【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题10.8 概率全章综合测试卷（基础篇） Word版含解析.docx，共(14)页，178.560 KB，由小赞的店铺上传

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第十章概率全章综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023·全国·高一专题练习）下列事件中，随机事件的个数是（）①未来某年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4

张号签中任取一张，恰好取到1号签；④任取𝑥∈R，则|𝑥|≥0.A．1B．2C．3D．4【解题思路】根据各项的描述，判断随机事件、必然事件、不可能事件，进而确定随机事件的个数.【解答过程】①未来某年8月18日，北京市不下雨，属于随机事件；②在标准大气压下，水在4℃时结冰，属于不可能事

件；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，属于随机事件；④任取𝑥∈R，则|𝑥|≥0，属于必然事件；所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是2.故选：B.2．（5分）（2023·全国·高一专题练习）一批瓶装纯净水，每瓶标注的净含量是550ml，

现从中随机抽取10瓶，测得各瓶的净含量为（单位：ml）：542548549551549550551555550557若用频率分布估计总体分布，则该批纯净水每瓶净含量在547.5ml~552.5ml之间的概率估计为（）A．0.3B．0.5C

．0.6D．0.7【解题思路】抽取10瓶水中净含量在547.5ml−552.5ml之间的瓶数，借助于频率与频数的关系计算频率，用频率估计概率，即可求解.【解答过程】从数据可知，在随机抽取的10瓶水中，净含量在547.5ml−552.5ml之间

的瓶数为7，频率为710=0.7，由频率分布估计总体分布，可知该批纯净水中，净含量在547.5ml−552.5ml之间的概率为0.7.故选：D.3．（5分）（2023·全国·高一专题练习）在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，则下列说法正确的是（）

A．“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件B．“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”是互斥事件C．“恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，也是对立事件D．“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是

对立事件【解题思路】根据互斥事件和对立事件的定义，结合题意逐项检验即可求解.【解答过程】“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”可以同时发生，故不是互斥事件，故A错误；“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”可以同时发生，故不是互斥事件

，故B错误；“恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，不是对立事件，故C错误；“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件，故D正确.故选：D.4．（5分）（2022春·陕西延安·高二期中）下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（

）A．甲､乙两运动员各射击一次，事件𝑀“甲射中10环”，事件𝑁“乙射中9环”B．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名学生参加演讲比赛，事件𝑀“从甲组中选出1名男生”，事件𝑁“从乙组中选出1名女生”C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次有放回

地摸两球，事件𝑀“第一次摸到白球”，事件𝑁"第二次摸到白球”D．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件𝑀“第一次摸到白球”，事件𝑁“第二次摸到黑球”【解题思路】根据事件的特点结合独立事件的定义对选项一一验证即可.【解答过程

】对于选项A：甲、乙两运动员各射击一次，甲的成绩与乙的成绩互不影响，故事件𝑀与事件𝑁为相互独立事件；对于选项B：从甲､乙两组中各选1名学生参加演讲比赛，甲的选择与乙的选择互不影响，故事件𝑀与事件𝑁为相互独立事件；对于选项C：依次有放回地摸两球，则第一次的结果与第二次的结果互不影响

，故事件𝑀与事件𝑁为相互独立事件；对于选项D：依次不放回地摸两球，则第一次的结果会影响第二次的结果，故事件𝑀与事件𝑁不为相互独立事件；故选：D.5．（5分）（2023·福建泉州·统考三模）某运动员每次射击击中目标

的概率均相等，若三次射击中，至少有一次击中目标的概率为6364，则射击一次，击中目标的概率为（）A．78B．34C．14D．18【解题思路】设该运动员射击一次，击中目标的概率为𝑝，利用独立事件和对立事件的概率公式可得出关于

𝑝的等式，解之即可.【解答过程】设该运动员射击一次，击中目标的概率为𝑝，若该运动员三次射击中，至少有一次击中目标的概率为1−(1−𝑝)3=6364，解得𝑝=34.故选：B.6．（5分）（2023·全国·高一专题练习）

欧几里得大约生活在公元前330~前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作.若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（）A．12B．13C．14D．56【解题思路】运用列举法解决古典概型.【解答过程

】记4部书籍分别为a、b、c、d，则从从4部书籍中任意抽取2部的基本事件为𝑎𝑏、𝑎𝑐、𝑎𝑑、𝑏𝑐、𝑏𝑑、𝑐𝑑共有6个，抽到《几何原本》的基本事件为𝑎𝑏、𝑎𝑐、𝑎𝑑共有3个，所以抽到《几何原本》的概率为：𝑃=36=12.故选：A.7．（5分）（2022·全国·高

一专题练习）某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生0∼9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手

术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）A．0.9B．0.8C．0.7D

．0.6【解题思路】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有8组，即求.【解答过程】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有：812,832,569,

683,271,989,537,925,故8个，故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为810=0.8.故选：B.8．（5分）（2023·全国·高一专题练习）袋子中有5个质地完全相同的球，其中2个白球，3个是红球，从中不放回地依次随机摸出两个球，记𝐴=第一次摸到红球”，𝐵=“第二次摸到

红球”，则以下说法正确的是（）A．𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴∩𝐵)B．𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴∪𝐵)C．𝑃(𝐴)=𝑃(𝐵)D．𝑃(𝐴∪𝐵)+𝑃(𝐴∩𝐵)<1【解题思路】利用古典概型概

率公式求出𝑃(𝐴),𝑃(𝐵),𝑃(𝐴∩𝐵)，即可判断A、C；利用公式𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)求出𝑃(𝐴∪𝐵)，即可判断B、D.【解答过程】𝑃(𝐴)=35,

𝑃(𝐵)=3×45×4=35，则𝑃(𝐴)=𝑃(𝐵)，故C正确；𝑃(𝐴∩𝐵)=3×25×4=310，则𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)≠𝑃(𝐴∩𝐵)，故A错误；𝑃(𝐴∪𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴∩𝐵)=35+35−310=910，则

𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐵)≠𝑃(𝐴∪𝐵)，故B错误；𝑃(𝐴∪𝐵)+𝑃(𝐴∩𝐵)=310+910=65>1，故D错误，故选：C.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022·高一单元测试）下列说法中正确的有（）A．笼子

中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出．记录剩下动物的脚数，则该试验的样本空间Ω={0,2,4,6,8}B．从3双鞋子中任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个事件是必然事件C．先后抛掷两枚质

地均匀的硬币，观察正反面出现的情况，样本空间Ω={(𝑍,𝑍),(𝑍,𝐹),(𝐹,𝑍),(𝐹,𝐹)}D．抛掷骰子100次，掷得的点数是6的结果有14次，则掷得1点的概率是750【解题思路】对于A，列举法求解

判断；对于B，由必然事件的定义判断；对于C，列举法求解判断；对于D，由概率的定义判断．【解答过程】对于A，最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0．对于B，从3双鞋子中

，任取4只，至少有两只鞋是一双，所以这个事件是必然事件；对于C，考虑到有先后顺序，可以用(𝑍,𝐹)表示第1枚硬币出现正面，第2枚硬币出现反面，其他样本点用类似的方法表示，则样本空间为Ω={(𝑍,𝑍),(𝑍,

𝐹),(𝐹,𝑍),(𝐹,𝐹)}．对于D，概率是客观存在的，是一个确定值，为16．故选：ABC.10．（5分）（2023春·江苏南京·高二开学考试）豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分

值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（）A．m的值是32%B．随机抽取100名观众，则一定有2

4人评价五星C．随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56D．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件【解题思路】对A选项，由题意参与评价

的观众中有97.6%的评价不低于二星，则二星及以上的频率加和为97.6%，即可求解；对B选项，由频率只能推出可能有24人符合条件；对C选项，将评价为三星和五星的频率加和即可；对D选项，“至多1人评价五星”即为无人评价或1人评价

五星，依据互斥事件与对立事件定义判断即可.【解答过程】对A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则24.0%+32.9%+𝑚+8.7%=97.6%，所以𝑚=32%，故A正确；对B选项，随机抽取100名观众，可能

有100×24.0%=24人评价五星，但不是一定的，故B错误；对C选项，由A选项，评价是三星或五星的概率约为32%+24.0%=56%，故C正确；对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件

“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确；故选：ACD.11．（5分）（2023春·安徽·高一开学考试）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以𝐴1,𝐴

2表示由甲罐中取出的球是红球､白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以𝐵表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（）A．事件𝐴1,𝐴2互斥B．事件𝐵与事件𝐴1相互独立C．𝑃(𝐴1𝐵)=12D．𝑃(𝐵)=2330【解题思路】先画出树状图，由𝐴1，𝐴2不可

能同时发生可判断A；求得𝑃(𝐴1)，𝑃(𝐴2)，𝑃(𝐵)，𝑃(𝐴1𝐵)的值，可判断C、D；利用𝑃(𝐴1𝐵)≠𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵)可判断B．【解答过程】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数，𝐴1,𝐴2不可能同时发生，故彼此互

斥，故A正确；𝑃(𝐴1)=1830=35，𝑃(𝐴2)=1230=25，𝑃(𝐵)=15+830=2330，𝑃(𝐴1𝐵)=1530=12，故C正确，D正确；因为𝑃(𝐴1𝐵)=12，𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵)=2330×35=2350，则𝑃(𝐴1𝐵)≠�

�(𝐴1)𝑃(𝐵)，则事件𝐵与事件𝐴1不独立，故B错误，故选：ACD．12．（5分）（2023·全国·高一专题练习）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽

取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与

广场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是（）A．应从第3，4，5组中分别抽取3人、2人、1人B．第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为815C．第5组志愿者被抽中的概率为13D．第3

组志愿者至少有一人被抽中的概率为23【解题思路】根据分层抽样得定义即可判断A；利用列举法结合古典概型计算即可判断ABC.【解答过程】第3组的人数有0.060.06+0.04+0.02×6=3人，第4组的人数有0.0

40.06+0.04+0.02×6=2人，第5组的人数有0.020.06+0.04+0.02×6=1人，故A正确；设第3组的人分别为𝑎,𝑏,𝑐，第4组的人分别为𝑑,𝑒，第5组的人分别为𝑓，则6人中随机抽取2人有(𝑎,𝑏),(𝑎

,𝑐),(𝑎,𝑑),(𝑎,𝑒),(𝑎,𝑓),(𝑏,𝑐),(𝑏,𝑒),(𝑏,𝑑),(𝑏,𝑓)，(𝑐,𝑑),(𝑐,𝑒),(𝑐,𝑓),(𝑑,𝑒),(𝑑,𝑓),(𝑒,�

�)共15种抽法，其中第4组志愿者恰有一人被抽中有8种，则其概率为815，故B正确；第5组志愿者被抽中有5种，其概率为515=13，故C正确；第3组志愿者至少有一人被抽中有12种，其概率为1215=45，故D错误.故选：

ABC.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中

装有形状、大小、质地完全相同的50个黑球和50个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若100人中有52人

回答了“是”，48人回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以100人的频率估计概率）54%．【解题思路】计算出摸到黑球且回答“是”的人数，可求得摸到白球且回答“是”的人数，即可求得结果.【解答过程】由题

意可知，每名调查者从袋子中抽到1个白球或黑球的概率均为0.5，所以，100人中回答第一个问题的人数为100×0.5=50，则另外50人回答了第二个问题，在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率为12，即摸到黑球且回答“是”的人数为50×12=25，则摸到白球且回答“是”的人数为52−25=27，所以

，问题二“考试是否做过弊”且回答“是”的百分比为2750=0.54=54%.故答案为：54%.14．（5分）已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率是15.且𝑃(𝐴)=3𝑃(𝐵)，则𝑃(𝐴)=25.【解题思路】根据题意求出事件A与B有一个发生

的概率，结合𝑃(𝐴)=3𝑃(𝐵)，求得𝑃(𝐴)，即可求得答案.【解答过程】由题意事件A与B互斥，它们都不发生的概率是15，则𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)=1−15=45，结合𝑃(𝐴)=3𝑃(𝐵)，可得4𝑃(𝐵)=45，即𝑃(𝐵)=

15，可得𝑃(𝐴)=35，故𝑃(𝐴)=1−𝑃(𝐴)=25，故答案为：25.15．（5分）（2023·全国·高一专题练习）在公元前100年左右，我国古代数学著作《周髀算经》中有这样的表述：“髀者股也，正晷者勾也.”并且指出：“若求斜至日者

，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得斜至日”，这就是我们熟知的勾股定理，勾股数组是指满足𝑎2+𝑏2=𝑐2的正整数组(𝑎,𝑏,𝑐).现将一枚质地均匀的骰子抛掷三次，则三次向上的点数恰好组成勾股数组的概率是136

.【解题思路】利用古典概型的概率求解.【解答过程】解：将一枚质地均匀的骰子抛掷三次，基本事件总数为𝑛=63=216，三次向上的点数恰好组成勾股数组包含的基本事件为：3×2×1=6，所以三次向上的点数恰好组成勾股数组的概率是𝑝=6216=136，故答

案为：136.16．（5分）（2023秋·云南德宏·高三期末）高三某位同学准备参加物理、化学、政治科目的等级考．已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达𝐴+的概率分别为23、34、45，假定这三门科目考试成绩的结果互

不影响，那么这位同学恰好得2个𝐴+的概率是1330．【解题思路】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达𝐴+的事件分别为𝐴,𝐵,𝐶，则𝑃(𝐴)=23，𝑃(𝐵)=34，𝑃(𝐶)=45，这位考生至少得2个𝐴+的概率：𝑃=𝑃(�

�𝐵𝐶̅)+𝑃(𝐴𝐵̅𝐶)+𝑃(𝐴̅𝐵𝐶)．【解答过程】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达𝐴+的事件分别为𝐴,𝐵,𝐶，以为这位同学在物理、化学、政治科目考试中达𝐴+的概率分别为23、34、45，所以𝑃(�

�)=23，𝑃(𝐵)=34，𝑃(𝐶)=45，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个𝐴+的概率：𝑃=𝑃(𝐴𝐵𝐶̅)+𝑃(𝐴𝐵̅𝐶)+𝑃(𝐴̅𝐵𝐶)=23×34×15+23×14×45+13×

34×45=1330．故答案为：1330．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022·高二课时练习）受精的新鲜鸡蛋在适宜的温度下平均需要21天孵化出小鸡，对于1个鸡蛋来说，它可能20天孵出，也可能21天孵出，……，下表是不同

孵化天数的鸡蛋数的记录：孵化天数<2020212223>23鸡蛋数04982093380(1)求孵化天数在21天的经验概率；(2)求孵化天数超过21天的频率．【解题思路】（1）利用21天孵化的频数除以总数，求出频率即为经验概率；（2）求出超过

21天孵化的鸡蛋个数，除以总数，即为频率.【解答过程】(1)由表格数据可以得到：一共有49+820+93+38=1000个鸡蛋，其中在21天孵化的鸡蛋数为820个，故孵化天数在21天的经验概率就是频率，故答案为8201000=4150；(2)孵

化天数超过21天的鸡蛋个数为93+38=131，故孵化天数超过21天的频率为1311000.18．（12分）（2022·全国·高一专题练习）箱子里有3双不同的手套，从中随机拿出2只，记事件𝐴={拿出的手套不能配对}，事件𝐵={拿出的都是同一

只手上的手套}，事件𝐶={拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对}．(1)写出该试验的样本空间；(2)用集合的形式表示事件𝐴、事件𝐵、事件𝐶；(3)说出事件𝐴、事件𝐵、事件𝐶的关系．【解题思路】（1）根据已知条件，结合列举法，即可求解

．（2）根据事件𝐴、事件𝐵、事件𝐶的含义，即可直接求解．（3）根据事件𝐴、事件𝐵、事件𝐶的关系，即可直接求解．【解答过程】（1）设3双手套为𝑎1𝑎2，𝑏1𝑏2，𝑐1𝑐2，其中𝑎1，𝑏1，

𝑐1代表左手手套，𝑎2，𝑏2，𝑐2代表右手手套，样本空间为Ω={(𝑎1𝑎2)，(𝑎1𝑏2)，(𝑎1𝑐2)，(𝑏1𝑎2)，(𝑏1𝑏2)，(𝑏1𝑐2)，(𝑐1𝑎2)，(𝑐1𝑏2)，(𝑐1𝑐2)，(𝑎1𝑏1)，(𝑎1𝑐1)，(𝑏1𝑐1)，

(𝑎2𝑏2)，(𝑎2𝑐2)，(𝑏2𝑐2)}．（2）𝐴={(𝑎1𝑏2)，(𝑎1𝑐2)，(𝑏1𝑎2)，(𝑏1𝑐2)，(𝑐1𝑎2)，(𝑐1𝑏2)，(𝑎1𝑏1)，(𝑎1𝑐1)，(𝑏1𝑐1)，(𝑎2𝑏2)，(𝑎2𝑐2

)，(𝑏2𝑐2)}，𝐵={(𝑎1𝑏1)，(𝑎1𝑐1)，(𝑏1𝑐1)，(𝑎2𝑏2)，(𝑎2𝑐2)，(𝑏2𝑐2)}，𝐶={(𝑎1𝑏2)，(𝑎1𝑐2)，(𝑏1𝑎2)，(𝑏1𝑐2)，(𝑐1𝑏2)，(𝑐1𝑎2)}．（3）根据（2）知𝐴⊇𝐵，

𝐴⊇𝐶，𝐵∪𝐶=𝐴．19．（12分）（2022·全国·高三专题练习）掷一个骰子，下列事件：𝐴={出现奇数点}，𝐵={出现偶数点}，𝐶={出现点数小于3}，𝐷={出现点数大于2}，𝐸={出现点数是3的倍数}．求：(1)𝐴∩𝐵，�

�∩𝐶；(2)𝐴∪𝐵，𝐵∪𝐶；(3)记𝐻是事件𝐻的对立事件，求𝐷，𝐴∩𝐶，𝐵∪𝐶，𝐷∪𝐸．【解题思路】（1）根据交事件（积事件）的概念求解即可；（2）根据并事件（和事件）的概念求解即可；（3）根据对立事件与交事件、并事件运算求解即可.【

解答过程】（1）∵𝐴={出现奇数点}={1,3,5}，𝐵={出现偶数点}={2,4,6}，𝐶={出现点数小于3}={1,2}，∴𝐴∩𝐵=∅，𝐵∩𝐶={2}.（2）∵𝐴={出现奇数点}={1,3,5}，𝐵={出现偶数点}=

{2,4,6}，𝐶={出现点数小于3}={1,2}，∴𝐴∪𝐵={1,2,3,4,5,6}，𝐵∪𝐶={1,2,4,6}．（3）∵𝐴={出现奇数点}={1,3,5}，𝐵={出现偶数点}={2,4,6}，𝐶={出现点数小于3}={1,

2}，𝐷={出现点数大于2}={3,4,5,6}，𝐸={出现点数是3的倍数}={3,6}.∴𝐴={2,4,6}，𝐵={1,3,5}，𝐸={1,2,4,5}∴𝐷={1,2}，𝐴∩𝐶={2}，𝐵∪𝐶={1,2,3,5}，𝐷∪𝐸={1,2,4,5}．20．

（12分）（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6．如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：(1)甲复原三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次复原中至少有一

人成功的概率．【解题思路】（1）“甲第三次才成功”为事件𝐴1𝐴2𝐴3，故第三次才成功的概率𝑃(𝐴1𝐴2𝐴3)=𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2)𝑃(𝐴3)，运算求得结果．（2）“甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件𝐶，由题

意可得𝑃(𝐶)=1−𝑃(𝐴1⋅𝐵1)，计算即可．【解答过程】（1）记“甲第𝑖次复原成功”为事件𝐴𝑖，“乙第𝑖次复原成功”为事件𝐵𝑖，依题意，𝑃(𝐴𝑖)=0.8，𝑃(𝐵𝑖)=0.6

．“甲第三次才成功”为事件𝐴1𝐴2𝐴3，且三次复原过程相互独立，𝑃(𝐴1𝐴2𝐴3)=𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2)𝑃(𝐴3)=0.2×0.2×0.8=0.032．（2）“甲、乙两人在第一次复

原中至少有一人成功”为事件𝐶．所以𝑃(𝐶)=1−𝑃(𝐴1⋅𝐵1)=1−𝑃(𝐴1)⋅𝑃(𝐵1)=1−0.2×0.4=0.92．21．（12分）（2022秋·甘肃张掖·高二开学考试）甲、乙两

人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以𝐴表示和为6的事件，写出事件𝐴的样本点；(2)现连玩三次，若以𝐵表示甲至少赢一次的事件，𝐶表示乙至少赢两次的事件，试问：𝐵与𝐶是否为互斥事件？为什

么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．【解题思路】（1）用𝑥,𝑦表示甲、乙各出的手指头数，则(𝑥,𝑦)表示这个实验的一个样本点，用列举法即得；（2）根据互斥事件的概念即得；（3）利用古典概型概率公式分别

计算甲赢,乙赢概率即得.【解答过程】（1）用𝑥,𝑦表示甲、乙各出的手指头数，则(𝑥,𝑦)表示这个实验的一个样本点，所以该实验的样本空间为𝑆={(𝑥,𝑦)|𝑥∈N∗,𝑦∈N∗,1≤𝑥≤5,1≤𝑦≤5}，共有25个样本点，事件𝐴包含的样本点

共5个，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)；（2）𝐵与𝐶不是互斥事件，因为事件𝐵与𝐶可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意，所以事件𝐵与𝐶不是互斥事件．（3）这种游戏规则不公平．由题可知和为偶数的样本点有(1,1),(1,3),(1,5)

,(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)共13个，所以甲赢的概率为1325，所以乙赢的概率为1225，所以这种游戏规则不公平．22．（12分）（2023秋·江西赣州·高一期末）2022年秋季学期，全国各省（区、市）

已全面实施新课程新教材.为了加快新课程新教材的实施，促进教考有效衔接，某市教育部门组织该市全体新高一教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分）.现从该市参加测试的数学老师中抽取了120名

老师并统计他们的测试分数，将成绩分成六组：第一组[70,75)，第二组[75,80)，…，第六组[95,100]，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求𝑎的值以及这120人中测试成绩在[85,90)的人数；(2)若要从第四、五、六组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，并在这6

人中再抽取2人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率.【解题思路】（1）由所有频率之和为1，即可求出a的值.再利用频率×总数=频数，即可求出测试成绩在[85,90)的人数.（2）分别求出分层抽样第

三、四、五组的人数，再利用列举法即可求出答案.【解答过程】（1）由题意得5×(0.01+0.06+0.07+𝑎+0.02+0.01)=1，解得𝑎=0.03，因此这120人中测试成绩在[85,90)的人数为120×0.03×5=18（人）；（2

）因为第四组的频率为5×0.03=0.15，第五组的频率为5×0.02=0.10，第六组的频率为5×0.01=0.05，所以从第四、五、六组老师中用分层抽样的方法抽取6人时抽取的人数依次为：6×0.150.15+0.10+0.05=3人，6×0.100.15+0.10

+0.05=2人，6×0.050.15+0.10+0.05=1人，设第四组抽取的3人为𝐴1，𝐴2，𝐴3，第五组抽取的2人为𝐵1，𝐵2，第六组抽取的1人为𝐶,则从这6人中抽取2人的所有情况如下：𝐴1𝐴2，𝐴1𝐴3，

𝐴2𝐴3，𝐴1𝐵1，𝐴1𝐵2，𝐴2𝐵1，𝐴2𝐵2，𝐴3𝐵1，𝐴3𝐵2，𝐴1𝐶，𝐴2𝐶，𝐴3𝐶，𝐵1𝐵2，𝐵1𝐶，𝐵2𝐶，共15种，其中第四组至少有1名老师被抽到的有：𝐴1𝐴2，𝐴1𝐴3，𝐴1𝐵

1，𝐴1𝐵2，𝐴1𝐶，𝐴2𝐴3，𝐴2𝐵1，𝐴2𝐵2，𝐴2𝐶，𝐴3𝐵1，𝐴3𝐵2，𝐴3𝐶，共12种.所以第四组至少有1名老师被抽到的概率为1215=45.