【文档说明】考点24 概率初步-备战2022年中考数学一轮复习考点帮(浙江专用)（解析版）.docx，共(29)页，1.243 MB，由管理员店铺上传

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考点24概率初步【命题趋势】概率问题在中考数学中的考察难度并不算大，考题的类型也比较的固定，单独考察时，通常作为选择或者填空题，考概率的基本定义和简单计算；综合考察时会和统计图表类问题结合，作为最后一问，考察概率的树状图

或者列表分析。整体占分约有3~6分，属于中考数学中的中低档难度问题。【中考考查重点】一、随机事件的概率二、用频数估计概率三、用列举法求概率考向一：随机事件的概率相关概念的定义与意义确定事件一定发生的事件是必然事件,概率为1.一定不会发生的事件是不可能事件,概率为

0.随机事件在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件是随机事件,它发生的概率介于0与1之间.概率的定义一个事件发生的可能性叫做该事件发生的概率,事件A发生的概率一般记为P(A).概率的意义一个事件发生的概率是一个确定的数,它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小概率的计算公式如果事件发

生的各种结果的可能性相等且互相排斥,结果总数为n,事件A包含其中的结果数为m(m≤n),那么事件A发生的概率P(A)=m÷n【同步练习】1．1．（2022•辽宁二模）下列事件中，是必然事件的是（）A．抛掷一个骰子，出现8点朝上B．三角形的内角和是180°C．汽车

经过一个有红绿灯的路口时，前方恰好是绿灯D．明天考试，小明会考满分【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，判断即可．【解答】解：A、抛掷一个骰子，出现8点朝上，是不可能事件，故A不符合题意；B、

三角形的内角和是180°，是必然事件，故B符合题意；C、汽车经过一个有红绿灯的路口时，前方恰好是绿灯，是随机事件，故C不符合题意；D、明天考试，小明会考满分，是随机事件，故D不符合题意；故选：B．2．（2022•瓯海区一模）一个不透

明袋子中有3个红球，4个白球，2个黑球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出一个球是白球的可能性是（）A．B．C．D．【分析】用白球的个数除以球的总个数即可．【解答】解：从中任意摸出一个球共有9种等可能结果，其中摸出的球是白

球的结果有4种，所以从中任意摸出一个球是白球的可能性是，故选：C．3．（2022•兴宁区校级模拟）在平面直角坐标系中有三个点的坐标：A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣1，﹣3）．从A、B、C三个点中取

一个点，则落在抛物线y＝x2﹣x﹣2上的概率是（）A．B．1C．D．【分析】根据题意可知共有3种等可能的结果数，再找出落在抛物线y＝x2﹣x﹣2上的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：根据题意可知共有3种等可

能的结果数，其中落在抛物线y＝x2﹣x﹣2上的结果数为2，所以落在抛物线y＝x2﹣x﹣2上的概率是．故选：D．4．（2022•浦江县模拟）一个不透明的袋子中有3个黄球和4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，则它是黄球的概率为（）A．B．C．D．【分析】用黄球的个数除

以球的总个数即可．【解答】解：∵从袋子中随机摸出一个球，共有7种等可能结果，其中它是黄球的有3种结果，∴它是黄球的概率为，故选：C．5．（2022•卫辉市校级模拟）如图所示的两个转盘，被分别分成了三个和四个面积相等的扇形，并被涂

上相应的颜色．固定指针，自由转动两个转盘，当转盘停止转动后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜巴色，则两个指针所指颜色相同的概率是．【分析】根据题意画出树状图可得所有等可能的结果，进而可得两个指针指向区域的颜色相同的概率．【解答】

解：根据题意画出树状图如下：总共12种结果，其中颜色相同的4种结果，故两个指针所指颜色相同的概率为：＝．故答案为：．6．（2022•河南模拟）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示是一沄用七巧

板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率为．【分析】首先设设正方形的面积，再表示出阴影部分面积，然后可得概率．【解答】解：设“东方模板”的面积为4，则阴影部分三角形面积为

1，平行四边形面积为，则点取自黑色部分的概率为：＝，故答案为：．考向二：用频数估计概率用频数估计频率：可以通过大量的重复实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率【同步练习】1．（2022•石家庄模拟）抛掷一枚质地均匀的硬币时，正面向上的概率是0.5．则下列判断正确的是（）A．连续掷2次时

，正面朝上一定会出现1次B．连续掷100次时，正面朝上一定会出现50次C．连续掷2n次时，正面朝上一定会出现n次D．当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于0.5【分析】根据概率的意义即可得出答案．【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币时，抛掷次数越大时，正面朝上的频率

越稳定于0.5；故选：D．2．（2022•龙岗区一模）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（）实验次数10020030050080010002000频率0.3650.3280

.3300.3340.3360.3320.333A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5D．抛一枚硬币，出现反面的概率【分析】根据利用频率估计概率得

到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．【解答】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意；C、抛一个质地均匀的

正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意；D、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意，故选：B．3．（2022•长春模拟）不透明的袋中有3个大小相同的小球，其中2个为白色，1个为红色，每次从袋中摸1个球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表中部分数据．

摸球次数50200350500650800950110012501400出现红色的成功率1470120165222269318365417466出球红色的成功率0.2800.3500.3430.3300.3380.3360.3350.3320.3340.333（1）观

察上面的图表可以估计出现红色小球的概率约为．（结果保留两位小数）（2）小明想了解一次摸出两个球，都是白球的概率，请用画树状图（或列表）的方法，求摸出两个球“都是白球”的概率．【分析】（1）大量反复试验下频

率稳定值即概率，观察可知频率稳定在0.33左右，用之估计概率即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两个球都是白球的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）观察上面的图表可以估计出现红色小球的概率约为0.33，故答案为：0.33；（2）根据题意

画图如下：共有6种等可能的情况数，其中一次摸出两个球“都是白球”的有2种，则一次摸出两个球“都是白球”的概率是＝．考向三：用列举法求概率用列举法求概率：在等可能的情况下，求随机事件发生的概率通常利用列表或画树状图列出所有机会均等的结果，在计算事件发生的概率。【同步练习】1．（2022•

龙港市一模）甲、乙、丙三名北京冬奥会志愿者随机分配到花样滑冰、短道速滑两个项目进行服务培训，每名志愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，则甲、乙两人恰好在同一个项目培训的概率是（）A．B．C．D．【分析】画树状图展示

所有6种等可能的结果，找出甲、乙两人恰好在同一个项目培训的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好在同一个项目培训的结果数为2，所以甲、乙两人恰好在同一个项目培训的概率＝＝．故选：C．2．（2022•晋中一模）志愿者是自愿贡献个人的时间和精力

，在不计物质报酬的前提下为推动人类发展、社会进步和社会福利事业而提供服务的人员，某医院要从A、B、C三名志愿者中任意抽调两人助力全民核酸检测工作，恰好抽到志愿者B和C的概率是（）A．B．C．D．【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：列表如

下：ABCA（B，A）（C，A）B（A，B）（C，B）C（A，C）（B，C）由表知，共有6种等可能结果，其中恰好抽到志愿者B和C的有2种结果，所以恰好抽到志愿者B和C的概率为＝，故选：B．3．（2022•威宁县模拟）有

一个从不透明的袋子中摸球的游戏，这些球除颜色外都相同，小红根据游戏规则，作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（）A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球D．随机摸出一个球后不放回，

再随机摸出3个球【分析】结合树状图可得答案．【解答】解：由树状图知，此次摸球的游戏规则是随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球，故选：A．1．不透明的袋子中装有3个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别

，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件是必然事件的是（）A．2个球都是白球B．2个球都是黑球C．2个球中有白球D．2个球中有黑球【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、2个球都是白球，是随机事件，不符合题意；B、2个球

都是黑球，是随机事件，不符合题意；C、2个球中有白球，是必然事件，符合题意；D、2个球中有黑球，是随机事件，不符合题意；故选：C．2．下列说法不正确的是（）A．“长度分别是4，6，9的三条线段能围成一个三角形”属于必然事件B．“旭日东升”属于随机事件C．一枚质地均匀的正方体骰子，

任意掷一次，1～6点数朝上的可能性相同D．在只装有3个白球和2个黑球的布袋中，摸到白球的可能性比摸到黑球的大【分析】根据必然事件、随机事件及可能性的大小逐一判断即可．【解答】解：A．“长度分别是4，6，9的三条线段能围成一个三角形”属于必然事件，正确，不符合题意；B．“旭日东升”属于必

然事件，原叙述错误，符合题意；C．一枚质地均匀的正方体骰子，任意掷一次，1～6点数朝上的可能性相同，正确，不符合题意；D．在只装有3个白球和2个黑球的布袋中，白球个数比黑球个数多，所以摸到白球的可能性比摸到黑球的大，正确，不符合题意；故选：B．3．掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7

次时正面朝上的概率是（）A．1B．C．D．0【分析】根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），可得答案．【解答】解：掷一枚质地均匀的硬币，前6次都是正面朝上，则掷第7次时正面朝上的概率是，故选：C．4．已知一次函数

y＝kx+b，其中k从1，﹣2，5中随机抽取一个值，b从﹣2，﹣1，0中随机抽取一个值，则该一次函数的图象经过第二、三、四象限的概率是（）A．B．C．D．【分析】先根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可．【解答】解：根据题意画图如下：共有9种情况，其中满

足一次函数y＝kx+b经过第二、三、四象限，即k＜0，b＜0的情况有2种，则该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为．故选：B．5．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，2个蓝球，2个黄球，从布袋里任意摸出1

个球，不是红球的概率是（）A．B．C．D．【分析】用不是红球的个数除以球的总个数即为所求的概率．【解答】解：∵共有7个球，其中3个红球，2个蓝球，2个黄球，∴从布袋里任意摸出1个球，不是红球的概率是＝．故选：D．6．口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相

同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在0.3，则白球的个数是（）A．5B．6C．7D．8【分析】根据白球的频率稳定在0.3附近得到白球的概率约为03，根据概率的意义即可求出答案．【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意得：＝0.3，解得：x＝6，经检验：x＝6

是分式方程的解，故选：B．7．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，则指针停止后落在黄色区域的概率是．【分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占

的比例，这个比例即为所求的概率．【解答】解：∵黄扇形区域的圆心角为90°，所以黄区域所占的面积比例为＝，即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是，故答案为：．8．将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（）A．B．C．D．【分析】用白色区域的面积除以正六边形

的面积即可求得答案．【解答】解：设正六边形的边长为a，则白色部分的面积3××a×a＝，灰色区域的面积为a×a＝，所以正六边形的面积为，所以飞镖落在白色区域的概率为＝，故选：A．9．北京冬奥会志愿者参加花样滑冰、短道速滑、冰球、冰壶4个项目的培训，如果小周和丽每人随机选择参加其中一

个项目培训，则他们恰好选到同一个项目进行培训的概率是（）A．B．C．D．【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小周和丽恰好选到同一个项目进行培训的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把花样

滑冰、短道速滑、冰球、冰壶4个项目分别记为A、B、C、D，画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小周和丽恰好选到同一个项目进行培训的结果有4种，∴小周和丽恰好选到同一个项目进行培训的概率为＝，故选：B．10．如图是建平同学收集

到的四张“新基建“图标卡片，这四张卡片除正面的图标内容外，其余完全相同，将卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则抽到的两张卡片恰好是“5G基站建设“和“大数据中心“的概率

是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得．【解答】解：5G基站建设、工业互联网、大数据中心、人工智能分别用A、B、C、D表示，根据题意画图如下：由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好是“5G基站建设“和“大

数据中心“的有2种，则抽到的两张卡片恰好是“5G基站建设“和“大数据中心“的概率是＝．故选：C．10．剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产，这4张剪纸卡片的正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案是中心对称图形的概率是（）A．B．C．

D．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片正面图案是中心对称图形的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把这4张剪纸卡片分别记为A、B、C、D，其中B、C是中心对称图形，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片正面图案是中心对称图形的结果有2种，即BC

、CB，∴抽取的两张卡片正面图案是中心对称图形的概率为＝，故选：A．11．（2022•大庆模拟）我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．（1）王老师采取的调查方式是（

填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班征集到作品共件，请把图2补充完整；（2）请估计全年级共征集到作品多少件？（3）如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽

两人去参加学校总结表彰座谈会，请用列表或画树状图法求出恰好抽中一男一女的概率．【分析】（1）求出所调查的4个班征集到的作品数，即可解决问题；（2）列式计算即可；（3）画树状图，共有20种等可能的结果，恰好抽中一男一女的有12种情况，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）王老师采取的调查

方式是抽样调查，所调查的4个班征集到的作品数为：5÷＝12（件），∴B作品的件数为：12﹣2﹣5﹣2＝3（件），故答案为：抽样调查，12；把图2补充完整如下：（2）14×＝42（件），即估计全年级共征

集到作品42件；（3）画树状图得：共有20种等可能的结果，恰好抽中一男一女的有12种情况，∴恰好抽中一男一女的概率为：＝．12．为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位：cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信

息，解答下列问题．（1）填空：样本容量为，a＝；（2）把频数分布直方图补充完整；（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于170cm的概率．【分析】（1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值；（2）利用B组的频数

为30补全频数分布直方图；（3）计算出样本中身高低于170cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解．【解答】解：（1）15÷＝100，所以样本容量为100；B组的人数为100﹣15﹣35﹣15﹣5＝30，所以a%＝×100%＝30%，则a＝30；故答案为1

00，30；（2）补全频数分布直方图为：（3）样本中身高低于170cm的人数为15+30＝45，样本中身高低于170cm的频率为45÷100＝0.45，所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于170cm的概率为0.45．1

3．某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选修其中1门．某班班主任对全班同学的选课情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图：（1）请你求出该班的总人数，并补全条形图（注

：在所补小矩形上方标出人数）；（2）在扇形统计图中，“篮球”所在扇形的圆心角度数为122.4度；（3）在该班团支部4人中，有1人选修排球，2人选修羽毛球，1人选修乒乓球，如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学

生会候选人，那么选出的两人中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率是多少？【分析】（1）用排球组的人数除以它所占的百分比即可得到全班人数，计算出足球组人数，然后补全条形统计图；（2）用360°乘以“篮球”所占的百分比即可；（3）先画树状图

展示所有12种等可能的结果数，找出选出的2人恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球所占结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）该班的总人数为12÷24%＝50（人），足球科目人数为50×14%＝7（人），补全图形如下：（2）在扇形统计图中，“篮球”所在扇形的圆心角度

数为：360°×＝122.4°；故答案为：122.4；（3）设排球为A，羽毛球为B，乒乓球为C．画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中有1人选修排球、1人选修羽毛球的占4种，所以恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的

概率＝＝．1.（2021·浙江湖州）下列事件中，属于不可能事件的是（）A．经过红绿灯路口，遇到绿灯B．射击运动员射击一次，命中靶心C．班里的两名同学，他们的生日是同一天D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球【分析】根据不可能事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．

【解答】解：A、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项不符合题意；B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故本选项不符合题意；

D、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，故本选项符合题意；故选：D．2.（2021·浙江湖州）某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同，若以每1000张奖券为一个开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则

只抽1张奖券恰好中奖的概率是．【分析】根据概率公式直接求解即可．【解答】解：只抽1张奖券恰好中奖的概率是＝．故答案为：．3.（2021·浙江金华）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个．已知每张奖券获奖的

可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是．【分析】直接根据概率公式即可得出结论．【解答】解：∵共有150张奖券，一等奖5个，∴1张奖券中一等奖的概率＝＝．故答案为：．4.（2021·浙江丽水）一个布袋里装有3个红球和

5个黄球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出一个球是红球的概率是（）A．B．C．D．【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．【解答】解：∵布袋里装有3个红球和5个黄球，共有8个球，∴任意摸出一个球是红球的概率是．故选：C．5.（20

21·浙江宁波）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．【分析】先求出球的总个数，再根据概率公式即可得出摸出一个球是红球的概率．【解答】解：∵一个不透明的袋子里装有3个红球和5

个黑球，∴共有8个球，∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．故答案为：．6.（2021·浙江衢州）一个布袋里放有3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据概率公式，用

白球的个数除以球的总个数即可．【解答】解：∵从放有3个红球和2个白球布袋中摸出一个球，共有5种等可能结果，其中摸出的球是白球的有2种结果，∴从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是，故选：D．7.（2021·浙江绍兴）在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个

黄球和1个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（）A．B．C．D．【分析】用白球的数量除以所有球的数量即可求得白球的概率．【解答】解：∵袋子中共有6个小球，其中白球有1个，∴摸出一个球是白球的概率是，故选：A．

8.（2021·浙江台州）一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，该小球是红色的概率为．【分析】直接根据概率公式求解．【解答】解：从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率P＝＝．故答案为：．9.（2021·浙江

温州）一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球，其中5个红球，7个白球，9个黄球．从中任意摸出1个球是红球的概率为．【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可得出答案．【解答】解：∵一共有21个只有颜色不同的球，其中红球有5个，∴从中任

意摸出1个球是红球的概率为，故答案为：．10.（2021·浙江杭州）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（）A．B．C．D．【分析】画树状图，共有9

种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把3节车厢分别记为A、B、C，画树状图如图：共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，∴甲和乙从同一节车厢上车的概率为＝，故选：C．11.（202

1·浙江嘉兴）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为．马匹姓名下等

马中等马上等马齐王6810田忌579【分析】列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有1种，再由概率公式求解即可．【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为10，8，6时，田忌的马按5，9，7的顺序出场，田忌才能赢

得比赛，当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，∴田忌能赢得比赛的概率为．故答案为：．1．（2022•永嘉县模拟）一只不透明的袋子中装有5个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任

意摸出3个球，下列事件是必然事件的为（）A．至少有1个球是白球B．至少有2个球是白球C．至少有1个球是黑球D．至少有2个球是黑球【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义判断即可．【解答】解：一只不透明的袋子中装有5个黑球和2个白球，这些除

颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，A、至少有1个球是白球，是随机事件，故A不符合题意；B、至少有2个球是白球，是随机事件，故B不符合题意；C、至少有1个球是黑球，是必然事件，故C符合题意；D、至少有2个球是黑球，是随机事件，故D不符合题意；故选：C．2．（202

1•上虞区模拟）浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．你的答案是（）笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道

门）有多少种不同的可能？A．12B．6C．5D．2【分析】分析两道门各自的可能性情况，再进行组合即可求解．【解答】解：∵第一道门有A，B，C三个出口，∴出第一道门有三种选择，又∵第二道门有D、E两个出口，∴出第二道门有两种选择，∴松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为：AD、AE、BD、BE

、CD、CE．故选：B．3．（2022•温州模拟）分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字外其他均相同，将它们背面朝上，从中任抽一张，抽到负数的概率是（）A．B．C．D．【分析】让是负数的卡片数除以总卡片数即为所求的概

率，即可选出．【解答】解：∵五张卡片分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3，数字为负数的卡片有2张，∴从中随机抽取一张卡片数字为负数的概率为．故选：C．4．（2022•金华模拟）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，

现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到6号卡片的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据概率公式直接求解即可．【解答】解：∵共有6张卡片，其中写有6号的有3张，∴从中任意摸出一张，摸到6号卡片的概率是＝．故选：A．5．（2022•鄞州区模拟）不透明袋子中有4个红球和5个绿

球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为．【分析】根据概率公式直接求解即可．【解答】解：∵不透明袋子中有4个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别，∴有9种等可能事件，其中红球的有4种，∴P（恰好是红球）＝，故答案为：．6．（2022•鹿城区校级一模）根

据你所学的概率知识，回答下列问题：（1）我们知道：抛掷一枚均匀的硬币，硬币正面朝上的概率是.若抛两枚均匀硬币，硬币落地后，求两枚硬币都是正面朝上的概率．（用树状图或列表来说明）（2）小刘同学想估计一枚纪念币正

面朝上的概率，通过试验得到的结果如表所示：抛掷次数m50010001500250030004000500010000“正面朝上“的次数n26551279313061558208325985204“正面朝上”的0.5300.5120.5290.5220.5190.5210.5200.520频率根据

上表，下面有三个推断：①当抛掷次数是1000时，“正面朝上”的频率是0.512，所以“正面朝上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面朝上”的频率总是在0.520附近摆动，显示出一定稳定性，可以估计“正面朝上

”的概率是0.520；③若再做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面朝上”的次数不一定是1558次；其中推断合理的序号是．【分析】（1）若抛掷一枚均匀的硬币，直接根据概率公式求解，若抛两枚均匀硬币，根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情

况数，然后根据概率公式即可得出答案；（2）根据用频率估计概率以及频率和概率的概念进行分析，即可得出答案．【解答】解：（1）抛掷一枚均匀的硬币，硬币正面朝上的概率是；若抛两枚均匀硬币时，画树状图如下：共有4种等可能的情况数，其中两枚

硬币都是正面朝上有1种，则两枚硬币都是正面朝上的概率是；故答案为：；（2）①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，故本选项错误，不符合题意；②随着试验次数的增加，

“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，故本选项正确，符合题意；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，故本选项正确，符合题意；其中推断合理的序号是②③．故答案为：②③．

7．（2021•瓯海区模拟）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在阴影部分的概率．【解答】解：∵阴影部分的面积可看成是5，圆的总面积看成

是8，∴指针落在阴影部分的概率是5÷8＝．故选：D．8．（2021•奉贤区三模）欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的

技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），那么油滴落入孔中的概率为．【分析】分别计算圆和正方形的面积，由几何概型概率公式可得答案．【解答】解：∵S正方形＝1，S圆＝（）2×π＝，∴P＝＝

．故答案为：．9．（2022•拱墅区模拟）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【分析】画树状

图，共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有2种，∴两次摸出的数字之和为奇数的概率为＝，故选：C．10．（2022•北仑区一模）某校食堂每天中

午为学生提供A、B两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（）A．B．C．D．【分析】画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出甲乙两人选择同款套餐的情况数，然后根据概率公式求解即可．【解答】解：根据题意画图如下：所有等可能的情况有4种，其中甲乙两人选择同款套餐的有2

种，则甲乙两人选择同款套餐的概率为：＝；故选：A．11．（2022•越秀区校级模拟）为了培养学生成为具有“社会责任、学术素养、创新能力、国际视野”的未来人才，我校提出“让每一个孩子成长为一棵参天大树”的“树”课程理

念，数学科开发了四门“树”课程供学生选择：A．趣味数学；B．棋海巡航；C．中外数学史；D．数独与幻方．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分

成六组，绘制成频数分布直方图．（1）该年级学生小李随机选取了一门课程，则小李选中课程C的概率是；（2）根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数是；（3）该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课

程C．那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．【分析】（1）根据题意可以写出该年级学生小李随机选取了一门课程，小李选中课程C的概率；（2）根据题意和直方图中

的数据，可以计算出该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数；（3）根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可得到相应的概率．【解答】解：（1）∵数学科开发了四门“树”课程供学生选择：A．趣味数学；B．棋海巡航；C．中外数学史；D．数独与幻

方，∴该年级学生小李随机选取了一门课程，则小李选中课程C的概率是，故答案为：；（2）100×＝30（人），即估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数是30，故答案为：30；（3）树状图如下所示：由上

可得，第二次他们选择的可能性一共有9种，其中他俩第二次同时选择课程A或课程B的有两种，故他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是．12．（2022•越秀区校级一模）某校积极开展国防知识教育，九年级甲、乙两班分别选5名同学参加“国防知识”比赛

，其预赛成绩如图所示：（1）根据图填写表：平均数中位数众数方差甲班8.58.58.50.7乙班8.58101.6（2）若规定超过8分为优秀，则从两班优秀的同学中抽取两人参加决赛，求选派的两人中同为乙班的概率．【分析】（1）根据众数、中位数和方差计算公式分别进行解答，即可得出答案；（2）根据

题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出选派的两人中同为乙班的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）在甲班种，8.5出现了2次，出现的次数最多，则甲班的众数是8.5；甲班的方差是：×[（8.5﹣8.5）2+（7

.5﹣8.5）2+（8﹣8.5）2+（8.5﹣8.5）2+（10﹣8.5）2]＝0.7，把乙班中的数据从小到大排列为：7，7.5，8，10，10，中位数是8；故答案为：8.5，0.7，8；（2）甲班中有3名同学位优秀，分别用A、B、C表示，乙班有2名同学为优秀，分别用D，E表示，根据题意

画图如下：共有20种等可能的情况数，其中选派的两人中同为乙班的有2种，则选派的两人中同为乙班的概率是＝．13．（2022•鄞州区校级一模）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，

采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有人，条形统计图中m的值为；（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数

为；（3）若该中学共有学生1500人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为人；（4）若从校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1

名男生和1名女生的概率．【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他了解的人数，求出不了解的人数；（2）用360°乘以扇形统计图中“了解很少”部分所占的比例即可；（3）用总人数1500乘以达到“非常了解

”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60（人），不了解的人数有：60﹣4﹣30﹣16＝10（人），故答案为：60，10；（2）扇形

统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝96°；故答案为：96°；（3）根据题意得：1500×＝850（人），答：估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为850人；故答案为：850；（4）由题意列树状图：由

树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com