【文档说明】《新九年级数学暑假精品课程（沪科版）》第15讲 图形的位似变换（解析版）.docx，共(12)页，415.011 KB，由管理员店铺上传

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1第15讲图形的位似变换【学习目标】1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.【基础知识】一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过

同一个点O，且每组对应点与点O点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位

似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变

了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤2第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足

放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图

形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.【考点剖析】考点一：位

似图形的识别例1．1．1.下列说法不正确的是（）A．位似图形一定是相似图形B．相似图形不一定是位似图形C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行【答案】D3【解析】本题主要考

查了位似图形的定义．如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，因而A，B，C正确，D错误．解：根据位似图形的定义可知，B，C正确，似图形中每组对应点所在的直线相交于一点，D错

误．故选D．考点二：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比例2．2．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A．20cmB．10cmC．8cmD．3.2c

m【答案】A【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.【详解】解：设投影三角尺的对应边长为xcm,∵三角尺与投影三角尺相似,∴8：x＝2：5,解得x＝20.故选:A.考点三：判断位似中心例3．3．如图，四边形ABCD与四边形GBEF

是位似图形，则位似中心是（）4A．点AB．点BC．点FD．点D【答案】B【分析】根据位似图形的定义:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,判断即可.【详解】解:由图

可知,对应边AG与CE的延长线交于点B，∴点B为位似中心故选B.【真题演练】1．在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，2），以原点O为位似中心，把△OAB按相似比1：2缩小，则点B的对应点B′

的坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，1）或（﹣2，1）D．（2，1）或（﹣2，﹣1）【答案】D【分析】利用关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把B点的横纵坐标都乘以12或﹣12即可得到点B的对应点B′的坐标．【详

解】解：∵B点坐标为（4，2），以原点O为位似中心，把△OAB按相似比1：2缩小，∴点B的对应点B′的坐标为（2，1）或（﹣2，﹣1）．故选：D．2．ABCV位似于DEFV，它们的周长比为2:3，已知位似中心O到A的距离为3，那么O到D的距离为（）5A．4B．4.5C．6D．9【答案】B【分析

】先确定两图形的位似比，然后根据位似图形周长的比等于位似比列式进行计算即可得解.【详解】∵它们周长的比为2:3∴OA:OD=2:3，即323CD=解得:OD=4.5，即O到D的距离为4.5，故选:B.3．已知在平面直角坐标系中，AOBV三

个顶点的坐标分别为()0,0O，()2,4A，()0,1B，以点O为位似中心，按1:2缩小AOBV，则点A的对应点A的坐标为（）A．()1,2B．()4,8C．()1,2或()1,2−−D．()4,8或()4,8−−【答案】C【分析】根据平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为

位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．【详解】∵以O为位似中心，按1：2缩小△AOB，即把△OAB缩小为原来的12，∴点A的对应点A的坐标为(112422，)或112-4-22，，即(

1，2)或(-1，-2)，故选：C．4．如图，ABCV和111ABC△是以点O为位似中心的位似三角形，若1C为OC的中点，1113ABCS=△，则ABCV的面积为（）6A．15B．12C．9D．6【答案】B【分析】根据1C为OC的中点，

则位似比为112OCOC=，再根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方便可求解．【详解】∵ABCV和111ABC△是以点O为位似中心的位似三角形，1C为OC的中点，111ABC△面积是3，∴112OC

OC=，∴11114ABCABCSS=△△，∴314ABCS=V，解得：12ABCS=△．故选B．5．△ABC与△DEF关于原点位似,且点A（-2，-1）的对应点E的坐标是（6,3），则△ABC与△DEF的面积比是（）A．1:3B．1:9C．2:3D．4:9【答案】B【分析】根据坐标与图形的性

质进行解答即可．【详解】解：∵ABCV和DEFV关于原点位似，且A（-2，-1）的对应点E的坐标是（6,3），∴ABCV和DEFV的相似比13=，即1:3，∴ABCV和DEFV的面积比为1:9．7故选：B．6．在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，位似

中心是原点O，若△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，且点A的坐标是（1，3），则它的对应点A1的坐标是（）A．（-3，-1）B．（-2，-6）C．（2，6）或（-2，-6）D．（-1，-3）【答案】C【

解析】【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或k−，即可求出答案.【详解】由位似变换中对应点坐标的变化规律得：点(1,3)A的对应点1A的坐标是1(12,32)A或(21

,23)−−，即点1A的坐标是1(2,6)A或(2,6)−−故选：C.7．用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（）A．原图形的外部B．原图形的内部C．原图形的边上D．任意位置【答案】D【分析】画一个图

形的位似图形时，位似中心的选取是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．【详解】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的.故选D.8．以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'相似比为1:3，若点C的坐

标为（4，1），则点C’的坐标为（）A．（12，3）B．（﹣12，3）或（12，﹣3）C．（﹣12，﹣3）D．（12，3）或（﹣12，﹣3）【答案】D【分析】根据位似变换的性质计算即可．【详解】8∵△ABC与△A'B'C'相似比为3，若点C的坐标为（4，1），∴点C′的坐标为（

4×3，1×3）或（4×（﹣3），1×（﹣3）），∴点C′的坐标为（12，3）或（﹣12，﹣3），故选D．【过关检测】1．在任意一个三角形内部，画一个小三角形，使其各边与原三角形各边平行，则它们的位似中心是()A．一定点B．原三角形三边垂直平分线的交点C．

原三角形角平分线的交点D．位置不定的一点【答案】D【解析】【分析】根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．进而得出答案．【详解】在任意一个三角形内部，画一个小三

角形，使其各边与原三角形各边平行，则它们的位似中心是位置不定的一点．故选：D．2．下列说法正确的是()A．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等B．两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似C．两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似D．两个图形如

果是位似图形，那么这两个图形一定相似【答案】D【解析】【分析】两个图形如果是位似图形，那么它们一定相似；但两个图形如果相似图形，它们不一定位似．【详解】∵位似是相似的特殊形式，∴两个图形如果是位似图形，那么它们一定相似，不一定全等．9A．两个图形如果是位似图形，那么它们不一定全等；

故A错误；B．两个图形如果是位似图形，那么它们一定相似；故B错误；C．两个图形如果相似图形，那么它们不一定位似；故C错误；D．两个图形如果是位似图形，那么它们一定相似；故D正确．故选D．3．下列说法正确的是（）A．两条对角线垂直且相等的四边形一定是正方形B．两个相似图形一定是位似图

形C．两个菱形一定相似D．邻边相等的矩形一定是正方形【答案】D【解析】【分析】根据正方形的判定定理、位似图形的概念、相似多边形的判定定理进行判断即可.【详解】两条对角线互相平分、垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可能是菱形，A错误；两个相似图形不一定是位似图形

，B错误；两个菱形对应角不相等时，不一定一定相似，C错误；邻边相等的矩形一定是正方形，D正确.故选：D.4．如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（）A．0对B．1对C．2对D．3对【答案】D【解析】【分析】将任意两个正六边形的对应顶点连接起来都相交于它们的交点，得

到三个正六边形彼此位似，所以可知成10位似图形关系的有3对．【详解】∵将任意两个正六边形的对应顶点连接起来都相交于它们的交点∴三个正六边形彼此位似∴成位似图形关系的有3对．故选：D．5．如图，点O是五边形ABCDE和A1B1C1D1E1的位似中心，若OA∶OA1＝1∶3，则C1D1∶CD＝()A．

1∶2B．1∶3C．3∶1D．1∶4【答案】C【解析】∵点O是五边形ABCDE和A1B1C1D1E1的位似中心，OA∶OA1＝1∶3,∴11113CDOACDOA==,∴C1D1∶CD=3:1.故选C.6．两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为(3，－4)，(－2，b

)，则b的取值为()A．－9B．9C．83D．－83【答案】C【解析】∵两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为（3，-4），（-2，b），∴342b−=−，解得b=83.故选C.7．如图所示，下列图形中不是位似图形的是()A．B．C

．D．11【答案】C【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．据此可得A、B、D三个图形中的两个图形都是位似图形；而C的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．故选C．8．如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原

点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的12，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为（）A．（4，3）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，4）【答案】A【分析】直接利用在平面直角

坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，进而结合已知得出答案．【详解】∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的12，得

到△A′B′C′，∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．故选A．9．下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】12根据位似图形的定义判断即可.【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点，所以A，B，D中的两个图

形是位似图形，C中的两个图形不是位似图形.故选C.10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点A的对应点A’的坐标是（）A．（1，﹣2）B．（2，1）C．

（﹣2，﹣1）或（2，1）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）【答案】D【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，点A的坐标为（﹣2，4），则点A的对应点A′的坐标为（﹣2×12，4×12）或（2×12，﹣

4×12），即（﹣1，2）或（1，﹣2），故选：D．