xy+−=当1,0xy时，则112xy−+=，即102xy−−=，故点P的轨迹所围成图形如下图阴影部分四边形ABCD的面积：则111142222S==.如下图，设()00,Pxy，()11,Mxy，显然10xx，10yy，()()101010101100,dPMxxy

yxxyyxyxy=−+−=−+−=+−+，求(),dPM的最小值，即11xy+的最小值，00xy+的最大值，又()00max32xy+=，下面求11xy+的最小值，令111211yxyxx=+=+，3133112210xyxx−=−==，

即1312x=，令0y，解得：1312x，令0y，解得：1312x，所以y在13,2−上单调递减，在132,+上单调递增，所以1312x=时，y有最小值，且min2332y=，所以()1

32min3333,21222dPM=−=−.故答案为：12；133212−.14．（湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研）直线1l：2yx=和2l：1ykx=+与x轴围成的三角形是

等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：______和______．【详解】令直线12,ll的倾斜角分别为,，则tan2,tank==，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，=−，tan(π)tan2k=−

=−=−；当围成的等腰三角形底边在直线2l上时，2=，π(0,)2，222tan2tantan221tan1kk====−−，整理得210kk+−=，而0k，解得512k−=；当围成的等腰三角形底边在直线1l上时，2=，222tan224ta

ntan21tan123k=====−−−，所以k的两个可能取值2−，512−.故答案为：2−；512−15．（湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数()eln()xfxaxax=−和2ln(1)()xgxx−=图象上的动

点，若对任意0a，有PQm恒成立，则实数m的最大值为______．【详解】()lneln()elnxxaxaxaxxxax+−−=−+，令()exwxx=−，xR，则()e1xwx=−当()0,x+时，()0wx，()exwxx=

−单调递增，当(),0x−时，()0wx，()exwxx=−单调递减，故()exwxx=−在0x=处取得极小值，也是最小值，故()0e01wx−=，故()lneln()eln1xxaxaxaxxxax+−−=−+，当且仅当l

n0xax+=时，等号成立，令()2ln(1)xxjxx−=−，1x，则()222222ln(1)2ln(1)111xxxxxxxxjxx−−−+−−−=−=，令22()2ln(1)1xkxxxx=−+

−−，则()()22222222()2201111xxkxxxxxxx−−=−+=++−−−−在()1,+上恒成立，故22()2ln(1)1xkxxxx=−+−−在()1,+上单调递增，又(2)0k=，故当()1,2x时，()0kx

，当()2,x+时，()0kx，故()1,2x时，()0jx，()jx单调递减，当()2,x+时，()0jx，()jx单调递增，故()2ln(1)xxjxx−=−在2x=处取得极小值，也时最小值，最小值为()22j=，设()()2ln1,

eln(),,ntPnananQtt−−，由基本不等式得，()()()2222ln1()elnnPttnanantQ−=−+−−222ln(1)eln(21)9222nttanannt−−+−−+=，当且仅当()()(

)2ln1elnnttnanant−−=−−，2t=，ln0nan+=时，等号成立，故322PQ，则max322m=．故答案为：32216．（山东省济南市2023届高三二模）如图，在矩形ABCD中，2ABAD=，1A，2A分别为边AB，CD的中点

，,MN分别为线段2AC（不含端点）和AD上的动点，满足2MADNCDAD=，直线1AM，2AN的交点为P，已知点P的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为______.【详解】以1A2A所在的直线为y轴，线段1A2A的中垂线所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系：设||

(0)ADBCmm==，则||2ABCDm==，则有(,)2mAm−−，(,)2mBm−，1(0,)2mA−，2(0,)2mA，(,)2mCm，(,)2mDm−，(,)2mAm−−，设00(,)(0)2mMxxm，00(,)(),22mmNmyy−−所以20M

Ax=，02mDNy=−，又因为2MADNCDAD=，所以0022myxmm−=，所以002xmy=−或002mxy−=，又因为100()220AMmmmkxx−−==−，所以直线1AM的方程为：0()(0)2mmyxx−−=−，即02mmyxx=−，同理可得直线2AN

的方程为：02(0)2mymyxm−−=−−，即0002222222mxmmyxmmmyxxxmmm−−−=−=−=+，由00222mmyxxxmyxm=−=+，可得202203202202222(2)xmxmxmmxymx=−+=−，即2320

022220022(,)22(2)xmmmxPmxmx+−−，因为2022022Pxmxmx=−，242022204(2)Pxmxmx=−，3222002222002(2)2(2)2(2)Pmmxmmxymxmx++==−−，22222222222422222220000022222222222

20000(2)(2)882(1)4(2)4(2)4(2)4(2)42PPmmxmxmxmxmxxmmmmymxmxmxmx+−+===+=+=+−−−−,即有22224PPxmy−=，2222142PPyxmm−=，所以点P所在双曲线方程为：22

22142yxmm−=，所以2222,42mmab==，所以2222223424mmmcab=+=+=，所以32312mceam===.故答案为：317．（浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测

（二模））费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（1F，2F为焦点）上一点，点P处的切线平分12FPF．已知双曲线C：22142xy−=，O为坐标原

点，l是点103,2P处的切线，过左焦点1F作l的垂线，垂足为M，则OM=______．【详解】如图，延长2PF交1FM延长线于点N，因为点M是12FPF的角平分线上的一点，且1FMMP⊥，所以点M为1FN的中点，所以1PNPF=，又点O为12FF的中点，且1224P

FPFa−==，所以()()22111142222OMFNPNPFPNPF==−=−+=．故答案为：2．四、解答题18．（广东省佛山市2023届高三二模）双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且ABD

△是直角三角形．(1)求双曲线C的方程；(2)M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为1k、2k，若122kk=−，求点A到直线MN的距离d的取值范围．【详解】（1）依题意，90BAD=，焦半径2c=，由

AFBF=，得2baca+=，得22222aaa+=−，解得：1a=（其中20a=−舍去），所以222413bca=−=−=，故双曲线C的方程为2213yx−=；（2）显然直线MN不可能与轴平行，故可设直线MN的方程为xmyn=+，联立

2233xmynxy=+−=，消去x整理得()()222316310mymnyn−++−=，在条件2310Δ0m−下，设()11,Mxy，()22,Nxy，则122631mnyym+=−−，()21223131nyym−=−，由12

2kk=−，得()()12122110yyxx+++=，即()()12122110yymynmyn+++++=，整理得()()()()2212122121210myymnyyn++++++=，代入韦达定理得，()()()()()2222231211

2121310nmmnnnm−+−+++−=，化简可消去所有的含m的项，解得：5n=或1n=−（舍去），则直线MN的方程为50xmy−−=，得261dm=+，又,MN都在双曲线的右支上，故有2310m−，2103m，此时22113m+，(2633,61dm=+，所以点A到

直线MN的距离d的取值范围为(33,6.19．（广东省广州市2023届高三二模）已知点()1,0F，P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C．(1)求C的方程；(2)过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点

N.当四边形MANB的面积最小时，求l的方程.【详解】（1）设(,)Pxy，则以PF为直径的圆的圆心为1,02x+，根据圆与y轴相切，可得()221111222xPFxy+==−+，化简得24yx=，所以C的方程为24yx=（2）由题意可知：直

线l的斜率存在且不为0，设直线l：()1ykx=−，()()1122,,,AxyBxy，联立()()2222212204ykxkxkxkyx=−−++==，所以()21212222,1kxxxxk++==，设直线l的倾斜角为，则tan,tan,AMAFBNBF==所以

tantantanAMBNAFBFABABk+=+==，所以()221222224422kkABAFBFxxkk++=+=++=+=，由题意可知四边形为梯形，所以()()()222423381821122AMFBMFkkkABkSSSABAMBNkk+++=+=+===，设0tk=

，则()()4233821218ttSttttt++==++，所以()()()()242244413323238188tttttSttttt+−+−−=−−==，当()()3,0,tStSt单调递增，当()()03,0,tStSt单调递减，所

以当3t=时，即3k=时，面积最小，此时3k=，故直线的方程为：()31yx=−，即330xy−−=或330xy+−=20．（广东省深圳市2023届高三二模）已知双曲线：221xy−=，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、

右顶点，直线AM与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上.(1)若点()2,3M，()2,0Q，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求OST的面积；(2)若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①ODDE=；②BMEQ⊥；③2OQ=

.注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【详解】（1）由已知可得，()1,0A−，()10B,.因为点()2,3M，直线BM的斜率为30321MBk−==−，所以直线BM的垂线l的方程为()1023yx−=−−，整理可得，32xy=−+.设点()11,

Sxy，()22,Txy，联立直线l与双曲线的方程22321xyxy=−+−=可得，224330yy−+=，则()24342324=−−=，且12122332yyyy+==，所以，()()221212134STyyy

y=+−+−()232234262=−=.原点O到直线l的距离为1d=，所以，OST的面积为11261622STd==.（2）①②为条件，③为结论令点()0,DDy，()()000,1Mxyx，且22001xy−=，因为,,ADM三点共

线，所以001Dyyx=+.又ODDE=，所以点E的坐标为0020,1yEx+，所以直线BM的斜率为001BMykx=−.又BMEQ⊥，所以0011EQBMxkky−=−=.设点(),0QQx

，因为直线EQ的斜率0000211EQQyxxkyx−+==−，所以220022002221Qyyxxy===−，所以2OQ=；①③为条件，②为结论令点()0,DDy，()()000,1Mxyx，且22001xy−

=，因为,,ADM三点共线，所以001Dyyx=+.又ODDE=，所以点E的坐标为0020,1yEx+，又2OQ=，点Q在x轴正半轴上，所以()2,0Q，所以00002112EQyxxky+−==−.又001BMykx=−，所以000011BMEQyykkxx=−

−+220022001111yxxx−=−=−=−−−，所以，BMEQ⊥；②③为条件，①为结论令点()0,DDy，()()000,1Mxyx，且22001xy−=，不妨设00y.因为,,ADM三点共线，所以0001Dyyx=+，且()()2220002200011111Dyxxy

xxx−−===+++.因为2OQ=，点Q在x轴正半轴上，所以()2,0Q.因为BMEQ⊥，所以0011EQBMxkky−=−=.又002EEQyk−=−，所以，()00210Exyy−=，且()()()0022000222041414111Exxxyyxx−−−===−+，所以，2EDyy

=，即ODDE=.21．（湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研）过点()4,2的动直线l与双曲线()2222:10,0xyEabab−=交于,MN两点，当l与x轴平行时，42MN=，当l与y轴平行时，43MN=．(1)求双曲

线E的标准方程；(2)点P是直线1yx=+上一定点，设直线,PMPN的斜率分别为12,kk，若12kk为定值，求点P的坐标．【详解】（1）由题意可知：双曲线()2222:10,0xyEabab−=过点()22,2，()4,23，将其代入方程可得：22228411

6121abab−=−=，解得：2244ab==，双曲线E的标准方程为：22144xy−=.（2）设()()1122,,,MxyNxy，点()4,2与,MN三点共线，12122244yyxx−−=−−，()()12124422xxyy−=−−=

−（其中R，0），()()12124121xxyy=+−=+−，()()222241214xy+−−+−=，又22224xy−=，整理可得：()()2212420xy−

−+−=，当1=时，12xx=，12yy=，不合题意；当1时，由222420xy−+−=得：22122yx=−+，设()00,Pxy，则001yx=+，()()102012102011yxyxkkxxxx−+−+=−−()()()222202022022202222112432

22yyxxxyxyxxxyxx−+−−++−+=−−+−−+()()()0220020020220031212223422xyxxxyxxxxyxxx−+−−−+=−−+−+−，若12kk为定值，则根据约分可得：000

121xxx−−=−且000114222xxx−−=−−，解得：03x=；当03x=时，()3,4P，此时22122226441322xykkxy−−==−−；当()3,4P时，124kk=为定值.22．（山东省济南市2023届高三二模）已知椭圆E：()222210xyabab+=

的长轴长为4，由E的三个顶点构成的三角形的面积为2.(1)求E的方程；(2)记E的右顶点和上顶点分别为A，B，点P在线段AB上运动，垂直于x轴的直线PQ交E于点M（点M在第一象限），P为线段QM的中点，设直线AQ与E的另一个交

点为N，证明：直线MN过定点.【详解】（1）由题意可知242aa==，E的三个顶点构成的三角形要么是短轴的一个顶点和长轴的两个顶点构成的三角形，面积为122abab=；要么是短轴的两个顶点和长轴的一个顶点构成的三角形

，面积为122baab=，所以21abb==，故E的方程为2214xy+=.（2）由于MQx⊥轴，所以MN不可能垂直于x轴，故直线MN的斜率存在，故设直线MN的方程为ykxm=+，()()1122,,,MxyNxy,联立()2222214844014ykxmkxkmxmxy=+

+++−=+=，则()()()22221212228448414440,,1414kmmkmkmxxxxkk−−−+−+==++=，直线AB的方程为12xy+=，当1xx=时，112xy=−，所以11,12xPx-，P是MQ的中点，所以()111,2Qxxy−

−，11212222QAxyykxx−−==−−，即1212122yyxx−−−−=，所以1212122yyxx−−−=+，则()()()()()()()()()()12211221121222222222xxxyxkxmxkxmxxx−−−−+−+−=

−−-=y++-化简得()()()12122122440kxxkmxxm++−−+=-+，代入2121222844,1414kmmxxxxkk−−+==++得()()22244821224401414mkmkkmmkk−−++−−+=++-，故()()2210mkmk++−=，所

以2mk=−或21mk=−+，故直线NM的方程为2ykxk=−或21ykxk=−+，由于M不与A重合，所以直线不经过()2,0，故直线NM的方程为21ykxk=−+，此时()()()()22222228414446416166416211664kmkmkmkk−+−=−+

=−−++==，故0k，此时直线过定点()2,1.23．（浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测（二模））已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为32，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，PAB面积的最大值为2．(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线AP、BQ的斜率分别为1k、2k，且1235kk=．①求证：直线PQ经过定点．②设PQB△和PQA△的面积分别为1S、2S，求12SS−的最大值．【详解】（1）解：当点P为椭圆C短轴顶点时，PAB的面积取

最大值，且最大值为112222ABbabab===，由题意可得222322caabcab===−，解得213abc===，所以，椭圆C的标准方程为2214xy+=.（2）解：①设点

()11,Pxy、()22,Qxy.若直线PQ的斜率为零，则点P、Q关于y轴对称，则12kk=−，不合乎题意.设直线PQ的方程为xtyn=+，由于直线PQ不过椭圆C的左、右焦点，则2n，联立224

4xtynxy=++=可得()2224240tytnyn+++−=，()()()22222244441640tntntn=−+−=+−，可得224nt+，由韦达定理可得12224tnyyt

+=−+，212244nyyt−=+，则()2121242ntyyyyn−=+，所以，()()()()()()()()212121121112221212122122422222422222nyynytynytyynykyxnnkxytynytyynyyy

nyn−++−+−+−−====−++++++++()()()()1211222222522223nyynynnnnyynyn++−−−===+−+++，解得12n=−，即直线PQ的方程为12xty=−，故直线PQ过定点1,02M−.②由韦达定理可得1224tyyt+=+，()1

221541yyt=−+，所以，()21212121211·422SSAMBMyyyyyy−=−−=+−()22222222211541544154124444151415415ttttttttt++=+===++++++++，20t，则241515t+，因为

函数()1fxxx=+在)15,+上单调递增，故22111615415151515415tt+++=+，所以，124154161515SS−=，当且仅当0=t时，等号成立，因此，12SS−的最大值为154.