【文档说明】北京市石景山区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题 含解析.docx，共(15)页，895.865 KB，由小赞的店铺上传

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2023年北京市石景山区高二下学期期末数学试卷本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题

列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合24Axx=−，2,3,4,5B=，则AB=（）A.2B.2,3C.3,4D.2,3,4【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求AB.【详解】由题设有2,3AB=，故选：B.2.设函数331()

fxxx=−,则()fx（）A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为0xx，利用

定义可得出函数()fx为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因函数()331fxxx=−定义域为0xx，其关于原点对称，而()()fxfx−=−，所以函数()fx为奇函数．又因为函数3yx=在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增，而331yxx−==在(

)0,+?上单调递减，在(),0-?上单调递减，所以函数()331fxxx=−()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增．为在故选：A．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．3.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒

种子恰有2粒发芽的概率是A.16625B.96625C.192625D.256625【答案】B【解析】【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次，由n次独立重复事件恰好发生k次的概率的公式可得，()2224441962()()

55625PC==故选B．4.若()554325432102xaxaxaxaxaxa−=+++++，则12345aaaaa++++=（）A.32−B.31−C.31D.32【答案】C【解析】【分析】利用赋值法可求出结果.【详解】在()554325432102xa

xaxaxaxaxa−=+++++中，令1x=，得1−=012345aaaaaa+++++，令0x=，得032a−=，所以12345aaaaa++++=13231−+=.故选：C5.设xR，则“21x−”是“220xx+−”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D

.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】由21x−，可得13x，即x(1,3)；由22(1)(2)0xxxx+−=−+，可得<2x−或1x，即x

(,2)(1,)−−+；∴(1,3)是(,2)(1,)−−+的真子集，故“21x−”是“220xx+−”的充分而不必要条件.故选：A6.某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14B.24C.28D.48【答案】A【解

析】【详解】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为．故选A.法二：从4男2女中选4人共有种选法，4名都是男生的选法有种，故至少有1名女生的选派方案种数为-=15-1=14．故选A7.函数2()2lngxxx=−+的图象大致是（）A.B.C.D.【答

案】C【解析】【详解】试题分析：由题：2()2lngxxx=−+，求导得：2()2(0)gxxxx+=−，即：222()(0)xgxxx−+=令：()22220,10,0,1xx−+−为增区间，()1,+为减区间．max(1)1g=−，得图为C考点：运用导数研究函数的性质.8.

设na是等差数列.下列结论中正确的是A.若120aa+，则230aa+B.若130aa+，则120aa+C.若120aa，则213aaaD.若10a，则()()21230aaaa−−【答案】C【解析】【详解】先分析四个答案，A举一反例1232

,1,4aaa==−=−，120aa+而230aa+，A错误，B举同样反例1232,1,4aaa==−=−，130aa+，而120aa+，B错误，D选项，2132,,aadaad−=−=−22132()(

)0,aaaad−−=−故D错，下面针对C进行研究，na是等差数列，若120aa，则10,a设公差为d，则0d，数列各项均为正，由于22213111()(2)aaaadaad−=+−+22221111220aaddaadd=++−−=，则2113aaa113aaa，故选C.

考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质的考查.9.设0a，若xa=为函数()()()2fxaxaxb=−−的极大值点，则（）A.abB.abC.2abaD.2aba【答案】D【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意

零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到,ab所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若ab=，则()()3fxaxa=−为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab¹.()fx有xa=和xb=两个不同零点，且在xa=左右附近是

不变号，在xb=左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在xa=左右附近都是小于零的.当a<0时，由xb，()0fx，画出()fx的图象如下图所示：由图可知ba，a<0，故2aba当0a时，由xb时，()0fx，画出()fx的图象如下图所示：由图可知ba，0a

，故2aba.综上所述，2aba成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.10.若集合{,,,}1,2,3,4,abcd=且下列四个关系：①=1a；②

1b；③=2c；④4d有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(,,,)abcd的个数是（）A.7B.6C.5D.4.【答案】B【解析】【分析】因为①=1a；②1b；③=2c；④4d中有且只有一个是正确的,故分四种情况

进行讨论,分别分析可能存在的情况即可.【详解】若仅有①成立,则=1a必有1b成立,故①不可能成立；若仅有②成立,则1a,1b,2c,=4d成立,此时有(2,3,1,4),(3,2,1,4)两种情况；若仅有③成立,则1a,1b=,=2c,=4d成立,此时仅有(3,1,2,

4)成立；若仅有④成立则1a,1b=,2c,4d成立,此时有(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2)三种情况，综上符合条件的所有有序数组(,,,)abcd的个数是6个，故选：B

第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.已知()12PAB=，()35PA=，则()|PBA等于______．【答案】56【解析】【分析】直接根据条件概率公式求解可得结果.【详解】因为()12PAB=，()35PA=，所以

()|PBA1()523()65PABPA===.故答案为：56.12.设函数()1122,1,1xxfxxx−=，则使得()2fx成立的x的取值范围是________.【答案】(,4−【解析】【分析】分1x和1x两种情况讨论从而解不等式()2fx即可.【详解】当

1x时，由()2fx，得122x−，所以11x−，又因为1x，所以1x；,当1x时，由()2fx，得122x，所以4x，又因为1x，所以14x.所以满足()2fx成立的x的取值范围为(,4−.故答案为：(,4−.13.若随机变量X的分

布列为X012P1313a则=a______，()DX为随机变量X的方差，则()DX=______．（用数字作答）【答案】①.13②.23【解析】【分析】根据分布列的性质求出a，根据方差公式求出()DX.【详解】由题意得11133a++=，得13a=.111()0121333EX=++=，

()()()222111()011121333DX=−+−+−23=.故答案为：13；23.14.二项式()*1nxnx−N的展开式中存在常数项，则n可以为______．（只需写出一个符合条件的值即可）【答

案】3（答案不唯一，n为3的倍数的正整数均可）【解析】【分析】在通项公式中，令x的指数为0，可求出结果【详解】3211C(1)CknkknkkkknnTxxx−−+=−=−，0,1,2,,kn=L，令3

02nk−=，得23nk=，因为k为整数，n为正整数，所以k为偶数，n为3的倍数的正整数.故答案为：3（答案不唯一，n为3的倍数的正整数均可）.15.已知数列na各项均为正数，其前n项和nS满足9(1,2,)nnaSn==．给出下列四个结论：①na的第2项小于

3；②na为等比数列；③na为递减数列；④na中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】推导出199nnnaaa−=−，求出1a、2a的值，可判断①；利用反证法

可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【详解】由题意可知，Nn，0na，当1n=时，219a=，可得13a=；当2n时，由9nnSa=可得119nnSa−−=，两式作差可得199nnnaaa−=−，所以，199

nnnaaa−=−，则2293aa−=，整理可得222390aa+−=，因为20a，解得235332a−=，①对；假设数列na为等比数列，设其公比为q，则2213aaa=，即2213981SS

S=，所以，2213SSS=，可得()()22221111aqaqq+=++，解得0q=，不合乎题意，故数列na不是等比数列，②错；当2n时，()1119990nnnnnnnaaaaaaa−−−−=−=，可得1nnaa−，所以，数列na为递减数列，③对；假设

对任意的Nn，1100na，则10000011000001000100S=，所以，1000001000009911000100aS=，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推

断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知函数()()1exfxx=−（1）判断函数()fx的单调性，并求出()fx

的极值；（2）在给定的直角坐标系中画出函数()yfx=的大致图像；（3）讨论关于x的方程()()0fxaa−=R的实根个数．【答案】（1）函数()fx的单调递增区间为(0,)+，单调递减区间为(,0)−；极小值为1−，无极大值（2）图象见解析（3）答案见解析【解析】【分

析】（1）由导数得出其单调性以及极值；（2）由单调性画出函数()yfx=的大致图像；（3）画出函数()fx与函数ya=的简图，由图像得出方程根的个数.【小问1详解】()e(1)eexxxfxxx=+−=0()0xfx，0()0xfx即函数()f

x的单调递增区间为(0,)+，单调递减区间为(,0)−极小值为(0)1f=−，无极大值.【小问2详解】当0x时，()0fx；当x→+时，()fx→+，且(1)0f=结合单调性，可画出函数()yfx=的大致图像，如下图所示【小问3详解】画出函数()fx与

函数ya=的简图，如下图所示由图可知，当1a−时，方程()()0fxaa−=R没有实数根；当1a=−或0a时，方程()()0fxaa−=R只有一个实数根；当10a−时，方程()()0fxaa−=R有两个不相等的实数根；

17.已知公差不为0的等差数列na的前n项和为nS，318S=，且1a，2a，4a成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）求数列1nS的前n项和nT．【答案】（1）3nan=（

2）nT()231nn=+【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，结合等差数列的性质与等比中项的性质求解即可；（2）根据等差数列的前n项和公式可得1nS，再裂项求和求解即可【小问1详解】设等差数列na的公差为d，由318S=，得13318ad+=，即16ad+=，

由1a，2a，4a成等比数列，得()()21113adaad+=+，即222111123aaddaad++=+，又0d得1ad=，所以13a=，3d=，故数列na的通项公式为3nan=．【小问2详解】由3nan=，得()()333122nnnnnS++==，所以()122113131nSn

nnn==−++，12111211111132231nnTSSSnn=+++=−+−++−+()21213131nnn=−=++．18.某同学参加甲、乙、丙3门课程的考试，设该同学在这3门课

程的考试中取得优秀成绩的概率分别为231,,342，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．（1）求该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率．（2）求该同学取得优秀成绩的课程数X的分布列和期望．【答案】（1）124（2）分布列见解析；期望为2

312【解析】【分析】（1）由独立事件的乘法公式代入即可得出答案.（2）X的可能取值为0,1,2,3，分别求出其对应的概率，即可求出分布列和期望.【小问1详解】该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率231111134224

−−−=.【小问2详解】X的可能取值为0,1,2,3，所以()2311111342402PX−−−===，()2312312311

11111134234234241PX−−+−−+−−===()23123121111111342342342422PX−+−+−=

==，()231134242PX===，该同学取得优秀成绩的课程数X的分布列：X0123P12414112414期望()1111123012324424412EX=+++=.19.设0x，()lnfxx=，()11gxx=−．（1）分别求

函数()fx，()gx在点()1,0处的切线方程；（2）判断()fx与()gx的大小关系，并加以证明．【答案】（1）()fx点()1,0处的切线方程为10xy−−=，()gx在点()1,0处的切线方程为10xy−−=；（2）()()fxgx，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可

求出结果；（2）作差构造函数，利用导数可证结论成立.【小问1详解】因为0x，()lnfxx=，1()fxx=，(1)1f=，(1)0f=，所以()fx点()1,0处的切线方程为01yx−=−，即10xy−−=.因为0x，1()1gxx=−，21()gxx=，(1)1g=，(1)

0g=，所以()gx在点()1,0处的切线方程为01yx−=−，即10xy−−=.【小问2详解】()()fxgx，证明如下：设1()()()ln1hxfxgxxx=−=−+(0)x，22111()xhxxxx−=−=，当01x时

，()0hx；当1x时，()0hx，所以()hx在(0,1)上为减函数，在(1,)+上为增函数，所以()(1)0hxh=，所以()()fxgx.20.某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）

．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等概率．（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E．【答案】（I）

合唱团学生参加活动的人均次数为2.3；（II）04199P=；（III）23E=．【解析】【详解】解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（I）该合唱团学生参加活动的人均次数

为1102503402302.3100100++==．（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为222105040021004199CCCPC++==．（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A，的“

这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C．易知(1)()()PPAPB==+111110505040241001005099CCCCCC=+=；(2)()PPC==1110402100899CCC==；41(0

)99P==.的分布列：012P41995099899的数学期望：4150820129999993E=++=．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com