【文档说明】《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题8几何图形变化—8.14之翻折探究3角度问题.docx，共(15)页，291.711 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-7258bedd19526f53fa824fdd44dd5533.html

以下为本文档部分文字说明：

1【经典例题7——角度问题】在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠AOB=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．【A】（1）当四边形ABCD为矩形时，如图1．求证

：△AOC′≌△BOD′．（2）当四边形ABCD为平行四边形时，设AC=kBD，如图2．【B】①猜想此时△AOC′与△BOD′有何关系，证明你的猜想；【C】②探究AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并给予证明．【解析】（1）证明：在

矩形ABCD中，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，又∵OD＝OD′，OC＝OC′，∴OB＝OD′＝OA＝OC′，∵∠D′OD＝∠C′OC，∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC，∴∠BOD′＝∠AOC′，∴在△B

OD′和△AOC′中，∴△BOD′≌△AOC′；（2）解：①△AOC′∽△BOD′；理由如下：∵在平行四边形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，又∵OD＝OD′，OC＝OC′，∴OC′＝OA，OD′＝OB，2∵∠D′OD＝∠C′OC，∴180°﹣∠D′OD＝180°﹣∠C′OC，∴∠B

OD′＝∠AOC′，∴△BOD′∽△AOC′，∴BD′：AC′＝OB：OA＝BD：AC，∵AC＝kBD，∴AC′＝kBD′，∴△BOD′∽△AOC′；②结论：AC′＝kBD′，∠AMB＝α；∵△BOD′∽△AOC′，∴BD′：AC′＝OB：OA＝

BD：AC，∵AC＝kBD，∴AC′＝kBD′，设BD′与OA相交于点N，∴∠BNO＝∠ANM，∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM＝180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB＝∠AOB＝α，综上所述，AC′＝kBD′，∠AMB＝α；练习7-1如图，长方形纸片AB

CD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．（1）若∠BEB′＝110°，则∠BEC＝°，∠AEN＝°，∠BEC+∠AEN＝°．（2）若∠BEB′＝m°，则（1

）中∠BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由．（3）将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠DNA′．【解析】（1）由折叠的性质可得，∠BEC＝∠B'EC，∠AEN＝∠A'EN，∵∠BEB′＝110°，3∴∠AEA'＝180°

﹣110°＝70°，∴∠BEC＝∠B'EC＝∠BEB′＝55°，∠AEN＝∠A'EN＝∠AEA'＝35°．∴∠BEC+∠AEN＝55°+35°＝90°；故答案为：55，35，90．（2）不变．由折叠的性质可得：∠BEC＝∠B'EC，∠AEN＝∠A'

EN，∵∠BEB′＝m°，∴∠AEA'＝180°﹣m°，可得∠BEC＝∠B'EC＝∠BEB′＝m°，∠AEN＝∠A'EN＝∠AEA'＝（180°﹣m°），∴∠BEC+∠AEN＝m°+（180°﹣m°）＝90°，故∠BEC+∠AEN的值不变；（3）由折叠的性质可得：∠B

'CF＝∠B'CE，∠B'CE＝∠BCE，∴∠B'CF＝∠B'CE＝∠BCE＝×90°＝30°，在Rt△BCE中，∵∠BEC与∠BCE互余，∴∠BEC＝90°﹣∠BCE＝90°﹣30°＝60°，∴∠B'EC＝∠BEC＝60°，∴∠AEA'＝180°﹣∠BEC﹣∠B'E

C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AEN＝∠AEA'＝30°，∴∠ANE＝90°﹣∠AEN＝90°﹣30°＝60°，∴∠ANE＝∠A'NE＝60°，∴∠DNA'＝180°﹣∠ANE﹣∠A'NE＝180°﹣60°﹣60°＝60°．练习7-2（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，

Rt△ABC中，∠C＝90°，，求证：∠B＝30°，请你完成证明过程．（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、4CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．（3）若矩

形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB＝6，求EF的长．【解析】（1）证明：Rt△ABC中，∠C＝90°，，∵sinB＝＝，∴∠B＝30°；（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，∴EA＝FD＝×边长＝1，∵沿过点D的折痕将纸片翻

折，使点A落在EF上的点A′处，∴A′D＝AD＝2，∴＝，∴∠FA′D＝30°，可得∠FDA′＝90°﹣30°＝60°，∵A沿GD折叠落在A′处，∴∠ADG＝∠A′DG，AG＝A′G，∴∠ADG＝＝＝15°，∵A′D＝2，FD＝1

，∴A′F＝＝，∴EA′＝EF﹣A′F＝2﹣，∵∠EA′G+∠DA′F＝180°﹣∠GA′D＝90°，∴∠EA′G＝90°﹣∠DA′F＝90°﹣30°＝60°，∴∠EGA′＝90°﹣∠EA′G＝90°﹣60°＝30°，5则A′G＝AG＝2EA′＝2（2﹣）；（3）解

：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO＝AD＝CB＝CO，∴DA＝，∵∠D＝90°，∴∠DCA＝30°，∵AB＝CD＝6，在Rt△ACD中，＝tan30°，则AD＝DC•tan30°＝6×＝2，∵∠D

AF＝∠FAO＝∠DAO＝＝30°，∴＝tan30°＝，∴DF＝AD＝2，∴DF＝FO＝2，同理EO＝2，∴EF＝EO+FO＝4．练习7-3如图，在矩形ABCD中，2AB＞BC，点E和点F为边AD上两点，将矩形沿着BE和CF折叠

，点A和点D恰好重合于矩形内部的点G处，（1）当AB＝BC时，求∠GEF的度数；（2）若AB＝，BC＝2，求EF的长．【解析】（1）当AB＝BC时，矩形ABCD为正方形由折叠得，AB＝BG，CD＝CG；∠EGB＝∠A＝90°＝∠FGC，∵AB＝BC＝CD6∴BG＝BC＝GC∴∠BGC＝60°∴

∠ABG＝30°∴∠AEG＝360°﹣∠A﹣∠BGE﹣∠ABG＝150°∴∠GEF＝30°（2）在矩形ABCD中，AB＝CD＝由折叠得，AB＝BG，CD＝CG，AE＝EG，DF＝FG∴BG＝GC＝，∵BG2+CG2＝4，BC2＝4，∴BG2+CG2＝BC2，∴∠

BGC＝90°，且BG＝CG，∴∠GBC＝45°∴∴∠AEG＝360°﹣∠A﹣∠BGE﹣∠ABG＝135°∴∠FEG＝45°，同理可得∠EFG＝45°，∴△EGF为等腰直角三角形设EG＝x，则AE＝FD＝x，EF＝x，得（2+）x＝2，∴x

＝2﹣∴EF＝x＝2﹣2练习7-4如图，把矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处.(1)求证：△AOE≌△COD；(2)连接DE，若DE:AC=3:5；求tan∠ACB；(3)若∠OCD=40°，△COD的外心在该三角形的内部，直接写出∠CDO的取值范围.7【

解析】13、对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，则＝；（2）将该矩形纸片展开

，如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC＝90°．（1）解：由图①，可得∠BCE＝∠BCD＝45°，又∵∠B＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴＝cos45°＝，即CE＝BC，由图②，可得CE＝CD，∵四边形ABCD是

矩形，∴AD＝BC，∴CD＝AD，∴＝，故答案为：；（2）证明：设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝a，BE＝a，∴AE＝（﹣1）a，如图③，连接EH，则∠CEH＝∠CDH＝90°，∵∠BEC＝45°，∠A＝90°，∴∠AEH＝45°＝∠AHE，∴AH＝AE＝（﹣1）a，8设AP＝x，则B

P＝a﹣x，由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2，∴AH2+AP2＝BP2+BC2，即[（﹣1）a]2+x2＝（a﹣x）2+a2，解得：x＝a，即AP＝BC，在Rt△APH和Rt△BCP中，，∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），∴∠APH＝∠BCP，又∵Rt△BCP中

，∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠APH+∠BPC＝90°，∴∠CPH＝90°．练习7-5矩形纸片ABCD，长8cmAD=，宽4cmAB=，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点'A处，展平后得到折痕BE，同时得到线段'BA，'EA，不再添加其它线段，当图中存在30o角

时，AE的长为厘米.9【解析】当∠ABE=30°时，则∠AEB==30BCA，在Rt△ABE中，tan∠ABE=33=ABAE，∴此时33430tan==ABAE.当∠AEB=30°时，此时在Rt△ABE中，tan∠AEB=33=AEAB，

∴34=AE当∠=30EDA时，过A作AB的平行线交AD于F，BC于G，∵==90EABA，∴230sin==BABG，设xAE=，则xEA=，∴xEAEF2330cos==在矩形ABGF中，AF=BG，∴2

23=+xx，解得348−=x，此时348−=AE故答案为：334或34或348−练习7-6在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：ABFFCE:（2）若23,4ABAD==，求EC的长；

（3）若2AEDEEC−=，记,BAFFAE==，求tantan+的值．10【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∴∠AFB+∠BAF=90°，∵△AFE是△ADE翻折得到的，∴∠A

FE=∠D=90°，∴∠AFB+∠CFE=90°，∴∠BAF=∠CFE，∴△ABF∽△FCE．（2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的，∴AF=AD=4，∴BF=()22224232AFAB−=−=，∴CF=BC-BF=AD-BF=2

，由（1）得△ABF∽△FCE，∴CECFBFAB=，∴2223CE=，∴EC=233．（3）由（1）得△ABF∽△FCE，11∴∠CEF=∠BAF=，∴tan+tan=BFEFCEEFABAFCFAF+

=+，设CE=1，DE=x，∵2AEDEEC−=，∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD=2244AEDEx−=+∵△ABF∽△FCE，∴ABCFAFEF=，∴21144xxxx+−=+，∴()211121xxxxx++−=+g，∴112xx+=，∴21xx=−，

∴x2-4x+4=0，解得x=2，∴CE=1，CF=213x−=，EF=x=2，AF=AD=2244AEDEx−=+=23，∴tan+tan=CEEFCFAF+=12233323+=．练习7-7阅读理解：如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉

重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分……将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn＋1折叠，点Bn与点C重合，若折叠的次数是n，我们就称∠BAC是△ABC的“n次好角”．12探究发现：在△ABC中，∠B≥∠C.(1)若∠BAC是△ABC的一次好角，写出∠B与∠C之

间的数量关系；(2)若∠BAC是△ABC的二次好角，写出∠B与∠C之间的数量关系；(3)若∠BAC是△ABC的三次好角，写出∠B与∠C之间的数量关系；根据以上内容猜想：若∠BAC是△ABC的n次好角，写出∠B与∠C之间的数量关系．应用提升：(4)

如图2，在△ABC中，∠B＞∠C，∠BAC是△ABC的二次好角，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，求证：AE＋BE＝AB＋BD；(5)如果一个三角形的最小角是5°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．【解析】(1)∠B＝∠C；

(2)∠B＝2∠C；(3)∠B＝3∠C；根据以上内容猜想：若∠BAC是△ABC的n次好角，则∠B＝n∠C；(4)证明：由(2)知∠ABC＝2∠C.∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC.∴∠C＝∠EBC.∴BE＝EC.∴AE＋BE＝AE

＋EC＝AC.将△ABD沿AD折叠，点B落在AC的点F处，再将DF沿∠DFC的平分线FG折叠，则点D与点C重合．∴AB＝AF，BD＝DF＝FC.∴AB＋BD＝AF＋FC＝AC.∴AE＋BE＝AB＋BD；(5)由(3)知，∠B＝n∠C，∠BAC是△ABC的n次好角．由于最小角是5°且是△A

BC的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为5m°，5nm°(其中m，n都是正整数).13由题意，得5m＋5mn＋5＝180，即m(n＋1)＝35.∵m，n都是正整数，∴m与n＋1是35的整数约数．∴m＝1，n＋1＝35；m＝5，n＋1＝7；m＝7，n＋1＝5，即m＝1，n＝34；m＝

5，n＝6；m＝7，n＝4.∴5m＝5，5mn＝170；5m＝25，5mn＝150；5m＝35，5mn＝140.∴该三角形的另外两个角的度数分别为5°，170°或25°，150°或35°，140°.练习7-8对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下

操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，则＝；（2）将该矩形纸片展开，如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，

再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC＝90°．【解析】（1）由图①，可得∠BCE＝∠BCD＝45°，又∵∠B＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴＝cos45°＝，即CE＝BC，由图②，可得CE＝CD，∵四边形ABCD是矩形，∴

AD＝BC，∴CD＝AD，14∴＝，故答案为：；（2）证明：设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝a，BE＝a，∴AE＝（﹣1）a，如图③，连接EH，则∠CEH＝∠CDH＝90°，∵∠BEC＝45°，∠A＝90°，∴∠AEH＝45°＝∠AHE，∴AH＝AE＝（﹣1

）a，设AP＝x，则BP＝a﹣x，由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2，∴AH2+AP2＝BP2+BC2，即[（﹣1）a]2+x2＝（a﹣x）2+a2，解得：x＝a，即AP＝BC，在Rt△APH和Rt△BCP中，，∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），∴∠APH＝∠BCP，

又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠APH+∠BPC＝90°，∴∠CPH＝90°．10.在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作:如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处.折痕为AP；

再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处.请完成下列探究:(1)∠PAQ的大小为.15(2)当四边形APCD是平行四边形时，QRAB的值为.【解析】（1）由题意可知，∠D+∠C=180°，∴AD∥BC，由折叠可知∠AQD=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∴

∠AQR+∠PQR=21（∠DQR+∠CQR），即∠AQP=90°，∴∠B=90°，则∠A=180°-∠B=90°，由折叠可知，∠DAQ=∠BAP=∠PAQ，∴∠DAQ=∠BAP=∠PAQ=30°，故答案为：30；（2）若

四边形APCD为平行四边形，则DC∥AP，∴∠CQP=∠APQ，由折叠可知：∠CQP=∠PQR，∴∠APQ=∠PQR，∴QR=PR，同理可得：QR=AR，即R为AP的中点，由（1）可知，∠AQP=90°，∠PAQ=30°，且AB=AQ，设QR=

a，则AP=2a，∴QP=21AP=a，∴AB=AQ=aQPAP322=−，∴33==aaQRAB，故答案为：3．【点睛】本题考查了四边形中的折叠问题，涉及了平行四边形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是读懂题意，熟悉折叠的性质．