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专练54二项分布、超几何分布与正态分布授课提示：对应学生用书113页[基础强化]一、选择题1．随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，则μ＝()A．6B．5C．4D．3答案：C解析：由正态分布的

特点可知，P(ξ>6)＝1－P(ξ<2)－P(2<ξ<6)＝0.2，∴μ＝2＋62＝4.2．已知X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则E(Y)和D(Y)分别是()A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6

D．6和5.6答案：B解析：∵X～B(10，0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，又X＋Y＝8，∴Y＝8－X，∴E(Y)＝8－E(X)＝8－6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝2.4.3

．设随机变量X～N(2，4)，若P(X>a＋2)＝P(X<2a－3)，则实数a的值为()A．1B．53C．5D．9答案：B解析：∵P(X>a＋2)＝P(X<2a－3)，∴a＋2＋2a－32＝2，得a＝53.4．[2024·

山东威海模拟]设随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝1.6，D(ξ)＝1.28，则p＝()A．15B．14C．13D．25答案：A解析：∵随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝1.6，D(ξ)＝1.28，∴np＝1.6np（1－p）＝1.28，解得

n＝8p＝15.故选A.5．[2024·浙江温州适应性考试(一)]一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个红球，小明从中无放回地摸出3个小球，摸到一个白球记1分，摸到一个红球记2分，则小明总得分ξ的数学期望等于()A．3.8分B．4分C

．4.2分D．4.4分答案：C解析：由题意可得，小明总得分ξ的所有可能取值为3，4，5，P(ξ＝3)＝C33C35＝110，P(ξ＝4)＝C23C12C35＝610＝35，P(ξ＝5)＝C13C22C35＝310.所以总得分ξ的数学期望E(ξ)＝3×110＋4×35

＋5×310＝4.2(分).故选C.6．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝()A.0.7

B．0.6C．0.4D．0.3答案：B解析：由题意得X～B(10，p)，则D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，得p＝0.4或p＝0.6，又P(X＝4)<P(X＝6)，∴C410p4(1－p)6<C610p6(1－p)4，∴

(1－p)2<p2，∴p>0.5，∴p＝0.6.7．设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)≥P

(Y≤t)D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)答案：C解析：由图可知，μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A不正确；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B不正确；当t为任意

正数时，由图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D不正确．8．(多选)某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为23，

游览B，C和D的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立，用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的是()A．游客至多游览一个景点的概率14B．P(X＝2)＝38C．P(X＝4)＝124D．E(X)＝136答案：ABD解析：记该游客游览i个景点为事件Ai，i＝0，1

，则P(A0)＝1－231－121－12(1－12)＝124，P(A1)＝231－123＋1－23C13·12·1－122＝524，所以游客至多游览一个景点的概率为P(A0)＋P(A1)＝12

4＋524＝14，故A正确；随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4；P(X＝0)＝P(A0)＝124，P(X＝1)＝P(A1)＝524，P(X＝2)＝23×C13×12×1－122＋1－23×C23×122×1－12＝38，故B正确；P(X＝3)＝2

3×C23×122×1－12＋1－23×C33×123＝724，P(X＝4)＝23×123＝112，故C错误；数学期望为：E(X)＝0×124＋1×524＋2×924＋3×724＋4×224＝136，故D正确，故选

ABD.9．(多选)[2024·新课标Ⅰ卷]随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x－＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩

收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x－，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.8413)()A．P(X>2)>0.2B．P(X>2)<0.5C．P(Y>2)>0.5D．P(Y>2)<0.8答案：BC

解析：由题可得X～N(1.8，0.12)，Y～N(2.1，0.12)，所以P(X>2)＝P(X>μ＋2σ)<P(X>μ＋σ)≈1－0.8413＝0.1587<0.2，故A错误，B正确；P(Y>2)＝P(Y>μ1－σ1)≈0.8413>0.5，故C正确，

D错误．二、填空题10．已知随机变量X～B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________．答案：13解析：∵np＝30，np（1－p）＝20，∴1－p＝23，∴p＝13.11．随机变量X～N(3，σ2)，且P(0<X<3)＝0.35，则P(X

>6)＝________．答案：0.15解析：∵X～N(3，σ2)，∴P(X<3)＝0.5.又P(0<X<3)＝0.35，∴P(X<0)＝0.5－0.35＝0.15，∴P(X>6)＝P(X<0)＝0.15.12．在我校高三高考调研中，数学成绩X～N(90

，σ2)(σ>0)，统计结果显示P(60≤X≤120)＝0.8，假设我校参加此次考试的有780人，那么估计此次考试中，我校成绩高于120分的有________人．答案：78解析：∵X～N(90，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝90对

称，又P(60≤X≤120)＝0.8，∴P(X>120)＝1－0.82＝0.1，∴估计高于120分的有780×0.1＝78人．[能力提升]13．(多选)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法

”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X(单位：cm)服从正态分布，其密度函数为f(x)＝1102π·e－（x－100）2200，x∈(

－∞，＋∞)，则下列说法正确的是()A．该地水稻的平均株高为100cmB．该地水稻株高的方差为10C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大D．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)之间的概率

一样大答案：AC解析：正态分布密度函数为f(x)＝12πσ·e－（x－μ）22σ2，x∈(－∞，＋∞)，由题意知μ＝100，σ2＝100，所以该地水稻的平均株高为100cm，方差为100，故A正确；B错误；因为正态分布密度曲线关于直线x

＝100对称，所以P(X>120)＝P(X<80)>P(X<70)，故C正确；P(100<X<110)＝P(90<X<100)>P(80<X<90)，故D错误．故选AC.14．(多选)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅

就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是()A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为518B．四人去了同一餐厅就餐的概率为11296C．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为25216D．四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为23答案：ACD解析：四人去餐厅就餐的情

况共有64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有A46种，则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为A4664＝518，故A正确；同理，四人去了同一餐厅就餐的概率为664＝1216，故B错误；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为C24×5264＝25216，故C正确；设四人中去第一餐厅就餐的人

数为ξ，因为四人去第一餐厅就餐的概率都为16，则ξ～B4，16所以E(ξ)＝4×16＝23，故D正确．故选ACD.15．2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2024年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行

车辆的数量ξ服从正态分布ξ～N(1000，σ2)，若P(ξ>1200)＝a，P(800<ξ<1000)＝b，则1a＋9b的最小值为________．答案：32解析：由ξ～N(1000，σ2)，P(ξ>1200)＝a，P(800<ξ<1000)

＝b得a＝0.5－b，所以a＋b＝12，则1a＋9b＝21a＋9b(a＋b)＝2(10＋ba＋9ab)≥2(10＋2ba·9ab)＝32，当且仅当b＝3a，a＋b＝12，即a＝18b＝38时取等号，所以1a＋9b的

最小值为32.16．一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色有2个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是________；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望E(X)＝_____

___．答案：31065解析：现从5个小球中任意取出3个小球，基本事件总数n＝C35＝10，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数m＝C22C13＝3，恰有2个小球颜色相同的概率是p＝mn＝310.X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝C33

C35＝110，P(X＝1)＝C12C23C35＝610，P(X＝2)＝C22C13C35＝310，所以E(X)＝0×110＋1×610＋2×310＝65.