【文档说明】十年（2015-2024）高考真题分项汇编 数学 专题15 函数及其基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）小题综合 Word版含解析.docx，共(32)页，1.586 MB，由管理员店铺上传

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专题15函数及其基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1直接求函数值（10年3考）2024·全国新Ⅰ卷、2024·上海卷、2023·北京卷2021·全国甲卷、2

021·浙江卷1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法，理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值2.能够利用函数的单调性解决有关问题，了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和

研究函数的奇偶性，了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题，能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.该内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容

.考点2函数的定义域与值域（10年6考）2022·北京卷、2020·山东卷、2019·江苏卷2018·江苏卷、2016·江苏卷、2016·全国卷2015·福建卷、2015·湖北卷考点3函数单调性的判断及其应用（10年8考）2024·全国新Ⅰ卷、2023·北京卷、2023·全国甲卷2

023·全国新Ⅰ卷、2021·全国甲卷、2020·山东卷2020·全国卷、2019·北京卷、2019·全国卷2017·全国卷、2017·天津卷、2017·天津卷2017·北京卷、2017·全国卷、2016·天津卷2015·湖南卷、2015·全国卷考点4函数的奇偶性及

其应用（10年9考）2024·天津卷、2024·上海卷、2023·全国甲卷2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷、2021·全国甲卷、2021·全国新Ⅱ卷、2021·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷、2020·山

东卷、2020·全国卷、2019·北京卷、2019·全国卷、2017·全国卷、2016·天津卷、2015·广东卷、2015·天津卷2015·天津卷、2015·陕西卷、2015·广东卷2015·福建卷考点5函数的周期性及其应用（10年5考）2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国新Ⅱ卷、20

21·全国甲卷、2018·全国卷、2018·江苏卷、2017·山东卷、2016·山东卷、2016·四川卷考点6函数的对称性及其应用（10年7考）2024·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国乙卷、2020·全国卷、2018·全国卷、2017·全国卷、2016·全国卷、2016

·全国卷、2015·全国卷考点01直接求函数值1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数()fx的定义域为R，()(1)(2)fxfxfx−+−，且当3x时()fxx=，则下列结论中一定正确的是（）A．(10)100fB．(20)1000fC．(10

)1000fD．(20)10000f【答案】B【分析】代入得到(1)1,(2)2==ff，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x时()fxx=，所以(1)1,(2)2==ff，又因为()(1)(2)fxfx

fx−+−，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5ffffff+=+，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21fffffffff+++，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,

(10)(9)(8)89fffffffff+++，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377fffffffff+++(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)

987ffffff++，(16)(15)(14)15971000fff+，则依次下去可知(20)1000f，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2==ff，再

利用题目所给的函数性质()(1)(2)fxfxfx−+−，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.2．（2024·上海·高考真题）已知(),0,1,0xxfxx=则()3f=．【答案】3【分析】利用分段函数的形式可求()3f.【详解】因为

(),0,1,0xxfxx=故()33f=，故答案为：3.3．（2023·北京·高考真题）已知函数2()4logxfxx=+，则12f=．【答案】1【分析】根据给定条件，把12x=代入，利用指数、对数运算计算作答.【详解】函数2()4logxfxx=+，所以12

211()4log21122f=+=−=.故答案为：14．（2021·全国甲卷·高考真题）设()fx是定义域为R的奇函数，且()()1fxfx+=−.若1133f−=，则53f=（）A．53−B．13−C．13D．53【答案】C【分析】由题意利用

函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f的值.【详解】由题意可得：522213333ffff=+=−=−，而21111133333ffff

=−==−−=−，故5133f=.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.5．（

2021·浙江·高考真题）已知Ra，函数24,2()3,2,xxfxxax−=−+若()63ff=，则=a.【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.【详解】()()()6642233ffffa

=−==−+=，故2a=，故答案为：2.考点02函数的定义域与值域1．（2022·北京·高考真题）函数1()1fxxx=+−的定义域是．【答案】()(,00,1−【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为()11fxxx=+−，所以100

xx−，解得1x且0x，故函数的定义域为()(,00,1−；故答案为：()(,00,1−2．（2020·山东·高考真题）函数()1lgfxx=的定义域是（）A．()0,+B．()()0,11,+C．)()0,

11,+UD．()1,+【答案】B【分析】根据题意得到0lg0xx，再解不等式组即可.【详解】由题知：0lg0xx，解得0x且1x.所以函数定义域为()()0,11,+.故选：B3．（2019·江苏·高考真题）函数276yxx=+−的定义域是.

【答案】[1,7]−.【分析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得2760xx+−,即2670xx−−解得17x−，故函数的定义域为[1,7]−.【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函

数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．4．（2018·江苏·高考真题）函数2()log1fxx=−的定义域为．【答案】[2，+∞）【详解】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域

.详解：要使函数()fx有意义，则2log10x−，解得2x，即函数()fx的定义域为[2,)+.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.5．（2016·江苏·高考真题）函数y=232xx−−的定义域是.【答案】3,1−【详解】试题分析：要使函数有意义，需满足22

32023031xxxxx−−+−−，函数定义域为3,1−考点：函数定义域6．（2016·全国·高考真题）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是A．y＝xB．y＝lgxC．y＝2xD．y＝1x【答案】D【详

解】试题分析:因函数lg10xy=的定义域和值域分别为,故应选D．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．7．（2015·福建·高考真题）若函数()6,23log,2axxfxxx−+=+（0a

且1a）的值域是)4,+，则实数a的取值范围是．【答案】(1,2【详解】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log,2axxfxaaxx−+=+的值域是)4,+，故当2x时，满足()64fxx=−，当2x时，由()3log4afxx=+，所

以log1ax，所以log2112aa，所以实数a的取值范围12a.考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特

殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x时，由()4fx，得log1ax，即log21a，即可求解实数a的取值范围.8．（2015·湖北·高考真题）函数256()4lg3xxfxxx−+=−+−

的定义域为（）A．(2,3)B．(2,4]C．((2,3)3,4D．()(1,3)3,6−【答案】C【分析】根据根号下非负及真数大于零可得函数的定义域.【详解】由函数()yfx=的表达式可知，函数()fx的定义域应满足条件：2405603xxxx−−+

−，解之得442,3xxx−，即函数()fx的定义域为((2,3)3,4，故选：C．考点03函数单调性的判断及其应用1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数22,0()eln(1),0xxaxaxfx

xx−−−=++在R上单调递增，则a的取值范围是（）A．(,0]−B．[1,0]−C．[1,1]−D．[0,)+【答案】B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()fx在R上单调递增，且

0x时，()()eln1xfxx=++单调递增，则需满足()02021eln1aa−−−−+，解得10a−，即a的范围是[1,0]−.故选：B.2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间(0,)+上单调递

增的是（）A．()lnfxx=−B．1()2xfx=C．1()fxx=−D．|1|()3xfx−=【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为lnyx=在()0,+上单调递增，yx=−在()0,+上单调递减，所以()lnf

xx=−在()0,+上单调递减，故A错误；对于B，因为2xy=在()0,+上单调递增，1yx=在()0,+上单调递减，所以()12xfx=在()0,+上单调递减，故B错误；对于C，因为1yx=在()0,

+上单调递减，yx=−在()0,+上单调递减，所以()1fxx=−在()0,+上单调递增，故C正确；对于D，因为1112213332f−===，()()112101331,233ff−−====

=，显然()13xfx−=在()0,+上不单调，D错误.故选：C.3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数()2(1)exfx−−=．记236,,222afbfcf===，则

（）A．bcaB．bacC．cbaD．cab【答案】A【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令2()(1)gxx=−−，则()gx开口向下，对称轴为1x=，因为63634112222

+−−−=−，而22(63)4962166270+−=+−=−，所以636341102222+−−−=−，即631122−−由二次函数性质知63()()22gg，因为62624112222+−−−=−，而22(62)4843164384

(32)0+−=+−=−=−，即621122−−，所以62()()22gg，综上，263()()()222ggg，又exy=为增函数，故acb，即bca.故选：A.4．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）设函数()()2xxafx−=在区间()0,1上单调递减，则a的取值范围是（

）A．(,2−−B．)2,0−C．(0,2D．)2,+【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数2xy=在R上单调递增，而函数()()2xxafx−=在区间()0

,1上单调递减，则有函数22()()24aayxxax=−=−−在区间()0,1上单调递减，因此12a，解得2a，所以a的取值范围是)2,+.故选：D5．（2021·全国甲卷·高考真题）下列函数中是增函数的为（）A．()fxx=−B．()23xfx=

C．()2fxx=D．()3fxx=【答案】D【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，()fxx=−为R上的减函数，不合题意，舍.对于B，()23xfx=为R上的减函数，不合题意，舍.对于C，()2fxx=在(),0−为减函数，不

合题意，舍.对于D，()3fxx=为R上的增函数，符合题意，故选：D.6．（2020·山东·高考真题）已知函数()fx的定义域是R，若对于任意两个不相等的实数1x，2x，总有()()21210fxfxxx−−成立，则函数()fx一定是（）A

．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数【答案】C【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.【详解】对于任意两个不相等的实数1x，2x，总有()()21210fxfxxx−−成立，等价于对于任意两个不相等的实

数12xx，总有()()12fxfx.所以函数()fx一定是增函数.故选：C7．（2020·全国·高考真题）设函数331()fxxx=−,则()fx（）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是

偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为0xx，利用定义可得出函数()fx为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数()331fxxx=−定义域为0xx，其关于原点对称，而()()fx

fx−=−，所以函数()fx为奇函数．又因为函数3yx=在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增，而331yxx−==在()0,+?上单调递减，在(),0-?上单调递减，所以函数()331fxxx=−在()0,+?上单调递增，在(),0-?

上单调递增．故选：A．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．8．（2019·北京·高考真题）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是A．12yx=B．y=2x−C．12logyx=D．1yx=【答案】A【分析】由题

意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.【详解】函数122,logxyyx−==，1yx=在区间(0,)+上单调递减，函数12yx=在区间(0,)+上单调递增，故选A.【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合

思想，属于容易题.9．（2019·全国·高考真题）设()fx是定义域为R的偶函数，且在()0,+单调递减，则A．233231log224fff−−B．233231log224fff−−C．23332122log4

fff−−D．23323122log4fff−−【答案】C【解析】由已知函数为偶函数，把233231log,2,24fff−−，转

化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】()fx是R的偶函数，()331loglog44ff=．223303322333log4log31,1222,log422−−−−==，又()fx在(0，+∞)单调递减，

∴()23323log422fff−−，23323122log4fff−−，故选C．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．1

0．（2017·全国·高考真题）函数()fx在(,)−+单调递减，且为奇函数，若(1)1f=−，则满足1(2)1fx−−的x的取值范围是．A．[2,2]−B．[1,1]−C．[0,4]D．[1,

3]【答案】D【详解】()fx是奇函数，故()()111ff−=−=；又()fx是减函数，1(2)1fx−−，即()(1)2(1)ffxf−−则有121x−−，解得13x，故选D.11．（2017·天津·高考真题）已知奇函数()fx在R上是增函数，若21log5af=−

，()2log4.1bf=，()0.82cf=，则,,abc的大小关系为A．abcB．bacC．cbaD．c<a<b【答案】C【详解】由题意：()221loglog55aff=−=，且：0.

822log5log4.12,122，据此：0.822log5log4.12，结合函数的单调性有：()()()0.822log5log4.12fff，即,abccba.本题选择C选项.【考点】

指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式

.12．（2017·天津·高考真题）已知奇函数()fx，且()()gxxfx=在[0,)+上是增函数.若2(log5.1)ag=−，0.8(2)bg=，(3)cg=，则a，b，c的大小关系为A．abcB．cbaC．bac

D．b<c<a【答案】C【详解】因为()fx是奇函数，从而()()gxxfx=是R上的偶函数，且在[0,)+上是增函数，22(log5.1)(log5.1)agg=−=，0.822，又45.18，则22log5.13，所以即0.8202log5.13，0.82(2)(log5

.1)(3)ggg，所以bac，故选C．【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结

合不仅能比较大小，还可以解不等式.13．（2017·北京·高考真题）已知函数1()3()3xxfx=−，则()fxA．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【详解】分析：讨论函数()133xxfx=

−的性质，可得答案.详解：函数()133xxfx=−的定义域为R，且()()111333,333xxxxxxfxfx−−−=−=−+=−−=−即函数()fx是奇函数，又1y3,

3xxy==−在R都是单调递增函数，故函数()fx在R上是增函数．故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.14．（2017·全国·高考真题）函数2()ln(28)fxxx=−−的单调递增区间是A

．(,2)−−B．(,1)−C．(1,)+D．(4,)+【答案】D【详解】由228xx−−>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=228xx−−，则y=lnt，∵x∈(−∞,−2)时,t=228xx−−为减函数；x∈(4,+∞)时,t=228xx−−

为增函数；y=lnt为增函数，故函数f(x)=ln(228xx−−)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()yfgx=的函数为()ygx=,()yfx=的复合函数，()ygx=为内层函

数,()yfx=为外层函数.当内层函数()ygx=单增，外层函数()yfx=单增时，函数()()yfgx=也单增；当内层函数()ygx=单增，外层函数()yfx=单减时，函数()()yfgx=也单减；当内层函数()ygx=

单减，外层函数()yfx=单增时，函数()()yfgx=也单减；当内层函数()ygx=单减，外层函数()yfx=单减时，函数()()yfgx=也单增.简称为“同增异减”.15．（2016·天津·高考真题）已知是定

义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【详解】试题分析：由题意得11112113(2)(2)22221222aaaffaa−−−−−−−−，故选C【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】

不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．（2）借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方

法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．16．（2015·湖南·高考真题）设函数()ln(1)ln(1)fxxx=+−−，则()fx是A．奇函数，且在（0,1）上是增函数B．奇函数，且在（0

,1）上是减函数C．偶函数，且在（0,1）上是增函数D．偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A【详解】试题分析：由题意得，函数的定义域为10{10xx+−，解得11x−，又()ln(1)ln(1)[ln(1)ln(1)]()f

xxxxxfx−=−−+=−+−−=−，所以函数()fx的奇函数，由1()ln(1)ln(1)ln1xfxxxx+=+−−=−，令()11xgxx+=−，又由1201xx，则()()212121

2121112()011(1)(1)xxxxgxgxxxxx++−−=−=−−−−，即，所以函数()11xgxx+=−为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数()ln(1)ln(1)fxxx=+−−在(0,1)上增函数，故

选A.考点：函数的单调性与奇偶性的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的判定、函数的单调性的判定与应用、复合函数的单调性的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答

中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于基础题.17．（2015·全国·高考真题）设函数()()211ln1fxxx−++=,则使()()21fxfx−成立的x的取值范围是A．1,13B．()

1,1,3−+C．11,33−D．11,,33−−+【答案】A【详解】试题分析：()()21ln11fxxx=+−+，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：

得()()21fxfx−成立，∴，∴，∴的范围为1,13故答案为A.考点：抽象函数的不等式.【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数

关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把()()21fxfx−可转化为，解绝对值不等式即可．考点04函数的奇偶性及其应用1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（）A．22e1xxyx−=+B．22cos1xxyx+=+C．e1xxyx−=

+D．||sin4exxxy+=【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A，设()22e1xxfxx−=+，函数定义域为R，但()112e1f−−−=，()112ef−=，则()()11ff−，故A错误；对B，设()22c

os1xxgxx+=+，函数定义域为R，且()()()()()2222coscos11xxxxgxgxxx−+−+−===+−+，则()gx为偶函数，故B正确；对C，设()e1xxhxx−=+，函数定义域为|1xx

−，不关于原点对称，则()hx不是偶函数，故C错误；对D，设()||sin4exxxx+=，函数定义域为R，因为()sin141e+=，()sin141e−−−=，则()()11−，则()x

不是偶函数，故D错误.故选：B.2．（2024·上海·高考真题）已知()3fxxa=+，xR，且()fx是奇函数，则=a．【答案】0【分析】根据奇函数的性质可求参数a.【详解】因为()fx是奇函数，故()()0fxf

x−+=即()330xaxa++−+=，故0a=，故答案为：0.3．（2023·全国甲卷·高考真题）若()()2π1sin2fxxaxx=−+++为偶函数，则=a．【答案】2【分析】利用偶函数的性质得到ππ22ff−=，从而求得2a=，再检验即可得解.【详

解】因为()()()22π1sin1cos2yfxxaxxxaxx==−+++=−++为偶函数，定义域为R，所以ππ22ff−=，即22ππππππ222222s1co1cosaa−+=−+−−−+

，则22πππ2π1212a−=+−=，故2a=，此时()()2212cos1cosfxxxxxx=−++=++，所以()()()()221coss1cofxxxxxfx−=−++++−==，又定义域为R，故()fx为偶函数，所以2a=.故答案为：2

.4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知e()e1xaxxfx=−是偶函数，则=a（）A．2−B．1−C．1D．2【答案】D【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为()ee1xaxxfx=−为偶函数，则()()()()1eeee0e1e1e1axxxxaxax

axxxxfxfx−−−−−−−=−==−−−，又因为x不恒为0，可得()1ee0axx−−=，即()1eeaxx−=，则()1xax=−，即11a=−，解得2a=.故选：D.5．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）若()()21ln21xfxxa

x−=++为偶函数，则=a（）．A．1−B．0C．12D．1【答案】B【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.【详解】因为()fx为偶函数，则1(1)(1)(1)ln(1)ln33ffaa=−+=−+，，解得0a=，当0a=时，()21ln21xxxfx−=+，(

)()21210xx−+，解得12x或12x−，则其定义域为12xx或12x−，关于原点对称.()()()()()()()121212121lnlnlnln21212121fxxxx

xxxxxfxxxxx−−−+−=−−−====−+−++−−，故此时()fx为偶函数.故选：B.6．（2022·全国乙卷·高考真题）若()1ln1fxabx++−=是奇函数，则=a，b=．【答案

】12−；ln2．【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a=，则()fx的定义域为{|1}xx，不关于原点对称0a若奇函数的1()||1fxlnabx=++−有意义，则1x且101ax+−1x且11xa+，函数()fx为奇函数，定义

域关于原点对称，111a+=−，解得12a=−，由(0)0f=得，102lnb+=，2bln=，故答案为：12−；2ln．[方法二]：函数的奇偶性求参111()111aaxaxafxlnablnblnbxxx−+−−=++=

+=+−−−1()1axafxlnbx++−=++函数()fx为奇函数11()()2011axaaxafxfxlnlnbxx−−+++−=++=−+2222(1)201axalnbx−++=−22(1)1210112aaaa+=+==−1222241,22blnblna

blnln−==−==−=[方法三]：因为函数()1ln1fxabx++−=为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101ax+−可得，()()110xaax−+−，所以11axa+==−，解得：12a=−，即函数的定义域为()()(),11,11,−−−+，再由()00f=可得，l

n2b=．即()111lnln2ln211xfxxx+=−++=−−，在定义域内满足()()fxfx−=−，符合题意．故答案为：12−；ln2．7．（2021·全国甲卷·高考真题）设()fx是定义域为R的奇函数，且()()1fxfx+=−

.若1133f−=，则53f=（）A．53−B．13−C．13D．53【答案】C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f的值.【详解】由题意可得：522213333ffff=+=−=−

，而21111133333ffff=−==−−=−，故5133f=.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，

灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.8．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():fx．①()()()1212fxxfxfx=；②当(0,)x+时，()0fx；③()fx是奇函数．【答案】()4fxx=（

答案不唯一，()()2*nxNfnx=均满足）【分析】根据幂函数的性质可得所求的()fx.【详解】取()4fxx=，则()()()()44421121122xfxfxxxxfxx===，满足①，()34fxx=，0

x时有()0fx¢>，满足②，()34fxx=的定义域为R，又()()34fxxfx−=−=−，故()fx是奇函数，满足③.故答案为：()4fxx=（答案不唯一，()()2*nxNfnx=均满足）9．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数()()322xxxafx−=−是偶函

数，则=a.【答案】1【分析】利用偶函数的定义可求参数a的值.【详解】因为()()322xxxafx−=−，故()()322xxfxxa−−=−−，因为()fx为偶函数，故()()fxfx−=，时()()332222xxxxxaxa−−−=−−，整理得到()()12+2=0xx

a−−，故1a=，故答案为：110．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数1()1xfxx−=+，则下列函数中为奇函数的是（）A．()11fx−−B．()11fx−+C．()11fx+−D．()11fx++【答

案】B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得12()111xfxxx−==−+++，对于A，()2112fxx−−=−不是奇函数；对于B，()211fxx−=+是奇函数；对于C，()21122fxx+−=−

+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，()2112fxx++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.11．（2020·山东·高考真

题）若定义在R的奇函数f(x)在(,0)−单调递减，且f(2)=0，则满足(10)xfx−的x的取值范围是（）A．[)1,1][3,−+B．3,1][,[01]−−C．[1,0][1,)−+D．[1,0][1,3]−

【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()fx在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R上的奇函数()fx在(,0)−上单调递减，且(2)0f=，所以

()fx在(0,)+上也是单调递减，且(2)0f−=，(0)0f=，所以当(,2)(0,2)x−−时，()0fx，当(2,0)(2,)x−+时，()0fx，所以由(10)xfx−可得：0

210xx−−或0012xx−或0x=解得10x−≤≤或13x，所以满足(10)xfx−的x的取值范围是[1,0][1,3]−，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.12．（2020·全国·高考真题）

设函数()ln|21|ln|21|fxxx=+−−，则f(x)（）A．是偶函数，且在1(,)2+单调递增B．是奇函数，且在11(,)22−单调递减C．是偶函数，且在1(,)2−−单调递增D．是奇函数，且在1(,)2−

−单调递减【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断出()fx为奇函数，排除AC；当11,22x−时，利用函数单调性的性质可判断出()fx单调递增，排除B；当1,2x−−时，利用复合函数单调性可判断出()fx单调递减，从

而得到结果.【详解】由()ln21ln21fxxx=+−−得()fx定义域为12xx，关于坐标原点对称，又()()ln12ln21ln21ln21fxxxxxfx−=−−−−=−−+=−，()fx\

为定义域上的奇函数，可排除AC；当11,22x−时，()()()ln21ln12fxxx=+−−，()ln21yx=+Q在11,22−上单调递增，()ln12yx=−在11,22−上单调递减，()fx\在11,22

−上单调递增，排除B；当1,2x−−时，()()()212ln21ln12lnln12121xfxxxxx+=−−−−==+−−，2121x=+−在1,2−−上单调递减，()ln

f=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()fx在1,2−−上单调递减，D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()fx−与()fx的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简

函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.13．（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据

定义域为R的函数()fx为偶函数等价于()=()fxfx−进行判断.【详解】0b=时，()cossincosfxxbxx=+=,()fx为偶函数；()fx为偶函数时，()=()fxfx−对任意的x恒成立，()cos()sin()cossinfxxbxxbx−=−+−=−co

ssincossinxbxxbx+=−，得0bsinx=对任意的x恒成立，从而0b=.从而“0b=”是“()fx为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.14．（2019

·全国·高考真题）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e1x−，则当x<0时，f(x)=A．e1x−−B．e1x−+C．e1x−−−D．e1x−−+【答案】D【分析】先把x<0，转化为-x>0,代入可得()fx−，结合奇偶性可得()fx.【详解】()fx是奇函数，0

x时，()1xfxe=−．当0x时，0x−，()()1xfxfxe−=−−=−+，得()e1xfx−=−+．故选D．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的

思想解题．15．（2017·全国·高考真题）函数()fx在(,)−+单调递减，且为奇函数，若(1)1f=−，则满足1(2)1fx−−的x的取值范围是．A．[2,2]−B．[1,1]−C．[0,4]D．[1,3]【答案】D【详解】(

)fx是奇函数，故()()111ff−=−=；又()fx是减函数，1(2)1fx−−，即()(1)2(1)ffxf−−则有121x−−，解得13x，故选D.16．（2016·天津·高考真题）已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是A

．B．C．D．【答案】C【详解】试题分析：由题意得11112113(2)(2)22221222aaaffaa−−−−−−−−，故选C【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形

助数，常见的“以形助数”的方法有：（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．（2）借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几

何意义实现“数”向“形”的转化．17．（2015·广东·高考真题）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A．y=B．y=x+C．y=2x+D．y=x+ex【答案】D【详解】试题分析：直接利用函数的奇偶性判断选项即可．解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确

；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是奇函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选D．点评：本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．18．（20

15·天津·高考真题）已知定义在R上的函数()21()xmfxm−=−为实数为偶函数,记0.5(log3),af=2b(log5),c(2)ffm==,则,,abc,的大小关系为A．abcB．c<a

<bC．acbD．cba【答案】B【详解】由()fx为偶函数得0m=,所以0,52log3log32121312,a=−=−=−=2log521514b=−=−=,0210c=−=,所以c<a<b,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.19．（2015·天津·高考真题）已知函数(

)21xmfx−=−为偶函数，记()0.5log3af=，()2log5bf=，()2cfm=，则,,abc的大小关系为()A．abcB．acbC．c<a<bD．b<c<a【答案】C【详解】试题分析：因为()fx为偶函数，所

以()()fxfx−=，21210xmxmxmxmm−−−−=−−−=−=()()21xfxfx=−在)0,+上单调递增，并且()()()()0.522log3log3,log5,0affbfcf====，因为220log3log5，cab，故选

C．考点：函数的单调性【思路点睛】本题考查的是比较大小相关知识点，一般比较大小我们可以采用作差法、作商法、单调性法和中间量法，本题的题设中有解析式且告诉我们为偶函数，即可求出参数m的值，所以我们采用单调性法，经观察即可得到函数的单调性，然后根据可以通过函数的奇偶性转化到同一侧，进而判断出几

个的大小，然后利用函数的单调性即可判断出所给几个值的大小．20．（2015·陕西·高考真题）设()sinfxxx=−，则()fx=A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数【答案】B【详解】试题分析：函数的定义域为，关于原点对称

，，因此函数是奇函数，不恒等于0，函数是增函数，故答案为B．考点：函数的奇偶性和单调性．21．（2015·广东·高考真题）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A．2sinyxx=+B．2cosyxx=−C．122xxy=+D．sin2yxx=+【答案】A【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断

即可．【详解】解：A．f（﹣x）＝（﹣x）2+sin（﹣x）＝x2﹣sinx，则f（﹣x）≠﹣f（x）且f（﹣x）≠f（x），则函数f（x）为非奇非偶函数；B．f（﹣x）＝（﹣x）2﹣cos（﹣x）＝x2﹣cosx＝f（x）

，则函数f（x）是偶函数；C．f（﹣x）122xx−−=+=2x12x+=f（x），则函数f（x）是偶函数；D．f（﹣x）＝﹣x+sin2（﹣x）＝﹣x﹣sin2x＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，故选A．

【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义进行判断，是解决本题的关键．22．（2015·福建·高考真题）下列函数为奇函数的是A．yx=B．|sin|yx=C．cosyx=D．xxyee−=−【答案】D【详解】函数yx=是非奇非偶函数；sinyx=和c

osyx=是偶函数；xxyee−=−是奇函数，故选D．考点：函数的奇偶性．考点05函数的周期性及其应用1．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数()fx的定义域为R，且()()()(),(1)1fxyfxyfxfyf++−

==，则221()kfk==（）A．3−B．2−C．0D．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数()fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6fff的值，即可解出．【详解】[方法

一]：赋值加性质因为()()()()fxyfxyfxfy++−=，令1,0xy==可得，()()()2110fff=，所以()02f=，令0x=可得，()()()2fyfyfy+−=，即()()fyfy=−，所以函数()fx为偶函数，令1y=得，()()()(

)()111fxfxfxffx++−==，即有()()()21fxfxfx++=+，从而可知()()21fxfx+=−−，()()14fxfx−=−−，故()()24fxfx+=−，即()()6fxfx=+，所以函数()fx的一个周期为6．因为()()()210121fff=−=−=−，()()

()321112fff=−=−−=−，()()()4221fff=−==−，()()()5111fff=−==，()()602ff==，所以一个周期内的()()()1260fff+++=．由于22除以6余4，所以()()

()()()221123411213kfkffff==+++=−−−=−．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()fxyfxyfxfy++−=，联想到余弦函数和差化积公式()()coscos2cos

cosxyxyxy++−=，可设()cosfxax=，则由方法一中()()02,11ff==知2,cos1aa==，解得1cos2=，取3=，所以()2cos3fxx=，则()()()()

2cos2cos4coscos333333fxyfxyxyxyxyfxfy++−=++−==，所以()2cos3fxx=符合条件，因此()fx的周期263T==，()()02,11ff==，且()()()()()2

1,32,41,51,62fffff=−=−=−==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0ffffff+++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213kfkffff==+++=−−−=−．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即

可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.2．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数()fx的定义域为R，()2fx+为偶函数，()21fx+为奇函数，则（）A．102f−=

B．()10f−=C．()20f=D．()40f=【答案】B【分析】推导出函数()fx是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f=，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数()2fx+为偶函数，则()()22fxf

x+=−，可得()()31fxfx+=−，因为函数()21fx+为奇函数，则()()1221fxfx−=−+，所以，()()11fxfx−=−+，所以，()()()311fxfxfx+=−+=−，即()()4fxfx=+，故函数()fx是以4为周期的周期函数，因为函数()()21Fxfx=+为奇函

数，则()()010Ff==，故()()110ff−=−=，其它三个选项未知.故选：B.3．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数()fx的定义域为R，()1fx+为奇函数，()2fx+为偶函数，当1,2x时，2()fxaxb=+．若()()036ff+=，则92f=（）A．9

4−B．32−C．74D．52【答案】D【分析】通过()1fx+是奇函数和()2fx+是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222fxx=−+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】[方法一]：因为()1fx+是奇函数，所以()()11fxfx−+=−+①；因为()2

fx+是偶函数，所以()()22fxfx+=−+②．令1x=，由①得：()()()024ffab=−=−+，由②得：()()31ffab==+，因为()()036ff+=，所以()462ababa−+++==−，令0x=，由①得：()()()11102fffb=

−==，所以()222fxx=−+．思路一：从定义入手．9551222222ffff=+=−+=−1335112222ffff−=−+=−+=−

511322=2222ffff−=−+=−−+−所以935222ff=−=．[方法二]：因为()1f

x+是奇函数，所以()()11fxfx−+=−+①；因为()2fx+是偶函数，所以()()22fxfx+=−+②．令1x=，由①得：()()()024ffab=−=−+，由②得：()()31ffab==+，因为()()036ff+=，所以()462

ababa−+++==−，令0x=，由①得：()()()11102fffb=−==，所以()222fxx=−+．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()fx的周期4T=．所以91352222fff==−=．故选：D．【点睛】在解决函数性

质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．4．（2018·全国·高考真题）已知()fx是定义域为(,)−+的奇函数,满足(1)(1)fxfx−=+.若(1)2f=，则(1)(2)(3)(50)

ffff++++=A．50−B．0C．2D．50【答案】C【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为()fx是定义域为(,)−+的奇函数，且(1)(1)fxfx−=+，

所以(1)(1)(3)(1)(1)4fxfxfxfxfxT+=−−+=−+=−=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)ffffffffff++++=+++++，

因为(3)(1)(4)(2)ffff=−=−，，所以(1)(2)(3)(4)0ffff+++=，(2)(2)(2)(2)0ffff=−=−=，从而(1)(2)(3)(50)(1)2fffff++++==，选C.点睛：函数的奇偶

性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5．（2018·江苏·高考真题）函数()fx满足(4)()()fxfxxR+=，

且在区间(2,2]−上，cos,02,2()1,20,2xxfxxx=+−则((15))ff的值为．【答案】22【详解】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求

值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由(4)()fxfx+=得函数()fx的周期为4，所以11(15)(161)(1)1,22fff=−=−=−+=因此1π2((15))()cos.242fff===点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求

值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())ffa的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所

求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.6．（2017·山东·高考真题）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝.【答案】6【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191ff=−

，再代入求值.【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知,()fx是周期函数,且6T=,所以()()()919615311fff=+=()16f=−=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.7．（2016·山东·高考真题）已知函数()fx的定义域为R.当0x时，3

()1fxx=−；当11x−时，()()fxfx−=−；当12x时，11()()22fxfx+=−.则(6)f=A．2−B．1−C．0D．2【答案】D【详解】试题分析：当时,11()()22fxfx+=−,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D

．考点：函数的周期性和奇偶性．8．（2016·四川·高考真题）已知函数()fx是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，()4xfx=，则5()(1)2ff−+54−=.【答案】134−【详解】因为函数()fx是定义

在R上周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)fffff−=−−=−+=，所以(1)(1)ff−=，即(1)0f=，125111()(2)()()422222ffff−=−−=−=−=−=−，所以()55131244ff−+−=−.考点06函数的对

称性及其应用1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数32()231fxxax=−+，则（）A．当1a时，()fx有三个零点B．当0a时，0x=是()fx的极大值点C．存在a，b，使得xb=为曲线()yfx=的对称轴D．存在a，使得点()()1,1f

为曲线()yfx=的对称中心【答案】AD【分析】A选项，先分析出函数的极值点为0,xxa==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()fx在(1,0),(0,),(,2)aaa−上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分

析；C选项，假设存在这样的,ab，使得xb=为()fx的对称轴，则()(2)fxfbx=−为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的a，使得(1,33)a−为()fx的对称中心，则()(2)66fxfxa+−=−，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论

直接求解.【详解】A选项，2()666()fxxaxxxa=−=−，由于1a，故()(),0,xa−+时()0fx，故()fx在()(),0,,a−+上单调递增，(0,)xa时，()0fx，()fx单调递减

，则()fx在0x=处取到极大值，在xa=处取到极小值，由(0)10=f，3()10faa=−，则(0)()0ffa，根据零点存在定理()fx在(0,)a上有一个零点，又(1)130fa−=−−，3(2)410faa=+，则

(1)(0)0,()(2)0fffafa−，则()fx在(1,0),(,2)aa−上各有一个零点，于是1a时，()fx有三个零点，A选项正确；B选项，()6()fxxxa=−，a<0时，(,0),()0xafx，()fx单调递减，,()0x+时()0fx，()fx单调

递增，此时()fx在0x=处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的,ab，使得xb=为()fx的对称轴，即存在这样的,ab使得()(2)fxfbx=−，即32322312(2)3(2)1xaxbxabx−+=−−−+，根据二项式定理，等式右边3(2)bx−展开式

含有3x的项为303332C(2)()2bxx−=−，于是等式左右两边3x的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,ab，使得xb=为()fx的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33fa=−，若存在这样的

a，使得(1,33)a−为()fx的对称中心，则()(2)66fxfxa+−=−，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812fxfxxaxxaxaxaxa+−=−++−−−+=−+−+−，于是266(126)(1224)1812aaxa

xa−=−+−+−即126012240181266aaaa−=−=−=−，解得2a=，即存在2a=使得(1,(1))f是()fx的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231fxxax=−+，2()66fxxax

=−，()126fxxa=−，由()02afxx==，于是该三次函数的对称中心为,22aaf，由题意(1,(1))f也是对称中心，故122aa==，即存在2a=使得(

1,(1))f是()fx的对称中心，D选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()fx的对称轴为()(2)xbfxfbx==−；（2）()fx关于(,)ab对称()(2)2fxfaxb+−=；（3）任何三次函数32()fxaxbxcxd=+++都有对称中

心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0fx=的解，即,33bbfaa−−是三次函数的对称中心2．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，记()()gxfx=，若322fx−

，(2)gx+均为偶函数，则（）A．(0)0f=B．102g−=C．(1)(4)ff−=D．(1)(2)gg−=【答案】BC【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的

关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()fx，因为322fx−为偶函数，所以332222fxfx−=+即3322fxfx−=+

①，所以()()3fxfx−=，所以()fx关于32x=对称，则(1)(4)ff−=，故C正确；对于()gx，因为(2)gx+为偶函数，(2)(2)gxgx+=−，(4)()gxgx−=，所以()gx关于2x=对称，由①求导，和()()gxfx

=，得333333222222fxfxfxfxgxgx−=+−−=+−−=+，所以()()30gxgx−+=，所以()gx关于3(,0)2

对称，因为其定义域为R，所以302g=，结合()gx关于2x=对称，从而周期34222T=−=，所以13022gg−==，()()()112ggg−==−，故B正确，D错误；若函数()fx满足题设条件，则

函数()fxC+（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定()fx的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()gx周期为2，关于2x=对称，故可设()()cosπgxx=

，则()()1sinππfxxc=+，显然A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为322fx−，(2)gx+均为偶函数，所以332222fxfx−=+即3322fxfx−=+，(2)(2)

gxgx+=−，所以()()3fxfx−=，(4)()gxgx−=，则(1)(4)ff−=，故C正确；函数()fx，()gx的图象分别关于直线3,22xx==对称，又()()gxfx=，且函数()fx可导，所以()()30,32ggxgx=−=−，所以()(4

)()3gxgxgx−==−−，所以()(2)(1)gxgxgx+=−+=，所以13022gg−==，()()()112ggg−==−，故B正确，D错误；若函数()fx满足题设条件，则函数

()fxC+（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定()fx的函数值，故A错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得

出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．3．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数(),()fxgx的定义域均为R，且()(2)5,()(4)7fxgxgxfx+−=−−=．若()ygx=的图像关于直线2x=对称，(2)4g=，则()221kfk==（）A．21−B．2

2−C．23−D．24−【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2fxfx+−=−，从而得到()()()352110fff+++=−，()()()462210fff+++=−，然后根据条件

得到(2)f的值，再由题意得到()36g=从而得到()1f的值即可求解.【详解】因为()ygx=的图像关于直线2x=对称，所以()()22gxgx−=+，因为()(4)7gxfx−−=，所以(2)(2)7gxfx+−

−=，即(2)7(2)gxfx+=+−，因为()(2)5fxgx+−=，所以()(2)5fxgx++=，代入得()7(2)5fxfx++−=，即()(2)2fxfx+−=−，所以()()()()35212510fff+++=−=−，()()()()46222510fff+++=

−=−.因为()(2)5fxgx+−=，所以(0)(2)5fg+=，即()01f=，所以()(2)203ff=−−=−.因为()(4)7gxfx−−=，所以(4)()7gxfx+−=，又因为()(2)5fxgx+−=，联立得，()()2412gxgx−++=，

所以()ygx=的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()gx的定义域为R，所以()36g=因为()(2)5fxgx++=，所以()()1531fg=−=−.所以()()()()()()()()221123521462213

101024()kfffffffffk=+++++++++=−−−−=−=.故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.4．（2020·全国·高考真题）已知函数f(x)=sinx+1sin

x，则（）A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的图象关于直线x=对称D．f(x)的图象关于直线2x=对称【答案】D【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【详解】sinx可以为负，所以A错；1sin0

()()sin()sinxxkkZfxxfxx−=−−=−QQ()fx关于原点对称；11(2)sin(),()sin(),sinsinfxxfxfxxfxxx−=−−−=+=Q故B错；()fx关于直线2x=对称，故C错，D对故选：D【点睛】本

题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.5．（2018·全国·高考真题）下列函数中，其图像与函数lnyx=的图像关于直线1x=对称的是A．ln(1)yx=−B．ln(2)yx=−C．ln(1)yx=+D．ln(2)yx=+【答案】B【详解】分析：确定函数ylnx=过

定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．详解：函数ylnx=过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有()yln2x=−过此点．故选项B正确点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．6．（2017·全国·高考真题）已知函数()lnl

n(2)fxxx=+−，则A．()fx在（0，2）单调递增B．()fx在（0，2）单调递减C．()y=fx的图像关于直线x=1对称D．()y=fx的图像关于点（1，0）对称【答案】C【详解】由题意知，(2)ln(2)ln()fxxxfx

−=−+=，所以()fx的图象关于直线1x=对称，故C正确，D错误；又()ln[(2)]fxxx=−（02x），由复合函数的单调性可知()fx在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A，B错误，故选C．【名师点睛】如

果函数()fx，xD，满足xD，恒有()()faxfbx+=−，那么函数的图象有对称轴2abx+=；如果函数()fx，xD，满足xD，恒有()()faxfbx−=−+，那么函数()fx的图象有对称中心(,0)2ab+．7．（2016·全国·高考

真题）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2−x），若函数y=|x2−2x−3|与y=f（x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），则1=miix=A．0B．mC．

2mD．4m【答案】B【详解】试题分析：因为2(),23yfxyxx==−−的图像都关于1x=对称，所以它们图像的交点也关于1x=对称，当m为偶数时，其和为22mm=；当m为奇数时，其和为1212mm−+=，因此选B.

【考点】函数图像的对称性【名师点睛】如果函数()fx，xD，满足xD，恒有()()faxfbx+=−，那么函数的图象有对称轴2abx+=；如果函数()fx，xD，满足xD，恒有()()faxfbx−=−+，那么函数()fx的图象有对称中心(,0)2ab+.8．（

2016·全国·高考真题）已知函数()()fxxR满足()2()fxfx−=−，若函数1xyx+=与()yfx=图像的交点为1122(,),(,),,(,),mmxyxyxy则1()miiixy=+=A．0B．

mC．2mD．4m【答案】B【详解】[方法一]：直接法.由()()-2fxfx=−得()fx关于()01，对称，而111xyxx+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0iixx+='=2iiyy+，∴()111022mmmiiiiiiimxyxym===+

=+=+=，故选B．[方法二]：特值法.由()()-2fxfx=−得()()-+2fxfx=不妨设因为()1fxx=+，与函数111xyxx+==+的交点为()()1,2,1,0−∴当2m=时，112

22xyxym+++==，故选B．[方法三]：构造法.设()()1sxfx=−，则()()()()11sxfxfxsx−=−−=−=−，故()sx为奇函数.设()11txyx=−=，则()()txtx−=−，故()tx为奇函数.∴对于每一组对称点'0iixx+

='=0iist+.将1iisy=−，''1iity=−代入，即得'0iixx+='=2iiyy+∴()111022mmmiiiiiiimxyxym===+=+=+=，故选B．[方法四]：由题意得,函数()()fxx

R和()2()fxfx−=−的图象都关于(0,1)对称,所以两函数的交点也关于(0,1)对称,对于每一组对称点(,)iixy和''(,)iixy，都有''0,2iiiixxyy+=+=.从而1()22miiimxym=+==.故选B.考点：函数的性质

.【易错点睛】本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题,考生的易错点是不明确本题要考察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性（中心对称）,确定两个函数的交点也是关于(0,1)对称,最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性,

但不是从奇偶性的角度进行考查,从而提高了考试的难度.9．（2015·全国·高考真题）设函数()yfx=的图像与2xay+=的图像关于直线yx=−对称，且(2)(4)1ff−+−=，则=aA．1−B．1C．2D．4【答案】C【详解】试题

分析：设(,)xy是函数()yfx=的图像上任意一点，它关于直线yx=−对称为（,yx−−），由已知（,yx−−）在函数2xay+=的图像上，∴2yax−+−=，解得2log()yxa=−−+，即2()log()fxxa=−−+，∴22

(2)(4)log2log41ffaa−+−=−+−+=，解得2a=，故选C．考点：函数求解析式及求值