【文档说明】重庆市合川大石中学等多校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(18)页，1.808 MB，由管理员店铺上传

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重庆高二数学中期考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写

在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一、二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.圆()221:

11Cxy+−=与222:4Cxy+=的位置关系为（）A.相交B.相离C.外切D.内切【答案】D【解析】【分析】计算两圆圆心距，利用几何法可判断两圆的位置关系.【详解】圆1C的圆心为()10,1C，半径11r=；圆222:4Cxy+=的圆心为()20,0C，半径22r=．两圆

圆心距为12211CCrr==−，所以圆1C与圆2C内切．故选：D.2.若直线1:360laxy++=与直线()2:220lxay++−=平行，则a=（）A.3−B.32−C.1D.1−【答案】C【解析】【分析】利用两直线平行的判定方法列出方程，求解后检验即得.【详解】因为1l∥2l，所以

()()()22323310aaaaaa+−=+−=+−=，解得3a=−或1a=.当3a=−时，1212:3360,:20,,lxylxyll−++=−−=重合，不合题意；当1a=时，12:360,:320lxylxy++=+−=，符合题意.故选：

C.3.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译密码概率分别是23，35，则密码被成功破译的概率为（）A.215B.35C.715D.1315【答案】D【解析】【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式及对立事件的概率公式计算得解.【详解】甲乙都没有破译密

码的概率1232113515P=−−=,所以根据对立事件概率公式可知，密码被成功破译的概率1213111515PP=−=−=,故选：D4.已知向量()()5,1,3,9,8,5ab==，则向量b在

向量a上的投影向量为（）A.6835aB.179aC.2312aD.137a【答案】A【解析】【分析】根据投影向量的计算方法求得正确答案.【详解】向量b在向量a上的投影向量为4581568251935baaaaaa

++==++．故选：A5.若,,abc→→→构成空间的一个基底，则下列选项中能作为基底的是（）A.,,acabbc→→→→→→−−−B.,,acbacb→→→→→→++−C.,,2babaccb→→→→→→→+−++D.,,abbcac→→→→→

→+++【答案】D的【解析】【分析】根据空间向量共面基本定理判断各选项向量是否共面即可得解.【详解】因为acabbc→→→→→→−=−+−，所以,,acabbc→→→→→→−−−共面，故A错误；因为acbacb→→→→→

→+=++−，所以,,acbacb→→→→→→++−共面，故B错误；因为2bacbbac→→→→→→→+=+−−+，所以,,2babaccb→→→→→→→+−++共面，故C错误；因为不存在x，y，使得abxbcyac→→→→→→+=+++

，所以,,abbcac→→→→→→+++不共面，故D正确．故选：D6.空间内有三点()()()1,2,3,2,1,1,1,2,2PEF−，则点P到直线EF的距离为（）A.2B.3C.22D.23【答案】A【解析】【

分析】根据空间向量的坐标表示求出,EFPE，利用空间向量法求解点线距即可.【详解】因为()1,1,1EF=−，所以EF的一个单位方向向量为()31,1,13u=−.因为()3,1,2PE=−−，所以点P到直线EF的距离为22()14122

PEPEu−=−=.故选：A7.某手机信号检测设备的监测范围是半径为200m的圆形区域，一名人员持手机以每分钟50m的速度从设备正东2003m的A处沿西偏北30o方向走向位于设备正北方向的B处，则这名人员被持续监测的

时长约为（）A.2分钟B.3分钟C.4分钟D.5分钟【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出直线AB及圆的方程，利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式求解即得.【详解】以设备的位置

为坐标原点O，其正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则直线3:(2003)3AByx=−−，即320030xy+−=，圆22:40000Oxy+=，记从N处开始被监测，到M处监测结束，点O到直线A

B的距离为22|2003|||10031(3)OO−==+，则22||2||||200MNMOOO=−=，所以被监测的时长为200450=分钟.故选：C8.如图，在四面体ABCD中，平面ACD⊥平面,ABCABC△是边长为6的正三角形，ACD

是等腰直角三角形，90,ADCE=是AC的中点，1,3CFCBDGDB==，若//AG平面DEF，则=（）A.12B.13C.14D.23【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出AG及平面DEF的法向量，利用它们数量积为0求解即可.【详解】连接BE，由ABCV为等边三角

形，则BEAC⊥，又平面ACD⊥平面ABC，AC是交线，BE平面ABC，所以BE⊥平面ACD，又DE平面ACD，所以BEDE⊥,因为ACD为等腰三角形，E是AC的中点，所以DEAC⊥，以E为坐标原点，,,EAEBED的方向分别为,,xyz轴的正方向，建立如图所示的空间直

角坐标系，则(0,0,0),(3,0,0),(0,33,0),(3,0,0),(0,0,3)EABCD−．()()()0,0,3,3,0,0,3,33,0,EDECCB==−=()12,3,03EFECC

B=+=−，()()3,0,3,0,33,3ADDB=−=−，()3,33,33AGADDGADDB=+=+=−−．设平面DEF的一个法向量为(),,nxyz=r，则30,230,nEDznEFxy===−+=取3x=，则(3,2,0)n=．因为//AG平

面DEF，所以332330nAG=−+=，解得12=．故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽

，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽､蓝色水晶崽崽､粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒，设事件A为“所选盲盒中有红色水晶崽崽”，B为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，C为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则（）A.A与B不互

斥B.()()()1PAPBPC++=C.()14PBC=ID.A与B相互独立【答案】ACD【解析】【分析】由互斥事件，独立事件，以及各个事件的概率关系逐一判断即可；【详解】对于A，A和B可以同时发生，故A正确；对于B，因为()()()111,,

222PAPBPC===，所以()()()1PAPBPC++，故B错误；对于C，()111224PBC==，故C正确；对于D，因为()14PAB=，所以()()()PAPBPAB=，故D正确；故选：ACD.10.在空间直角

坐标系中，已知()()()1113330,2,,0,1,,2,1,,0,2,0,0,0,0,4,0,0222ABCABC，则（）A.114BCAC为质数B.ABCV为直角三角形C.1BC与AB所成角的正弦值为52929D.几何体111AB

CABC−的体积为72【答案】BCD【解析】【分析】对于ABC：根据空间向量坐标运算分析求解即可；对于D：分析可知几何体111ABCABC−为三棱台，且1AA与该三棱台的底面垂直，结合台体的体积公式运算求解.【详解】对于选项A：因为11332,1,,4,2,22B

CAC==−−，所以119448215,154BCAC=−−=不是质数，A错误；对于选项B：因为()()0,1,0,2,0,0BABC==，则0BABC=，所以,BABCABC⊥为直角三角形，B正确；对于选项C：

因为112cos,29292BCAB==，所以1BC与AB所成角的正弦值为55292929=，C正确；的对于选项D：根据已知6个点的空间直角坐标可得几何体111ABCABC−为三棱台，且1AA与该三棱台的底面垂直，1111111113,,2,4,1,2,2ABBCABBCAB

BCABBCAA⊥⊥=====，所以几何体111ABCABC−的体积为1311117241224123222222++=，D正确.故选：BCD.11.已知圆22:4210Cxyxy+−++=

与直线:430lxym−+=，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列说法正确的是（）A.若9m=，则直线l与圆C相切B.若圆C上存在两点关于直线l对称，则11m=−C.若14m=，则min||3PQ=D.

若14m=，从Q点向圆C引切线，则切线长的最小值是23【答案】BC【解析】【分析】利用圆心到直线的距离与半径的关系可判断A错误；由圆C上存在两点关于直线l对称可得直线l过圆心，圆心坐标代入直线方程可得选项B正确；由题意可

知||PQ的最小值为圆心到直线的距离减去半径，选项C正确；由切线得垂直，根据勾股定理表示切线长，可知当||CQ最小时，切线长最小，结合点到直线的距离求解可知选项D错误.【详解】A.由题意得，圆C的标准方程为22(2)(1)4xy−++=，圆心为()2,1C−，半径2r=.∴圆心

C到直线l的距离()2242319424(3)d−−+==+−，∴直线l与圆C相离，故A不正确.B.若圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l经过圆C的圆心，∴()42310m−−+=，解得11m=−，故B正确.C

.若14m=，则圆心C到直线l的距离()2242311454(3)d−−+==+−，∴min||523PQ=−=，故C正确.D.若14m=，从Q点向圆C引切线，设一个切点为M，连接CM，则CMMQ⊥

，如图所示，222||||||||4MQCQCMCQ=−=−，当CQl⊥时，CQ取得最小值5，此时MQ取得最小值，即2min||5421MQ=−=，故D不正确.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知()()0.2,0.7PAPB

==，若A，B互斥，则()PAB=________，()PAB=________.【答案】①.0.9②.0【解析】【分析】根据互斥事件概率计算公式来求得正确答案.【详解】依题意，A，B互斥，所以()()0.20.70.9,0PABPAB=+==..故答案为：0.

9；013.若点(1,3)在圆22250xyaxaya+−−+=的外部，则正实数a的取值范围是______.【答案】()4,5【解析】【分析】结合圆的定义、点与圆的位置关系计算即可得解.【详解】由题意可得()()22221365024500aaaaaaa+−−+−+−−，解得

45a，故正实数a的取值范围是()4,5.故答案为：()4,5.14.若过圆()222:(2)0Cxyrr+−=外一点()2,2P−作圆C的两条切线，切点分别为,AB，且855AB=，则r=__________．【答案】2或4【解析】【分析】根据圆

的切线性质可求出相关线段的长，利用1122PBCSPCBDBCBP==，即可求出答案.【详解】如图，记圆C的圆心为()0,2,CAB与PC交于点D，圆的半径为r，由题意可得()2245,,,2222525ABPBBC

PCABBDPC⊥⊥===+−−=，222||||||20BPPCBCr=−=−1122PBCSPCBDBCBP==，所以24525205rr=−，即4220640rr−+=，解得24r=或16，即2r=或4，经检验，都满足题意．故答案为：2或4

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线:(1)210lmxmym++−+=，圆22:4410Cxyxy+−+−=.（1）证明：直线l与圆C相交.（2）记直线l与圆C的交点为,AB，求|𝐴𝐵|的最小值.【答案】（1）证

明见解析（2）27【解析】【分析】（1）求出直线l所过定点，判断该定点与圆的位置关系即可推理得证.（2）利用圆的性质求出最短弦长.【小问1详解】直线l：(2)10mxyy+−++=，令2010xyy+−=+=，解得31xy==−，则直线l过定点(3,1)P−，圆22:(2)(2)9Cx

y−++=的圆心(2,2)C−，半径3r=，而||23PC=，因此点(3,1)P−在圆C的内部，所以直线l与圆C相交.【小问2详解】由（1）知，||2PC=，当且仅当PCl⊥时，弦AB长最短，所以|𝐴𝐵|的最小值为2222||29(2)27rPC−=−=.1

6.某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h），并根据统计数据分为)1,1.5，)1.5,2，)2,2.5，)2.5,3，)3,3.5，3.5,4六个小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在1,4

内），得到的频率分布直方图如图所示.（1）求出图中m的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数；（2）按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在)2.5,3，3.5,4这两个时间段内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概

率.【答案】（1）0.5m=，2.4h（2）13.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可得，再利用中位数的计算公式直接计算；（2）根据分层抽样等比例的性质直接计算人数，再根据古典概型公式计算即可.【小问1详解】由()0.

20.420.30.10.51m++++=，解得0.5m=.因为()()0.20.40.50.3,0.20.40.50.50.55+=++=，所以中位数在)2,2.5内，设中位数为x，则()0.320.50.5x+−=，得2.4x=，即估计这10

0名居民平均每天的运动时长的中位数为2.4h.【小问2详解】由题知，平均每天运动时长在)2.5,3，3.5,4内的频率分别为0.5，0.1，则应从平均每天运动时长在)2.5,3，3.5,4内的居民中分别抽出5

人，1人.记)2.5,3时间段内的5人分别为a，b，c，d，e，记3.5,4时间段内的1人为M，则从这6人中选出2人的基本事件有(),ab，(),ac，(),ad，(),ae，(),aM，(),bc，

(),bd，(),be，(),bM，(),cd，(),ce，(),cM，(),de，(),dM，(),eM共15个，2人来自不同分组的基本事件(),aM，(),bM，(),cM，(),dM，(),eM，共5个，所以这2人来自不同分组概率为51153=.的17.如图，在四棱锥ABCED−中，底面B

CED为直角梯形，DEBC∥，DECE⊥，ADBDCDBC===，22ACAECE==.（1）判断直线AB与CD是否垂直，并说明理由；（2）求平面ADE与平面ACD的夹角的余弦值.【答案】（1）AB和CD不垂直，理由见详解；（2）55【解析】【分析】（1）根据已知条件可设()0A

ECEaa==，计算出DE，AD的值，从而证明到DEAE⊥，再由DECE⊥可证DE⊥平面ACE；所以建立空间直角坐标系，用坐标表示向量AB和CD，将判断直线是否垂直转化为判断向量是否垂直，即可得证.（2

）在第一问的基础上，分别求出平面ADE与平面ACD的法向量，利用公式计算可得平面ADE与平面ACD的夹角的余弦值.【小问1详解】AB和CD不垂直，理由如下：设()0AECEaa==，则2ACa=，在BCD△中，BDCDBC==，所以BCD△为等边三角形

，所以60BCD=，因为DECE⊥，DEBC∥，所以BCCE⊥，从而30DCE=，所以在直角DEC中，23cos303CECDa==，3tan303DECEa==，又因为ADCD=，所以233ADa=，所以在DEA△中，满足22

2DEAEAD+=，故DEA△为直角三角形，则DEAE⊥；又因为DECE⊥，CEAEE=，所以DE⊥平面ACE；因为22ACAECE==，所以222ACAECE=+，所以CEAE⊥，故以点E为坐标原点，EC，EA，ED所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

.设1DE=，则2ADBDCDBC====，3AECE==，6AC=；所以()0,0,0E，()0,3,0A，()3,0,2B，()3,0,0C，()0,0,1D，所以()3,3,2AB=−，()3,0,1CD=−，所以3020ABCD=−++，所以ABCD

⊥不成立，故AB和CD不垂直.【小问2详解】由（1）可知CEAE⊥，CEDE⊥，AEDEE=，所以CE⊥平面ADE，故()3,0,0EC=为平面ADE的一个法向量；又()0,3,1DA=−，()3,0,1DC=−，设平面ACD的法向量(),,nxyz=r，所以00nDAn

DC==，即3030yzxz−=−=，取3z=，则1x=，1y=，故()1,1,3n=，设平面ADE与平面ACD的夹角为θ，所以cosθ=cos,nECnECnEC=35535==，所以平面ADE与平面ACD

的夹角的余弦值为55.18.如图，在三棱台111ABCABC−中，1AA平面ABC，120BAC=，1111333ABACABAC====，12AA=，D是棱AC的中点，E为棱BC上一动点.（1）判断是否存在点E，使

1//AB平面1CDE.（2）是否存在点E，使平面1CDE⊥平面11AABB?若存在，求此时1AB与平面1CDE所成角的正弦值；若不存在，说明理由.【答案】（1）存在（2）存在，且1AB与平面1CDE所成角的正弦值为61365【解析】【分析】（1）以A为原点，以AC、1AA的方向分别为x、z轴

的正方向建立空间直角坐标系，求出点E的坐标，利用空间向量法可证得结论成立；（2）设()01CECB=，根据空间向量法结合平面1CDE⊥平面11AABB，可求出的值，然后利用空间向量法可求得1A

B与平面1CDE所成角的正弦值.【小问1详解】存在，当13CECB=时，1//AB平面1CDE；因为1AA⊥平面ABC，如图，以A为原点，以AC、1AA的方向分别为x、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则333,,022B−、()3,0,0C、()10,0,2A、

113,,222B−、()11,0,2C、3,0,02D，.因为13CECB=，设点(),,Eabc，则()1933333,,,,0,,032222abc−=−=−，则332320ab

c−=−==，解得32320abc===，则33,,022E，设平面1CDE的法向量为()111,,nxyz=，因为11,0,22DC=−，30,,02DE=，所以11111202302nDCxznDEy=−+=

==，令14x=，得()4,0,1n=.因为113,,222AB=−，所以11402102ABn=−++=，因为1AB平面1CDE，所以，1//AB平面1CDE.【小问2详解】设平面11AABB的法向量为()22

2,,mxyz=，因为()10,0,2AA=，333,,022AB=−，所以122220333022mAAzmABxy===−+=，令21y=，得()3,1,0m=r.设()01CECB=，则93

33,,022E−，设平面1CDE的法向量为(),,uxyz=，因为11,0,22DC=−，3933,,0222DE=−，所以1120239330222uDCxzuDExy=−+=

=−+=，令3x=，可得33,31,4u=−，假设平面1CDE⊥平面11AABB，则0mu=.由3310mu=+−=，解得16=，所以313,,6224u=−.设1AB与平面1CDE所成的角为

，则11136134sincos,6565583ABuABuABu====，所以存在E，使平面1CDE⊥平面11AABB，此时1AB与平面1CDE所成角的正弦值为61365.19.古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：

平面内到两定点距离之比为常数(0kk且1)k点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，(1,0),(4,0)NM，动点Q满足2QMQN=，设动点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）若直线10xy−+=与曲线C交于,AB两点，求|𝐴�

�|；（3）若曲线C与x轴的交点为,EF，直线:1lxmy=−与曲线C交于,GH两点，直线EG与直线FH交于点D，证明：点D在定直线上．【答案】（1）224xy+=（2）14（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用轨迹法，代入两

点间距离公式，即可求解；（2）代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解；（3）首先直线l与圆C的方程联立，并利用坐标表示直线EG和FH的方程，并利用韦达定理表示0022xx+−，即可求解交点坐标，【小问1详解】的设(),Qxy，

因为2QMQN=，所以22||4||QMQN=，即2222(4)4(1)xyxy−+=−+，整理得224xy+=，所以曲线C的轨迹方程为224xy+=．【小问2详解】曲线C的圆心到直线10xy−+=的距离221221(1)d==+−，所以221224142ABrd=−=

−=．【小问3详解】证明：设()()()112200,,,,,GxyHxyDxy．联立221,4,xmyxy=−+=得()221230mymy+−−=，()2212122223Δ41210,,11mmmyyyymm=+++==−+

+．设()()2,0,2,0EF−，所以直线EG的方程为()1122yyxx=++，直线FH的方程为()2222yyxx=−−．因为直线EG与直线FH交于点D，所以()()100120022,22,2yyxxyyxx=++=−−则()()21021121210212112112222

33ymyxyxmyyyyyxxymyymyyy+++++−===−−−−1122211223211113333311mmmyymmmmmyymm−+−−−+++===−−−−++，即002123xx+=−，解得04x=−，所以点D在直线4x=−上．【点睛】关键点点睛

：本题的关键是坐标法的应用，利用韦达定理表示0022xx+−.