【文档说明】《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题8几何图形变化—8.12之翻折探究1等腰三角形和最值.docx，共(30)页，2.144 MB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1类型一：等腰三角形的存在性【经典例题1】在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，将矩形折叠，使B点落在AD(含端点)上，落点记为E，这时折痕与边BC(含端点)交于F，然后展开铺平，则以B.E.F为顶点的△BEF，称为矩形ABCD的“折痕三角形”。(1)由“折痕三角形”的定义可知，矩形AB

CD的任意一个“折痕△BEF”是一个___三角形；(2)如图②，当“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，求出点F的坐标；(3)如图③，在矩形ABCD中，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”?若存在，请求出此最大面

积，并求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由。当折痕△BEF的面积最大时，AE的长为.【解析】(I)由折叠的定义可知，△BEF为矩形ABCD的“折痕三角形”时，BF=EF，∴△BEF是等腰三角形。故答案为：等腰；(II)如图②所示，∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，

∴点A在BE的垂直平分线上，即折痕经过点A，∴四边形ABEF为正方形，2∴BF=AB=2，∴点F的坐标为(2，0)；(III)矩形ABCD存在面积最大的折痕△BEF，(1)当F在BC上时，如图②所示，S△BEF

⩽21S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4；(2)当F在CD上时，如图③所示，过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K，∵S△EKF=21KF⋅AH⩽21HF⋅AH=21S矩形AHFD，S△BKF=21

KF⋅BH⩽21HF⋅BH=21S矩形BCFH，∴S△BEF=S△EKF+S△BKF⩽21S矩形AHFD+21S矩形BCFH=21S矩形ABCD=4，即当F为CD的中点时，△BEF的面积最大为4；下面求面积最大时，点E的坐标，

(1)当F与点C重合时，如图④所示，由折叠可知：CE=CB=4，在Rt△CDE中，ED=32242222=−=−CECD，∴AE=4−23，∴点E的坐标(4−23，2)；(2)当F在DC中点时，点E与点A重合，如图⑤所示，此时E(0，2)，综上所

述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为(0，2)或(4−23，2).3练习1-1如图，长方形在平面直角坐标系的第一象限内，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，点、分别是、的中点，，点的坐标为.（1

）求的值及直线的表达式；（2）现将长方形沿折叠，使顶点落在平面内的点处，过点作轴的平行线分别交轴和于点，.①求的坐标；②若点为直线上一动点，连接，当为等腰三角形，求点的坐标.（说明：在直角三角形中，如果一个锐角等于

，那么它所对的直角边等于斜边的一半）【解析】（1）∠CDE=30°，点E的坐标为（2，a）．∴CE=2，CD=2，∵点D、E分别是OC、BC的中点，∴OC=2CD=4，∴a=4；OABCxOyAxCyDEOCBC30=CDEE()2,aaDEOABCDEC'C

'CyxBCFG'CPDE'PC'PCDP30°3334设直线DE的表达式为y=kx+b，把D（0，2），E（2，4）代入得，y=x+2；（2）①∵将长方形OABC沿DE折叠，使顶点C落在平面内的点C′处，过点C′作y轴的平行线分别交x轴和BC于点F

，G，∴∠CED=∠C′ED=60°，C′E=CE=2，∴EG=1，C′G=，∴CG=CE+EG=2+1=3，C′F=OC-C′G=4-=3，∴C′（3，3）；②Ⅰ如图1，点P为DE的中点连接C′P，∵△DC′E是直角三角形，∴DP=PC′，∴△PC′D为等腰三角形，∴P（1，3），

Ⅱ如图2，DP=DC′时，33333333335∵DC′=DC=2，∴DP=2，∴P（，3+2），Ⅲ如图3，当DC′=PC′时，∵DC′=PC′=2，且P点为C′G的延长线与DE的交点，∴P（3，5）．Ⅳ如图4

，当DP=DC′时，∵DC′=DC=2，∴DP=2，∴P（-，2-3），综上所述：当△PC′D为等腰三角形时，点P的坐标为（1，3），（，3+2），（3，5）或（-，2-3）．【点睛】33333333333333336本题主要考查了一次函数综合题，折叠的性质，勾股定理等

知识，解题的关键是数形结合，分类讨论．练习1-2如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形沿直线EF折叠，使得点A恰好落在边BC上，记此点为G，点E和点F分别在边AB和边AD上．（1）当BG＝3时，求AE的长；（2

）在矩形翻折中，是否存在FG＝CG？若存在，请求出FG的长，若不存在，请说明理由．【解析】（1）由折叠易知：AE＝EG，设AE＝EG＝x，则有BE＝6﹣x，∴由勾股定理易得：x2＝（6﹣x）2+（3）2，解得：x＝

，即：AE＝；（2）如图，过F作FH⊥CG于H，连接FC，当FG＝GC时，则有：AF＝FG＝GC＝x，CH＝DF＝10﹣x；∴GH＝x﹣（10﹣x）＝2x﹣10，在Rt△FGH中，由勾股定理易得：x2＝62+（2x﹣10）2，7化简得：

3x2﹣40x+136＝0，∵△＝（﹣40）2﹣4×3×136＝﹣32＜0，∴此方程没有实数根．故不存在FG＝GC．练习1-3如图，在矩形ABCD中，AB＝38，AD＝10，点E是CD的中点，将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图②，折痕为

MN，连接ME，NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图③，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则下列结论：①ME∥HG；②△MEH是等边三角形；③∠EHG＝∠AMN；④tan∠EHG＝365.其中正确的个数是()【解析】如图3，由折叠可得，∠

MEN=∠A=90°，HG⊥NE，即ME⊥EN，HG⊥EN，∴EM∥GH，故①正确；∴∠NME=∠NHG，由折叠可得，∠NME=∠AMN，∠EHG=∠NHG，∴∠AMN=∠EHG，故③正确；如图2，作NF⊥CD于F.设DM=x，则AM=EM=10−x，∵点E是CD的中点，AB=CD=83，8

∴DE=21CD=43，在Rt△DEM中，∵DM2+DE2=EM2，∴(43)2+x2=(10−x)2，解得x=2.6，∴DM=2.6，AM=EM=7.4，∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，∴∠DEM=∠ENF，∵∠D=∠EFN=90°，∴

△DME∽△FEN，∴DE/FN=EM/EN，即EN4.71034=，∴EN=3637，∴AN=3637，∴tan∠AMN=AN/MN=365，∴tan∠EHG=365，故④正确；又∵tan60°=3>365，∴∠AMN≠60°，即∠EMH≠60°，∴△MEH

不是等边三角形，故②错误。9∴正确的结论有3个。故选：C.练习1-4如图，有一直角三角形纸片ACB，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=2，点D是AC边上一动点。过点D沿直线DE方向折叠三角形纸片，使点A落在射线AB上的点F处，当以点F.B.C为顶点的三角形为等腰三角形时，AD

的长为___.【解析】由翻折变换的性质得：AE=EF，∵∠A=30°，∠ACB=90°，BC=2，∴AB=4，∠B=60°，设AE=EF=x，则BF=4−2x；当以点F.B.C为顶点的三角形为等腰三角形时，则△FBC是等边三角形，

若BF=BC，则4−2x=2，解得：x=1，∵∠A=30°，∴AD=332.10练习1-5如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=26，点E是边BC上一动点，连接AEB，将△ABE沿AE对折得到△AFE.（1）当BE=时，F落在AD边上.（2）如图2，当点D、F、E三点

在一条直线上时，求BE的长.（3）如图3，连接FC，当△DFC是等腰三角形时，求BE的长.类型二：折叠最值【经典例题2】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AD边上的一个动点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，得到四边形BC′D

′E，连接AC′，AD′.(1)若直线DA交BC′于点F，求证：EF=BF；(2)当AE=334时，求证：△AC′D′是等腰三角形；(3)在点E的运动过程中，求△AC′D′面积的最小值。【解析】（1）证明：如图1，由折叠得：∠FBE=∠CBE，∵

四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FEB=∠CBE，11∴∠FBE=∠FEB，∴EF=BF；（2）在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=334，∴BE=338)334(422=+，∴∠ABE=30°，∴∠AEB=60°，由（1）

知：EF=BF，∴△BEF是等边三角形，∵AB⊥EF，∴AE=AF，过A作AH⊥C'D'，∵FC'⊥C'D'，ED'⊥C'D'，∴FC'∥AH∥ED'，∴C'H=D'H，∵AH⊥C'D'，∴AC'=AD'，∴△AC′D′是等腰三角形；（3）如图1，S△C'D'A=21AH•C'D'=2

1×4C′D′=2C'D'，当C'D'最小时，△AC′D′面积最小，12如图2，当C'、A、B三点共线时，△AC′D′面积最小，由折叠得：BC=BC'=6，∠C=∠C'=90°，∵AB=4，∴AC'=6-4=2，△AC′D′面积的最小值=21•AC′

•C′D′=21×2×4=4．练习2-1如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=8，点D在AB上，且BD=√3，点E在BC上运动.将△BDE沿DE折叠，点B落在点B'处，则点B'到AC的最短距离是.【解析】√32练习2-2如图

，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝2，BC＝2，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．（1）当点E与点C重合时，求DF的长；（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DA

E＝22.5°，求△DFG的面积；13（3）如果点M为CD的中点，那么在点E从点C移动到点D的过程中，求C′M的最小值．【解析】（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝2，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，∴tan∠ACB＝＝，∴

∠ACB＝30°，由翻折不变性可知：∠ACB＝∠ACF＝30°，∠DCF＝30°，∴DF＝CD•tan30°＝（2）如图2中，∵∠DAE＝22.5°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠EAB′＝67.5°，∴∠B′AF＝45°，

∵∠B′＝90°，∴∠B′AF＝∠B′FA＝45°，14∵B′A＝B′F＝2，∴AF＝2，∴DF＝2﹣2，∵∠AFB′＝∠DFG＝45°，∴DG＝DF＝2﹣2，∴S△DFG＝•（2﹣2）2＝（3）如图3中，连接AM，AC′，

MC′．∵AC′＝4，AM＝＝，∵C′M≥AC′﹣AM，∴C′M≥4﹣，∴C′M的最小值为4﹣．练习2-3在数学活动课上，张老师要求同学们拿一张纸片进行折纸探究活动.如图1，四边形ABCD是一张矩形纸片，A

B=a，BC=b，E是AD，DC边上的动点，F是AB，BC边上的动点，连接EF.请你以EF为折痕将矩形纸片进行折叠变换，画出折叠后的示意图，并提出一个数学问题加以解决.解决问题：下面是两个学习小组对矩形纸片折叠变换后提出的数学问题，请你解决

他们所提出的问题.“Wave”小组提出的问题是：如图2，在矩形ABCD中，E是AD的中点，点F与点B重合，将△ABE沿EF折叠后得到△GFE，且点G在矩形ABCD的内15部，延长FG于点Q.（1）该小组认为：GQ=DQ，你同意他

们的观点吗？说明理由.（2）在（1）的条件下，若DC=2DQ，则a与b的数量关系是.“Thebest”小组提出的问题是：将矩形ABCD按图3方式折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，点B落在点G处，且点G在矩形ABCD的外部

.（3）试判断△CEF的形状，并说明理由，（4）若矩形ABCD中，a=4，b=8.求重叠部分△CEF的面积.自主创新：（5）请你仿照上述小组的同学，在图4中画出折叠后的图形示意图，并写出你提出的问题.（不必解答）【解析】（1）同意他们

的观点.证明：如图，连接EQ，由折叠可得，∠EGQ=∠D=∠A=90°，AE=EG，∵E是AD的中点，∴AE=ED，∴ED=EG，在Rt△EDQ和Rt△EGQ中，ED=EG，EQ=EQ，∴Rt△EDQ

≌Rt△EGQ，∴GQ=DQ；（2）∵点E是AD的中点，∴AE=DE=21b，∵将△ABE折叠后EF得到△GFE，16∴BG=AB=a，∵DC=2DQ，∴GQ=DQ=CQ=21a，在Rt△BCQ中，BC2+CQ2=BQ2，即b2+(2a)2=(23a)2，∴b=2a；（3

）△CEF是等腰三角形.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC，∵由折叠可知∠AEF=∠CEF，∴∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，即△CEF是等腰三角形；（4）∵由折叠可知GF=BF，CG=AB=4，∠G=∠B=90°，∴在Rt△CGF中，设CF=x，则

BF=FG=8-x，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5，即CF=5，过点E作EH⊥BC于点H，则S△CEF=21×CF×EH=21×5×4=10；（5）答案不唯一，例如，如图，在矩形ABCD中，a=4，b=6，E是CD

边的动点，F是线段BC边上的动点，将△CEF沿EF所在EF所在直线折叠得到△GEF，连接AG，求AG的最小值.17练习2-4(1)如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为

___.(2)如图②，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值。(3)如图③，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AB边上一点，且AE=2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接A

G、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度。若不存在，请说明理由。【解析】（1）如图①，过点C作CD⊥AB于D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD最小，在Rt

△ABC中，AC=3，BC=4，根据勾股定理得，AB=5，∵21AC×BC=21AB×CD，∴CD=512=ABBCAC，故答案为512；18（2）如图②，作出点C关于BD的对称点E，过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN=EN最小；∵四

边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，CD=AB=3，根据勾股定理得，BD=5，∵CE⊥BC，∴21BD×CF=21BC×CD，∴CF=512=BDCDBC，由对称得，CE=2CF=524，在Rt△BCF中，cos

∠BCF=53=BCCF，∴sin∠BCN=54，在Rt△CEN中，EN=CEsin∠BCE=524×54=2596；即：CM+MN的最小值为2596；（3）如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=3，AD=BC=4，∠ABC=∠D=90°，根据勾股定理得，AC=5，∵AB=3，AE=2，∴

点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，∵S四边形AGCD=S△ACD+S△ACG=21AD×CD+21AC×h=21×4×3+21×5×h=25h+6，∴要四边形AGCD

的面积最小，即：h最小，∵点G是以点E为圆心，BE=1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，19∴EG⊥AC时，h最小，由折叠知∠EGF=∠ABC=90°，延长EG交AC于H，则EH⊥AC，在Rt△AB

C中，sin∠BAC=ACBC=54，在Rt△AEH中，AE=2，sin∠BAC=AEEH=54，∴EH=54AE=58，∴h=EH-EG=58-1=53∴S四边形AGCD最小=25h+6=25×53+6=215．练习2-5如图，在平行四边形AB

CD中，AB=10，AD=16，∠A=60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A′PB.(1)如图1所示，当∠DPA′=10°时，∠A′PB=___度；(2)如图2所示，当PA′⊥BC时，求线段PA的长度；(3)当点P为AD中点时，

点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A′PF，连接BA′，求△BA′F周长的最小值。【解析】(1)如图1中，20∵∠DPA′=10°，∴∠APA′=180°−∠DPA′=180°−10°=170°，由翻折的性质可知：∠A′PB=∠APB=21×

170°=85°.故答案为85.(2)如图2中，作BH⊥AD于H.在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，AB=10，∠A=60°，∴AH=AB⋅cos60°=5，BH=AB⋅sin60°=53，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵PA′⊥BC，∴PA′⊥AD，∴∠APA′=90°，∴∠H

PB=∠BPA′=45°，∴PH=BH=53，∴PA=AH+PH=5+53.(3)如图3中，作BH⊥AD于H，连接BP.∵PA=8，AH=5，∴PH=8−5=3，∵BH=53，∴PB=212)35(32222=+=+BHPH，由翻折可知：P

A=PA′=8，FA=FA′，∴△BFA′的周长A′+BF+BA′=AF+BF+BA′=AB+BA′=10+BA′21∴当BA′的周长最小时，△BFA′的周长最小，∵BA′⩾PB−PA′，∴BA′⩾212−8，∴BA′的最小值为212−8，∴△BFA′的周长的最小值为10+212−8=212+2

.练习2-6如图，在平行四边形ABCD中，AB=9，AD=13，tanA=512，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将三角形APB折叠，得三角形A'PB．（1）当∠DPA′=10°时，∠APB=度．（2）当PA′⊥BC时，求线段PA的长度．（3）当点A′落

在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，求线段PA的长度．（4）直接写出：在点P沿射线AD运动过程中，DA′的最小值是多少？【解析】(1)当PA′在直线AD的右侧时，∠APB=∠A′PB=21(180°−10°)=85°当PA′在直线AD的左侧时，∠A

PB=∠A′PB=21(180°+10°)=95°故答案为85或95；22(2)如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵PA′⊥BC，∴PA′⊥AD，∴∠APA′=90°，∴∠APB=∠A′PB

=45°，作BH⊥AD于H，∵tanA=512，∴设AH=5x，BH=12x∴AB=xBHAH1322=+=9，∴x=139，∴AH=1345，BH=13108，在Rt△BHP中，∠BPH=45°，∴BH=PH=13108

，∴AP=AH+PH=13153.(3)①当点A’在AD上时，∵AB=A’B，PA=PA′∴BP⊥AD，∵tanA=512，∴AP=135AB=1345.23②当A′在BC上时，由折叠可知，AB=BA′，AP=PA′，又∵AD∥BC，∴∴∠

APB=∠PBA′=∠ABP，∴AB=PA，∴四边形ABA′P为菱形，∴AP=9.③当A′在AB的延长线上时，∠ABP=21∠ABA′=90°∴AP=513AB=5117.(4)如图6中，作DH⊥AB于H，连接BD.∵AD=13，tanA=512=DH

/AH，∴DH=12，AH=5，BH=9−5=4，∴BD=10441222=+，∵DA′⩽BD−BA′，∴DA′⩽104−9，∴DA′的最小值是104−9.24练习2-7如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边

上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为___.【解析】作CH⊥AB于H，如图，∵菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形，∴CH=23AB=43，AH=BH=4，∵PB=3，∴HP=1，在Rt△CHP中，CP

=71)34(22=+，∵梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′，∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，∴当点A′在PC上时，CA′的值最小，∴∠APQ=∠CPQ，而CD∥AB，∴∠APQ=∠CQP，∴∠CQP=∠CPQ，∴CQ=CP=7.故答案为：7.25练习2

-8已知：矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上（1）如图①，当EP⊥BC时，①求证CE＝CN；②求CN的长；（2）请写出线段CP的长的

取值范围，及当CP的长最大时MN的长．（1）①证明：∵△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，∴△AME≌△PME，∴∠AEM＝∠PEM，AE＝PE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB∥CD，AB⊥BC，∵EP⊥BC，∴AB∥EP，∴∠AME＝∠PEM，∴

∠AEM＝∠AME，∴AM＝AE，∵AB∥CD，∴＝，∴CN＝CE；②解：设CN＝CE＝x，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，∴AC＝＝5，∴PE＝AE＝5﹣x，∵AB∥EP，26∴＝＝，即＝，解得：x

＝，∴CN＝；（2）解：由折叠的性质得：AE＝PE，由三角形的三边关系得，PE+CE＞PC，∴AC＞PC，∴PC＜5，∴点E是AC中点时，PC最小为0，当点E和点C重合时，PC最大为AC＝5，即CP的长的取值范围是：0≤CP≤5，如图所示：当点C，N，E重合时，PC

＝BC+BP＝5，∴BP＝2，由折叠知，PM＝AM，在Rt△PBM中，PM＝4﹣BM，根据勾股定理得，PM2﹣BM2＝BP2，∴（4﹣BM）2﹣BM2＝4，解得：BM＝，在Rt△BCM中，根据勾股定理得，MN＝＝；即当CP的长最大时MN的长为．27练习2-9在Rt△ABC中

，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域

；（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．【解析】（1）∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠B，∵CD⊥DE，∴∠CDE＝∠A＝90°，∵∠ACD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠EDH＝90°，∴∠ACD＝∠EDB＝∠B，∴tan∠A

CD＝tan∠B，∴ADACACAB=，∴334AD=，∴AD＝94．（2）如图1中，作EH⊥BD于H．在Rt△ACB中，∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝225ACBC+=，∴sin∠B=35，cos∠B=4528∵BE＝y，∴EH＝BE∙sin∠B=35y，BH

＝BE∙cos∠B=45y，∴DH＝AB﹣AD﹣BH＝4﹣x﹣45y，∵∠A＝∠DHE＝90°，∠ACD＝∠EDH，∴△ACD∽△HDE，∴ACADGHEH=，∴343455xxyy=−−，∴y＝220594xxx−+（0＜x＜4）．（3）①如图3﹣1中，设CB′交AB于K，作AE⊥C

K于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N∵AC＝AB＝3，AE⊥CB′，∴CE＝EB′=12CB′＝52，29∴AE＝22225113()22ACCE−=−=，∵∠ACE=∠KCA，∠AEC=∠KAC=90°，∴△ACE∽△KCA，∴ACAE

CEKCKACA==，即1153223KCKA==∴AK＝3115，CK＝185，∴BK＝AB﹣AK＝4﹣3115，∵∠DCK＝∠DCB，DM⊥CM，DN⊥CB，∴DM＝DN，∴181185215252CDKCDBCKDMSDKCKSDBCBBCDN=====VV，∴BD

＝2543BK＝10043﹣151143，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣（10043﹣151143）＝7243+151143．②如图3﹣2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD＝2543BK＝＝100

43+151143，∴AD＝AB﹣BD＝7243﹣151143．30【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．