【文档说明】【精准解析】河北省衡水中学2020届高三下学期三模数学（理）试题.doc，共(28)页，2.688 MB，由小赞的店铺上传

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2019—2020学年度第二学期高三年级三模考试数学（理科）试卷命题人：何慧审核人：徐丹第Ⅰ卷一、选择题1.设集合3Axx=，2,Bxxkk==Z，则AB=（）A.0,2B.2,2−C.{}2,0,2-D.2,1,0,1,2−−【答案】C【解析】【分析】求出

集合A，利用交集的定义可得出集合AB.【详解】333Axxxx==−，2,Bxxkk==Z，因此，2,0,2AB=−.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，涉及了绝对值不等式的求解，考

查计算能力，属于基础题.2.若复数z满足1zii=−+，则z的共轭复数z−在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先根据1zii=−+求出z，再求出z−，即得z−在复平面内对应的点所在的象限.【详解】由1zii=−+得21(1

)1,1iiiziziii−−+−+===+=−.所以z−对应的点为(1,1)−，在第四象限.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.设实数x，y满足条件202300

xyxyxy+−−+−则1xy++的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】作出不等式组对应的可行域，如图所示，由+

+1zxy=可得1yxz=−+−，将直线l：1yxz=−+−进行平移，当l与AB重合时，目标函数z达到最大值，因为AB过点（0，2）；∴zmax＝0+2+1＝3．故选：C．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最

值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．4.平面向量a与b的夹角为60，()2,0,1ab==，则2ab+等于()A.22B.23C.12

D.10【答案】B【解析】因为||2,||1ab==，a与b的夹角为60，故||||cos601abab==，则244423ab+=++=，应选答案B．5.如图，是函数()fx的部分图象，则()fx的解析式可能是（）A.()|sincos|f

xxx=+B.22()sincosfxxx=+C.()|sin||cos|fxxx=+D.()sin||cos||fxxx=+【答案】B【解析】【分析】由图像的对称性和单调性逐个判断即可.【详解】解：由图像可知，函数图像关于y轴对称，所以()fx应为偶函数，所以

排除A；由图像可知函数值能取到小于0的值，所以排除C；对于当(0,1)x时，()sincos2sin()4fxxxx=+=+，而当(0,)4x时，()(,)442x+，而正弦的函数图像可知D不正确，故选：B【点睛】此题考查函数图像的识别，利用函数的奇偶性，增减性，或取特殊值进行

识别，属于中档题.6.已知二项式121(2)nxx+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（）A.240B.120C.48D.36【答案】A【解析】【分析】由题意结合二项式系数和的性质可得264n=即6n=，写出二项式展开式的通项公

式3362162rrrrTCx−−+=，令3302r−=即可得解.【详解】由题意264n=，解得6n=，则1162211(2)(2)nxxxx+=+，则二项式1621(2)xx+的展开式的通项公式为6133622166122rrrrrrrTCxCxx−−−+==

，令3302r−=即2r=，则6426622240rrCC−==.故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7.祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度计算到小数点后第7位，也就是3.1415926和3

.1415927之间，这一成就比欧洲早了1000多年，我校“爱数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率的方法启发下，自制了一套计算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所示，模型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方

向有开口装置.实验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学一次投掷了1000个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取小数点后三位）估算落在

球内的玻璃球数量（）A.297B.302C.307D.312【答案】B【解析】【分析】先求出正四面体的体积1V与内切球的体积2V，设落在球内的玻璃球数量为x，由几何概型的概率计算公式，得到211000VxV=即可解决.【详解】由三视图知

，该模型是一个棱长为502a=的正四面体及其内切球，正四面体体积222311332()34312Vaaaa=−=，过球心及正四面体顶点作截面，如图所示，易知BODBEC，所以rBDECBE=，即

36222araa=，解得612ra=所以内切球体积243V=36()12a，设落在球内的玻璃球数量为x，则211000VxV=，即3100018x=近似计算得302x.故选：B.【点睛】本题考查几何概型的概率模型与三视图的综合应用，涉及到正四面体的体积

与内切球的体积问题，是一道中档题.8.设函数()2sin()fxx=+，xR，其中0，||.若5()28f=，()08f=，且()fx的最小正周期大于2，则A.23=，12=B.23

=，12=−C.13=，24=−D.13=，724=【答案】A【解析】由题意125282118kk+=++=，其中12,kkZ，所以2142(2)33kk=−−，又22T=，所以01，所以23=，1121

2k=+，由得12=，故选A．【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关sin()yAx=+问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A，再根据周期或12周期或14周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条

件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.9.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中

“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“〇”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是（）甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测√××√乙的猜测×〇〇√丙的猜测×√×√丁的猜测〇〇√×A.乙丁B.乙丙C.丙

丁D.甲丁【答案】A【解析】【分析】根据甲、乙、丙对丁的猜测可得丁获奖，而且丁的猜测是错误的，根据甲、丙对甲、乙的猜测，必有1人错误，可得乙的猜测正确，根据乙的猜测，即可得出结论.【详解】由甲、乙、丙

均猜测丁获奖，丁猜测丁没有获奖，故丁的猜测错误，否则有三人猜测错误，所以丁获奖，再由甲、丙对对甲、乙猜测结果，因此甲、丙一人猜测正确，另一人猜测错误，所以乙猜测正确，则甲不获奖，甲猜测错误，故乙、丙猜测正确，即乙、丁获奖.故选：A【点睛】本题考

查逻辑思维和推理能力，通过猜测结果找出矛盾关系是解题的关键，属于基础题.10.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F．2F也是抛物线()2:20Eypxp=的焦点，点A为C与E

的一个交点，且直线1AF的倾斜角为45，则C的离心率为（）A.512−B.21−C.35−D.21+【答案】B【解析】【分析】先根据椭圆和抛物线的性质得到2pc=，再由直线与椭圆方程联立求出点A坐标，求出1AF和2AF，根据椭圆定义得到关于a和c的方程，进而求出离心率cea=.【详解】由题意

可知，2pc=，则2pc=.所以2:4Eycx=.因为()1,0Fc−，直线1AF的倾斜角为45，所以直线1AF的方程为：yxc=+.由24yxcycx=+=得2xcyc==，所以(),2Acc.因为()2,0Fc，所以212AFFF⊥.在21RtAFF△中，22AFc=，

122AFc=.由椭圆的定义得：122AFAFa+=，即2222cca+=，解得：21ca=−.故选：B.【点睛】本题考查椭圆定义、抛物线定义、直线与抛物线的位置关系和离心率，属于基础题.11.已知0a

，不等式1ln0axxeax++对任意的实数1x都成立，则实数a的最小值为（）A.2e−B.e−C.e2−D.1e−【答案】B【解析】【分析】首先不等式变形为lnlnaxaxxexe−−，()xfxxe=()1x，不等式等价

于()()lnafxfx−，然后利用函数的单调性可得lnxax−对任意1x恒成立，再利用参变分离lnxax−恒成立，转化为求函数的最小值.【详解】不等式变形为()lnxaxexax−−，即lnlnaxaxxe

xe−−，设()xfxxe=()1x，则不等式1ln0axxeax++对任意的实数1x恒成立，等价于()()lnafxfx−对任意1x恒成立，()()10xfxxe=+，则()fx在()1,+上单调递增，lnaxx−，即lnxa

x−对任意1x恒成立，lnxax−恒成立，即minlnxax−，令()lnxgxx=，则()()2ln1lnxgxx−=()1x，当1xe时，()0gx，()gx在()1,e

上单调递减，当xe时，()0gx，()gx在(),e+上单调递增，xe=时，()gx取得最小值()gee=，ae−，即ae−，a的最小值是e−.故选：B【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归

的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形lnlnaxaxxexe−−，并能构造函数并转化为()()lnafxfx−对任意1x恒成立,属于难题.12.已知正方体1111ABCDABCD−的外接球的

表面积为27，1ADB△与11ADC△的重心分别为E，F，球O与该正方体的各条棱都相切，则球O被EF所在直线截的弦长为（）A.172B.23C.32D.17【答案】D【解析】【分析】由题意可求得正方体棱长为3，则球O的半径232r=

，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得111,,,(1,0,1)222OEEF→→=−−=−，进而可得点O到直线EF的距离22||||OEEFdOEEF→→→→=−，

根据公式可得弦长222rd−.【详解】设正方体的边长为a，则234272a=，即正方体棱长为3a=，.球O的球心为正方体的中心，以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−，则A（3，0，0），1303A（，，

），B（3，3，0），()1033C，，，D（0，0，0），333(2,1,1),(1,1,2),,,222EFO111,,,,(1,0,1)222OEEF→→=−−=−，点O到直线EF的

距离221||2||OEEFdOEEF→→→→=−=，又球O的半径为1329922r=+=，因此正方体外接球被EF所在直线截的弦长为2222321221722rd−=−=

.故选：D.【点睛】本题考查了正方体的几何性质，正方体和球的关系以及垂径定理，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题13.已知双曲线的一个焦点与抛物线28yx=的焦点F重合，抛物线的准线与双曲线交于A，B两点，且OAB的面积为

6（O为原点），则双曲线的标准方程为______．【答案】2213yx−=【解析】【分析】求出抛物线焦点坐标即得椭圆焦点坐标，可得224ab+=，由OAB的面积为6可得23ba=，联立两式求得,ab的值，从而可得结果.【详解】解:28yx=,22p=,即28yx=焦点为(2,0)

，即22221xyab−=的焦点为(2,0)，224ab+=,①又OAB的面积为6，xc=−时，222,,,,bbbyAcBcaaa=−−−，212262AOBbSa==,得23ba=，②由①②得，2213ab==，双曲线的方程为2213yx−=.故

答案为:2213yx−=【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中档题.求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.14.2020年初，我国突

发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿

者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______.【答案】13【解析】【分析】根据题意，由排列组合公式分析3

名志愿者辅导4门学科的情况数目，再分析其中甲辅导数学的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科；则有23436636CA==种情况，若甲

辅导数学，有2212323212CACA+=种情况，则数学学科恰好由甲辅导的概率为13，故答案为：13．【点睛】本题考查古典概型的概率，涉及排列组合的应用，属于基础题．15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的

海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得80CD=，135ADB=，15BDCDCA==，120ACB=，则A，B两点的距离为________．

【答案】805【解析】【分析】△ACD中求出AC，△ABD中求出BC，△ABC中利用余弦定理可得结果.【详解】解：由已知，△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC=15°由正弦定理得()80sin150404062sin15624AC===+−，△BCD中，∠BDC＝15°，

∠BCD＝135°，∴∠DBC=30°，由正弦定理，CDBCsinCBDsinBDC=，所以BC()80sin1516015406212CDsinBDCsinsinCBD====−；△ABC中，由余弦定理，AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠A

CB＝()()()()0811600843160216006224362−++++−16001616004160020=+=解得：AB805=，则两目标A，B间的距离为805．故答案为805．【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解

三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题．16.已知圆22:4Oxy+=点()2,2A，直线l与圆O交于PQ，两点，点E在直线l上且满足2PQQE→→=.若22248AEAP+=，则弦PQ中点M的横坐标的取值范围为_____________.

【答案】1717,22−−−+【解析】【分析】①当直线l斜率不存在时，易求得0Mx=；②当直线l斜率存在时，设其方程为ykxm=+，利用直线与圆有交点可求得2244mk+；将直线方程与圆方程联立得到韦达

定理的形式；根据2PQQE→→=和22248AEAP+=可整理得到12xx+，12xx，12yy+，12yy满足的方程，代入韦达定理的结论整理可得244mkmm=−；当0m=时，知0Mx=；当0m时，

可将Mx表示为关于k的函数，利用对号函数的性质可求得值域，即为所求的范围；综合两类情况可得最终结果.【详解】设(),MMMxy，①当直线l斜率不存在时，直线方程为:0lx=，此时()0,2P−，()0,2Q，2PQQ

E→→=，()0,4E，2448AE=+=，241620AP=+=，满足22248AEAP+=，此时0Mx=；②当直线l斜率存在时，设其方程为：ykxm=+，l与圆O有两个不同交点，221mk+，即2244mk+()，由224ykxmxy=++=得：()2221240kxkmx

m+++−=，设()11,Pxy，()22,Qxy，()00,Exy则12221kmxxk+=−+，212241mxxk−=+，()1212122221myykxmkxmkxxmk+=+++=++=+，()()()222212121212241mkyykxmkxmkxxkm

xxmk−=++=+++=+.2PQQE→→=，()()21210202,2,xxyyxxyy−−=−−，解得：2102103232xxxyyy−=−=，由22248AEAP+=得：()()2222212111332222224822xxyyxy−−−+−+−+−=

，整理得：()()()221212121212129924242496xxyyxxyyxxyy+++−−−+++=，22222242442238832111mmkmkmkkk−−−−−=+++，整理得：244mkmm=−，当0

m=时，1202Mxxx+==；当0m时，44mk=−，代入()式得：()224444kk−+，解得：474733k−+，212222441442111Mxxkmkkkxkkk+−+==−

==−++++，4713−−，()1442121Mxkk=−+++−+，当474733k−+时，()211ykk=+++单调递增，()442121ykk=−+++−+在4747,33−+上单调递减，1717,22Mx

−−−+，综上所述：弦PQ中点M的横坐标的取值范围为1717,22−−−+.故答案为：1717,22−−−+.【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系

的应用、向量共线的坐标表示、函数值域的求解等知识；求解本题的关键是能够结合韦达定理的形式，将所求的点的横坐标表示为关于直线斜率k的函数关系式的形式，从而利用对号函数的性质求得函数值域；本题计算量较大，难度较高，对学生的分析和解决问题能

力、运算和求解能力有较高要求.三、解答题17.已知等差数列na的公差为d，nS是数列na的前n项和，等比数列nb的公比为()1qq，nT是数列nb的前n项和，330ab+=，11b=，33T=，dq=−．（1）求数列nb的通项公式

；（2）是否存在正整数，使得关于k的不等式()3010kS+有解？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）()12nnb−=−；（2）存在，1=.【解析】【分析】（1）首先根据题意得到2q=−，再求nb即可.（2）首先求出210nan=−

，()298192024nSnnn=−=−−−，将不等式()3010kS+有解转化为max1030kS+，即可得到答案.【详解】（1）由11b=，()23113Tbqq=++=，得2q=−或1q=（舍去）∴()1

2nnb−=−（2）∵330ab+=，∴334ab=−=−，2dq=−=，∴()323210naann=+−=−，18a=−，∴()298192024nSnnn=−=−−−()3010kS+有解，即1030kS+有解，又max10130kS

=+，1=，（当1=时，3010kS+解得4k=或5），故存在1=，使得关于k的不等式()3010kS+有解．【点睛】本题主要考查等差，等比数列的通项公式和前n项和公式，同时考查了不等式有解，属于中档题.18.如图，在多面体ABCDP中，ABC是边

长为4的等边三角形，PAAC=，22BDCD==，42PCPB==，点E为BC的中点，平面BDC⊥平面ABC．（1）求证：//DE平面PAC（2）线段BC上是否存在一点T，使得二面角TDAB−−为直二面角？若存在，试指出点T的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见

解析；（2）存在，T为线段BC上靠近点C的八等分点.【解析】【分析】（1）根据题目条件证明DE⊥平面ACE，从而得到DE//PA，得出DE//平面PAC;（2）建立空间直角坐标系，假设存在点(),0,0T，计算平面TDA和平面BDA的法向量，使法向量数量积为零，然后求解，根据的

值确定点T的位置.【详解】解：（1）因为22BDCD==，ABC是边长为4的等边三角形，所以()()22222222216BDCDBC+=+==，所以BDC是等腰直角三角形，90BDC=．又点E为BC的中

点，所以DEBC⊥．因为平面BDC⊥平面ABC，平面BDC平面ABCBC=，所以DE⊥平面ABC．因为42PCPB==，4PAACAB===，所以222224432PAACPC+=+==，222224432PAABPB+=+==，所以PAB△与PA

C都是直角三角形，故PAAC⊥，PAAB⊥．又ACABA=，所以PA⊥平面ABC，所以DEPA∥．因为PA平面PAC，DE平面PAC，所以DE平面PAC．（2）连接AE，以E为原点，EC，EA，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角

坐标系，则()0,23,0A，()2,0,0B−，()2,0,0C，()0,0,2D，设存在(),0,0T，使得二面角TDAB−−为直二面角，易知22−，且0．设平面BAD的法向量为()1111,,nxyz=，则由()2,0,2BD=，()0,23,2AD=−，得1

111030xzyz+=−+=，令11z=，得111xx=−，133y=，故131,,13n=−．设平面TAD的法向量为()2222,,nxyz=，则由(),0,2DT=−，(),23,0AT=−，得222220,230xzxy−=−=

，令21z=，得22x=，233y=，故223,,13n=．由122233133cos,074433nn−++==+，得12103−+=，故32=．所以当T为线段BC上靠近点C的八等分点时，二面角TDAB−−为直二

面角．【点睛】本题为空间立体几何综合题，考查空间中线面平行的证明及根据二面角大小确定动点的位置问题，难度较大.解决根据二面角大小求参的问题关键点在于合理设元、计算法向量，使法向量的夹角余弦值符合题目条件即可.19.如图在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆()22

22:10xyCabab+=的离心率为55，短轴长为4．（I）求椭圆C的方程；（2）若与原点距离为1的直线1:lykxm=+与椭圆C相交于A，B两点，直线2l与1l平行，且与椭圆C相切于点M（O，M位于直线1l的两侧）．记

MAB△，OAB的面积分别为1S，2S若12SS=，求实数的取值范围．【答案】（1）22154xy+=；（2）)1,51−．【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质得到,,abc关系，求解得到标准方程；（2）设2:lykxn=+，根据12SS=可知，21mnk−=+，又1

l与原点距离为1，即21mk=+，可把化简为：1nm−，根据2l与椭圆相切，联立可得2254nk=+，由此代入化简可得2的范围，再进一步求解出的范围.【详解】（1）25a=，21c=，2224bac=−=，所以椭圆C的方程为22154xy+=．（2）因为原点与直线1:

lykxm=+的距离为1，所以211mk=+，即21mk=+，设直线2:lykxn=+，由22154ykxnxy=++=，得()22245105200kxknxn+++−=，因为直线2l与椭圆C相切，所以()()()22

2104455200knkn=−−+−=，整理得2254nk=+，因为直线1l与直线2l之间的距离21mndk−=+，所以112SABd=，2112SAB=，所以12211mnmnSnSmmk−−====−+，又2222541511nkmkk+==−++，因为20k，所以

)24,5nm，又O，M位于直线1l的两侧，所以m，n同号，所以)2,5nm，所以)11,51nm−−，故实数的取值范围为)1,51−．【点睛】本题考查椭圆几何性质、直线与椭圆的关系中求解参数范围问题，关键是构造出

满足题意的函数关系式，然后通过函数求值域的方法，求解出函数的范围，从而可以推导出参数的范围.20.2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克．第三

代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工．已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值()70,100kk为衡量标

准，其产品等级划分如下表．为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图．质量指标值k90100k859

0k8085k7580k7075k产品等级废品合格良好优秀良好（1）若从质量指标值不小于85的产品中，采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值)90,95k的件数X的分布列及数学期望；（2）将频率视为概率

，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件A．求事件A发生的概率；（3）若每件产品的质量指标值k与利润y（单位：元）的关系如下表所示；（14t）质量指标值k90100k8590k80

85k7580k7075k利润te−t3t5t3t试确定t的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值：ln20.7，ln31.1，ln51.6）【答案】（1）答案见解析；（2）0.973

；（3）1.6，90万元．【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求出质量指标值k所处范围内的频率，根据分层抽样的知识求出各层的样本数，进而利用超几何分布求解概率，得分布列，求得数学期望；（2）由频率分布直方图求出对应事件的频率，然后用频率估计概率，最后代入二项分布的公式中

求解即可；（3）根据频率分布直方图，确定每个范围内产品利润y取值的概率，建立利润y的函数模型，利用导数求函数的最值即可.【详解】解：（1）由频率分布直方图可知，质量指标值不小于85的产品中，)85,90k的频率为0.0850.4=；)90,95k

的频率为004502..=；95,100k的频率为0.0250.1=．故利用分层抽样的方法抽取的7件产品中，)85,90k的有4件，)90,95k的有2件，95,100k的有1

件．从这7件产品中任取3件，质量指标值)90,95k的件数X的所有可能取值为0，1，2，则()230537207CCPXC===；()122537417CCPXC===；()212537127CC

PXC===．所以X的分布列为X012P274717故()24160127777EX=++=．（2）设“从该产品中抽取一件为合格及以上等级”的概率为p，则根据频率分布直方图可得()10.040.0250.7p=−+=，则()()3333111

0.310.0270.973PACp=−−=−=−=．（3）由题意可得该产品的质量指标值k与对应概率如下表所示（14t）：质量指标值k90100k8590k8085k7580k7075k利润te−t3t5t3tP0.30.4

0.150.10.05故每件产品的利润()0.30.430.1550.130.050.31.5ttyettttet=−++++=−+，则()0.31.50.35ttyee=−+=−−，令0y=，则ln5t=，故当()1,ln5t时，0y，当()ln5,4t时

，0y，所以当ln5t=时，y取得最大值，()ln5max0.31.5ln51.51ln51.50.60.9ye=−+=−+=（元）．所以当ln51.6t=时，每件产品的利润取得最大值为0.9元电已知，该生

产线的年产量为100万件，所以该生产线的年盈利的最大值为0.910090=（万元）．【点睛】本题考查频率分布直方图，分层抽样，超几何分布，数学期望的求解，二项分布，利用导数研究函数的最值等，考查数据分析、数学建模、数学运算等核心素养.21.已知函数()lenxmfxxxx

=+−()mR．（1）当1em=时，求函数()fx的最小值；（2）若2e2m，()22exmxgxx−=，求证：()()fxgx．【答案】（1）0；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）1em=，对函数()fx求导，利用导数判断其单调性，进而可求出最小值；（2）构造函

数()()()()eln0xmFxfxgxxxx=−=−，对函数()Fx求导，分别求出01x和1x时，函数()Fx的单调性，进而证明其最大值小于0，即可证明结论成立.【详解】（1）由题意知()fx的定义域为()0,+?．当1

em=时，()lenexfxxxx=+−，则()()()()22ee1e111eexxxxxfxxxx−−−=+−=．令()()ee0xuxxx=−，则()eexux=−，令()0ux，得1x，令()0ux，得01x，故()ux在()1,+?上单调递增，在(

)0,1上单调递减，则()()10uxu=，即对任意()0,x+，()ee0xuxx=−恒成立．所以令()0fx¢>，得1x，令()0fx¢<，得01x，故()fx在()1,+?上单调递增，在(

)0,1上单调递减，所以当1x=时，()fx取得最小值，即()()min10fxf==．（2）令()()()()eln0xmFxfxgxxxx=−=−，220em，则()()221e1eexxxxmxmxmFxxxx−−−=−=，当01x时，()10mx−−，则()0Fx，()

Fx单调递增，所以当01x时，()()1e0mxFF=−，故()()fxgx成立；当1x时，()()()21e1xmxxFxxmx−=−−−，显然()210mxx−−，令()()()e11xxGxxmx=−−，则()()21e1Gxxmx=+−

，因为220em，所以()0Gx，即()Gx在()1,+?上单调递增，因为2e2m，所以()222e22e0mGmm−=−=，因为222e11e1e1mmm=+−−，且2e11m−，所以22

e12e1mm−，所以存在t满足22e12e1mtm−，则()22e1etmm−，整理得()2e1tmt−，则有()()22eee01ttGtmt=−−=−．因为()()20GtG，所以()Gx存在唯一零点(01,2x，所

以()01,xx时，()0Gx，()0Fx，()Fx单调递增；()0,xx+时，()0Gx，()0Fx，()Fx单调递减，所以当1x时，()Fx的最大值为()0Fx，且(01,2x．由()00Gx=，可得()000e1xxmx=−，故()000000e1lnln1

xmFxxxxx=−=−−．令()n11lxxx=−−，(1,2x，则()()21101xxx=+−，所以()x在(1,2上单调递增，所以()()2ln21x=−，故()0ln210Fx−，所以1x时，()()fxgx成立．综上所述，()()f

xgx．【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查利用导数证明不等式，考查学生逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题.选考题选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中．直线l的参数方程为00cossinxxtyy

t=+=+（t为参数，)0,）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为8cos3=−．（1）化圆C的极坐标方程为直角坐标标准方程；（2）设点()00,Pxy，圆心()002,2Cxy，若直线l与圆C交于M、N两点，求PMPNP

NPM+的最大值．【答案】（1）()()2222316xy−+−=；（2）103．【解析】【分析】（1）将圆C的极坐标方程化为243sin4cos=+，由222cossinxyxy=+==可将圆C的极坐标

方程化为直角坐标标准方程；（2）求得直线l的参数方程为1cos3sinxtyt=+=+（t为参数，)0,），设点M、N所对应的参数分别为1t、2t，将直线l的参数方程与圆C的普通方程联立，列出韦达定理，利

用直线参数方程的几何意义结合三角恒等变换、正弦型函数的有界性可求得PMPNPNPM+的最大值．【详解】（1）圆C的极坐标方程为8cos4cos43sin3=−=+，所以243sin4cos=+．因为222xy=+，cosx

=，siny=，所以224430xyxy+−−=，所以圆C的直角坐标标准方程为()()2222316xy−+−=；（2）由（1）知圆C的圆心的直角坐标为()2,23，则0022223xy==，所以0013xy==，所以直线l的参数方程

为1cos3sinxtyt=+=+（t为参数，)0,）．将直线l的参数方程代入()()2222316xy−+−=，得()223sin2cos120tt−+−=．设点M、N对应的参数分别为1t、2t，则1223sin2costt+=+，1212tt=−，(

)2222212121212122PMPNPMPNttttttPNPMPMPNtttt+++−+====()221123sin2cos24sin212126++=++，因此，当3=时

，PMPNPNPM+取得最大值103．【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用直线参数方程的几何意义求最值，涉及三角恒等变换思想以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()3fxax=−，不等式()2fx的解集为15

xx．（1）解不等式()()211fxfx+−；（2）若3m，3n，()()3fmfn+=，求证：141mn+．【答案】（1）{|0xx或8}3x；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1

）先根据已知求出1a=，再利用分类讨论法解不等式2321xx−−−即得解；（2）由()()3fmfn+=得9mn+=，再利用基本不等式证明不等式.【详解】（1）由()2fx，得232,15axax−−，()2fx的解集为15xx，则0a，1155aa

==，得1a=．不等式()()211fxfx+−可化为2321xx−−−，则()33221xxx−−−或()()233221xxx−−−−或()()23221xxx−−−−−，解得3

x或833x或0x，所以原不等式的解集为{|0xx或8}3x．（2）因为3m，3n，所以()()–33333fmfnmnmn+=−=−+−=+，即9mn+=．所以()14114141414521999nmnmmnm

nmnmnmn+=++=++++=，当且仅当4nmmn=，即3m=，6n=时取等号．所以不等式得证.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握

水平.