【文档说明】北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，1.081 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-ac7bde6ed0c1a4fd146f1b5fcccaacc6.html

以下为本文档部分文字说明：

北京师大附中2024-2025学年（上）高三期中考试数学试卷班级：________姓名：________学号：________考生须知1．本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分.2．考生务必将答案填

写在答题卡上，在试卷上作答无效.3．考试结束后，考生应将答题卡交回.一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}MxxNxx=+=−∣∣，则MN=（）A.{21}x

x−∣B.{21}xx−∣C.{2}xx−∣D.{1}xx∣【答案】A【解析】【分析】先化简集合,MN，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，{20}{|2}Mxxxx=+=−∣，{10}{|1}Nxxxx=−=∣，根据交集的运算可知，{

|21}MNxx=−.故选：A2.设ln2a=，cos2b=，0.22c=，则（）A.bcaB.cbaC.bacD.abc【答案】C【解析】【分析】利用“0,1分段法”来确定正确答

案.【详解】ln1ln2lne,01a，0.20221c==，π2π,cos202b=，所以bac.故选：C3.设xR，则“sin1x=”是“cos0x=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A

【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为22sincos1xx+=可得：当sin1x=时，cos0x=，充分性成立；当cos0x=时，sin1x=，必要性不成立；所以当xR，sin1x=是cos0x=的充分不必要条件.故选：A.4.将y=co

s26x+的图象向右平移6个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A.sin2yx=B.cos2yx=C.cos23yx=+D.cos26yx=−【答案】D【解析】【分析】利用三角函数平移变换结论求解.【详解】将cos26yx=+的图

象向右平移6个单位长度，得到cos2cos2666yxx=−+=−的图象，故选：D．5.已知函数()21xfx=−，则不等式()fxx的解集为（）A.(,2−B.0,1C.)1,+D.

1,2【答案】B【解析】【分析】将不等式()fxx转化为两个函数12yy，，在同一坐标系下作出两个函数的图象，由图像可得结果.【详解】因为()21xfx=−，所以()fxx，即21xx+，令122,1xyyx==+，且均为增函数，则不等式为12yy，在同一坐标系下作出两个函数的图

象，如图所示，又当0x=时01221,011yy===+=，当1x=时，11222,112yy===+=，所以由图像可知：12yy的解集为：[0,1]，故选：B.6.设函数()elnxfxx=−的极值点为0x，且0xM

，则M可以是（）A.10,2B.1,12C.()1,2D.()2,4【答案】B【解析】【分析】利用导数以及零点存在性定理来判断出正确答案.【详解】()fx的定义域是(0,+∞)，()1exfxx=

−，𝑓′(𝑥)在区间(0,+∞)上单调递增，()1e20,1e102ff=−=−，所以存在01,12x，使得()00fx=，且在区间()00,x上()()0,fxfx

在()00,x单调递减，在区间()0,x+上()()0,fxfx在()0,x+单调递增，所以0x是()fx的极小值点，所以1,12M=.故选：B7.在ABCV中，90,4,3CACBC===，点P是

AB的中点，则CBCP=（）A.94B.4C.92D.6【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算计算可得；【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则()4,0A，()0,3B，()0,0C，32,2P

所以()0,3CB=，32,2CP=，所以3902322CBCP=+=故选：C8.已知na是递增的等比数列，其前n项和为*(N)nSn，满足26a=，326S=，若2024nnSa+，则n的最小值

是（）A.6B.7C.9D.10【答案】B【解析】【分析】求得等比数列na的首项和公比，由此化简2024nnSa+并求得正确答案.【详解】设等比数列na的公比为q，12111626aqaaqaq=++=，123aq==或118

13aq==（舍去），所以()121323,3113nnnnnaS−−===−−.由1123123024531nnnnnSa−−+=−+=−，13405n−，5632434057293==，所以n的最小值为7.故选：B9.设Rc，函数()

,0,22,0.xxcxfxcx−=−若()fx恰有一个零点，则c的取值范围是（）A.()0,1B.)01,+C.10,2D.10,2+【答案】D【解析】【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将(),02,0xxxgxx=

图象平移，以及对参数c进行分类讨论即可得出其取值范围.【详解】画出函数(),02,0xxxgxx=的图象如下图所示：函数,0,()22,0.xxcxfxcx−=−可由,0,()2,0.xxxgxx=分段平移得到，易知当0c=时，函数()fx恰有一个零

点，满足题意；当0c时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当0c时，图象往下平移，当021c时，函数有两个零点；当21c时，()fx恰有一个零点，满足题意，即12c；综上可得c的取值范围是10,2+.故选：D10.北宋科学家沈括在《梦溪笔

谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有ab个小球，第二层有(1)(1)ab++个小球，第三层有(2)(2)ab++个小球……依此类推，最底层有cd个小球，共有n层，由“隙积术”

可得这些小球的总个数为[(2)(2)()]6nbdadbcca++++−．若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】【分析】转化题给条件为27725abab++=，再由,ab皆为正整数分类讨论即可求解.

【详解】由题意知，8n=，于是得最底层小球的数量为(7)(7)cdab=++，即7ca=+，7db=+.从而有8[(27)(214)(7)7]2406bbabba+++++++=，整理得(27)(214)(7

)7180bbabba+++++++=，(37)(314)(7)173baba++++=，373142198173abaabab+++++=，6212175abab++=，27725abab++=，由于,ab皆为正整数

，所以（i）当1,1ab==时，21171711625++=，当1,2ab==时，212717225++=，（iii）当1,3ab==时，21371733425++=，（iv）当2,2ab==时，22272723625++=只有1,2ab==符合题意，即

ab的值为2.故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要考查新文化背景下的数列问题，确定27725abab++=是解决本题的关键.分类讨论与验证的严谨性：在分类讨论中，每一个可能的a值都需要进行仔细的验证，确保没有遗漏任何符合条件的解.二、填空题共5小题，每小题5分，共2

5分.11.若复数4i1iz=−，则复数z的模z=________．【答案】22【解析】【分析】根据复数运算求得正确答案.详解】()()()()4i1i4i2i1i22i1i1i1iz+===+=−+−−+，()22222

2z=−+=.故答案为：2212.已知na为等差数列，nS为其前n项和．若16a=，260aa+=，则8S=________．【答案】8−【解析】【分析】求得等差数列na的公差，进而求得8S.【详解】设等差数列na公差为d，则2612

61260,2aaaddd+=+=+==−，所以8182848568Sad=+=−=−.故答案为：8−13.在ABCV中，2222acbac+=+．则B的值是________；2coscosyAC=+的

最大值是________．【的【答案】①.π4##45②.1【解析】【分析】利用余弦定理求得cosB，从而求得B；利用三角恒等变换的知识求得2coscosyAC=+的最大值.【详解】由2222acbac+=+，得2222cos22acbBac+−==

，所以B为锐角，且π4B=.π2coscos2coscos4yACAA=+=−+22πsincossin224AAA=+=+，3π04A，πππ44A+，所以当ππ42A+=，即π4A=时，2coscosyAC=+取得最大值为1.故答案为：π4；1

14.设函数()()()11,1,lg1.xaxxfxxax−++=−①当0a=时，((10))ff=________；②若()fx恰有2个零点，则a的取值范围是________．【答案】①.0②.(),02,−+【解析】【分析】①根

据函数解析式求得((10))ff.②对a进行分类讨论，根据()fx零点的个数求得a的取值范围.【详解】①，0a=时，()()21,1lg,1xxfxxx+=，所以()10lg101f==，所以()((10))1lg10fff==

=.②，令()0fx=，可得:当1x时，()()110xax−++=，所以1x=−或1xa=−，当0a=或2a时，方程()()110xax−++=在(),1−上有唯一解1x=−，当0a或02a时

，方程()()110xax−++=在(),1−上的解为1x=−或1xa=−，当1x时，lg0xa−=，所以当0a时，10ax=，当0a时，方程lg0xa−=在)1+，上无解，综上，当0a时，函数()fx有两个零点1,1a−−，当0a

=时，函数()fx有两个零点1,1−，当02a时，函数()fx有三个零点1,1,10aa−−，当2a时，函数()fx有两个零点1,10a−，因为()fx恰有2个零点，所以2a或0a，所以a的取值范围是(

),02,−+.故答案为：0；(),02,−+15.已知函数()222fxxxt=−+，()exgxt=−.给出下列四个结论：①当0t=时，函数()()yfxgx=有最小值；②tR，使得函数()()yfxgx=在

区间)1,+上单调递增；③tR，使得函数()()yfxgx=+没有最小值；④tR，使得方程()()0fxgx+=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①②④【解析】【分析】利用函数最值与单调

性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取1t=−，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误.的【详解】对于①，当0t=时，()()()22exyfxgxxx==−，则()22e

xyx=−，由0y可得22x−，由0y可得2x−或2x，此时，函数()22exyxx=−增区间为(),2−−、()2,+，减区间为()2,2−，当0x或2x时，()22e0xyxx=−

，当02x时，()22e0xyxx=−，故函数()22exyxx=−在2x=处取得最小值，①对；对于②，()()()()()2222e22e2e2e1xxxxyxtxxtxtx=−−+−+=−+−+，令()e1xhxx=

−+，其中1x，则()e10xhx=−，所以，函数()hx在)1,+上单调递增，所以，()()e11e0xhxxh=−+=，则e1e0xx−−，由()()22e2e10xxyxtx=−+−+可得()22e2e1xxxtx−−+，构造函数(

)()22ee1xxxpxx−=−+，其中1x，则()()()()23224e42e442eee1e1xxxxxxxxxxxxpxxx−+−−+−==−+−+，令()2442exqxxx=−+−，其中1x

，则()()242e0xqxxx=−−，所以，函数()qx在)1,+上单调递减，故当1x时，()()112e0qxq=−，则()0px，即()px在)1,+上单调递减，()()max11pxp==，则21t，解得12t

，②对；对于③，()()22exyfxgxxxt=+=−++，22exyx=−+，因为函数22exyx=−+在R上单调递增，010xy==−，1e0xy==，所以，存在()00,1x，使得0y=，当0xx时，0y，此时函数22e

xyxxt=−++单调递减，当0xx时，0y，此时函数22exyxxt=−++单调递增，的所以，对任意的实数t，函数22exyxxt=−++有最小值，③错；对于④，令()22exuxxxt=−++，不妨令()010ut=+=，即取1t=−，由③可知，函数()22e1xuxxx=−+−在()0

,x−上单调递减，在()0,x+上单调递增，因为()00,1x，则()()000uxu=，()22e10u=−，所以，存在()10,2xx，使得()10ux=，此时函数()ux的零点之和为1102xx+=，④对.故答案为：①

②④.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造

新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0fx=分离变量得出()agx=，将问题等价转化为直线ya=与函数()ygx=的图象的交点问题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演

算步骤或证明过程.16.如图，在ABCV中，2π3A=，2AC=，CD平分ACB交AB于点D，3CD=．（1）求ADC的值；（2）求BC的长度；（3）求BCD△的面积．【答案】（1）π4（2）6（3）3(31)4−【解析】【分析】（1）在ADC△中，利用正弦定理即可得解；（

2）由（1）可求出ACDBCD=，判断出ABCV为等腰三角形，进而求得BC.（3）根据三角形的面积公式即可得解.【小问1详解】在ADC△中，由正弦定理得sinsinACCDADCA=，所以2π2sinsin23sin23ACAADCCD===，因为π03ADC，所以π

4ADC=；【小问2详解】由（1）得2ππππ3412ACDBCD==−−=，由题设，π6BACB==，即ABCV为等腰三角形，所以π2cos66BCAC==.【小问3详解】ππ321262sin34

22224−−=−=，所以BCD△的面积11π3(31)sin63sin22124BCDSBCCDBCD−===V.17.已知函数π()sin()0,0,02fxAxA=+的最小正周期为π．（1）若2A=，(0)1f=，求的值；（2）从条件①

、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定()fx的解析式，并求函数()()2cos2hxfxx=−的单调递增区间．条件①：()fx的最大值为2；条件②：()fx的图象关于点5π,012中心对称；条件③：()fx的图象经过点π,312．注：

如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π6=（2）()π2sin26fxx=+，单调递增区间πππ,π63kk−++，kZ【解析】【分析】（1）根据条件，代入()2,01Af==，即可求解；（2）根据三角函数的性质，

选择条件，代入后，即可求解函数的解析式，利用三角恒等变换，代入函数单调递增区间，即可求解.【小问1详解】因为2A=，()01f=，则12sin1,sin2==，且π02，则π6=.【小问2详

解】因为函数()fx的最小正周期为π，则2=，若选①②，则2A=，且5π5π2sin0126f=+=，且π02，则5π5π4π663+，则5ππ6+=，则π6=，所以()π2sin26fxx=+；若选择①

③，则2A=，且ππ2sin3126f=+=，则π3sin62+=，π02，则ππ2π663+，则ππ63+=，则π6=，所以()π2sin26fxx=+；若选择②③

，由②可知，π6=，由③可知，πππ3sin312662fAA=+==，则2A=，所以()π2sin26fxx=+.()π2sin22cos23sin2cos26hxxxxx=+−=−π2sin26x=−

，令πππ2π22π262kxk−+−+，kZ，得ππππ63kxk−++，kZ，所以函数ℎ(𝑥)的单调递增区间是πππ,π63kk−++，kZ.18.为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了20152023−年工业机器人的产

量和销量数据，如下表所示．年份201520162017201820192020202120222023产量万台3.37.213.114.818.723.736.644.343.0销量万台6.98.713.815.414.015.627.129.731

.6记20152023−年工业机器人产量的中位数为a，销量的中位数为b．定义产销率为“100%=销量产销率产量”．（1）从20152023−年中随机取1年，求工业机器人的产销率大于100%的概率；（2）从20202318−年这6年中随机取2年，这2年中有X年工业机器人的产量不小于a，有Y年工

业机器人的销量不小于b．记ZXY=+，求Z的分布列和数学期望()EZ；（3）从哪年开始的连续5年中随机取1年，工业机器人的产销率超过70%的概率最小．结论不要求证明【答案】（1）49（2）分布列见解析；()103E

Z=（3）2018年和2019年【解析】【分析】（1）按古典概型的概率计算求解.（2）先根据中位数的概念确定a，b的值，在确定X，Y的所有可能值，进一步得Z的所有可能的取值，再求Z的分布列.（3）计算产销率，可直接得到结论.【小问1

详解】记事件A为“工业机器人的产销率大于100%”．由表中数据，工业机器人的产销率大于100%的年份为2015年，2016年，2017年，2018年，共4年．所以()49PA=．【小问2详解】因为18.7a=，15.4b=，所以X的所有可能的取值为1,2；Y的所有可能的取值为1,2．

所以Z的所有可能的取值为234,,．2226C1(2)C15===PZ，112426CC8(3)C15===PZ，2426C2(4)C5===PZ．所以Z的分布列为：Z234P11581525故Z的数学期望()18210234151553EZ=++=．【小问3

详解】2018年和2019年．19.已知椭圆2222:1xyEab+=过点()2,1P−和()22,0Q.（1）求椭圆E的方程；（2）过点()0,2G作直线l交椭圆E于不同的两点,AB，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N.若2GMGN=，求直线

l的方程.【答案】（1）22182xy+=（2）2yx=+或0x=【解析】【分析】（1）两个点()()2,1,22,0PQ−代入解方程即可.(2)斜率不存在单独算出2GMGN=是否成立；斜率存在时把l设出来与椭圆联立，韦达定理求出两根之和与两根之积用斜率

k来表示，然后GMGN用两个根表示，化简求值即可.【小问1详解】将点()()2,1,22,0PQ−坐标代入椭圆E的方程，得222411,81,aba+==解得228,2ab==,所以椭圆E的方程为：22

182xy+=【小问2详解】若直线l的斜率不存在，即直线l为0x=时，A和M重合，B和N点重合，分别为椭圆的上下顶点()()0,20,2−，此时()()22222GMGN=−+=，符合题意.若直线l斜率存在，设直线AB的方程为2ykx=+，()()(11221,,2AxyBxyx

−且)22x−，联立方程222182ykxxy=++=得，()22411680kxkx+++=，()()()2222116324132410,,4kkkk=−+=−即12k或12k−11212221216841

411PAykxxxxkkkx−−+===+++，所以直线PA的方程为()111212yyxx−=+++，取0x=得()11210,12yMx−++，同理可得()22210,12yNx−++由2GMGN=得(

)()121221211212222yyxx−−+−+−=++，即()()1212212111222yyxx−−−−=++，所以()2121221222xxkxx−=++，即()()212121221224xxkxxxx−=+++，即()22228412128324414

1kkkkk+−=−++++即()22211483kkk−=−+，因为12k，所以得21123kk−=−，即1k=，经检验符合题意，此时直线l为2yx=+综上所述，直线l的方程为2yx=+或0x=.20.已知函数()ln()xafxx−=．（1）若1a

=，求函数()fx的零点：（2）若1a=−，证明：函数()fx是(0,+∞)上的减函数；（3）若曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线与直线0xy−=平行，求a的值．【答案】（1）2（2）证明见解析.（3）0.【解析】【分

析】（1）直接解方程即可求出零点；（2）利用导数证明函数的单调性；（3）先由()yfx=在点()()1,1f处的切线与直线0xy−=平行，得到()ln11aaa−=−，用图像法求出a=0.【小问1详解】当1a=时，()ln1()xfxx−=.令()ln1()0xfx

x−==，解得：x=2.即函数()fx的零点是2.【小问2详解】当1a=−时，()ln1()xfxx+=定义域为()()1,00,−+.所以()()()21ln1()1xxxfxxx−++=+.令()()()1ln1gxxxx=−++，则()()ln1gxx=

−+当𝑥∈(0,+∞)时，()0gx恒成立，所以()gx在𝑥∈(0,+∞)上单调递减，所以当0x时，都有()()00gxg=.所以()0fx在𝑥∈(0,+∞)上恒成立，所以函数()fx是(0,+∞)上的减函数.【小问3详解】()()()2ln()

xxaxafxxxa−−−=−.所以()()11ln1(1)1aakfa−−−==−.因为()yfx=在点()()1,1f处的切线与直线0xy−=平行，所以()()11ln1(1)11aakfa−−−===−.即()ln11aaa−=−.记()()()ln111ahaa

aa=−−−，则()()21ahaa=−.当0a时，()()201ahaa=−，所以()ha单调递减；当01a时，()0ha，所以()ha单调递增.而()0ln100h=−=，所以a=0是方程()ln11aaa−=−的唯一解.故a=0.21.已

知()12:,,,4nnAaaan为有穷数列．若对任意的0,1,,1in−,都有11iiaa+−（规定0naa=）,则称nA具有性质P．设()(),1,22,1,2,,nijTijaajinijn=−−−=．（1）判断数列45:1,0.1,1.2,

0.5,:1,2,2.5,1.5,2AA−−是否具有性质P？若具有性质P,写出对应的集合nT;（2）若4A具有性质P,证明:4T;（3）给定正整数n,对所有具有性质P的数列nA,求nT中元素个数的最小值．【答案】（1）4A不具有性质P,5A具有性质P,()()()()51,4,2,

4,2,5,3,5T=（2）证明见解析（3）3n−【解析】【分析】(1)根据性质P的定义,观察到321.31aa−=,可得4A不具有性质P,根据5:1,2,2.5,1.5,2A,可以发现5A中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故5A具有性质P,根据5T定义代入求值,

即可得出5T;(2)“4T”等价于“证明()()1,3,2,4两个元素至少有一个在4T中”,利用反证法假设()()1,3,2,4两个元素都不在4T中,通过范围推出矛盾即可.(3)设nT中元素个数最小值为nd,根据新定义可得11nndd−+,以此类推可得44nddn+−,由(2)中的结论可

得41d,即可得3ndn−,再进行验证即可.【小问1详解】解:由题知4:1,0.1,1.2,0.5A−−,即12341,0.1,1.2,0.5,aaaa===−=−因321.31aa−=,所以4A不具有性质

P,由于5:1,2,2.5,1.5,2A,即123451,2,2.5,1.5,2,aaaaa=====因为21324311,0.51,11,aaaaaa−=−=−=54510.51,11,aaaa−=−=故

5A具有性质P,因为41420.51,0.51,aaaa−=−=523501,0.51,aaaa−=−=故()()()()51,4,2,4,2,5,3,5T=;为【小问2详解】“4T”等价于“证明()()1,3,2,4两个元素至少有一个在4

T中”,假设()()1,3,2,4两个元素均不在4T中,则有31421,1,aaaa−−不妨设12aa≤,若23aa,则由()()313221aaaaaa−=−+−,可得3111aa−−,与311aa−矛盾,故23aa,同理34a

a,从而1234aaaa,所以()()01414221421aaaaaaaaaa−=−=−+−−,与4A具有性质P矛盾,所以假设不成立,即4T;【小问3详解】设()123min,,,,21,knaaaaakn=−规定1k=时,1k

naa−=,kn=时,11kaa+=,则11,,1kkkkaaaa−++,所以111kkaa+−−,考虑数列311:,,kkkBaaa−+,112311:,,,,,,,nkknCaaaaaa−−+,由题设可知,他们均具有性质P,设nT中元素个数最小值

为nd,所以11nndd−+,所以124124nnnddddn−−+++−,由(2)知41d,从而3ndn−,当21nm=+时,令()()31,2,,,1,2,,12imiaiimamiim+===+−=+,当2nm=时,

令()()11,2,,,1,2,,2imiaiimamiim+===+−=,此时均有3ndn=−,所以nT中元素个数的最小值为3n−.【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有:(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思;(2)由已知条

件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言;(3)将已知条件代入新定义的要素中;(4)结合数学知识进行解答.