【文档说明】广东省华南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期11月综合测试（二）数学 PDF版含解析（可编辑）.pdf，共(16)页，1.213 MB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

试卷第1页，共5页2025届高三综合测试（二）数学满分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知0.13a=，30.1b=，3log0.1c=，则（）A．acbB．ab

cC．bacD．cba2．设Rx，向量(),1ax=，()4,bx=，则2x=是//ab的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知命题“Rx，使()212102xax+−+”是假命题，则实数a的取值范围是（）A

．13a−B．13a−C．1a−或3aD．1a−或3a4．函数()3cos1xfxx+=的部分图象大致是（）A．B．C．D．5．若()()()22log21xfxxa=+−+是偶函数，则a的值为（）A．14B．12C．0D．16．已知某简谐

振动的振动方程是()sin()(0,0)fxAxBA=++，该方程的部分图象如图．经测量，振幅为3．图中的最高点D与最低点E，F为等腰三角形的顶点，则振动的频率是（）{#{QQABJYAEggigABJAAAgC

AQ2ACgAQkhCACYgGhBAMIAABiBFABAA=}#}{#{QQABLYCswggwkAaACQ4LAQ3kCgoQkoCgJcgExQCDOARjSZFAFIA=}#}试卷第2页，共5页A．0.125HzB．0.25HzC．0.4HzD．0

.5Hz7．已知直线yaxb=+与曲线1yxx=+相切，则2ab+的最大值为（）A．12B．2C．52D．58．已知函数1()lnfxxx=+，数列{}na的前n项和为nS，且满足113,()2nnaafa

+==，则下列有关数列{}na的叙述正确的是（）A．76aaB．91aC．1012SD．1316S二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的

得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设1z，2z为复数，且120zz，则下列结论正确的是（）A．1212zzzz=B．1212zzzz+=+C．若12zz=，则2212zz=D．1212zzzz=10．已知函数(

)tantanfxxx=+，则下列结论中正确的有（）A．()fx的最小正周期为2B．点(,0)2−是()fx图象的一个对称中心C．()fx的值域为)0,+D．不等式()2fx的解集为(,)()42kkkZ++11．已知函数()sincoseex

xfx=−，其中e是自然对数的底数，下列说法中正确的是（）A．()fx在π0,2上是增函数B．()fx的图象关于点π,04中心对称C．()fx在(0,)上有两个极值点D．若0x为()fx的一个极小值点，且()0cos0etan

xafxx−+恒成立，则1a−{#{QQABJYAEggigABJAAAgCAQ2ACgAQkhCACYgGhBAMIAABiBFABAA=}#}{#{QQABLYCswggwkAaACQ4LAQ3kCgoQkoCgJcgExQCDOARjSZFAFIA=}#}试卷第3页，共5页三

、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若集合2{|0}Axxaxb=++=，2{|60}Bxxcx=++=，2AB=，ABB=，则abc++=.13．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角45MAN=，C点的仰角30CAB=以及

75MAC=；从C点测得60MCA=，已知山高50mBC=，则山高MN=m.14．数学能为自然界的和谐、生命现象的和谐等找到最佳论证．在大自然中一些植物的叶子有着明确的数学方程式，如图①蔓叶中从一点出发散开的叶脉所形成的曲线，可近似为()2322yaxx

−=，该曲线即为蔓叶线，其图象如图②，若圆22430xxy−++=与该蔓叶线恰有两个交点，则a=．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知向量()3cos,1,sin,4axbx=−=，设函数()()2fxab

a=+.（1）当4ππ,4x−时，求函数()fx的值域；（2）已知在ABC△中，内角ABC、、的对边分别为abc、、，若2a=，且5()22Af=，求ABC△面积的最大值.{#{QQABJYAEggigABJAA

AgCAQ2ACgAQkhCACYgGhBAMIAABiBFABAA=}#}{#{QQABLYCswggwkAaACQ4LAQ3kCgoQkoCgJcgExQCDOARjSZFAFIA=}#}试卷第4页，共5页16．（15

分）在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，PCPD⊥，二面角ACDP−−为直二面角．（1）求证：PBPD⊥；（2）当PCPD=时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．17.（15分）设A，B分别是直线22yx=和22yx=−上的动点，且||2AB=，设

O为坐标原点，动点P满足OPOAOB=+，记P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）已知点Q为曲线C的上顶点，点12,FF分别为左、右焦点，过点Q的直线l交曲线C于另一点M，若212QMFQFFSS=△△，求l的方程.18．（17分）已知函数()sinln(1)

,Rfxxxaxa=++−.（1）当0a=时，求()fx在区间()1,π−内极值点的个数；（2）若()0fx恒成立，求a的值；（3）2*1121Nsin2lnln2211ninnnnin=+−−−−证：，，求.{#{QQABJYAEggigABJAAAgCAQ2ACgA

QkhCACYgGhBAMIAABiBFABAA=}#}{#{QQABLYCswggwkAaACQ4LAQ3kCgoQkoCgJcgExQCDOARjSZFAFIA=}#}试卷第5页，共5页19.（17分）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统

，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等。一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式()()111100.

..,,...,,0,1,2,...,1,0nnnnnkaaaaaaaaka−−−，k进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式，如()1111100......nnnnnnkaaaaaka

kaka−−−=++++.例如十进制数22523231=++，所以25在三进制下可写为()3221.（1）设正整数m在三进制下的各位数字之和为()Sm（i）将满足()3Sm=的数从小到大排成一列，直接写出该列数的前四个数；（ii）在1至2025中任选一个正整数m，求()Sm为3的倍数的概率.（

2）已知正项数列na的前n项和为nS，()1,312aaaNa=，且()2112nnnnSSSaaa−−++=，记12111......222nMaaa=+++++++（其中x表示不大于x的最大

整数），求M的值.（用a表示）{#{QQABJYAEggigABJAAAgCAQ2ACgAQkhCACYgGhBAMIAABiBFABAA=}#}{#{QQABLYCswggwkAaACQ4LAQ3kCgoQkoCgJcgE

xQCDOARjSZFAFIA=}#}答案第1页，共11页2025届高三综合测试（二）数学参考答案1．B2．A3．D4．A5．A6．B7．C8．C7.【详解】设切点横坐标为()0mm，求导：1yxx=+得'211yx=−，

由题意可得2111amambmm=−+=+解得：2112ambm=−=，所以222211522222abmmm+=−++=−−+，所以2m=时，2ab+的最大值为52.故选:C8.【详解】由1()lnfxxx=+，求导得'21()0,(1)

xfxxx−=，()fx在(1,)+单调递增，故()()11=fxf。1312a=，()()2111afaf==，迭代下去，可得1na。故B错误；由132a=，()2132127ln23236afa==

++=，故21aa迭代下去，可得11123nnaaa−=，数列{}na单调递减。故A错误；121037991226Saa++=，故C正确121337121215.526Saa++=，故D错误．故选：C．9．ABD【详解】设1izab=+，2izcd=+(,,,)Ra

bcd，对于选项A，因为12(i)(i)()()izzabcdacbdadbc=++=−++，所以222222222212()()zzacbdadbcacbdadbc=−++=+++，且22222222222212zzabcdac

bdadbc=++=+++，所以1212zzzz=，故A正确；对于选项B，因为12()()izzacbd+=+++，1izab=−，2izcd=−，{#{QQABJYAEggigABJAAAgCAQ2ACgAQkhCACYgGhBAMIAABiB

FABAA=}#}{#{QQABLYCswggwkAaACQ4LAQ3kCgoQkoCgJcgExQCDOARjSZFAFIA=}#}答案第2页，共11页则12()()izzacbd+=+−+，12()()izzacbd+=+−+，所以1212zzzz+=+，故B正确

；对于选项C，若12zz=，例如11iz=+，21iz=−，满足122zz==，但221(1i)2iz=+=，222(1i)2iz=−=−，即2212zz，故C错误；对于选项D，因为21(i)(i)()()

izabcdacbdczadb=++=−++，所以21()()izacbdabzdc=−−+，12(i)(i)()()izzabcdacbdadbc=−−=−−+，所以1212zzzz=，故

D正确.故选：ABD.10．CD【详解】()2tan,[,),2tantan0,(,),2xxkkkZfxxxxkkkZ+=+=−+，作出()fx的图象，如图，观察图象，()fx的最小正周期为，A错误；()fx的图象没有对称中心，B错误；()fx的值

域为)0,+，C正确；不等式()2fx，即[,)()2xkkkZ+时2tan2x，得tan1x，解得,42kxkkZ++，所以()2fx的解集为(,)()42kkkZ++，D正确.{#{QQABJYAEggigABJAA

AgCAQ2ACgAQkhCACYgGhBAMIAABiBFABAA=}#}{#{QQABLYCswggwkAaACQ4LAQ3kCgoQkoCgJcgExQCDOARjSZFAFIA=}#}答案第3页，共11页故选：CD11．ABD【详解】由题设，sincos()ecosesinxxfx

xx=+，A：在π0,2上()0fx，故()fx在π0,2是增函数，A正确；B：ππsin()cos()44π()()ee4xxgxfx++=+=−，则ππππsin()cos()sin()cos()4444()eeeexxxxgx−+−+−−−−==−−πππππ

πcos()sin()cos()sin()242444()eeeexxxxgx+−+−++==−−−=，即π()4fx+是奇函数，图象关于点π,04中心对称，故B正确；C：若在()0,π上有极值点，令()0fx=则有cossincose0sinxxxx−=−

，而sin0x，此时cos0x，所以极值点在π,π2上，令()()hxfx=，有sin2cos2()e(cossin)e(cossin)xxhxxxxx=−+−，∴在π3π,24上，2cossin0xx−，2coss

in0xx−，即()0hx，()fx单调递减；又π()12f=，22223π2()(ee)042f−=−，显然存在()0fx=，在3π,π4上，sincosxx且cos0x，sin0x，故sincosxx−，∴cossin0e1exx，

则sincoscosesinexxxx，即sincos()ecosesin0xxfxxx=+，∴()fx不存在零点；综上，()fx在()0,π上只有一个极值点，故C错误；D：易知()fx为周期函数，2πT=是其一个周期，由C知：1π3π,24x，使得()10fx=，

∵sincos()eexxfx=−在1π,2x上()0fx，即()fx递增，在13π,4x上()0fx即()fx递减，即()1fx为()fx在()0,π上的极大值，也是最大值，又由B项的结论：()2π,0x−使得()2fx为()fx在()π,0−上的极小值

，也是最小值，{#{QQABJYAEggigABJAAAgCAQ2ACgAQkhCACYgGhBAMIAABiBFABAA=}#}{#{QQABLYCswggwkAaACQ4LAQ3kCgoQkoCgJcgExQCDOARjSZFAFIA=}#}答案第4页，共11页则()0

22πZxxkk=+，且12π2xx+=，()()120fxfx+=，不妨令0k=，则021π2xxx==−，令00sincoscosete()anexxxgxx+−=，则()()0min0cosminta

nexfxgxx=+即()111cossinmin21sin1πee1()2tanexxxagxgxgxx−==−=+，而结合C知有11cossin11etanxxx−−=，∴max()1gx=−，故1a−，正确.故选

：ABD12．【答案】-513．【答案】50314.【答案】633+【详解】方法一：根据蔓叶线和圆的对称性，圆22(2)1xy−+=与该蔓叶线恰有两个交点，即当0y时，圆和蔓叶线的上半部分只有一个交点，即方程()2343(13)2axxxxx−−−=有一个实数根，即

方程2243(13)243axxxxx−=−−有一个实数根，令()2243(13)43xxfxxxx−=−−，则()()2221324943xxfxxx−+=−−，令()0fx=，则123313x+=或123313−（

舍），所以()fx在区间12331,13+内单调递减，在区间1233,313+内单调递增，所以min1233633()132fxf++==，1,(),3,(

),xfxxfx+−→→+→→+故当633a=+时，圆22430xxy−++=与该蔓叶线恰有两个交点．方法二：根据蔓叶线和圆的对称性，圆22(2)1xy−+=与该蔓叶线恰有两个交点，即当0y时，圆和蔓叶线的上半部分只有一个交点，此

时两个曲线相切,故{#{QQABJYAEggigABJAAAgCAQ2ACgAQkhCACYgGhBAMIAABiBFABAA=}#}{#{QQABLYCswggwkAaACQ4LAQ3kCgoQkoCgJcgExQCDOARjSZFAFIA=}#}答案

第5页，共11页2243(13)243axxxxx−=−−，此时2(8)(64)30axaxa+−++=，0=，故2(64)12(8)0aaa+−+=，解得633a=，当633a=−时，1x不符合题意，当633a=−时，123313x+=符合题

意.故答案为：633+.15．【详解】（1）1cossin,4abxx+=+−，()211()2()2cossin,cos,12cos2sincos42fxabaxxxxxx=+=+−−=++………1分3π3sin2cos22sin224

2xxx=++=++，………3分当4ππ,4x−时，ππ3π2,444x+−，………4分πsin2,1422x+−………5分π3132sin2,24222x

+++，所以函数()fx的值域为13,222+………6分（2）由（1）可知π3()2sin242fxx=++，又5()22Af=，所以π2sin42A+=，因为(0,π)A，所以ππ5π,444A+，故

π2A=，………8分因为2a=，由222abc=+可知，224bc=+，………9分由基本不等式得2242bcbc=+，解得2bc，当且仅当2bc==时，等号成立，………11分故三角形面积11sin21122bcA=，即ABC面积最大值为1.………13分

16．【详解】：（1）证明：由于底面ABCD是边长为2的正方形，则BCCD⊥，由于二面角ACDP−−为直二面角，CDACDPCD=平面平面,则BC⊥平面PCD，2分{#{QQABJYAEggigABJAAAgCAQ2ACgAQkhCACYgGhBAMIAABiBFA

BAA=}#}{#{QQABLYCswggwkAaACQ4LAQ3kCgoQkoCgJcgExQCDOARjSZFAFIA=}#}答案第6页，共11页由于PD平面PCD，则PDBC⊥，又PCPD⊥，PCBCC=，PC、BC平面PBC，则PD⊥平面P

BC，5分由于PB平面PBC，则PBPD⊥．6分（2）几何法：取CD中点F，连PF、BF，由PCPD=知PFCD⊥，由于二面角ACDP−−为直二面角，则PF⊥平面ABC，于是PFBF⊥，8分由于底面ABCD是边长为2的正方形，则112PFCD==，225

BFCFBC=+=，于是226PBPFBF=+=，同理6PA=，于是221()522PABABSABPA=−=，又122ABCSABBC==，设C到平面PAB距离为d，则由PABCCPABVV−−=得：1

133ABCPABSPFSd=，于是解得：25d=，12分故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为：22110552522dPCCD===．15分向量法：（2）取CD中点为O，连结PO.取AB中点为E，

连结OE.因为PCPD=，点O是CD中点，所以POCD⊥.又因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD=，PO平面PCD，所以PO⊥平面ABCD.因为点O、E分别是CD、AB的中点，所以//OEAD，则OECD⊥.则112OPCD==，2OEAD==.8分{#{QQA

BJYAEggigABJAAAgCAQ2ACgAQkhCACYgGhBAMIAABiBFABAA=}#}{#{QQABLYCswggwkAaACQ4LAQ3kCgoQkoCgJcgExQCDOARjSZFAFIA=}#}答案第7页，共11页以点O为坐标原点，,,ODOEOP所在直线分别为,,xy

z轴，如图建立空间直角坐标系Dxyz−，则()0,0,0O，()1,0,0D，()1,0,0C−，()1,2,0B−，()0,0,1P，()0,2,0E，()1,2,0A，()1,2,1AP=−−，()2,0,0AB=−，()1,0,1PC=−−.10分设(),,nxyz=是平

面PAB的一个法向量，则2020nAPxyznABx=−−+==−=，取1y=，则2z=，所以()0,1,2n=是平面PAB的一个法向量.12分直线PC与面PAB所成角为，210sincos,552nPCnPCnPC−====14

分所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为105.15分17.【详解】（1）设1122(,),(,),(,)2222AxxBxxPxy−，1分OPOAOB=+，12122,(2)xxxyxx=+=−

．3分||2AB=，2212122()()2222xxxx=−++，5分，222122yx=+，动点P的轨迹方程2241xy+=．6分（2）因为212QMFQFFSS=△△，所以12//MFQF，8分又233QFk=−，{#{QQABJYAEg

gigABJAAAgCAQ2ACgAQkhCACYgGhBAMIAABiBFABAA=}#}{#{QQABLYCswggwkAaACQ4LAQ3kCgoQkoCgJcgExQCDOARjSZFAFIA=}#}答案第8页，共11页直线()13:33MFyx=−+，联立(

)223131314yxxy=−++=，消去y得，27830xx+=，解得0x=或837x=−，12分当0x=时，()103133y=−+=−，当837x=−时，113378337y=−−+=，所以831,7

7M−或()0,1M−，14分又因为直线l过点()0,1Q，所以34QMk=或斜率不存在，可求得直线l的方程为314yx=+或0x=.15分18.【详解】（1）当0a=时，()sinln(1)fxxx=++,()()1cos,1,π1

fxxxx=+−+,1分当()0,1−x，()0'xf，()xf单调递增；2分当(),0x时，()xf'单调递减，而()020f=，()1π10π1f=−++，故()xf'在()0,π内存在唯一的零点0x，满足()00'=xf

3分当()00,xx时，()0'xf，()xf单调递增；当()0,πxx时，()0'xf，()xf单调递减。所以()fx在()01,x−内单调递增，()0,πx单调递减。4分{

#{QQABJYAEggigABJAAAgCAQ2ACgAQkhCACYgGhBAMIAABiBFABAA=}#}{#{QQABLYCswggwkAaACQ4LAQ3kCgoQkoCgJcgExQCDOARjSZFAFI

A=}#}答案第9页，共11页故()fx在()1,π−存在1个极大值点，无极小值点。5分（2）()0xf在()+−,1x恒成立，且()00=f。0是()xf的极大值点，故()00'=f；又()1cos,1fxxax=+−+，2=a6分当2a=，此时(

)1cos2,1fxxx=+−+显然当𝑥∈(0,+∞)时，()1120fx+−=，故()fx在(0,+∞)上为减函数；此时()0xf。7分当()1,0x−时，令()()xfxg'=，()()01sin11

sin2'−−+−−=xxxxg，故()gx在()1,0−上单调递减，()()00=gxg。8分()fx在()1,0−上单调递增。故()1,0x−，()()00fxf=，从而()0fx在()+−,1x恒成立，故2a=。9分（

3）由（2）可知，()sin2ln1xxx−+，当且仅当0x=时取等号，所以222111111sin2ln1111nnninininiii=+=+=+−+−−−，11分22111122ln1lnlnlnlnln211121nninininnniin

nn=+=++++==+++=−−+−，因为2121212221221lnlnlnlnlnln122231222312ninnnnnnnnnnnnnnnnn=+−−−−−−==+++=−−−

−−−−−，所以即证11ln12iii−−−13分令()1111,22ixii−==++−−，则1111ix=−−，14分所以即证：11lnxx−，𝑥∈(1,+∞)，

15分令()11lnmxxx=−−，则()22111xmxxxx−=−=，所以𝑥∈(1,+∞)时，()0mx，()mx单调递减，所以()()10mxm=，即11lnxx−，𝑥∈(1,+∞)，16分{#{QQABJYAEggigABJAAAgCAQ2

ACgAQkhCACYgGhBAMIAABiBFABAA=}#}{#{QQABLYCswggwkAaACQ4LAQ3kCgoQkoCgJcgExQCDOARjSZFAFIA=}#}答案第10页，共11页综上，21121sin2lnln211ninnin=+−−−−，2n，Nn

17分19【详解】（1）（i）5,7,11,13………2分（ii）设111033...3nnnnmaaaa−−=++++若m为3的倍数，则0a为3的倍数，即00a=，所以()113...0nnm

aaa−=，()1131...1nnmaaa−+=，()1132...2nnmaaa−+=()11...nnSmaaa−=+++()111...1nnSmaaa−+=++++()112...2nnSmaaa−+=++++所以

当m为3的倍数时，()()(),1,2SmSmSm++中恰有一个是3的倍数………5分()11S=，()22S=，()320252210000=，()20255S=所以()()()1,2,2025SSS都不是3的倍数………7分而()()()3,4,...,

2024SSS这2022个数中，有20226743=个是3的倍数所以()Sm为3的倍数的概率为6742025.………8分（3）因为()2112nnnnSSSaaa−−++=，()12nnnSSan−=−所以()()22nnnnnnSSaSaa

aa−+−+=，()22nnSaa=−………9分nnSaa=−或nnSaa=−因为na为正项数列，所以nnnSaaa−，所以()2nnSaan=−………10分因为112aSa==，所以()nnSaanN=−()112nnSaan−−=−两式作差得1

12nnaa−=所以na是以2a为首项，12为公比的等比数列，可得2nnaa=………12分因为31a，所以设()43243210012342222,,,,0,1axxxxxxxxxx=++++………13分{#{QQABJYAEggigABJAAAgCAQ2ACgAQkhCACYgG

hBAMIAABiBFABAA=}#}{#{QQABLYCswggwkAaACQ4LAQ3kCgoQkoCgJcgExQCDOARjSZFAFIA=}#}答案第11页，共11页则43232432100143212222111222222xxxxx

xaxxxx+++++++==++++，当00x=时，0102x+=，当01x=时，0112x+=所以0012xx+=，即3214321012222axxxxx+=++++

………14分()()432432101022432222222121122222xxxxxxxxxxx++++++++==+++当10x=时，()1002212024xxx+++==

，当11x=时，()1002214124xxx+++==所以()1012212xxx++=，即2243211222axxxx+=+++………15分同理可得3432122axxx+=++44312axx+=+

5412ax+=当6n时，113111222642nnaa+=++，所以102na+=………16分所以()()()()1253224321043243210111...2222221122

11211112222Maaaxxxxxxxxxxa=++++++=++++++++++++++=++++=………17分{#{QQABJYAEggigABJAAAgCAQ2ACgAQkhCACYgGhBAMIAABiBFABAA=}#}

{#{QQABLYCswggwkAaACQ4LAQ3kCgoQkoCgJcgExQCDOARjSZFAFIA=}#}