【文档说明】重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期11月阶段性检测(二)数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.524 MB，由envi的店铺上传

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西南大学附中高2025届高三上11月阶段性检测(二)数学试题(满分:150分;考试时间:120分钟)2024年11月注意事项:1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择

题时，必须使用2B铅笔填涂;答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写;必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回(试题卷学生保存，以备评讲).一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()22log122530AxxBxxx=+=−−∣，∣，则AB=（）A.132xx−B.{13}xx−∣C.132xx−

D.3xx∣【答案】C【解析】【分析】先分别求解集合A和集合B，再找出它们的公共部分.【详解】由22log(1)2log4x+=可得10x+且14x+.解10x+得1x−；解14x+得3x.所以集合{|13

}Axx=−.先对2253xx−−因式分解，得到(21)(3)0xx+−.解得132x−.所以集合1{|3}2Bxx=−.集合{|13}Axx=−，集合1{|3}2Bxx=−.那么1{|3}2ABxx=−.故选：C.2.命题0ππ:,22px

−，使得0sin1x=，则命题p的否定为（）A.0ππ,22x−，使0sin1xB.ππ,22x−，使sin1xC.0ππ,22x−，使0sin

1xD.ππ,22x−，使sin1x【答案】B【解析】【分析】由存在量词命题的否定可得答案.【详解】命题0ππ:,22px−，使得0sin1x=的否定为：ππ,22x−，使sin1x.故选：B3.记nS为等比数列

na的前n项和.已知148,1aa==−，则8S=（）A.8516B.8516−C.25516D.25516−【答案】A【解析】【分析】由等比数列通项公式求出公比，再由求和公式得解.【详解】由等比数列

na可知，334181aaqq===−，解得12q=−，所以()88118118525611632aqSq−−===−，故选：A4.已知函数()lneexxxfx−=−，则函数的图像可能是（）A.B.

C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数奇偶性，零点，及12f正负性可得答案.【详解】注意到函数定义域为()()00,∪,−+，()()0lnlneeeexxxxxxfxfx−−−+−=+=−−，则()fx为奇函数，故BD错误；又注意到

()10f=，11221ln1202eef−=−，则A正确，C错误.故选：A5.已知椭圆()221222:10xyCabFFab+=，，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且122PFPF=，若1260FPF=，则椭圆离心率为（）A.13B.12C.53D.33

【答案】D【解析】【分析】设2PFx=，后由题及余弦定理可得123FFx=，即可得答案.【详解】设2PFx=,则12PFx=，因1260FPF=，由余弦定理：2222222122121124233FFPFPFPFPFxxxxFFx=+−=+−==，则1223

aPFPFx=+=，1223FFcx==，则233233ccxeaax====.故选：D6.已知π10cos610+=，则2πcos23−=（）A.35-B.35C.45−D.45【答案】D【解析】【分析】由诱导公

式及二倍角公式即可求解.【详解】ππππcossinsin6623+=−+−=−−，所以π10sin310−=−，所以222ππ104cos212sin1233105

−=−−=−−=，故选：D.7.过点()0,3P−作圆()222120Rxmyxmm+−−=的两条切线，切点分别为,AB两点，则cosAPB=（）A.19−B.29−C.19D.29【答案】A【解析】

【分析】分析可知2m=，再根据切线性质可得2coscos3APCBPC==，结合倍角公式运算求解.【详解】由题意可知2m=，圆22221220xyx+−−=可化为22(3)10xy−+=，可知圆心为()3,0，记为C点，半径10r=，可得2232,22CPAPCPAC==−=，则222cos

cos332APCBPC===，所以2221cos2cos12139APBAPC=−=−=−.故选：A.8.已知正三棱锥的高为h，且各顶点都在同一球面上.若该球的体积为32π3，则三棱锥

体积的最大值是（）A.32327B.64327C.128327D.256327【答案】B【解析】【分析】由外接球的体积得出球半径，再由正三棱锥得出体积，利用导数求最值即可.【详解】如图，设H为底面三角形的中心，PH为三

棱锥的高，设为h，由题意得，3432ππ33VR==球，解得2R=，该三棱锥为正三棱锥，2332HCBC=,()2234234BChhh=−−=−+，()2321334344PABCVBChhh−==−+()04h

，令()()()32240438fhhhhfhhh=−+=−+，，由()0fh=，可得83h=或0h=（舍去），当803x，时，()0fh，当843x，时，()0fh，()fh在803

，单调递增，在843，单调递减，()8256327maxfhf==，64327maxV=.故选：B二、多选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选

错的得0分.9.已知正方体1111ABCDABCD−，则（）A.直线1AB与11BD所成的角为60oB.直线1AA与1BD所成的角为45C.直线1AC与平面1BCD所成的角为90D.直线1BD与平面ABCD所成的角为45【答案】AC【解析】【分析】对于A，B，利用向量法，设出正方体棱长，

建立空间直角坐标系，求出两直线对应的向量，根据向量的夹角公式cos||||abab=求出向量夹角，再根据异面直线所成角与向量夹角的关系得到结果.对于C，D，先求出平面的法向量，再根据直线的方向向量与法向量的夹角，结

合直线与平面所成角和它们夹角的关系求出结果.【详解】设正方体棱长为1，以D为原点，分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系.则1(1,0,1)A，(1,1,0)B，1(1,1,1)B，1(0,0,1)D.所以1(1,1,0)(1,0,

1)(0,1,1)AB=−=−，11(0,0,1)(1,1,1)(1,1,0)BD=−=−−.设直线1AB与11BD所成的角为，根据向量的夹角公式111111cos||||ABBDABBD=.先计算1110(1)1(1)(1)01ABBD=−+−+−=−，2221||01

(1)2AB=++−=，22211||(1)(1)02BD=−+−+=.则11cos222−==−，因为异面直线所成角的范围是π(0,]2，所以直线1AB与11BD所成的角为60=.故A正确.由前面建立的坐标系可知(1,0,0)A，1(1,0,1)A，1(1,1,1)B，(0,

0,0)D.所以1(1,0,1)(1,0,0)(0,0,1)AA=−=，1(0,0,0)(1,1,1)(1,1,1)BD=−=−−−.设直线1AA与1BD所成的角为，根据向量的夹角公式1111cos|

|||AABDAABD=.先计算110(1)0(1)1(1)1AABD=−+−+−=−，1||1AA=，2221||(1)(1)(1)3BD=−+−+−=.则13cos313−==−，因为异面直线所成角的范围是π(0,

]2，所以直线1AA与1BD所成的角不是45.故B错误.由前面建立的坐标系可知1(1,0,1)A，(0,1,0)C，(1,1,0)B，(0,0,0)D，1(0,1,1)C.所以1(0,1,0)(1,0,1)(1,1,1)AC=−=−−.设平面1BCD法向量为(,,)

nxyz=，因为1(0,1,1)(1,1,0)(1,0,1)BC=−=−，(0,0,0)(1,1,0)(1,1,0)BD=−=−−.由100nBCnBD==，即00xzxy−+=−−=，令1x=，则1y=−，1z=，所以(1,1,1)n=−r.设直线1AC与平面1BCD所成

角为，则11||sin||||ACnACn=.先计算1111(1)(1)13ACn=−+−+−=−，2221||(1)1(1)3AC=−++−=，222||1(1)13n=+−+=.则|3|sin133−==，所以直线

1AC与平面1BCD所成的角为90=.故C正确.由前面建立的坐标系可知(1,1,0)B，1(0,0,1)D.所以1(0,0,1)(1,1,0)(1,1,1)BD=−=−−.平面ABCD的法向量为(0,0,1)k=.的的设直线1BD与平面ABCD所成的角为，则

11||sin||||BDkBDk=.先计算11BDk=，2221||(1)(1)13BD=−+−+=，||1k=.则13sin33==，所以直线1BD与平面ABCD所成的角不是45.故D错误.故选：AC.10.已知函数()()πsin0,0,2fxAxA

=+的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.π3=B.函数()fx的图象关于1112x=对称C.函数()fx在11,62上的值域为3,3−D.要得到函数()()cosgxAx

=+的图象，只需将函数()fx的图象向左平移14个单位【答案】ACD【解析】【分析】根据函数图象求函数()fx的解析式，即可得到选项A正确；利用11212f可知选项B错误；根据11,62x可得

π2π4π2π,333x+，结合函数的单调性可知选项C正确；利用函数图象平移的原则可知选项D正确.【详解】设函数的最小正周期为T，由图可知，2A=，11143124T=−=，故1T=.∵2πT=，∴2π=.∵函数图象最高点为1,212，∴1π2sin

2126f=+=，∴ππ2π,62kk+=+Z，故π2π,3kk=+Z，∵π2，∴π3=，选项A正确.由A可得()π2sin2π3fxx=+，1111ππ2sin121263f

=+=，故直线1112x=不是函数()fx的对称轴，选项B错误.当11,62x时，π2π4π2π,333x+，π33sin2π,322x+−，π2sin2π3,33x+−，故函数()fx在11,

62上的值域为3,3−，选项C正确.由题意得，()π2cos23gxx=+，将函数()fx的图象向左平移14个单位后的函数表达式为1ππππ2sin2π2sin2π2cos2π43323yxxx=++=++=+

，选项D正确.故选：ACD.11.已知函数()elnxfxxaxax=++有零点，则a可以取到的整数值有（）A.-5B.-3C.-1D.2【答案】ABD【解析】【分析】利用函数零点的意义可得e

ln(e0)xxxax+=，换元构造并分离参数构造函数ln()tgtt=，利用导数求出其值域即可得解.【详解】函数()elnxfxxaxax=++定义域为(0,)+，由()fx有零点，得方程eln(

e0)xxxax+=有正数解，令e0xxt=，即ln0tat+=有正数解，显然0a，方程化为1lntat−=令函数ln(),0tgttt=，求导得21ln()tgtt−=，当0et时，()0gt，当te时

，()0gt，函数()gt在(0,e)上单调递增，在(e,)+上单调递减，max1()(e)egtg==，当x从大于0的方向趋近于0时，()gt的值趋近于负无穷大，当1t时，()0gt，t→+时，()0gt→，因此10a−

或110ea−，解得ea−≤或0a，所以a可以取到的整数值有5,3,2−−.故答案为：ABD【点睛】思路点睛：涉及含参方程有解的问题，分离参数构造函数，转化为求函数的值域求解.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数20253i2iz+=−

的共轭复数为z，则z=_____.【答案】√2【解析】【分析】根据共轭复数的性质及模的定义与性质运算得解.【详解】202520253i3i3i1022i2i55zz+++======−−，故答案为：213.已知菱

形ABCD的边长为2，且60ABC=，若点P满足()23BPBCBA=+，则PCBP=_____.【答案】43−【解析】【分析】根据平面向量的线性运算及平面向量数量积运算的定义及性质计算得解.【详解】()()()22223333PCBPBCBPBCBABCBCBABCBA

=−+=−−+()()()22222299BCBABCBABCBCBABA=−+=−−()22422cos60229=−−43=−.故答案为：43−14若实数abc、、互不相等，且满足aabcbbcacacb=+=+=+，则abc++=_____.【答案】3

【解析】【分析】根据等式的性质，变形化简得解.【详解】由原方程组可得：①0abcabbcacabcabbcac++=+++++++=，，②222acabccbaabcabcabcb=+=+=+，，，则2223abcabc=−++，③()()(

)111abcbcacab−=−=−=，，所以()()()()()()1111111abcbcaabcbca−−−=−−−=，，()()11abcacbcababcabcabc−+++++−=++=−，，④()(

)()()222222,2abcabcabcabacbcabc++=−+++++=−即()2333abcabcabcabc−==−++=，，.故答案为：3四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤.

15.在ABCV中，a，b，c分别为A，B，C的对边，已知3coscoscoscos4bACaBCc+=，且4a=，6b=.（1）求ABCV的面积；（2）D为线段BC上一点，且满足3BDDC=，求AD的长度.【答案】（1）37.（2）32【解析】【分析】（

1）由题意可知，通过公式化简所给条件求出3cos4C=，再求ABCS即可；（2）由余弦定理求出4c=，再通过题意得出1344=+ADACAB，两边同时平方计算即可.【小问1详解】3coscoscoscos4bACaBCc+=，()3coscoscos4

bAaBCc+=，又coscosbAaBc+=，即3cos4cCc=，3cos4C=，27sin1cos4CC=−=，117sin4637224ABCSabC===；【小问2详解】2222232

cos46246164cababC=+−=+−=，4c=，ac=，AC=，3coscos4AC==，3BDDC=，()11134444ADABBDABBCABACABACAB=+=+=+−=+，2222131394416816A

DACABACACABAB=+=++221339664418168416=++=，32AD=.16.记𝑆𝑛为数列na的前n项和.已知()21nnSnann=+−.（1）证明:na是等差数列；（2）若6a为4a和1a等比中项，求nS的最大值.【答案

】（1）证明见解析（2）112【解析】的【分析】（1）根据,nnSa的关系，可证明数列为等差数列；（2）分析等差数列项的符号的变化，可得出所有非负项和最大.【小问1详解】()21nnSnann=+−，()()()1112122nnSnannn−−=−+−−，，()()()(

)11211212nnnnnaSSnannnann−−=−=+−−−−−−，化简得:()()()111410nnnanan−−−−+−=，2nQ，14nnaa−−=−，na是以公差为4−的等差数列.【小问2详解】由(1)得

611520aada=+=−，同理41711224aaaa=−=−，，由题意2647aaa=，即()()()2111201224aaa−=−−，解得128a=，()11432naandn=+−=−+，当8n时，0na，当8n时，0na，()()1878max81122naaSSS

+====.17.已知三棱锥PABC−，平面PAC⊥平面222ABCPDDCPAPCACABBC======，，，.（1）求证:ACPB⊥;（2）求直线DB与平面PAB所成角的正弦值；（3）求点P到平面ABD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）21

7（3）49331【解析】【分析】（1）通过证明AC⊥平面OBP可证明结论；（2）如图建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量，然后由空间向量知识可得答案；（3）由（2）求出平面ABD的法向量，然后由空间向量知识可得答案.【小问1详解】如图，取AC中点O，连接OBOP，.22222ABBCACA

BBCAC===+=，，.ABC为等腰直角三角形，O为中点.ACOB⊥.PAPCO=，为中点，ACOP⊥.OBOP，平面POB，OBOPOACOBACOP=⊥⊥，，，AC⊥面OBP.PB面OBP，ACPB⊥【小问2详解】平面PAC⊥

平面ABC，平面PAC平面ABCAC=，OPAC⊥OP⊥面ABCOPOBOBOCOP⊥，，，，两两垂直如图，以O为原点，OB为x轴正向，OC为y轴正向，OP为z轴正向建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,00,1,01,0,

00,0,30,1,0OABPC−，，，，.()()()()1,1,00,1,30,1,30,0,3ABAPPCOP===−=，，，.22232320,,+0,,33333PDDCPDPCODOPPD

===−==，.则230,,33D，231,,33DB=−−.令平面PAB的法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则030nABxynAPyz=+==+=，可取()3,3,1n=−.则直线DB

与平面PAB所成角的正弦值43213sincos,4773DBnDBnDBn====.小问3详解】由（2），()()531,1,00,,0,1,333ABADAP===，，.令平面ABD的法向量为()111,,mxyz=，则1111053033mABxymADyz=+

==+=，可取()3,3,5m=−.则点P到平面ABD的距离434933131APmdm===.18.已知双曲线()22122:10,0xyCabab−=的一条渐近线的斜率为1k，双曲线222:182xyC−=的一条渐近线的斜率为212,

1kkk=，且1C的一个焦点到其渐近线距离为2.【（1）求1C的方程；（2）若2C上任意一点A关于直线yx=的对称点为A，过A分别作1C的两条渐近线的平行线，与1C分别交于PQ求证：APAQ为定值.【答案】（1）2214yx−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，求出,

ab即可得出双曲线方程；（2）设(),Amn，得出A，写出平行渐近线的直线方程，联立双曲线方程得出,PQ坐标，计算APAQ即可得证.【小问1详解】由题意得1212bkka==，，1212kkba==，，1C的焦点到渐近线的距离为2，2,1,2

,5babc====，双曲线方程为2214yx−=.【小问2详解】如图，令(),Amn，由题意(),Anm，A在2C上，22182mn−=，得()()228mnmn+−=，即()822nmmn−=−+，则过A与其中一条斜率为2的渐近线平行的直线():2lymxn−=−，联立()22214

ymxnyx−=−−=，可得()22424xxnm−−+=，即()()4224xmnnm+−−=，解得1224Pnmxnm−=+−，即348Pnmx=−，同理可得348Qnmx=+，335554848APAQnmnmAPA

Qxxxxnn=−−=−+−−229454552164168mn=−==，证毕.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122

,,,xyxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、21xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.对于

一个函数()fx和一个点(),Mab，令()()()()22sxxafxb=−+−，若()sx在0xx=时取得最小值的点，则称()()00,xfx是M的“f最近点”.（1）对于函数()()1,0,fxxx=+，求证：对于点()0,0M，存在点P，使得点P是M的“f最近点”；（2）对于函数(

)()()ln,0,,0,1fxxxM=+，请判断是否存在一个点P，使它是M的“f最近点”，若存在，求出()fx在点P处的切线方程；若不存在，请说明理由.（3）已知函数()()Rfxx可导，函数()0gx在Rx上恒成立，对于点()()()11,Mtftgt+−与点()()()21,

Mtftgt−+，若对任意实数t，均存在点P同时为点1M与点2M的“f最近点”，说明()fx的单调性.【答案】（1）证明见解析（2）存在，切线为10xy−−=（3）()fx在R上单调递增【解析】【分析】（

1）由基本不等式及新定义求证即可；（2）根据导数求出()sx在1x=时有最小值，可得P点，再求切线方程即可；（3）由新定义及函数的导数先求出函数极小值点mt=，再由此得出()()10ftgt=，判断函数

的单调性.【小问1详解】当(0,0)M时，()222222111(0)022sxxxxxxx=−+−=+=，当且仅当221xx=即1x=时取等号，故对于点()0,0M，存在点()1,1P，使得该点是()0,0M在(

)fx的“最近点”.【小问2详解】()()22ln1sxxx=+−，()2ln12xxsxx+−=，令()()2ln110hxxxh=+−=，，当()0,x+时，2,lnyyxx==单调递增，所以()hx在()0,+单调递增，()0,1x时，()()()0

,0,hxsxsx单调递减，()1,x+时，()()()0,0,hxsxsx单调递增，()()min11sxs==，()1,0P，又()()1,11fxfx==，过()1,0P的切线为10xy−−=.【小问3详解】由题意，得()

()()()()()2211sxxtfxftgt=−−+−+，()()()()()()2221sxxtfxftgt=−++−−，则()()()()()()()1212sxxtfxftgtfx=−−+−+，()()()()()()()2212sxxtfxftgtfx

=−++−−由题意假设xm=时，()()12,sxsx为各自函数的最小值，则m必为()()12,sxsx的极小值点，则()()1200smsm==，可得()()()()()()()()()()()()21202120m

tfmftgtfmmtfmftgtfm−−+−+=−++−=−，()()()()()()212mtfmftgtfm−+−+−()()()()()()212mtfmftgtfm++−−=−，得()()1fmgt=，下证：

mt=由()()()()1122smstsmst，可得()()()()()()()()()()()()2222221111mtfmftgtgtmtfmftgtgt−−+−++−++−−+，两式相加得()()()()220mtfm

ft−+−，因为()()()()2200,mtfmft−−则()()00mtfmft−=−=，解得mt=，()()1ftgt=，()()R,0,0tgtft，()fx\在R上单调递增.【点睛】关键点点睛：新定义题目的解题

关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能力是关键，对能力要求很高.