【文档说明】河南豫东2022-2023学年高二上学期12月质量检测数学（文）试卷（含部分解析）.doc，共(15)页，1.097 MB，由小赞的店铺上传

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豫东名校2022--2023学年上期高二12月质量检测数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“1a=−”是“直线1:430laxy+−=与直线()2:320lxa

y+−+=”平行的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.在空间直角坐标系中，已知(1,2,3)A，()2,1,6B−−，(3,2,1)C，(4,3,0)D，则直线AB与CD的位置关系

是()A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直3.已知向量(,1,2),(2,,4)axby=−=−，且//ab，则xy+=（）A．-1B．2C．-2D．14.如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，12AA=，1ABBC==，动点P，Q分别在线段1CD，AC上，则线段PQ长度的最小值是(

)A.23B.33C.23D.535.如图，在棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，P为11AD的中点，Q为11AB上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离()A.等于55aB.和

EF的长度有关C.等于23aD.和点Q的位置有关6.已知点(2,0)A−，(0,2)B若点C是圆2220xyx+−=上的动点，则ABC△面积的最小值为()A.3B.2C.32+D.32−7.点M，N是圆22240xykxy+++−=上的不同两点，且点M，

N关于直线10xy−+=对称，则该圆的半径等于()A.22B.2C.3D.98.若直线:20lkxy−−=与曲线2:1(1)1Cyx−−=−有两个不同的交点，则实数k的取值范围是()A.4,23B.4,43C.442,,233−−D.4,3+

9.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左焦点为F，过F作倾斜角为60的直线与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若3OFFM=(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率是()A.12B.105C.32D.3

410.已知双曲线222:1yCxb−=的一个焦点为(2,0)−，则双曲线C的一条渐近线方程为()A.30xy+=B.30xy+=C.310xy+−=D.310xy+−=11.已知2yx=，点A，B在该抛物线上

且位于x轴的两侧，O为坐标原点，若12OAOB=，则AOB△面积的最小值为()A.6B.8C.10D.1212.若方程22153xykk+=−−表示椭圆，则k的取值范围为()A.()3,4B.()4,

5C.()3,5D.()()3,44,5二､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若直线10xy−+=与直线310mxy+−=互相垂直，则实数m的值为__________.14.在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，底面ABC

D是边长为1的正方形，2PA=，则AB与PC的夹角的余弦值为______.15.已知双曲线()22210xyaa−=的右焦点与抛物线28yx=的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________.16.已知F是抛物线2:8Cyx=的焦点，M是C上一点，FM的延长

线交y轴于点N.若M为FN的中点，则||FN=___________.三､解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.（10分）如图，正方体ABCDABCD−的棱长为a.（1）求AB和BC的夹角；（2）求证：ABAC⊥.18.（12分）已

知ABC△的三个顶点(),Amn、()2,1B、()2,3C−.（1）求BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线AD的方程为2360xy−+=，且7ABCS=△，求点A的坐标.19.（12分）如图，圆22

8xy+=内有一点0(1,2),PAB−为过点0P且倾斜角为的弦.（1）当135=时，求AB的长；（2）是否存在弦AB被点0P平分？若存在,写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由.20.（12分）图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m.水下降

1m后，水面宽多少？(精确到0.1m)21.（12分）设双曲线22221(0)xyabab−=的半焦距为c，直线l过(,0)Aa，(0,)Bb两点，且原点到直线l的距离为34c，求双曲线的离心率.22.（12分）设椭圆2222:

1(0)xyCabab+=的焦点为12(3,0),(3,0)FF−,且该椭圆过点13,2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C上的点()00,Mxy满足12MFMF⊥,求0y的值.参考答案1、答案：A解析：

当12//ll时，()34aa−=，即2340aa−−=，解得1a=−或4.当1a=−时，直线1l的方程为430xy−+=，直线2l的方程为420xy−+=，此时12//ll；当4a=时，直线1l的方程为304xy+−=，直线2l的方程为20xy++=，此时12

//ll.因为11,4−−Þ，因此，“1a=−”是“直线1:430laxy+−=与直线()2:320lxay+−+=平行”的充分不必要条件.故选：A.2、答案：B解析：因为()1,2,3A，()2,1,6B−−，()3,2,1C，()4,3,0D，所以(3,3,3)

AB=−−，(1,1,1)CD=−，可得3ABCD=−，所以//ABCD，即直线AB与CD的位置关系是平行，故选B.3、答案：D4、答案：C解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A，()1,1,0B，(

)0,1,0C，()10,1,2C，设点P的坐标为()0,,2，0,1，点Q的坐标为()1,,0−，0,1，22222(1)()425221PQ=−+=−−+−++2219545()()5599

+−+=−，当且仅当19=，59=时，线段PQ的长度取得最小值23.5、答案：A解析：取11BC的中点G，连接PG，CG，DP，则//PGCD，所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关，B错.又11/

/AB平面PGCD，所以点1A到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q的位置无关，D错.如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则(0,,0)Ca，(0,0,0)

D，1(,0,)Aaa，,0,2aPa，(0,,0)DCa=，1(,0,)DAaa=，,0,2aDPa=，设(,,)nxyz=是平面PGCD的法向量，则由0,0,nDPnDC==得0,20,axazay+==令1z=，则2x=−，0y=，所以(2,

0,1)n=−是平面PGCD的一个法向量.设点Q到平面PEF的距离为d，则1255||5DAnaaadn−+===，A对，C错.故选：A.6、答案：D解析：点(2,0)A−，(0,2)B，||22AB

=圆2220xyx+−=化为22(1)1xy−+=，圆心(1,0)，半径是1r=.直线AB的方程为20xy−+=，圆心到直线AB的距离为33222d==.直线AB和圆相离，点C到直线AB距离的最小值是3212−.ABC△面积的

最小值为1322213222−=−.故选：D.7、答案：C解析：22240xykxy+++−=的圆心坐标(,1)2k−−，因为点M，N在圆22240xykxy+++−=上，且点M，N关于直线:10lxy−+=对称，所以直

线:10lxy−+=经过圆心，所以1102k−++=，解得4k=，所以圆的方程为：224240xyxy+++−=，即22(2)(1)9xy+++=，所以圆的半径为3.故选C.8、答案：A解析：直线:20lkxy−−=恒

过定点(0,2)P−，曲线2:1(1)1Cyx−−=−表示以点(1,1)C为圆心，半径为1，且位于直线1x=右侧的半圆(包括点(1,2)，(1,0)).如图，作出半圆C，当直线l经过点(1,0)A时，l与曲线C有两个不同的交点，此时2k=，直线记为1l；当l与半圆相切时，由2|3|11k

k−=+，得43k=，切线记为2l.由图形可知当423k时，l与曲线C有两个不同的交点，故选：A.9、答案：B解析：设()11,Axy，()22,Bxy，()00,Mxy，由题意得2211221xyab+=，2

222221xyab+=，两式相减，得()()()()12121212220xxxxyyyyab+−+−+=因为M为线段AB的中点，且直线AB的倾斜角为60，所以002230xyab+=.设(,0)Fc−，则11||||33FMOFc==，过M作MMx⊥轴，垂足为M，则1

1||26FMMFc==，33||26MMMFc==，由题易知M位于第二象限，所以53,66Mcc−，M的坐标代入AB的方程可得：2253660ccab−+=，得2235ab=，所以2225ac=，所以105cea==.故选：B.10、答案：B解析：双曲线222:1yCxb−=

的一个焦点为()2,0−，所以2c=，因为1a=，所以3b=，所以双曲线的渐近线方程为：30xy=.故选：B.11、答案：B解析：设直线AB的方程为xtym=+，点()11,Axy，()22,Bxy，直线A

B与x轴的交点为(,0)Mm，将xtym=+代入2yx=，可得20ytym−−=，根据根与系数的关系得12yym=−，12yyt+=.12OAOB=，121212xxyy+=，又221212xxyy=，()21212120yyyy−+−=，令12yyu=，则21

20uu+−=，解得4u=−或3u=，点A，B位于x轴的两侧，124uyy==−，故4m=.故直线AB所过的定点坐标是(4,0)，故AOB△的面积()22121212142421682Syyyyyyt=−=+−=+，当0t=时，直线AB垂直于x

轴，AOB△的面积取得最小值，为8，故选B.12、答案：D解析：因为方程22153xykk+=−−表示椭圆，所以505303534kkkkkkk−−−−，解得：35k

且4k.故k的取值范围为：()()3,44,5.故选：D.13、答案：3解析：因为直线10xy−+=与直线310mxy+−=互相垂直，所以30m−=，解得：3m=故答案为：314、答案：66解析：()12cos451ABPCABPAACABPAABAC=+=+−−，

又||1AB=，||6PC=，16cos,6||||16ABPCABPCABPC===.故答案为：6615、答案：33yx=解析：Q抛物线28yx=的焦点是(2,0)，2c=，2413a=−=，3

a=，33ba=.所以双曲线的渐近线方程为33yx=.故答案为：33yx=.16、答案：6解析：如图，过M、N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为1M、1N，设抛物线的准线与x轴的交点为1F，则112NNOF==，14FF=

.因为M为FN的中点，所以13MM=，由抛物线的定义知1||3FMMM==，从而||2||6FNFM==.17、（1）解：设AB=a，AD=b，AA=c.由于正方体ABCDABCD−的棱长为a，|||

|||a===abc，且,90=ab，,90=ac，,90=bc.ABABAA=−=−ac，BCADADAA==−=−bc，()()ABBC=−−=acbc222000aa−−+=−−+=abacbcc.又2ABa=，2BCa

=，21cos,222ABBCaABBCaaABBC===∣.又,0,180ABBC，,60ABBC=，AB与BC的夹角为60°.（2）证明：由(1)知AB=−ac，ACABBC

CCABADAA=++=++=++abc，22()()ABAC=−++=++−−−=acabcaabaccacbc2200000aa++−−−=，ABAC⊥，ABAC⊥.18、解：（1）由(

2,1)B、(2,3)C−得BC边所在直线方程为123122yx−−=−−−，即240xy+−=.（2）22||4225BC=+=，A到BC边所在直线240xy+−=的距离为|24|5mnd+−=，由于A在直线2360xy−+=上，故1||722360ABCSBCdmn

==−+=△，即|24|72360mnmn+−=−+=，解得(3,4)A或(3,0)A−.19、（1）解：当135=时，直线AB的斜率tan1351k==−.直线AB的方程为2(1)yx−=−+，即1yx=−+.①把①代入228xy+=，得22(1)

8xx+−+=，即22270xx−−=，解此方程得1152x=.所以1212||221530cos45xxABxx−==−==.（2）解：存在弦AB被点0P平分.当弦AB被点0P平分时，0OPAB⊥.直线0OP的斜率为2−，所以直线AB的斜率为12.所以直线AB的方程为12(1)2yx−=

+，即250xy−+=.20、解：在抛物线形拱桥上，以拱顶为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示.设该拋物线的方程为22(0)xpyp=−.拱顶离水面2m，水面宽4m，点(2,2)−在拋物线上，222(2)p=−

−，解得1p=，拋物线的方程为22xy=−.当水面下降1m时，3y=−，代入22xy=−，得22(3)x=−−，即6,264.9x=.故这时水面宽为4.9m.21、解：直线l过点(,0)Aa，(0,)Bb，直线l的方程为1xyab+=，即0bxayab+−=.原

点到直线l的距离为34c,22||34abcab=+,即234abc=,两边平方并化简得224163abc=,()2224163acac−=，4224316160caca−+=,两边同时除以4a，得4242316160ccaa−+=,即42316160ee−+=.解得24e=或43.0ba

,221ba,22222212abbeaa+==+,24e=,2e=.22、解：(1)由题意得,22221(3)21ab+=,且223ab−=,解得224,1ab==,所以椭圆C的标准方程为2214xy+=.(2)因为点()00,Mxy

满足12MFMF⊥,所以120MFMF=uuuruuuur,即()()220000003,3,30xyxyxy−−−−=+−=,①又点()00,Mxy在椭圆C上,所以220014xy+=,②联立①②,得2013y=,所以033y=.获得

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