【文档说明】河南豫东2022-2023学年高二上学期12月质量检测数学（理）试卷 含解析.doc，共(16)页，1.193 MB，由小赞的店铺上传

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豫东名校2022--2023学年上期高二12月质量检测数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“1a=−”是“直线1:430laxy+−

=与直线()2:320lxay+−+=”平行的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.在空间直角坐标系中，已知(1,2,3)A，()2,1,6B−−，(3,2,1)

C，(4,3,0)D，则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直3.已知(2,1,3)a=−，(1,4,2)b=−−，(7,5,)c=，若{,,}abc不能构成空间的一个基底，则实数的

值为()A.0B.357C.9D.6574.如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，12AA=，1ABBC==，动点P，Q分别在线段1CD，AC上，则线段PQ长度的最小值是()A.23B.33C.23D.535.如图，在棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，P

为11AD的中点，Q为11AB上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离()A.等于55aB.和EF的长度有关C.等于23aD.和点Q的位置有关6.已知点(2,0)A−，(0,2)B若点C是圆2220x

yx+−=上的动点，则ABC△面积的最小值为()A.3B.2C.32+D.32−7.点M，N是圆22240xykxy+++−=上的不同两点，且点M，N关于直线10xy−+=对称，则该圆的半径等于()A.22B.2C.3D.98.若直线:20lkxy−−=与曲线2:1(1

)1Cyx−−=−有两个不同的交点，则实数k的取值范围是()A.4,23B.4,43C.442,,233−−D.4,3+9.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左焦点为F，过F

作倾斜角为60的直线与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若3OFFM=(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率是()A.12B.105C.32D.3410.已知双曲线222:1yCxb−=的一个焦点为(2,0)−，则双曲

线C的一条渐近线方程为()A.30xy+=B.30xy+=C.310xy+−=D.310xy+−=11.已知2yx=，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，O为坐标原点，若12OAOB=，则AOB△面积的最小值为()A.6B.8C

.10D.1212.设12,FF是椭圆221164xy+=的左，右焦点，过1F的直线l交椭圆于AB，两点，则22AFBF+的最大值为（）A.14B.13C.12D.10二､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形

，2PA=，则AB与PC的夹角的余弦值为______.14.已知椭圆()2222:10xyEabab+=的右焦点为F，y轴上的点M在椭圆外，且线段MF与椭圆E交于点N，若33ONNFOM==，则椭圆E的离心率为________.15

.已知双曲线()22210xyaa−=的右焦点与抛物线28yx=的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________.16.已知F是抛物线2:8Cyx=的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则||FN=_______

____.三､解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.（10分）如图，正方体ABCDABCD−的棱长为a.（1）求AB和BC的夹角；（2）求证：ABAC⊥.18

.（12分）已知ABC△的三个顶点(),Amn、()2,1B、()2,3C−.（1）求BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线AD的方程为2360xy−+=，且7ABCS=△，求点A的坐标.19.（12分）如图，圆228xy+=内有一点0(1,2),PAB−为过点0P

且倾斜角为的弦.（1）当135=时，求AB的长；（2）是否存在弦AB被点0P平分？若存在,写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由.20.（12分）图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m.水下降1m后，水面宽多少？(精确到

0.1m)21.（12分）设椭圆2222:1(0)xyCabab+=的焦点为12(3,0),(3,0)FF−,且该椭圆过点13,2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C上的点()00,Mxy满足12MFMF⊥,求0y的值.22.（12分）已知点(2,1)A在

双曲线2222:1(1)1xyCaaa−=−上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.（1）求l的斜率；（2）若tan22PAQ=，求PAQ△的面积.参考答案1、答案：A解析：当12//ll时，()34aa−=，即2340aa−−=，解得1a=−或4.当1a=−时

，直线1l的方程为430xy−+=，直线2l的方程为420xy−+=，此时12//ll；当4a=时，直线1l的方程为304xy+−=，直线2l的方程为20xy++=，此时12//ll.因为11,4−−Þ，因此，“1a=−”

是“直线1:430laxy+−=与直线()2:320lxay+−+=平行”的充分不必要条件.故选：A.2、答案：B解析：因为()1,2,3A，()2,1,6B−−，()3,2,1C，()4,3,0D，所以

(3,3,3)AB=−−，(1,1,1)CD=−，可得3ABCD=−，所以//ABCD，即直线AB与CD的位置关系是平行，故选B.3、答案：D解析：{,,}abc不能构成空间的一个基底，a，b，c共面，则cxayb=+，其中,xyR，则()()()

()7,5,2,,3,4,22,4,32xxxyyyxyxyxy=−+−−=−−+−，72,5432xyxyxy=−=−+=−,,解得33,717,765.7xy===故选：D.4、答案：C解析：建立如图所示的空间直

角坐标系，则()1,0,0A，()1,1,0B，()0,1,0C，()10,1,2C，设点P的坐标为()0,,2，0,1，点Q的坐标为()1,,0−，0,1，22222(1)()425221PQ=−+=

−−+−++2219545()()5599+−+=−，当且仅当19=，59=时，线段PQ的长度取得最小值23.5、答案：A解析：取11BC的中点G，连接PG，CG，DP，则//PGCD，所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平

面PGCD的距离，与EF的长度无关，B错.又11//AB平面PGCD，所以点1A到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q的位置无关，D错.如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，

则(0,,0)Ca，(0,0,0)D，1(,0,)Aaa，,0,2aPa，(0,,0)DCa=，1(,0,)DAaa=，,0,2aDPa=，设(,,)nxyz=是平面PGCD的法向量，则由0,0,nDPnDC=

=得0,20,axazay+==令1z=，则2x=−，0y=，所以(2,0,1)n=−是平面PGCD的一个法向量.设点Q到平面PEF的距离为d，则1255||5DAnaaadn−+===，A对，C错.故选：A.6、答案：D解析：点(

2,0)A−，(0,2)B，||22AB=圆2220xyx+−=化为22(1)1xy−+=，圆心(1,0)，半径是1r=.直线AB的方程为20xy−+=，圆心到直线AB的距离为33222d==.直线AB和圆相离，

点C到直线AB距离的最小值是3212−.ABC△面积的最小值为1322213222−=−.故选：D.7、答案：C解析：22240xykxy+++−=的圆心坐标(,1)2k−−，因为点M，N在圆22240

xykxy+++−=上，且点M，N关于直线:10lxy−+=对称，所以直线:10lxy−+=经过圆心，所以1102k−++=，解得4k=，所以圆的方程为：224240xyxy+++−=，即22(2)(1)9xy

+++=，所以圆的半径为3.故选C.8、答案：A解析：直线:20lkxy−−=恒过定点(0,2)P−，曲线2:1(1)1Cyx−−=−表示以点(1,1)C为圆心，半径为1，且位于直线1x=右侧的半圆(包括点(1,2)，(1,0)).如图，作出半圆C，当直线l经

过点(1,0)A时，l与曲线C有两个不同的交点，此时2k=，直线记为1l；当l与半圆相切时，由2|3|11kk−=+，得43k=，切线记为2l.由图形可知当423k时，l与曲线C有两个不同的交点，故选：A.9、答案：B解析：设()11,Axy，()22,Bxy，()00

,Mxy，由题意得2211221xyab+=，2222221xyab+=，两式相减，得()()()()12121212220xxxxyyyyab+−+−+=因为M为线段AB的中点，且直线AB的倾斜角为60，所以002230xyab+=.设(,0)Fc−，则11|||

|33FMOFc==，过M作MMx⊥轴，垂足为M，则11||26FMMFc==，33||26MMMFc==，由题易知M位于第二象限，所以53,66Mcc−，M的坐标代入AB的方程可得：2253660ccab−+=，得2235ab=，所以2225

ac=，所以105cea==.故选：B.10、答案：B解析：双曲线222:1yCxb−=的一个焦点为()2,0−，所以2c=，因为1a=，所以3b=，所以双曲线的渐近线方程为：30xy=.故选：B.11、答案：B

解析：设直线AB的方程为xtym=+，点()11,Axy，()22,Bxy，直线AB与x轴的交点为(,0)Mm，将xtym=+代入2yx=，可得20ytym−−=，根据根与系数的关系得12yym=−，12yyt+=.12OAOB=，121212xxyy+=，又2212

12xxyy=，()21212120yyyy−+−=，令12yyu=，则2120uu+−=，解得4u=−或3u=，点A，B位于x轴的两侧，124uyy==−，故4m=.故直线AB所过的定点坐标是(4,0)，故AOB△的面积()2212121214242168

2Syyyyyyt=−=+−=+，当0t=时，直线AB垂直于x轴，AOB△的面积取得最小值，为8，故选B.12、答案：A解析：由椭圆的定义，知218FAFA+=，218BFBF+=，所以2ABF△的周长为22211216AFBFFAFBFBBAFA++=+++=，所以当AB最小时

，22AFBF+最大.又当ABx⊥时，AB最小，此时222bABa==，所以22AFBF+的最大值为16214−=.故选：A.13、答案：66解析：()12cos451ABPCABPAACABPAABAC=+=+−−，又||1AB=

，||6PC=，16cos,6||||16ABPCABPCABPC===.故答案为：6614、答案：31−解析：过N作x轴的垂线，记垂足为P，由已知ONNF=，可知P为OF中点，因为//NPy轴所以N为MF中点，不妨设1ONNF==，则3O

M=，2MF=，易得60OFM=，OFN△为正三角形，记椭圆的左焦点为1F，则1||||||1ONOFOFNFc=====，所以可知130OFN=，故190FNF=，所以13NF=，由椭圆的定义1||213N

FNFa+==+，所以离心率131132cea===−+，故31−.15、答案：33yx=解析：Q抛物线28yx=的焦点是(2,0)，2c=，2413a=−=，3a=，33ba=.所以双曲线的渐近线方程为33yx=.故答

案为：33yx=.16、答案：6解析：如图，过M、N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为1M、1N，设抛物线的准线与x轴的交点为1F，则112NNOF==，14FF=.因为M为FN的中点，所以13MM=，由抛物线的定义知1||3FMMM==，从而

||2||6FNFM==.17、（1）解：设AB=a，AD=b，AA=c.由于正方体ABCDABCD−的棱长为a，||||||a===abc，且,90=ab，,90=ac，,90=bc.ABABAA=−=−ac，BCADADAA=

=−=−bc，()()ABBC=−−=acbc222000aa−−+=−−+=abacbcc.又2ABa=，2BCa=，21cos,222ABBCaABBCaaABBC===∣.又

,0,180ABBC，,60ABBC=，AB与BC的夹角为60°.（2）证明：由(1)知AB=−ac，ACABBCCCABADAA=++=++=++abc，22()()A

BAC=−++=++−−−=acabcaabaccacbc2200000aa++−−−=，ABAC⊥，ABAC⊥.18、（1）由(2,1)B、(2,3)C−得BC边所在直线方程为12312

2yx−−=−−−，即240xy+−=.（2）22||4225BC=+=，A到BC边所在直线240xy+−=的距离为|24|5mnd+−=，由于A在直线2360xy−+=上，故1||722360ABCSBCdmn==−+=△，即|2

4|72360mnmn+−=−+=，解得(3,4)A或(3,0)A−.19、（1）解：当135=时，直线AB的斜率tan1351k==−.直线AB的方程为2(1)yx−=−+，即1yx=−+.①把①代入228xy+=，得22(1)8xx+−+=，即22

270xx−−=，解此方程得1152x=.所以1212||221530cos45xxABxx−==−==.（2）解：存在弦AB被点0P平分.当弦AB被点0P平分时，0OPAB⊥.直线0OP的斜率为2−，所以直线AB的斜率为12.所以直线AB的

方程为12(1)2yx−=+，即250xy−+=.20、解：在抛物线形拱桥上，以拱顶为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示.设该拋物线的方程为22(0)xpyp=−.拱顶离水面2m，水面宽4m，点(2,2)−在拋物线上

，222(2)p=−−，解得1p=，拋物线的方程为22xy=−.当水面下降1m时，3y=−，代入22xy=−，得22(3)x=−−，即6,264.9x=.故这时水面宽为4.9m.21、(1)由题意得,22221(3)21ab+=,且223

ab−=,解得224,1ab==,所以椭圆C的标准方程为2214xy+=.(2)因为点()00,Mxy满足12MFMF⊥,所以120MFMF=uuuruuuur,即()()220000003,3,30xyxyxy−−−−=+−=,①又点()

00,Mxy在椭圆C上,所以220014xy+=,②联立①②,得2013y=,所以033y=.22、解：（1）将点A的坐标代入双曲线方程得224111aa−=−，化简得42440aa−+=，得22a=，故双曲线C的方程为2212xy−=.由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb=+，(

)11,Pxy，()22,Qxy，联立直线l与双曲线C的方程并整理得()222214220kxkbxb−+++=，故122421kbxxk+=−−，21222221bxxk+=−.12121212111102222APAQyykxbkxbkkxxxx−−+−+−+=+=+=−−−−，化简得()1

2122(12)4(1)0kxxbkxxb+−−+−−=，故()2222224(12)4(1)02121kbkbbkbkk++−−−−−=−−，整理得(1)(21)0kbk++−=，又直线l不过点A，

即210bk+−，故1k=−.（2）不妨设直线PA的倾斜角为02，由题意知2PAQ=−，所以22tantantan222tan1PAQ=−==−，解得tan2=或2ta

n2=−（舍去），由11221112212yxxy−=−−=，得110423x−=，所以143(21)||323APx−=−=，同理得210423x+=，所以243(21)||323AQx+=−=.因为tan22PAQ=，所以22sin3PA

Q=，故1143(21)43(21)22162||||sin223339PAQSAPAQPAQ−+===△.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com