【文档说明】四川省遂宁中学校高新校区2025届高三上学期8月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.094 MB，由小赞的店铺上传

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遂宁中学高新校区高2025届8月月考数学试题第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.已知集合2240Axxx=−−，则A=N（）A.

0B.0,1C.0,1,2D.1,2【答案】C【解析】【分析】先确定集合A，再求交集AN.【详解】根据题意，2240222Axxxxx=−−=−，所以0,1,2A=N.故选：C2.已知随机变量X服从正态分布()22,N，且()1.520.36P

x=，则()2.5Px等于（）A.0.14B.0.36C.0.72D.0.86【答案】A【解析】【分析】根据正态曲线的性质直接求解即可.【详解】由题意知，(1.52)0.36Px=，所以(22.5)0.36Px=，则(1.52

.5)0.360.360.72Px=+=，所以1(1.52.5)(2.5)0.142PxPx−==.故选：A3.函数()()e211xxfxx−=−的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根

据题意，利用函数()fx的定义域1()02f=，以及x→−时，()0fx且()0fx→，结合选项，即可求解.【详解】由函数()()e211xxfxx−=−，可得函数()fx的定义域为(,1)(1,)−+，且1()0

2f=，故排除B,C,当x→−时，()0fx且()0fx→，排除A.故选：D.4.函数()24ln1xyx−=+的定义域为（）A.22−,B.(1,2−C.()(1,00,2−D.()(1,11,2−【答案】C【解析】

【分析】利用函数解析式有意义可得出关于实数x的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】由已知可得()24010ln10xxx−++，即2210xxx−−，因此，函数()24ln1xyx−=+的定义域为()(1,00,2−.故选：C.5.

若正数x，y满足²20xxy−+=，则xy+的最小值是（）A.22B.23C.4D.6【答案】C【解析】【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解.【详解】由题设及²20xxy−+=，可得2yxx=+.所

以211244xyxxxxxxx+=++=+=，当且仅当1xx=，即1x=时，等号成立，此时30y=符合题意.所以xy+的最小值为4.故选：C.6.已知某仓库中有10箱同样型号的零件，其中有5箱、3

箱、2箱依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该型号零件的次品率依次为111,,101520，现从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一个零件，则取得的零件是次品的概率为（）A.0.08B.0.1C.0.15D.0.2【答案】A【解析】【分析】利用条件概率公式和全概率公式求解．【详解】

以1A，2A，3A分别表示取得的零件是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的零件为次品，则15()10PA=，23()10PA=，32()10PA=，11(|)10PBA=，21(|)15PBA=，31(|)20PBA=，

则由全概率公式，所求概率为()PB112233513121()(|)()(|)()(|)0.08101010151020PAPBAPAPBAPAPBA=++=++=，故选：A．7.已知函数()()221,2log12,2axaxxf

xxax−+−=−+，则“2a”是“()fx在R上单调递增”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】由分段函数在R上为增函数列式，结合集合的包含关系即可求得结果.【详解】因为()fx在R上单调递增，所以

2?251?122441log1252aaaaaaaaa−+−+，所以2a是522a的必要不充分条件，即2a是“()fx在R上单调递增”的必要不充分条件，故选：C.8.已知函数()fx的图

象向左平移1个单位后关于y轴对称，当121xx时，[𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)](𝑥2−𝑥1)>0恒成立，设1ln2af=，()2log3bf=，32cf=，则a，b，c的大小关系为（）A.cabB.cbaC.acbD.bac【答案】C【解析

】【分析】先结合条件判断函数()fx的对称性质和单调性，再分别界定三个自变量的值或者范围，利用函数对称性和单调性即得.【详解】依题可知函数()fx的图象关于直线1x=对称，且在区间(,1)−上单调递增,则在区间(1,)+上单调递减.因232lneln213=，则131ln22

，23log322，故213()()(log3)2ln2fff，即acb.故选：C.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于，得知了函数在(1,+)上的单调性之后，如何判断三个自变量的大小范围

，考虑到三个都是大于1的，且有一个是32，故对于2log3和1ln2，就必然先考虑它们与32的大小，而这需要利用对数函数的单调性得到.二、多选题:本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得

0分.9.由一组样本数据()(),1,2,3,,8iixyi=得到的经验回归方程为20.4,2ˆyxx=−=，去除两个样本点()2,7−和()2,7−后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则此时（）A.相关

变量x，y具有正相关关系B.新的经验回归方程为ˆ33.2yx=−C.随x值的增加，y值增加的速度变小D.样本点()4,8.9似残差为0.1【答案】ABD【解析】【分析】由回归系数ˆ20b=，可判定A正确；根

据题意，求得新的经验回归方程为ˆ33.2yx=−，可判定B正确；根据回归系数的含义，可判定C错误；根据新的回归方程，求得ˆ8.8y=，结合残差的计算，可得判定D正确.【详解】对于A中，由回归方程为ˆ20.4yx=−，可得回归系数ˆ20b=，可得正数知变量,xy具有正

相关关系，所以A正确；对于B中，将2x=，代入ˆ20.4yx=−，可得3.6y=，所以去除点()2,7−和()2,7−后，得到新的样本平均数''2883.68,4.8636xy====，因为得到的新的经验回归直线的斜率为3，所以8

34.833.23xy−=−=−'，所以新的经验回归方程为ˆ33.2yx=−，所以B正确；对于C中，经验回归直线的斜率为正数，变量,xy具有正相关关系，又去除两点后，斜率增大，随x值的增加，y值增加的速度变大，所以C

错误；对于D中，由回归直线方程ˆ33.2yx=−，当4x=时，可得ˆ8.8y=，所以样本点()4,8.9似残差为8.98.80.1−=，所以D正确.故选：ABD.10.设函数32()1fxxxax=−+−，则（）A.当1a=−时，()fx有三

个零点B.当13a时，()fx无极值点C.aR，使()fx在R上是减函数D.,()afxR图象对称中心的横坐标不变【答案】BD【解析】【分析】利用导数求出函数的极大值判断A；由()0fx恒成立判断B；由()0fx的解集能否

为𝑅判断C；求出()fx图象的对称中心判断D.【详解】对于A，当1a=−时，32()1fxxxx=−−−，求导得2()321fxxx=−−，令()0fx=得13x=-或1x=，由()0fx，得13x−或1x，由()0fx，得113−x，于是

()fx在1(,)3−−，(1,)+上单调递增，在1(,1)3−上单调递减，()fx在13x=-处取得极大值1111()1032793f−=−−+−，因此()fx最多有一个零点，A错误；对于B，2()32fxxxa=−+，当13a时，

4120a=−，即()0fx恒成立，函数()fx在𝑅上单调递增，()fx无极值点，B正确；对于C，要使()fx在𝑅上是减函数，则2()320fxxxa=−+恒成立，而不等式2320xxa−+的解集不可能为𝑅，C错误；对于D，由32322222258()(

)()()()113333327fxfxxxaxxxaxa−+=−−−+−−+−+−=−，得()fx图象对称中心坐标为129(,)3327a−，D正确.故选：BD11.函数()fx及其导函数()fx的定义均为R，且()fx是奇函数，设()()gxfx=，()()4hxf

xx=−+，则以下结论一定正确的有（）A.()gx为偶函数B.函数()21gx−的图象关于直线12x=−对称C.()hx的图象关于()4,4对称D.设数列na为等差数列，若121144aaa+++=

，则()()()121144hahaha+++=【答案】ACD【解析】【分析】由奇函数的性质可得()()fxfx−=−，两边求导，即可判断A；根据函数的变换规则判断B；令()()uxfxx=+，则()ux为奇函数，又()()44uxhx=−+，根据函数的变换规则判断C；结合C及等差数列下

标和性质判断D.【详解】对于A：因为函数()fx及其导函数()fx的定义均为R，且()fx是奇函数，所以()()fxfx−=−，则()()fxfx−−=−，又()()gxfx=，即()()gxgx−=，故()gx为偶函数，故A正确；对于B：因为()2

1gx−的图象是由函数()gx图象向右平移一个单位，再将横坐标缩短为原来的12得到，又因为()gx是偶函数，函数图象关于0x=对称，所以函数()21gx−的图象关于直线12x=对称，故B错误；对于C：因为()()()()4444fxhxfxxx=−+=−++−，令()()u

xfxx=+，Rx，则()()44uxhx=−+，由()fx为奇函数，即()()fxfx−=−，所以()()()()uxfxxfxxux−=−−=−+=−，所以()()uxfxx=+为奇函数，则()()uxfxx=+图象关于()0

,0对称，而()hx的图象可以看作由()ux的图象向右平移4个单位，再向上平移4个单位而得，所以()hx的图象关于()4,4对称，故C正确；对于D：由C选项可知，当128xx+=时，()()128hxhx+=，在等差数列na中1111062572aa

aaaaa==++=+=，又121144aaa+++=，所以12571110628aaaaaaa===++=+=，所以()()()()()()()()21111066578hahahahahahahhaa+=+=+==+=，所以()

()()121144hahaha+++=，故D正确.故选：ACD第II卷（非选择题）三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知x，y之间的一组数据：x14916y12.985.017.01若y与x满足经验回归方程ˆyb

xa=+，则此曲线必过点_____________.【答案】(6.25,4)【解析】【分析】根据给定的数表，求出,xy的平均数即可.【详解】依题意，x平均数为12342.54+++=，y的平均数为12.985.017.0144+++=，所以此曲线必过点(6.25,4).故答案为：(6.

25,4)13.已知函数()2logfxx=，()12gxx=，若对任意)xa+，，总存在两个0142x，，使得()()01gxfx=，则实数a的取值范围是_______．【答案】)2+，【解析】【分析】由已

知可得，()02fxa，画出()fx在[12，4]上的函数图象，可得出201a，进而求得实数a的取值范围．【详解】()()012fxgxx==，)xa+，，()02fxa，作出()fx在[12，4]上的函数图象如图：的对任意)xa

+，，总存在两个0142x，，使得()()0•1gxfx=，201a，解得2a．故答案为：)2+，．14.设0k，若存在正实数x，使得不等式14log20kxxk−−成立，则k的最大值为________．【答案】1e

ln2【解析】【分析】由题意可得2log()(2)kkxx，可令2ka=，则logxaxa成立，由xya=和logayx=互为反函数，可得图象关于直线yx=对称，可得logxaxax==有解，通过取对数和构造函数法，

求得导数，单调性和最值，即可得到k的最大值．【详解】不等式14log20kxxk−−，所以211log2022kxxk−，即为21log2kxxk，即有2log()(2)kkxx，可令2ka=，则logxaxa成立，由xya=和logayx=

互为反函数，可得图象关于直线yx=对称，可得logxaxax==有解，则lnlnxxa=，即lnlnxax=，令lnxyx=，则21lnxyx−=，当ex时，0y，则函数lnxyx=在(e,)+上递减，当0ex时，0y，则函数lnxyx=在(0

,e)上递增，所以当ex=时，lnxyx=取得最大值1e，所以有1lnea，所以1ln2ek，可得1eln2k，即k的最大值为1eln2．故答案为：1eln2【点睛】关键点点睛：解答本题有两个关键

，其一，是得到有2log()(2)kkxx，想到令2ka=换元，则logxaxa成立；其二，通过转化得到lnlnxax=有解，再利用导数解答．四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在ABCV中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知16

,2,cos4abcA===−.（1）求c的值；（2）求sinB的值；（3）求sin(2)AB−的值.【答案】（1）1c=（2）sin104B=（3）10sin(2)8AB−=【解析】【分析】（1）根据余弦定理2222cosabcbcA=+−以及2bc=解

方程组即可求出；（2）由（1）可求出2b=，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin2,cos2AA，再根据两角差的正弦公式即可求出．【小问1详解】因为2222cosabcbcA=+−，即22162bcbc=++，而2bc=，代入

得22264ccc=++，解得：1c=．【小问2详解】由（1）可求出2b=，而0πA，所以215sin1cos4AA=−=，又sinsinabAB=，所以152sin104sin46bABa===．【小问3详解】因为1cos4A=−，所以π

π2A，故π02B，又215sin1cos4AA=−=，所以11515sin22sincos2448AAA==−=−，217cos22cos121168AA=−=−=−，而sin104B=，所以26cos1

sin4BB=−=，故15671010sin(2)sin2coscos2sin84848ABABAB−=−=−+=．16.已知函数2111222fxxx−=−−.（1）求函数()fx的解析式；（2）对任意的实数1,22x，都有()113222fxxa

x+−恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)()()2471fxxxxR=++;(2)(,7a−.【解析】【详解】试题分析：()1用换元法令112tx=−来求函数()fx的解析式（2）由（1）得()fx

的解析式代入，分离含参量123axx++，求出实数a的取值范围解析：（1）令11222txxt=−=+∴()()()21222222fttt=+−+−2471tt=++即：∴()()2471fxxxxR=++.（2）由()11312222fxxax+−()21347122xx

xax+++−即：2232axxx++又因为：1,22x，∴123axx++令()123gxxx=++，则：()minagx又()gx在1,12x为减函数，在1,2x为增函数.∴()()min

17gxg==∴7a，即：(,7a−.点睛：在解答含有参量的恒成立问题时，可以运用分离含参量的方法，求解不等式，注意分类讨论其符号，最后求解结果．17.如图，四面体ABCD中，,,ADCDADCDADBBDC⊥==，E为AC的中点．（1）证

明：平面BED⊥平面ACD；（2）设2,60ABBDACB===，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．【答案】（1）证明过程见解析（2）CF与平面ABD所成角的正弦值为437【解析】【分析】（1）根据已知关系证明

ABDCBD≌△△，得到ABCB=，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据勾股定理逆用得到BEDE⊥，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.【小问1详解】因为ADCD=，E为AC的中点，所以ACDE⊥；在

ABD△和CBD△中，因为,,BACDCDADBDBDBD===，所以ABDCBD≌△△，所以ABCB=，又因为E为AC的中点，所以ACBE⊥；又因为,DEBE平面BED，DEBEE=，所以AC⊥平面BED，因为AC

平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.【小问2详解】连接EF，由（1）知，AC⊥平面BED，因为EF平面BED，所以ACEF⊥，所以1=2AFCSACEF△，当EFBD⊥时，EF最小，即AFC的面积

最小.因为ABDCBD≌△△，所以2CBAB==，的又因为60ACB=，所以ABCV是等边三角形，因为E为AC的中点，所以1AEEC==，3BE=，因为ADCD⊥，所以112DEAC==,在DEB中，222DEBEB

D+=，所以BEDE⊥.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Exyz−，则()()()1,0,0,0,3,0,0,0,1ABD，所以()()1,0,1,1,3,0ADAB=−=−，设平面ABD的一个法向量为(),,nxyz=，则030nADxznABxy=−+==−+=，取3

y=，则()3,3,3n=，又因为()331,0,0,0,,44CF−，所以331,,44CF=，所以643cos,77214nCFnCFnCF===，设CF与平面ABD所成的角为02，所以43sincos,7nCF==，所以CF与平面

ABD所成的角的正弦值为437.18.陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清.目前某省有53家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后才可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲

、乙、丙三件产品合格的概率依次为35，78，34，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为56，47，23.（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格概率；（2）经过前后两次烧制后，如果陶瓷合格则可以上市销售，每件陶器可获利100元；如果

陶器不能合格，则每件陶器亏损80元，求这3件陶器最终盈亏Y的分布列和数学期望.（3）A，B，C三位学徒跟师傅学习制作某种陶器，经过一段时间的学习后，他们各自能制作成功该陶器的概率分别为1p，2p，3p，且23101ppp，现需要他们三人制作一件该陶器，每次只有一个人制作且每个人只

制作一次，如果有一个人制作失败则换下一个人重新制作，若陶器制作成功则结束.按A，B，C的顺序制作陶器，若1229pp=，12,13p，求制作陶器人数X的数学期望的最大值.【答案】（1）23160（2）分布列

见解析，30（3）149【解析】【分析】（1）根据题意结合独立事件概率乘法公式和互斥事件加法公式运算求解；（2）求出三人烧制成功的概率均为0.5，根据题意结合二项分布求分布列和期望.（3）根据题意列出分布列，求出均值，利用导

数求期望的最大值；【小问1详解】分别记甲､乙､丙经第一次烧制后合格事件分别为123,,AAA，设E表示第一次烧制后恰有一件产品合格的事件，则123123123()()()()PEPAAAPAAAPAAA=++37337337323(1)(1)(1)(1)(1)(1)5845

84584160=−−+−−+−−=；【小问2详解】分别记甲､乙､丙三件产品经过两次烧制后合格的为事件,,ABC，则()350.556PA==，()740.587PB==，()320.543PC==.设经过两轮烧制后合格品的件数为，则(3,0.5)B，由题意

10080(3)180240Y=−−=−，即Y的可能取值为240,60,120,300−−，的的由于31(0)(10.5)8P==−=；1233(1)C0.5(10.5)8P==−=；()()22332C0.510.58P==−=，()3130.58P==

=.所以1(240)8PY=−=；3(60)8PY=−=；3(120)8PY==，1(300)8PY==，所以随机变量Y的分布列为Y240−60−120300P18383818故随机变量Y的数学期望()180()24018030.524030EYE=−=−=，【小问3详解】

由题意，制作陶器人数X的可能值为1，2，3.于是()11PXp==，()()1221PXpp==−，()()12)31(1PXpp==−−，则随机变量X的分布列为X123P1p()121pp−()12)1(1pp−−所以()()()112121221()2131132EXppppppppp

=+−+−−=−−+，又1229pp=，则121211292()32299EXpppppp=−−+=−+，设()222,,193hxxxx=+，()22209hxx=−，所以()hx在2,13上单调递增，则(

)min2533hxh==，所以()29214939EXh−=，所以当123p=时，()EX最大值为149.19.柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用．定理内容为：设函数()f

x，()gx满足①图象在,ab上是一条连续不断的曲线；②在(),ab内可导；③对(),xab，()0gx．则的(),ab，使得()()()()()()fbfafgbgag−−=．特别的，取()gxx=，则有：(),ab，使得()()()fbfafba

−=−，此情形称之为拉格朗日中值定理．（1）设函数()fx满足()00f=，其导函数()fx在()0,+上单调递增，判断函数()fxyx=在()0,+的单调性并证明；（2）若(),0,eab且ab，不等式lnln0abbam

baab−+−恒成立，求实数m的取值范围；（3）若12π02xx，求证：()21121eesinsinexxxxx−−．【答案】（1）()()=fxgxx在()0,+上单调递增,

证明见解析；（2）1(,)2+；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数()()fxgxx=求导，得()2()(),xfxfxgxx−=取()()(),hxxfxfx−=由()()0hxxfx=恒成立，得()hx在(0,+∞)上单调递增，由()(0)0hxh=即得结论；（

2）先将题设不等式转化成22lnlnaabbmab−−，利用柯西中值定理，将22lnlnaabbab−−表示成1ln,(0e)2ttt+的形式，从而得(0,e)t，不等式1ln2tmt+恒成立，构造函数1ln

(),(0e)2tFttt+=求出最大值即得；（3）将待证不等式()21121eesinsinexxxxx−−等价转化为12121eesinsienxxxxx−−，对于左式，运用柯西中值定理得到212112e,

()ecosesinsintxxxxtxtx−=−，再根据范围进行放缩即可得证.【小问1详解】不妨取()()fxgxx=，则()()fxgxx=在(0,+∞)上单调递增.证明：因()2()(),(0)xfxfxgxxx−=，()00f=，令()

()(),(0)hxxfxfxx−=，因𝑓′(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，则()0fx，()()0hxxfx=在(0,+∞)上恒成立，故()hx在(0,+∞)上单调递增，则()(0)

0hxh=，即()0gx，故()()fxgxx=在(0,+∞)上单调递增.【小问2详解】因(),0,eab且ab，不等式lnln0abbambaab−+−恒成立，即(),0,eab且ab，不等式22lnlnaabbmab−−恒

成立，取2()ln,()ftttgtt==，由柯西中值定理，22lnln()1ln,(0e)()2aabbftttabgtt−+==−，故(0,e)t，不等式1ln2tmt+恒成立，令1ln(),(0e)2tFttt+=，则由2ln()02t

Ftt=−，可得01t，由2ln()02tFtt=−可得1t，即()Ft在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，故1t=时，函数()Ft取得最大值1(1)2F=，故12m，即实数m的取值范围为1(,)2+.【小问3详解】因1

2π02xx，取()e,()sintftgtt==，由柯西中值定理，212112e,()ecosesinsintxxxxtxtx−=−，因1eee,costxtt则12121eesinsienxxxxx−−，因21sinsinxx，故()21

121eesinsinexxxxx−−，证毕.【点睛】关键点点睛：本题主要考查柯西中值定理的应用，属于难题.解题关键在于充分理解和把握柯西中值定理的内涵，构造与之匹配的结构，运用定理进行解析式的简化，达到透过现象抓住本质的目的.