【文档说明】广东省封开县江口中学2024届高三上学期第二次月考数学试题 含解析.docx，共(16)页，914.443 KB，由小赞的店铺上传

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封开县江口中学高三数学第二次月考试题一、单选题1.如图，已知全集4,ZUxxx=，集合3,1,0,1A=−−，2,1,0,1B=−−，1,1,2,3C=−，图中阴影部分表示集合M，则

M=（）A.1,0,1−B.3,2,0,2,3−−C.3,2,2,3,4−−D.1,1−【答案】D【解析】【分析】由题求解()ABC即可得答案.【详解】解：∵全集3,2,1,0,1,2,3U=−−−，∴由韦恩图可知

，()1,1MABC==−.故选：D.2.复数13iz=−+，21iz=−，则复数12zzz=在复平面内所对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用复数的乘法求得复数z,进而可得其在复

平面内对应点的坐标.【详解】()()123i1i24izzz==−+−=−+，复数在复平面内所对应的点的坐标为()-2,4，故选:B.3.若0.10.80.41.2,log0.9,log1.2abc===，则（）A.cbaB.c<a<bC.acbD.b<c<a【答案】A【解析】【分析

】根据对数函数及指数函数的单调性判断与0，1的大小关系，即得.【详解】∵0.10.80.80.80.40.401.2,0log1log0.9log0.81,l1.og1.21log102abc=======，∴cba.故选：A.4.已知na是公差为2的等差数列，且1a，

2a，5a成等比数列，则8S等于（）A.44B.48C.64D.108【答案】C【解析】【分析】由1a，2a，5a成等比数列，公差为2，解出1a的值，再根据等差数的求和公式求解即可.【详解】解：因为na是公差为2

的等差数列，所以2112aada=+=+，51148aada=+=+，又1a，2a，5a成等比数列，所以2215aaa=，即2111(2)(8)aaa+=+，解得11a=，所以818782642Sa=+=.故选：C

.5.已知复数21iz=+，则iz−=（）A.5B.2C.2D.5【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法法则和复数的减法法则，结合复数的模公式即可求解.【详解】由题意知，()()()()21i21i21i1i1i1i2z−−====−++−，所以i12iz

−=−，所以()22i12i125z−=−=+−=.故选：A.6.下列选项正确的是（）A.ABA=是AB的必要不充分条件B.在ABC中，sinsinAB=是AB=的充要条件C.lnlnab是22ab的充

要条件D.命题“xR，210xx++”的否定是：“xR，210xx++”【答案】B【解析】【分析】由ABAAB=可判断A；由sinsinAB=AB=或AB+=，结合ABC++=可判断B；由lnln0abab，22abab可判断C；根

据全称命题的否定可判断D.【详解】选项A，若ABA=，则AB，若AB，则ABA=，∴ABA=是AB的充要条件，故A错误；选项B，若sinsinAB=，则AB=或AB+=（显然不成立），若AB=，则sinsinAB=，∴sinsinAB=是AB=的充要条件，故B正确；选项C

，若lnlnab，则0ab，若22ab，则ab，∴lnlnab是22ab的充分不必要条件，故C错误；选项D，命题“xR，210xx++”的否定是：“xR，210xx++”，故D

错误.故选：B7.已知是第二象限的角，3tan(π)4+=−，则cos2=（）A.725B.1225−C.725−D.1225【答案】A【解析】【分析】有诱导公式与同角三角函数基本关系求解即可【详解】3tan(π)tan4+==−

22222291cossin1tan716cos29cossin1tan25116−−−====+++故选：A8.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2ba=，sinsinbAcC=，则c

osC=（）A.14B.74C.23D.34【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理进行角化边，再由余弦定理可解.【详解】根据题意，sinsinbAcC=，利用正弦定理得：2bac=，再结合2ba=，可得222ac=，由余弦

定理：2222222423cos2224abcaaaCaba+−+−===，所以D选项正确.故选：D二、多选题9.设a，b，c是实数，且0ab，则下列不等式恒成立的是（）A.11abB.22acbcC.22ac

D.2lglg()aab【答案】AD【解析】【分析】根据不等式性质，结合指数函数和对数函数的单调性，即可判断和选择.【详解】对A：若0ab，故0,0baab−，则0baab−，即11ab，故A正确；对B：当0c=时，22

acbc=，故B错误；对C：2xy=是R上的单调增函数，但,ac大小关系不确定，故无法判断，C错误；对D：0ab，故20aab，lgyx=为()0,+上的单调增函数，故2lglgaab，D正确.故选：AD.10.在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为36

,33P−，则（）A.tan2=−B.6sin()3−=C.3cos(π)3−=D.π6cos23−=【答案】AB【解析】【分析】先利用三角函数定义求得63sin,cos33αα=−=，进而求得tan的值判断选项A；求得sin()

−的值判断选项B；求得cos(π)−的值判断选项C；求得2πcos−的值判断选项D.【详解】角的终边与单位圆的交点为36,33P−则63sin,cos,tan233ααα=−==−，则选项A判断正确；所以()6sinsin3−=−=，则选

项B判断正确；()3cosπcos3−=−=−，则选项C判断错误；π6cossin23−==−，则选项D判断错误.故选：AB11.已知向量()()()1,3,2,,abyaba==+⊥，则（）A.()2,3b=−B.

向量,ab的夹角为3π4C.172ab+=D.a在b方向上的投影向量是()1,2-【答案】BD【解析】【分析】根据向量的加法求出ab+，由两个向量垂直，数量积为零，求出y，然后逐一判断各选项，a在b方向上的投影向量为()2abbb.【详解】已知

()()1,3,2,,aby==则()3,3aby+=+，()aba+⊥，()31330y++=，4y=−，()2,4b=−，故A错误；12342cos,21020ababab−===−，所以向量,ab的夹角为3π4，故B正确；()(

)()11,31,22,12ab+=+−=，152ab+=，故C错误；a在b方向上的投影向量为()()21,2abbb=−，故D正确.故选：BD.12.把函数()()3sincos0πfxxx=+的图象向左平移π6个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称，则下

列说法正确的是（）A.()fx的最小正周期为πB.()fx关于点5π,212−对称C.()fx在ππ126−,上单调递增D.若()fx在区间π,12a−上存在最大值，则实数a的取值范围为π,6+【答案】ACD【解析】【分析】先利用辅助角公

式化简()fx，再通过图像平移求得新的函数()gx，从而利用()gx关于y轴对称求得2=，由此得到()fx的解析式，最后结合三角函数的性质即可对选项逐一判断.【详解】因为()()π3sincos2sin0π6fxxxx

=+=+，所以把()fx的图像向左平移π6个单位长度得到函数()ππ2sin66gxx=++ππ2sin66x=++的图像，因为()gx关于y轴对称，所以π

662πππk+=+，kZ，即62k=+，kZ，又因为0π，所以2=，()π2sin26fxx=+，对于A，2ππ2T==，故A正确；对于B，5π5ππ2sin22sinπ012126f=+==，故

B错误；对于C，由()πππ2π22π262kxkk−++Z，得()ππππ36kxkk−+Z，所以当0k=时，()fx的单调递增区间为ππ,36−，又因为ππππ,,12636−−，所以()fx

在ππ126−,上单调递增，故C正确；对于D，若函数()fx在π,12a−上存在最大值，由选项C可知，()fx在ππ126−,上单调递增，且ππππ2sin22sin26662f

=+==，即()fx在π6x=时取得最大值，所以π6a，即实数a的取值范围为π,6+，故D正确.故选：ACD.三、填空题13.等比数列{}na中，公比q=2，S4=1，则S8=___________.【答案】17

【解析】【分析】根据等比数列的性质得到5678aaaa+++=41234()16aaaaq+++=，进而求出8S的值.【详解】因为41S=，即12341aaaa+++=，又5678aaaa+++=41234()16aaaaq+++=，所以

81234Saaaa=++++567811617aaaa+++=+=.故答案为：1714.已知向量1e、2e不共线，且向量123ee+与1225ee−平行，则实数=________.【答案】65−

【解析】【分析】设()1212325eekee+=−，根据平面向量的基本定理可得出关于、k的方程组，即可解得实数的值.【详解】因为向量123ee+与1225ee−平行，设()1212325eekee+

=−，其中kR，因为向量1e、2e不共线，则235kk==−，解得65=−.故答案为：65−.15.曲线1xyxe−=在点()1,1处切线的斜率为___________.【答案】2【解析】【分析】首先求导得到()11xxf

xexe−−=+，再利用导数的几何意义求解即可.【详解】()1xfxxe−=，()()11111xxxxfxexexexe−−−−=+−=+，()12kf==.故答案为：216.已知函数22,0()21,0xxfxxx=−且()1fa=，则=a_

____.【答案】1或22−【解析】【分析】分类讨论0,0aa，代入不同函数解析式，即可求得参数值.【详解】若0a，则()221faa==，解得22a=−或22a=（舍去）；若0a，则()211faa=−=，解得1

a=（舍去），综上，1a=或22−.故答案为：1或22−.【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属于简单题目.四、解答题17.已知na是等差数列，11a=，850a=．（1）求na的通项

公式；（2）求数列22nna−的前n项和nS．【答案】（1）76nan=−；（2）nS122752nnn+=−+−.【解析】【分析】（1）先利用已知条件求出公差，再利用等差数列的通项公式求解即可；（2）先由（1）知2222(76)nnnan−

=−−，再利用等差和等比数列的前n项和公式求解即可.【详解】解：（1）因为11a=，850a=，所以公差501781d−==−，则na的通项公式为17(1)76nann=+−=−．（2）由（1）知2222(76)nnnan−=−−，所以()2

12(176)2122nnnnS−+−=−−122752nnn+=−+−．18.已知函数32()34fxxaxbx=+++在=1x−时有极值0．（1）求函数()fx的解析式及单调区间；（2）求函数()fx在区间[4,1]−的最大值与最小值．【答案】（1）32()694fxxxx=+++

；()fx的单调增区间为(,3)−−和(1,)−+，单调减区间为()31−−，；（2）最大值为20，最小值为0.【解析】【分析】（1）先依题列式(1)0(1)0ff−=−=解得参数，再检验

参数否满足题意，即得解析式和单调区间；（2）利用（1）中函数的单调性，计算极值和区间端点处的函数值，并比较大小，即得结果.【详解】解：（1）在=1x−时有极值0且2()36=++fxxaxb，(1)0(1)0ff−=−=

，即360330abab−+=−+=，解得29ab==，此时，32()694fxxxx=+++，2()31293(1)(3)fxxxxx=++=++，令()0fx解得(,3)(1,)x−−−+，令()0fx解

得()31x−−，，()fx(,3)−−上单调递增，在()31−−，上单调递减，(1,)−+上单调递增，即函数确实在=1x−时取得极值0，故()fx的解析式为32()694fxxxx=+++，()fx的单调增区间为(,3)−−和(1,)−+，单调减区间为()31−−，.（2）

由（1）知()fx在(4,3)−−上单调递增，(3,1)−−单调递减，在(1,1)−单调递增，()fx极大值为(3)4f−=，又(1)20=f，max()(1)20fxf==；()fx极小值为(1)0f−=，()40f−=，()min()40

fxf=−=；所以()fx在区间[4,1]−最大值为20，最小值为0.【点睛】思路点睛：利用导数研究函数()fx的最值的步骤：是在的①写定义域，对函数()fx求导()fx；②在定义域内，解不等式()0fx和()

0fx得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.19.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且1cos3A=，42a=.（1）若6B=，求cosbC的值；（2）若ABC的面积是22，求bc+的值.【答案】（1）2232−（2）43.【

解析】【分析】（1）先由1cos3A=，得到22sin3A=，根据两角和的余弦公式可求出cosC，再由正弦定理可得sinsinbaBA=，求出b，进而可得出结果；（2）先由三角形面积公式求出bc，再根据余弦定理即可求出结果.【详解】（1）1cos3A=，22sin3

A=.()22113223coscossinsincoscos32326CABABAB−=−+=−=−=，由正弦定理得，sinsinbaBA=，即4212223b=，解得3b=.223cos=2bC−.（2）1sin

2ABCSbcA=，1222223bc=，6bc=由余弦定理得，2222cosabcbcA=+−，()222228=+33abcbcbcbc=+−−，()232=+16bc−，+=43bc.【点睛】本题主要考查解三角形

，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.20.已知正项等比数列na，其中1a，2a，3a分别是下表第一、二、三行中的某一个数，令.22lognnba=．第一列第二列第三列第一行532第二行4109第三行18811（1）求数列na和nb的通项公式；

（2）设数列211nb−的前n项和为nT，证明：12nT．【答案】（1）2nna=；2nbn=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由表格数据可确定123,,aaa，由此可得等比数列公比q，由等比数列通项公式可得na；由对数运算可得nb；（2）由（1）可得()()2111

2121nbnn=−−+，采用裂项相消法可求得nT，由1021n+可推导证得结论.【详解】（1）由题意得：12a=，24a=，38a=，等比数列na的公比422q==，1222nnna−==．又222log2log2

2nnnban===，2nbn=.（2）由（1）知：()()22111111141212122121nbnnnnn===−−−−+−+，111111111123352121221nTnnn=−+−++−=−

−++，nN，1021n+，11121n−+，11112212nTn=−+.【点睛】方法点睛：本题重点考查了裂项相消法求解数列的前n项和的问题，裂项相消法适用于通项公式为()()mfnfnd+形式的数列，即()()()()11

mmdfnfndfnfnd=−++，进而前后相消求得结果.21.在△ABC中，已知1tan2B=，10cos10C=−.（1）求A的值；（2）若ABC的面积为310，求边BC的长.【答案】（1）4A=；（2）1BC=【解析】【分析】（1）先根据已知

条件求出tanC，再由tantan()ABC=−+求出tanA，从而求出角A；（2）设BCa=，利用正弦定理得求出AB，再利用1tan2B=求出sinB，所以ABC的面积为：2133sin21010SABB

CBa===，所以1a=，即1BC=．【详解】解：（1）在ABC中，1tan2B=，10cos10C=−，(2C，)，310sin10C=，故tan3C=−，所以1(3)(tantan)2tantan()11(1tantan)[1(3)]2BCABCBC−+=−+=−=−=−−−

，0A，所以4A=；（2）由（1）知4A=，设BCa=，利用正弦定理：sinsinABBCCA=得：3103510522aABa==，又22sin1cos21BBsinBcosB=+=，解得5sin5B=，所以ABC的

面积为：21135533sin22551010SABBCBaaa====，所以1a=，即1BC=．【点睛】本题主要考查了正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，属于中档题．22.已知函数()()2e21xfxxx=++

，xR.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当0x时，()21fxaxax++，求a的取值范围.【答案】（1）()fx在(),3−−上单调递增，在()3,1−−上单调递减，在()1,−+上单调递增（2）(,3−【解析】【分析】（1）利用导函数与单调性的关系求解；（2）利用导数与

单调性和最值的关系分类讨论求解即可.【小问1详解】因为()()22()e2122e43e(3)(1)xxxfxxxxxxxx=++++=++=++，令()0fx，解得3x−或1x−，令()0fx，解得31x−−，所

以()fx在(),3−−上单调递增，在()3,1−−上单调递减，在()1,−+上单调递增.【小问2详解】设()2()()1gxfxaxax=−++，注意到()00g=.有()2()e43(2)xgxxxaxa=

++−+，注意到()03ga=−.设()2()()e43(2)xhxgxxxaxa==++−+，有()2()e672xhxxxa=++−.①当3a时，对于0x，有()(0)720hxha=−，所以

()gx在区间()0,+上单调递增，所以对于0x，有()()00gxg，从而()gx在区间()0,+上单调递增，故对于0x，有()()00gxg=.符合题意.②当3a时，因()030ga=−，所以存在00x，使

得对于()00,xx，有()0gx.从而()gx在区间()00,x上单调递减，故对于()00,xx，有()()00gxg=.不符合题意.为综上，a的取值范围是(,3−.获得更多资源请扫码加

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