【文档说明】北京市房山区2023-2024学年高一上学期期末检测数学试卷 Word版含解析.docx，共(16)页，1.050 MB，由管理员店铺上传

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房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高一数学本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四

个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知()2,3A−，()4,1B−，则线段AB中点的坐标为（）A.()3,2−B.()3,2−C.()1,1D.()1,1−−【答案】D【解析】【分析】根据,AB两点的坐标，利用平面向量的坐标表示计算可得结

果.【详解】设线段AB中点的坐标为(),Mxy，取()0,0O，则()()2,3,4,1OAOB=−=−uuruuur；由向量的坐标表示可得2OMOAOB=+，即224,231xy=−=−+，解得1,1xy=−=−；所以线段AB中点的坐标为()1,1−−.故选：D2.某产品按质量

分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为（）A0.05B.0.25C.0.8D.0.95【答案】A【解析

】【分析】根据概率之和为1求解.【详解】“抽到甲级品”，“抽到乙级品”，“抽到丙级品”是互斥事件，因为“抽到甲级品”的概率为0.80，“抽到乙级品”的概率为0.15，则“抽到丙级品”的概率为0.800.051150.−=−..故选：A3.下列四个函数中，在()0,+上

单调递减的是（）A.yx=B.2yxx=−+C.2xy=D.2logyx=−【答案】D【解析】【分析】ACD可根据函数图象直接判断；C选项，配方后得到函数单调性.【详解】A选项，yx=在()0,+上单调递增，A

错误；B选项，221124yxxx=−+=−−+，故在10,2上单调递增，在1,2+上单调递减，B错误；C选项，2xy=在()0,+上单调递增，C错误；D选项，2logyx=在()0,

+上单调递增，故2logyx=−在()0,+上单调递减，D正确.故选：D4.设2log0.3a=，20.3b=，0.32c=，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.acbC.bacD.bca【答案】A【解析】【分析】利用函数性质，确定与中间

量0和1的大小关系即可.【详解】22log0.3log10a==,2000.30.31b==,0.30221c==.所以abc.故选：A.5.甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击10次，两人的测试成绩如下表：甲的成绩乙

的成绩环数678910环数678910频数12421频数32113甲、乙两人成绩的平均数分别记作1x，2x，标准差分别记作1s，2s，则（）A.12xx，12ssB.12xx，12ssC.12xx，12ssD

.12xx，12ss【答案】C【解析】【分析】根据平均数、方差公式运算求解.【详解】由题意可得：()1161728492101810x=++++=，()21637281911037.910x

=++++=，()()()()()222221168178288498210811.210s=−+−+−+−+−=，()()()()()222222167.9377.9287.9197.91107.932.6910s=−+−+−+−+−=

，所以12xx，12ss.故选：C.6.如图，在ABC中，点M，N满足AMMB=，3BNNC=，则MN=（）A.1344ABAC+B.1344ABAC−C.1344ABAC−+D.1344ABAC−−【答案】C【解析】【分析】直接利用向量的几何运算求解即可.【详解】()13

1331242444MNMBBNABBCABACABACAB=+=+=+−=−.故选：C.7.在信息论中，设某随机事件发生的概率为p，称21logp为该随机事件的自信息.若按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币，则事件“恰好出现一次正面”的自信息为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【

解析】【分析】依题意计算出事件“恰好出现一次正面”的概率为12p=，代入计算可得结果.【详解】根据题意可知，按先后顺序抛掷两枚均匀的硬币共有“正正、反反、正反、反正”四种情况，则事件“恰好出现一次正面”的概率为12p=，

所以“恰好出现一次正面”的自信息为221loglog21p==.故选：B8.设,ab是向量，“aab=+”是“0b=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量的运算性质结合充分条件和必要条件的判定，即可得出答案.【详解】当1

2ab=−时，1122abbbba+=−+==，推不出0b=当0b=时，0b=，则0abaa+=+=即“aab=+”是“0b=”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，属于中档题.9.血氧饱和度

是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：0()eKtStS=描述血氧饱和度()St随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中0S为初始

血氧饱和度，K为参数.已知060%S=，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）（精确到0.1，参考数据：ln2069ln3110．，．）A.0.3B.0.

5C.0.7D.0.9【答案】B【解析】【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要1t−小时，由题意可得60e80K=，60e90Kt=，两边同时取自然对数并整理，得80

4lnlnln4ln32ln2ln3603K===−=−，903lnlnln3ln2602Kt===−，则ln3ln21.100.691.52ln2ln320.691.10t−−=−−，则给氧时间至少还需要0.5小时故选：B10.已知函数()12xfx=，()221fxx=+，

()()1log1agxxa=，()()20gxkxk=，则下列结论正确的是（）A.函数()1fx和()2fx的图象有且只有一个公共点B.0xR，当0xx时，恒有()()12gxgxC.当2a=时，()00,x+，()()101

0fxgxD.当1ak=时，方程()()12gxgx=有解【答案】D【解析】【分析】对于A，易知两个函数都过()0,1，结合特值和图象可得函数()1fx和()2fx图像有两个公共点；对于B，由函数的增长速度可判断；对于C，当2a=时，作图可知xR，有()()11fxgx恒成立；对于D，当

1ak=时，易知两个函数都过点1,1k，即方程()()12gxgx=有解；【详解】对于A，指数函数()12xfx=与一次函数()221fxx=+都过()0,1，且()()121213ff==，()()123837ff==，的故还会出现一个交点，如图所示，所以函数()1fx和

()2fx的图像有两个公共点，故A错误；对于B，()()1log1agxxa=，()()200gxkxk==均单调递增，由对数函数的性质可得对数函数的增长速度越来越慢，逐渐趋近0，一次函数的增长速度固定，所以不存在0xR，当0xx时

，恒有()()12gxgx，故B错误；对于C，当2a=时，指数函数()12xfx=与对数函数()12loggxx=互为反函数，两函数图像关于直线yx=对称，如图所示，由图可知，xR，有()()11fxgx恒成立，故C错误；对

于D，当1ak=时，()11logkgxx=，()()20gxkxk=，由1a知，11k，且两个函数都过点1,1k，即方程()()12gxgx=有解，故D正确；故选：D【点睛】方法点睛：已知函数

有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而

构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.238=____________；lg42lg5+=___________.【答案】①.4②.2【解析】【

分析】直接利用指数对数的运算性质计算即可.【详解】()222338824===，()22lg42lg5lg4lg5lg45lg1002+=+===.故答案为：4；2.12.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若(),cab=+R，则+=

_________.【答案】3【解析】分析】根据题意将向量a，b，c坐标化，解方程即可求出2,1==，可得结果.【详解】以b的起点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，b的方向为y轴负方向，建立平面直角坐标系；不妨取()1,1a=，()0,1b=−，()2,1c=，由(),c

ab=+R可得()()2,10,=+−，即可得2,1==，即3+=.故答案为：313.为估计某森林内松鼠的数量，使用以下方法：先随机从森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上记号后放回森林.再随机

从森林中捕捉50只，若尾巴上有记号的松鼠共有5只，估计此森林内约有松鼠_______只.【答案】1000【解析】【【分析】直接根据比例求解.【详解】估计此森林内约有松鼠5100100050=只.故答案为：100014.已知向量()3,1a=，(),bxy=，若a，b共线，且1b=

，则向量b的坐标可以是__________.（写出一个即可）【答案】31,22或31,22−−（写出一个即可）【解析】【分析】直接根据题目条件列方程组求解即可.【详解】由已知得2231yxxy=+=，解得3212xy==或3212xy=−

=−，即向量b的坐标可以是31,22或31,22−−.故答案为：31,22或31,22−−（写出一个即可）.15.函数()()31,1lo

g,1aaxxfxxx−−=，若4a=，则()()2ff−=_________；若函数()fx是(),−+上的增函数，则a的取值范围是___________.【答案】①.0②.)2,3【解析】【分析】（1）利用分段函数的解析式，直接求值即可；（2）函数在

(),−+上递增，必须函数的每一段都递增，且1x=时，()311log1aa−−.【详解】（1）当4a=时，()()()234211f−=−−−=，()41log10f==.（2）因为函数在(),

−+上递增，所以：()301311log1aaaa−−−23a.故答案为：0；)2,316.有一组样本数据1x，2x，…，6x，其中1x是最小值，6x是最大值，下面有四个结论：①2x，

3x，4x，5x的中位数等于1x，2x，…，6x的中位数；②2x，3x，4x，5x的平均数等于1x，2x，…，6x的平均数；③2x，3x，4x，5x的标准差不大于1x，2x，…，6x的标准差；④2x，3x，4x，5x的极差不大于1x，2x，…，6x的极差.则所有正确结论

的序号是____________.【答案】①③④【解析】【分析】由中位数、极差、方差的定义性质结合平均数公式逐一判断即可.详解】由题意不妨设123456xxxxxx，对于2x，3x，4x，5x的中位数和1x，2x，…，6x的中位数均为342xx+，故①正确；取12345612

xxxxxx======，此时2x，3x，4x，5x的平均数为1，它小于1x，2x，…，6x的平均数76，故②错误；对于③，2x，3x，4x，5x相比1x，2x，…，6x去掉了两个极端的数，应更为稳定，故③正确；2x，3x，4x，5x的极差与1x

，2x，…，6x的极差满足5261xxxx−−，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共5题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.设向量a与b不共线.（1）若()1,2a=r，()1,1b=−，且2akb−与32ab−平行，求实数k的值；（2）若ABa

b=−，32BCab=+，82CDab=−−，求证：A，C，D三点共线.【答案】（1）43k=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用向量平行求待定系数；（2）证明ACCD=，可得A，C，D三点共线.【【小问1详解】()1,2a=，()1,1b=−，则()22,4ak

bkk−=+−，()325,4ab−=.因为2akb−与32ab−平行，所以有()()42540kk+−−=.解得43k=.【小问2详解】因为ABab=−，32BCab=+，82CDab=−−，所以324ACABBCaba

bab=+=−++=+，所以2CDAC=−.所以AC与CD共线，又因为有公共点C，所以A，C，D三点共线.18.一个问题，甲正确解答的概率为0.8，乙正确解答的概率为0.7.记事件:A甲正确解答，事件:

B乙正确解答.假设事件A与B相互独立.（1）求恰有一人正确解答问题的概率；（2）某同学解“求该问题被正确解答的概率”的过程如下：解：“该问题被正确解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，所以随机事件“

问题被正确解答”可以表示为AB+.所以()()()0.80.71.5PABPAPB+=+=+=.请你指出这位同学错误的原因，并给出正确解答过程.【答案】（1）0.38（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分析可知，事件“恰有一人正确解答

”可表示为ABAB+，利用互斥事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）指出该同学作答的错误之处，分析可知，“问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，可以表示为ABABAB++，利用互斥事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率，或利用对

立事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：事件“恰有一人正确解答”可表示为ABAB+，因为AB、AB互斥，A与B相互独立，所以()()()()()()()PABABPABPABPAPBPAPB+=+=+0.20.70.80.30.38=

+=.小问2详解】解：该同学错误在于事件A、B不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式.正确的解答过程如下：“问题被解答”也就是“甲、乙二人中至少有一人正确解答了问题”，可以表示为ABABAB++，且A

B、AB、AB两两互斥，A与B相互独立，所以()()()()PABABABPABPABPAB++=++()()()()()()0.20.70.80.30.80.70.94PAPBPAPBPAPB=++=

++=.或者()()()()11PABPABPAPB+=−=−()()110.810.70.94=−−−=.19.已知函数()()()33log2log2fxxx=++−.（1）求()fx的定义域；（2）判断()fx的奇偶性，并证明；（3）解关于x的不等式()1fx.【答案】（1）()2

,2−（2）函数()fx是定义在()2,2−上的偶函数，证明见解析（3）11xx−【解析】【分析】（1）根据对数函数定义域求法可得()fx的定义域为()2,2−；（2）利用定义域关于原点对称，由奇偶性定义可得()fx为偶函数

；（3）由对数函数单调性解不等式即可得不等式()1fx的解集为11xx−.【小问1详解】由题意可得2020xx+−，解得22x−.所以函数()fx的定义域为()2,2−.【小问2详解】【

偶函数，证明如下：函数()fx的定义域为()2,2−，关于原点对称.因为()()()33log2log2fxxx=++−，所以()()()()33log2log2fxxxfx−=−++=.即函数()fx是定

义在()2,2−上的偶函数.【小问3详解】由()()()()2333log2log2log4fxxxx=++−=−，得()23log41x−，即()233log4log3x−.因为3logyx=在()0,+是增函数，所以243x−≥

.解得11x−，因为函数()fx的定义域为()2,2−.因此不等式()1fx的解集为11xx−.20.某校为了调查学生的体育锻炼情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均锻炼时间（单位：小

时）数据按照)3,5，)5,7，)7,9，)9,11，11,13分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值；（2）用分层抽样的方法从)9,11和11,13两组中抽取了6人.求从这6人中随机选出2人

，这2人不在同一组的概率；（3）假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，试估计全校学生周平均锻炼时间的平均数.【答案】（1）0.15a=（2）815（3）7.92小时【解析】【分析】（1）由频率分布直方图所有矩形的面积之和为1计算可得0.15a=;（2）列举出从6人中随机选出2人的所有

情况，再求得2人不在同一组的情况，即可求得其概率；（3）由频率分布直方图计算平均数公式代入计算即可求得结果.【小问1详解】因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，易知组距为2，所以()0.020.050.10.1821

a++++=，解得0.15a=.【小问2详解】由频率分布直方图可知)9,11和11,13两组的频数的比为0.1:0.052:1=所以利用分层抽样的方法抽取6人，这两组被抽取的人数分别为4，2，

记)9,11中的4人为1a，2a，3a，4a，11,13中的2人为1b，2b，从这6人中随机选出2人，则样本空间121314232434111221223132414212,,,,,,,,,,,,,,aaaaaaaaaaaaababababababab

abbb=，共15个样本点设事件A：选出的2人不在同一组，1112212231324142,,,,,,,Aabababababababab=，共8个样本点，所以()815PA=【小问3详解】()40.0260.1880.15100.1120.0527.92++++=估计

全校学生周平均锻炼时间的平均数为7.92小时21.若0M，对xD，都有()fxM成立，则称函数()fx在D上具有性质()JM.（1）分别判断函数()221xxfx−=−+与()11xgxx+=−在区间)2,+上是否具有性质()JM，如果具有

性质()JM，写出M的取值范围；（2）若函数()124xxhxa+=−在0,1上具有性质()1J，求实数a的取值范围.【答案】21.详见解析；22.3,14.【解析】【分析】（1）根据题意结合调性与最值分析判断；（2）令2

1,2xt=，由题意可得对1,2t，都有2121att−−≤≤.方法1：利用参变分类结合恒成立问题分析求解；方法2：先取特值1,2，求得314a，进而根据二次函数分析求解；方法3：分类讨论二次函数对称轴与区间的关系，结合恒成立问题分析求解.【小问1详解】因为2xy=

在)2,+上是单调递增的函数，2xy−=在)2,+上是单调递减的函数，则()221xxfx−=−+在)2,+上是单调递增的函数，可得()()19204fxf=≥，任意0M，当()22114log2MMx−+

−+时，()221xxfxM−=−+，所以函数()221xxfx−=−+在区间)2,+上不具有性质()JM.因为()11221111xxgxxxx+−+===+−−−在区间)2,+上单调递减，由

)2,x+可得)11,x−+，则(10,11x−，所以()(1,3gx，所以3M=，对)2,x+，()3gx，即函数()gx在区间)2,+上具有性质()JM，且M的取值范围是)3,+.【小问2详解】因为函数()124xxhxa+=−在0

,1上具有性质()1J，即对0,1x，都有()11hx−，且()()2124222xxxxhxaa+=−=−，令21,2xt=，可得对1,2t，都有2121att−−≤≤，方法1：

1,2t，都有111122tattt−+，设()122tmtt=−，()112nttt=+，可得()maxamt，()minant≤，因为()mt在区间1,2上单调递增，()nt在区间1,2

上单调递增.则()()max324mtm==，()()min11ntn==.可得314a，所以a的取值范围为3,14.方法2：对1,2t，都有2121att−−≤≤，可得12111441aa−−−−，解得314a，若314a，函数()22Fttat

=−+的对称轴为1ta=≤，则()22Ftatt=−在1,2t上单调递减，所以()()21112121FattF−−−，即314a，所以a的取值范围为3,14.方法

3：函数()22Fttat=−+的对称轴为ta=，以对称轴与区间的关系分1a，12a，2a三种情况.（i）当1a时，12111441aa−−−−，解得314a；（ⅱ）当2a时，12111441aa−−−−，不合

题意，舍去；（ⅲ）当12a时，2212111441121aaaa−−−−−−，不合题意，舍去；综上所述：a的取值范围为3,14.