【文档说明】2021-2022高中数学人教A版选修2-1作业：3.1.3空间向量的数量积运算 （系列三）含解析.docx，共(6)页，52.457 KB，由小赞的店铺上传

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课时作业20空间向量的数量积运算时间：45分钟分值：100分A学习达标一、选择题(每小题6分，共36分)1．设a、b为空间的非零向量，下列各式：①a2＝|a|2；②a·ba2＝ba；③(a·b)2＝a2·b2；④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，其中正确的个数为

()A．1B．2C．3D．4解析：由数量积的性质和运算律可知①④是正确的，故选B.答案：B2．已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为()A．－6B．6C．3D．－3解析：由a⊥b，得a·

b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.故选B.答案：B3．设ABCD－A′B′C′D′是棱长为a的正方体，AC′和BD′相交于点O，则有()A.AB→·A′C→＝2a2B.AB→·

AC→＝2a2C.AB→·AO→＝12a2D.BC′→·AD→＝a2解析：由AB→·AO→＝12AC′→·AB→＝12(AB→＋BC→＋CC′→)·AB→＝12a2.答案：C4．已知空间四边形ABCD各条边的长度相等，E是BC

边的中点，那么()A.AE→·BC→<AE→·CD→B.AE→·BC→＝AE→·CD→C.AE→·BC→>AE→·CD→D.AE→·BC→与AE→·CD→不能比较大小答案：A5．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB→·AC→＝

0，AC→·AD→＝0，AB→·AD→＝0，则△BCD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析：BD→·BC→＝(AD→－AB→)·(AC→－AB→)＝AD→·AC→－AD→·AB→－AB→·AC→＋AB2→＝AB

2→>0，∴cos∠DBC>0，∠DBC为锐角，同理∠BDC，∠BCD为锐角．∴△BCD为锐角三角形．答案：B6．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(

)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：设〈AB→，CD→〉＝θ，AB→·CD→＝(AC→＋CD→＋DB→)·CD→＝|CD→|2＝1，∴cosθ＝AB→·CD→|AB→||CD→|＝12，又

∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°，故选C.答案：C二、填空题(每小题8分，共24分)7．已知空间向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．解析：∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c

2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－32＋12＋422＝－13.答案：－138．若AB→·BE→＝AB→·BC→，则AB→________CE→.解析：AB→·BE→＝AB→·BC→，则AB→·(BE→－BC→)＝AB→·CE→＝0

.∴AB→⊥CE→.答案：⊥9．已知|OA→|＝5，|OB→|＝2，〈OA→，OB→〉＝60°，OC→＝2OA→＋OB→，OD→＝OA→－2OB→，则以OC、OD为邻边的平行四边形OCED的对角线OE的长为__________．解析：∵OE→＝OC→

＋OD→，∴OE→2＝(OC→＋OD→)2＝(2OA→＋OB→＋OA→－2OB→)2＝(3OA→－OB→)2＝9OA→2＋OB→2－6OA→·OB→＝9×25＋4－6×5×2×cos60°＝199.∴OE＝199.答案：199三、解答题(共40分)图110．(10分)已知

空间四边形ABCD，求AB→·CD→＋BC→·AD→＋CA→·BD→的值．解：AB→·CD→＋BC→·AD→＋CA→·BD→＝AB→·(AD→－AC→)＋(AC→－AB→)·AD→－AC→·(AD→－AB→)＝AB→·AD

→－AB→·AC→＋AC→·AD→－AB→·AD→－AC→·AD→＋AC→·AB→＝0.11．(15分)BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角．图2解：如图2所示．∵

BA1→＝BA→＋BB1→，AC→＝AB→＋BC→，∴BA1→·AC→＝(BA→＋BB1→)·(AB→＋BC→)＝BA→·AB→＋BA→·BC→＋BB1→·AB→＋BB1→·BC→.因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴AB→·BC→＝0，BB1→·AB→＝

0，BB1→·BC→＝0，BA→·AB→＝－a2.∴BA1→·AC→＝－a2.又BA1→·AC→＝|BA1→|·|AC→|cos〈BA1→，AC→〉，∴cos〈BA1→，AC→〉＝－a22a·2a＝－12.∴〈BA1→，AC→〉＝120°，∴异面直线BA1与AC成60°角．B创

新探究图312．(15分)如图3所示，已知P是△ABC所在平面外一点，PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB，求证：P在面ABC上的射影H是△ABC的垂心．证明：∵PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB，∴PA→·PC→＝0，PB→·PC→＝0，PA→·P

B→＝0，PA→⊥平面PBC.∴PA→·BC→＝0.由题意可知，PH⊥面ABC，∴PH→·BC→＝0，PH→·AB→＝0，PH→·AC→＝0.∴AH→·BC→＝(PH→－PA→)·BC→＝PH→·BC→－PA→·BC→＝0.∴AH⊥BC.同理可证BH⊥

AC，CH⊥AB.∴H为△ABC的垂心．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com