【文档说明】重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期11月阶段性检测(二)数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.471 MB，由envi的店铺上传

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西南大学附中高2025届高三上11月阶段性检测(二)数学试题(满分:150分;考试时间:120分钟)2024年11月注意事项:1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂;

答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写;必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回(试题卷学生保存，以备评讲).一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()22log122530AxxBxxx=+=−−∣，∣，则AB=（）A.132xx−B.{13}xx−∣C.132xx−

D.3xx∣【答案】C【解析】【分析】先分别求解集合A和集合B，再找出它们的公共部分.【详解】由22log(1)2log4x+=可得10x+且14x+.解10x+得1x−；解14x+得3x

.所以集合{|13}Axx=−.先对2253xx−−因式分解，得到(21)(3)0xx+−.解得132x−.所以集合1{|3}2Bxx=−.集合{|13}Axx=−，集合1{|3}2Bxx=−.那么1{|3}2ABxx=−.故选：C.2.命题0ππ:,22

px−，使得0sin1x=，则命题p的否定为（）A.0ππ,22x−，使0sin1xB.ππ,22x−，使sin1xC.0ππ,22x−，使0sin1xD.ππ,22x−，使sin1x【答案】B【解析】

【分析】由存在量词命题的否定可得答案.【详解】命题0ππ:,22px−，使得0sin1x=的否定为：ππ,22x−，使sin1x.故选：B3.记nS为等比数列na的前n项和.已

知148,1aa==−，则8S=（）A.8516B.8516−C.25516D.25516−【答案】A【解析】【分析】由等比数列通项公式求出公比，再由求和公式得解.【详解】由等比数列na可知，334181aaqq===−，解得12q=−，所以()88118118525611632aqSq

−−===−，故选：A4.已知函数()lneexxxfx−=−，则函数的图像可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数奇偶性，零点，及12f正负性可得答案.【详解】注意到函数定义域为()()0

0,∪,−+，()()0lnlneeeexxxxxxfxfx−−−+−=+=−−，则()fx为奇函数，故BD错误；又注意到()10f=，11221ln1202eef−=−，则A正确，C错误.故选：A5.已知椭圆()221222:10xyCabFFab+=，，分别为

椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且122PFPF=，若1260FPF=，则椭圆离心率为（）A.13B.12C.53D.33【答案】D【解析】【分析】设2PFx=，后由题及余弦定理可得123FFx=，即可得答案.

【详解】设2PFx=,则12PFx=，因1260FPF=，由余弦定理：2222222122121124233FFPFPFPFPFxxxxFFx=+−=+−==，则1223aPFPFx=+=，1223FFcx

==，则233233ccxeaax====.故选：D6.已知π10cos610+=，则2πcos23−=（）A.35-B.35C.45−D.45【答案】D【解析】【分析】由诱导公式及二倍角公式即可求解.【详解】ππππcossinsin6623

+=−+−=−−，所以π10sin310−=−，所以222ππ104cos212sin1233105−=−−=−−=，故选：D.7

.过点()0,3P−作圆()222120Rxmyxmm+−−=的两条切线，切点分别为,AB两点，则cosAPB=（）A.19−B.29−C.19D.29【答案】A【解析】【分析】分析可知2m=，再根

据切线性质可得2coscos3APCBPC==，结合倍角公式运算求解.【详解】由题意可知2m=，圆22221220xyx+−−=可化为22(3)10xy−+=，可知圆心为()3,0，记为C点，半径10r=，可得2

232,22CPAPCPAC==−=，则222coscos332APCBPC===，所以2221cos2cos12139APBAPC=−=−=−.故选：A.8.已知正三棱锥的高为h，且各顶点都在同一球面上.若该球的体积为32π3，则

三棱锥体积的最大值是（）A.32327B.64327C.128327D.256327【答案】B【解析】【分析】由外接球的体积得出球半径，再由正三棱锥得出体积，利用导数求最值即可.【详解】如图，设H为底面三角形的中心，PH为三棱锥的高，设为h，由题意得，3432ππ33VR==球，解得2R=，

该三棱锥为正三棱锥，2332HCBC=,()2234234BChhh=−−=−+，()2321334344PABCVBChhh−==−+()04h，令()()()32240438fhhhhfhhh=−+=−+，，由()0fh=，可得83h

=或0h=（舍去），当803x，时，()0fh，当843x，时，()0fh，()fh在803，单调递增，在843，单调递减，()8256327maxfhf==，64327

maxV=.故选：B二、多选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正方体1111ABCDABCD−，则（）A.直线1AB与11BD所成的角为60oB.直线1AA与1BD所成的角为45

C.直线1AC与平面1BCD所成的角为90D.直线1BD与平面ABCD所成的角为45【答案】AC【解析】【分析】对于A，B，利用向量法，设出正方体棱长，建立空间直角坐标系，求出两直线对应的向量，根据向量的夹角公式cos||||abab=求出向量夹角，再根据异面直线所

成角与向量夹角的关系得到结果.对于C，D，先求出平面的法向量，再根据直线的方向向量与法向量的夹角，结合直线与平面所成角和它们夹角的关系求出结果.【详解】设正方体棱长为1，以D为原点，分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系.则1(1

,0,1)A，(1,1,0)B，1(1,1,1)B，1(0,0,1)D.所以1(1,1,0)(1,0,1)(0,1,1)AB=−=−，11(0,0,1)(1,1,1)(1,1,0)BD=−=−−.设直线1AB与11BD所成的

角为，根据向量的夹角公式111111cos||||ABBDABBD=.先计算1110(1)1(1)(1)01ABBD=−+−+−=−，2221||01(1)2AB=++−=，22211||(1)(1)02BD=−+−+=.则11cos22

2−==−，因为异面直线所成角的范围是π(0,]2，所以直线1AB与11BD所成的角为60=.故A正确.由前面建立的坐标系可知(1,0,0)A，1(1,0,1)A，1(1,1,1)B，(0,0,0)D.所以1(1,0,1)(1,0,0)(0,0,1)AA=−=，1(0,0

,0)(1,1,1)(1,1,1)BD=−=−−−.设直线1AA与1BD所成的角为，根据向量的夹角公式1111cos||||AABDAABD=.先计算110(1)0(1)1(1)1AABD=−+−+−=−，1||1AA=，222

1||(1)(1)(1)3BD=−+−+−=.则13cos313−==−，因为异面直线所成角的范围是π(0,]2，所以直线1AA与1BD所成的角不是45.故B错误.由前面建立的坐标系可知1(1,0,1)A，(0,1,0)C，(1,1,0)B，(0,0,0)D，1(0,1,1)C.所以1(0,

1,0)(1,0,1)(1,1,1)AC=−=−−.设平面1BCD法向量为(,,)nxyz=，因为1(0,1,1)(1,1,0)(1,0,1)BC=−=−，(0,0,0)(1,1,0)(1,1,0)BD=−=−−.由100nBCnBD

==，即00xzxy−+=−−=，令1x=，则1y=−，1z=，所以(1,1,1)n=−r.设直线1AC与平面1BCD所成角为，则11||sin||||ACnACn=.先计算1111(1)(1)13ACn

=−+−+−=−，2221||(1)1(1)3AC=−++−=，222||1(1)13n=+−+=.则|3|sin133−==，所以直线1AC与平面1BCD所成的角为90=.故C正确.由前面建立的坐标系可知(1,1,0)B，1(0

,0,1)D.所以1(0,0,1)(1,1,0)(1,1,1)BD=−=−−.平面ABCD的法向量为(0,0,1)k=.的的设直线1BD与平面ABCD所成的角为，则11||sin||||BDkBDk

=.先计算11BDk=，2221||(1)(1)13BD=−+−+=，||1k=.则13sin33==，所以直线1BD与平面ABCD所成的角不是45.故D错误.故选：AC.10.已知函数()()πsin

0,0,2fxAxA=+的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.π3=B.函数()fx的图象关于1112x=对称C.函数()fx在11,62上的值域为3,3−D.要得到函数()()cosgxAx=+的图象，只需将函数()fx的图象向

左平移14个单位【答案】ACD【解析】【分析】根据函数图象求函数()fx的解析式，即可得到选项A正确；利用11212f可知选项B错误；根据11,62x可得π2π4π2π,333x+，结合函数的单调性可知选项C正确；利用函数图象

平移的原则可知选项D正确.【详解】设函数的最小正周期为T，由图可知，2A=，11143124T=−=，故1T=.∵2πT=，∴2π=.∵函数图象最高点为1,212，∴1π2sin2126f=+=，∴ππ2π,6

2kk+=+Z，故π2π,3kk=+Z，∵π2，∴π3=，选项A正确.由A可得()π2sin2π3fxx=+，1111ππ2sin121263f=+=，故直线1112x=不是函数()fx的对称轴，选项B

错误.当11,62x时，π2π4π2π,333x+，π33sin2π,322x+−，π2sin2π3,33x+−，故函数()fx在11,

62上的值域为3,3−，选项C正确.由题意得，()π2cos23gxx=+，将函数()fx的图象向左平移14个单位后的函数表达式为1ππππ2sin2π2sin2π2cos2π43323yxxx=++=++=+

，选项D正确.故选：ACD.11.已知函数()elnxfxxaxax=++有零点，则a可以取到的整数值有（）A.-5B.-3C.-1D.2【答案】ABD【解析】【分析】利用函数零点的意义可得eln(e0)xxxax+=

，换元构造并分离参数构造函数ln()tgtt=，利用导数求出其值域即可得解.【详解】函数()elnxfxxaxax=++定义域为(0,)+，由()fx有零点，得方程eln(e0)xxxax+=有正数解，令e0xxt=，即ln0tat

+=有正数解，显然0a，方程化为1lntat−=令函数ln(),0tgttt=，求导得21ln()tgtt−=，当0et时，()0gt，当te时，()0gt，函数()gt在(0,e)上单调递增，在(e,)+上单调递减，max1()(e)egtg==，当x从大于0的方向趋

近于0时，()gt的值趋近于负无穷大，当1t时，()0gt，t→+时，()0gt→，因此10a−或110ea−，解得ea−≤或0a，所以a可以取到的整数值有5,3,2−−.故答案为：ABD【点睛】思路

点睛：涉及含参方程有解的问题，分离参数构造函数，转化为求函数的值域求解.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数20253i2iz+=−的共轭复数为z，则z=_____.【答案】√2【解析】【分析】根据共轭复数的性质及模的定义与性质运算得解.【详解】20

2520253i3i3i1022i2i55zz+++======−−，故答案为：213.已知菱形ABCD的边长为2，且60ABC=，若点P满足()23BPBCBA=+，则PCBP=_____.【答案】43−【解析】【分析】根据平面向量的线性运算及平面向量数量积运算的定义及性

质计算得解.【详解】()()()22223333PCBPBCBPBCBABCBCBABCBA=−+=−−+()()()22222299BCBABCBABCBCBABA=−+=−−()22422cos60229=−−43=−.故答案为：

43−14若实数abc、、互不相等，且满足aabcbbcacacb=+=+=+，则abc++=_____.【答案】3【解析】【分析】根据等式的性质，变形化简得解.【详解】由原方程组可得：①0abcabbcacabcab

bcac++=+++++++=，，②222acabccbaabcabcabcb=+=+=+，，，则2223abcabc=−++，③()()()111abcbcacab−=−=−=，，所以()()()()()()1111111abcbcaabcbca−−−=−−−=，，()()

11abcacbcababcabcabc−+++++−=++=−，，④()()()()222222,2abcabcabcabacbcabc++=−+++++=−即()2333abcabcabcabc−=

=−++=，，.故答案为：3四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤.15.在ABCV中，a，b，c分别为A，B，C的对边，已知3coscoscoscos4bACaBCc+

=，且4a=，6b=.（1）求ABCV的面积；（2）D为线段BC上一点，且满足3BDDC=，求AD的长度.【答案】（1）37.（2）32【解析】【分析】（1）由题意可知，通过公式化简所给条件求出3cos4C=，再求ABCS即可；（2）由余弦定理求出4c=，再通过题意得出1344=+ADACA

B，两边同时平方计算即可.【小问1详解】3coscoscoscos4bACaBCc+=，()3coscoscos4bAaBCc+=，又coscosbAaBc+=，即3cos4cCc=，3cos4C=，27sin1cos4CC=−=，117sin4637224A

BCSabC===；【小问2详解】2222232cos46246164cababC=+−=+−=，4c=，ac=，AC=，3coscos4AC==，3BDDC=，()11134444ADABBDABBCABACABACAB=+=+=+−=+，222213139

4416816ADACABACACABAB=+=++221339664418168416=++=，32AD=.16.记𝑆𝑛为数列na的前n项和.已知()21nnSnann=+−.（1）证明:na是等差数列；

（2）若6a为4a和1a等比中项，求nS的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）112【解析】的【分析】（1）根据,nnSa的关系，可证明数列为等差数列；（2）分析等差数列项的符号的变化，可得出所有非负项和最大.【小问1详解】()21nnSnann=+−，()()()111212

2nnSnannn−−=−+−−，，()()()()11211212nnnnnaSSnannnann−−=−=+−−−−−−，化简得:()()()111410nnnanan−−−−+−=，2nQ，14nnaa−−=−，na是以公差为4−的等差数列.

【小问2详解】由(1)得611520aada=+=−，同理41711224aaaa=−=−，，由题意2647aaa=，即()()()2111201224aaa−=−−，解得128a=，()11432naandn=+−=−+，当8n时，0na，当8n时，0na

，()()1878max81122naaSSS+====.17.已知三棱锥PABC−，平面PAC⊥平面222ABCPDDCPAPCACABBC======，，，.（1）求证:ACPB⊥;（2）求直线DB与平面PAB所成角的正弦值；（3）

求点P到平面ABD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）217（3）49331【解析】【分析】（1）通过证明AC⊥平面OBP可证明结论；（2）如图建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量，然后由空间向量知识可得答案；（3）由（2）求出平面ABD的法向量，然后由空间向量知识

可得答案.【小问1详解】如图，取AC中点O，连接OBOP，.22222ABBCACABBCAC===+=，，.ABC为等腰直角三角形，O为中点.ACOB⊥.PAPCO=，为中点，ACOP⊥.OBOP，平面P

OB，OBOPOACOBACOP=⊥⊥，，，AC⊥面OBP.PB面OBP，ACPB⊥【小问2详解】平面PAC⊥平面ABC，平面PAC平面ABCAC=，OPAC⊥OP⊥面ABCOPOBOBOCOP⊥，，，，两两垂直如图，

以O为原点，OB为x轴正向，OC为y轴正向，OP为z轴正向建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,00,1,01,0,00,0,30,1,0OABPC−，，，，.()()()()1,1,00,1,30,1,30,0,3ABAPPCOP===−=

，，，.22232320,,+0,,33333PDDCPDPCODOPPD===−==，.则230,,33D，231,,33DB=−−.令平面PAB的法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则030nABxynAPyz=+=

=+=，可取()3,3,1n=−.则直线DB与平面PAB所成角的正弦值43213sincos,4773DBnDBnDBn====.小问3详解】由（2），()()531,1,00,,

0,1,333ABADAP===，，.令平面ABD的法向量为()111,,mxyz=，则1111053033mABxymADyz=+==+=，可取()3,3,5m=−.则点P到平面ABD的距离434933131APmdm=

==.18.已知双曲线()22122:10,0xyCabab−=的一条渐近线的斜率为1k，双曲线222:182xyC−=的一条渐近线的斜率为212,1kkk=，且1C的一个焦点到其渐近线距离为2.【（1）求1C的方程

；（2）若2C上任意一点A关于直线yx=的对称点为A，过A分别作1C的两条渐近线的平行线，与1C分别交于PQ求证：APAQ为定值.【答案】（1）2214yx−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，求出,ab即可

得出双曲线方程；（2）设(),Amn，得出A，写出平行渐近线的直线方程，联立双曲线方程得出,PQ坐标，计算APAQ即可得证.【小问1详解】由题意得1212bkka==，，1212kkba==，，1C的焦点到渐近线的距离为2，2,1,2

,5babc====，双曲线方程为2214yx−=.【小问2详解】如图，令(),Amn，由题意(),Anm，A在2C上，22182mn−=，得()()228mnmn+−=，即()822nmmn−=−+，则过A与其中一条斜率为2的渐近线平行的直线():2lymxn−=−，联立()2221

4ymxnyx−=−−=，可得()22424xxnm−−+=，即()()4224xmnnm+−−=，解得1224Pnmxnm−=+−，即348Pnmx=−，同理可得348Qnmx=+，335

554848APAQnmnmAPAQxxxxnn=−−=−+−−229454552164168mn=−==，证毕.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标

为()()1122,,,xyxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、21xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.对于

一个函数()fx和一个点(),Mab，令()()()()22sxxafxb=−+−，若()sx在0xx=时取得最小值的点，则称()()00,xfx是M的“f最近点”.（1）对于函数()()1,0,fxxx=+，求证：对于点()0,0M，存

在点P，使得点P是M的“f最近点”；（2）对于函数()()()ln,0,,0,1fxxxM=+，请判断是否存在一个点P，使它是M的“f最近点”，若存在，求出()fx在点P处的切线方程；若不存在，请说明

理由.（3）已知函数()()Rfxx可导，函数()0gx在Rx上恒成立，对于点()()()11,Mtftgt+−与点()()()21,Mtftgt−+，若对任意实数t，均存在点P同时为点1M与点2M的“f最近点”，说明()

fx的单调性.【答案】（1）证明见解析（2）存在，切线为10xy−−=（3）()fx在R上单调递增【解析】【分析】（1）由基本不等式及新定义求证即可；（2）根据导数求出()sx在1x=时有最小值，可得P点，再求切线方程即可；（3）由新定义及函数的

导数先求出函数极小值点mt=，再由此得出()()10ftgt=，判断函数的单调性.【小问1详解】当(0,0)M时，()222222111(0)022sxxxxxxx=−+−=+=，当且仅当221xx=即1x=时取等号，故对于点()0,0M，存在点()1,

1P，使得该点是()0,0M在()fx的“最近点”.【小问2详解】()()22ln1sxxx=+−，()2ln12xxsxx+−=，令()()2ln110hxxxh=+−=，，当()0,x+时，2,lnyyxx==单调递增，所以()

hx在()0,+单调递增，()0,1x时，()()()0,0,hxsxsx单调递减，()1,x+时，()()()0,0,hxsxsx单调递增，()()min11sxs==，()1,0P，又()()1,11fxfx

==，过()1,0P的切线为10xy−−=.【小问3详解】由题意，得()()()()()()2211sxxtfxftgt=−−+−+，()()()()()()2221sxxtfxftgt=−++−−，则()()()()()()()1212sxxtfxftgtf

x=−−+−+，()()()()()()()2212sxxtfxftgtfx=−++−−由题意假设xm=时，()()12,sxsx为各自函数的最小值，则m必为()()12,sxsx的极小值点，则()()1200smsm==，可得()()()(

)()()()()()()()()21202120mtfmftgtfmmtfmftgtfm−−+−+=−++−=−，()()()()()()212mtfmftgtfm−+−+−()(

)()()()()212mtfmftgtfm++−−=−，得()()1fmgt=，下证：mt=由()()()()1122smstsmst，可得()()()()()()()()()()()()2222221111mtfmftgtgtmtfmftgtgt−−+−++

−++−−+，两式相加得()()()()220mtfmft−+−，因为()()()()2200,mtfmft−−则()()00mtfmft−=−=，解得mt=，()()1ftgt=，()()R,0,0t

gtft，()fx\在R上单调递增.【点睛】关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能力是关键，对能力要求很高.