【文档说明】安徽省安徽师范大学附属中学2025届高三上学期9月第一次测试数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，1.415 MB，由小赞的店铺上传

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安师大附中2024-2025学年第一学期高三年级数学试题2024.9.4全卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合4Mxyx==−，231Nyyx==+，则MN=（）A)0

,+B.[0，1]C.)4,+D.)1,+【答案】D【解析】【分析】先求得集合M，N，再求其并集即可．【详解】由40x−，得4x，故)4,M=+，由231yx=+，得1y，故)1,N=+，故

)1,MN=+．故选：D．2.已知复数()122i,izzaa=−=+R，若复数12zz为纯虚数，则实数a的值为（）A.12−B.12C.-2D.2【答案】A【解析】【分析】求出12zz，再根据纯虚数概念得解.【详解】由已知，复数()()()()122ii212izzaaa=−+

=++−为纯虚数，所以210,20,aa+=−得12a=−.故选：A..3.函数()21sin1exfxx=−+的图象大致形状是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得函数为偶函数，可排除CD，然后根据()0,πx时的函

数值可排除B.【详解】因为()2e11sinsin1ee1xxxfxxx−=−=++，定义域为R，又()()()e1e1sinsine1e1xxxxfxxxfx−−−−−=−==++，所以()fx是偶函数，图象关于y轴对称，故排除CD，又当(

)0,πx时，e10,sin0e1xxx−+，()0fx，故排除B.故选：A.4.若ππ,42，且2π1coscos222++=−．则tan=（）A.3B.2C.3D.23【答案】C【解

析】【分析】根据二倍角公式以及诱导公式化简得21cos2cossin2−=−，进而根据齐次式以及弦切互化即可求解.【详解】由2π1coscos222++=−得22221cos2cossin1cos2cos

sin2cossin2−−=−=−+，进而得212tan11tan2−=−+，化简得：2tan4tan30−+=，所以tan3=或tan1=，由于ππ,42，所以tan1，故tan3=，故选：C5.已知直线:10lxay−

−=与22:2440Cxyxy+−+−=交于,AB两点，设弦AB的中点为,MO为坐标原点，则OM的取值范围为（）A.35,35−+B.31,31−+C.23,23−+D.21,21−+【答案】D【解析】【分析】首先求出圆心

坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，()00,Mxy，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到()()2200111xy−++=，从而求出动点M的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出OM的取值范围

.【详解】22:2440Cxyxy+−+−=即()()22129xy−++=，则圆心为()1,2C−，半径3r=，直线:10lxay−−=，令100xy−=−=，解得10xy==，即直线恒过定点(1,0)，又(

)()22110249−++=，所以点(1,0)在圆内，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，()00,Mxy，由22102440xayxyxy−−=+−+−=，消去x整理得()221450ayy++−=，显然0，则12241yya+=−+，

则()21212224221aaxxayya−++=++=+，所以21222121xxaaa+−+=+，122221yya+=−+，则212022121xxaaxa+−+==+，1202221yyya+==−+则()()22222002221111

11aaxyaa−−−++=+=++，又直线:10lxay−−=的斜率不为0，所以M不过点(1,0)，所以动点M的轨迹方程为()()22111xy−++=（除点(1,0)外），圆(

)()22111xy−++=的圆心为()1,1N−，半径11r=，又()22112ON=+−=，所以11ONrOMONr−+，即2121OM−+，即OM的取值范围为21,21−+.故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点M的轨迹，再求出圆心到原点的距离ON，最后根据圆的几

何性质计算可得.6.已知随机事件A，B满足()13PA=，()34PAB=∣，()716PBA=∣，则()PB=（）A.14B.316C.916D.4148【答案】A【解析】【分析】根据已知结合条件概率公式，即可得出()748PAB=，进而推得()316PAB

=.即可根据条件概率公式，得出答案.【详解】由已知可得，()()()716PABPBAPA==∣.因为()13PA=，所以，()748PAB=.又()()()13PAPABPAB=+=,所以，()316PAB=.又()()()34PABPABPB==∣，所以，()14PB=.故选：A.7.已知定

义在R上的函数()fx满足()()23exfxfx=−+，则曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程为A.33yx=+B.33yx=−C.3yx=+D.3yx=−【答案】C【解析】【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程.【详解】因为()(

)23exfxfx=−+，所以()()23exfxfx−−=+，联立可解得()e2exxfx−=+，所以()03f=，所以()()e2e,01xxfxf−=+−=.所以曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点()()0,0f处的切线方程为3yx−=，故所求的切线方程为3yx=+.故选：

C.8.12,FF是双曲线()2222:1,0xyEabab−=的左､右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足1260FMNFMN==，若()1235MFMFMN+=R，则双曲线E的离心率为（）A.87B.6

5C.53D.72【答案】D【解析】【分析】根据向量加法运算法则，结合平行四边形的性质可确定以123,5MFMF为邻边的平行四边形为菱形，得到1235MFMF=，结合双曲线定义可求得12,MFMF，利用余弦定理可构造,ac的齐次方程，从而求得离心率.

【详解】设MNMQ=，则1235MFMFMQ+=，MQ是以123,5MFMF为邻边的平行四边形的一条对角线，又1260FMNFMN==，MQ为12FMF的角平分线，以123,5MFMF为邻边的平行四边形为菱形，1235MFMF=，由双曲

线定义知：122MFMFa−=，23MFa=，15MFa=，在12FMF△中，由余弦定理得：2222222492530cos120341549caaaaaa=+−=+=，双曲线E的离心率49742cea===.故选：D.二、多选题：本大题

共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A.某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7

，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8B.若随机变量()100,XBp，且()20EX=，则()16DX=C.若随机变量()2,XN，且(4)(2)PXPXp=−=，则()1212PXp−=−D.对一组样本数据()()()1122,,

,,,,nnxyxyxy进行分析，由此得到的线性回归方程为：ˆˆˆybxa=+，至少有一个数据点在回归直线上【答案】BC【解析】【分析】对于A，根据百分位数的定义求解判断即可；对于B，根据二项分布的均

值和方差求解即可判断；对于C，根据正态分布的性质求解即可判断；对于D，结合线性回归方程的定义即可判断.【详解】对于A，将10次射击成绩从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9.因为1070%7=，所以这组数据的第70百分位数为898.52+=，故A错误；对于B，由()100,

XBp，则()10020EXp==，即15p=，则()()1410011001655DXpp=−==，故B正确；对于C，因为(4)(2)PXPXp=−=，则2412−+==，所以()1212PXp

−=−，故C正确；对于D，数据可能都不在回归直线上，故D错误.故选：BC.10.已知数列na满足111,23nnnaaaa+==+，则下列结论正确的有（）A.13na+为等比数列B.na的通项公式为1123nna+=−C.na为递增数列D.1na

的前n项和2234nnTn+=−−【答案】ABD【解析】【分析】根据已知证明11313nnaa+++为定值即可判断A；由A选项结合等比数列的通项即可判断B；作差判断1nnaa+−的符号即可判断C；利用分组求和法即可判断D.【详解】因为111,23nnnaaaa+==

+，所以12312nnnnaaaa++==+3，所以111323nnaa++=+，又因为1134a+=，所以数列13na+是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；1113422nnna−++==，即1123nna

+=−，故B正确；因为()()()()()()12112121212323112232323232323nnnnnnnnnnnaa++++++++++−−−−−−−−−==−=−−，因为1n，所以2110230,230,2nnn+++−−，所以10nnaa+−，所以na为递减数

列，故C错误；1231nna+=−，则()()2341241222223323412nnnnTnnn++−=++++−=−=−−−，故D正确.故选：ABD.11.1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常

数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系xOy中，设定点()1,0Fc−，()2,0Fc，其中0c，动点(),Pxy满足212PFPFa=（0a且a为常数），化简可得曲线C：2222244xyccxa++=+，则（）A.原点O在曲线C的内

部B.曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形C.若ac=，则OP的最大值为2aD.若02ac，则存在点P，使得12PFPF⊥【答案】BCD【解析】【分析】对于A，将原点坐标代入方程判断，对于B，对曲线方程以x−代x，y−代y进行判断，对于C，利用曲线方程

求出x的取值范围，结合两点间的距离公式进行判断，对于D，若存在点P，使得12PFPF⊥，然后由120PFPF=化简计算即可判断.【详解】对于A，将(0,0)O代入方程，得22ca=，所以当ac=时，原点O在曲线C上，所以A错误，对于B，以x−代x，得22

2224()4()xyccxa−++=+−，得2222244xyccxa++=+，所以曲线关于y轴对称，y−代y，得222224()4xyccxa+−+=+，得2222244xyccxa++=+，所以曲线关于x轴对称，以x−代x，y−代y，得222224()()4()xyccxa−+−+=+−，

得2222244xyccxa++=+，所以曲线关于原点对称，所以曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以B正确，对于C，当ac=时，由2222244xyaaxa++=+，得22242240yaxaxa−−+

=，解得222xa，所以2222242224224422OPxyxaaaaaaaa=+=+−+−=，所以2OPa，所以OP的最大值为2a，所以C正确，对于D，若存在点P，使得12PFPF⊥，则12PFPF⊥，因为12(,)

,(,)PFcxyPFcxy=−−−=−−，所以2220xcy−+=，所以222xyc+=，所以由2222244xyccxa++=+，得222424ccxa=+，所以222ca，所以02ac，反之也成立，所以当02ac，则存在点P，使得12PFPF⊥，所以D正确

，故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设623601236(21)xaaxaxaxax−+=+++++，则0246aaaa+++=______．【答案】365【解析】【分析】令1x=,1x=−即可求0246aaaa+++的值.【详解】623601236(2

1)xaaxaxaxax−+=+++++，令1x=，可得601236(211)1aaaaa+++++−+==，①令1x=−，可得45601236(729211)aaaaaaa+++−−−==+，②①+②可得02461(1729)3

652aaaa+++=+=.故答案为：365.13.已知正数x，y满足6xy+=，若不等式2212xyaxy+++恒成立，则实数a的取值范围是___________．【答案】(,4−【解析】【分析】将2212xy

xy+++变形为1414122431212xyxyxy++−+++−=++++++，利用均值不等式求1412xy+++的最小值即可求解.【详解】因为6xy+=，所以()()()()2222121124241212xxyyxytxyxy+−+++−++=+=++

+++1414122431212xyxyxy=++−+++−=++++++，所以1412143312912xytxyxy+++=++=++++++()()()()()()4141322322249919299192x

xyyxyxy++++=+++=++++，等号成立当且仅当4,2yx==，所以22min412xyxy+=++，4a，故实数a的取值范围是(,4−.故答案为：(,4−【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到221431

212xyxyxy+=++++++，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解.14.已知函数()()1e,0ln,0xxxfxxxx+=，函数()()()()222gxfxafxa=−++，若函数()gx恰有三个零点，则a的取值范围是____

__.【答案】211,00,ee−【解析】【分析】利用导数分析函数()fx的单调性，作出函数()fx的大致图象，令𝑔(𝑥)=0可得，()2fx=或()fxa=，由条件结合图象

可得a的取值范围.【详解】当0x时，()()1exfxx=+，所以()()()e1e2exxxfxxx=++=+，当<2x−时，𝑓′(𝑥)<0，函数()fx在(),2−−上单调递减，当20x−时，𝑓

′(𝑥)>0，函数()fx在(2,0−上单调递增，且()01f=，()22ef−−=−，()10f−=，当1x−时，()0fx，当10−x时，()0fx，当x→−时，与一次函数1yx=+相比，函数exy−

=增长速度更快，从而()10exxfx−+=→，当0x时，()lnxfxx=，所以()21lnxfxx−=，当0ex时，𝑓′(𝑥)>0，函数()fx在()0,e上单调递增，当ex+时，𝑓′(𝑥)<0，函数()f

x在()e,+上单调递减，且()1eef=，()10f=，当1x时，()0fx，当01x时，()0fx，当x→+时，与对数函数lnyx=相比，一次函数yx=增长速度更快，从而()ln0xfxx=→，当0x，且0x→时，()lnxfx

x=→−，根据以上信息，可作出函数()fx大致图象如下：函数()()()()222gxfxafxa=−++的零点个数与方程()()()2220fxafxa−++=的解的个数一致，方程()()()2220fxafxa−++=，可

化为()()()()20fxfxa−−=，所以()fxa=或()2fx=，由图象可得()2fx=没有解，所以方程()()()2220fxafxa−++=的解的个数与方程()fxa=解的个数相等，而方程()fxa=的

解的个数与函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象与函数ya=的图象的交点个数相等，由图可知：当211,00,eea−时，函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象与函数ya=的图象有3个交点.故答案为：211,00,ee

−.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成

求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABCV中，内角,,ABC

所对的边分别为cosπ,,,2sincos6AabcCB=−．的的（1）求B；（2）若ABCV的面积为3,AC边上的高为1，求ABCV的周长．【答案】（1）π3B=（2）2623+．【解析】【分析】（1）利用和差公式和三角形内角和定理将已知条件展开，然后化简整理即可得解；（2）利用

三角形面积公式求出b，然后由面积公式和余弦定理列方程组可得ac+，可得周长.【小问1详解】由cosπ2sincos6ACB=−，得31cos2cossincos22ABCC=−，①由πABC++=，得()coscoscoscossi

nsinABCBCBC=−+=−+，②由①②联立，得sinsin3cossinBCBC=，由()0,πC，得sin0C，所以tan3B=，又由𝐵∈(0,π)，得π3B=．【小问2详解】因为ABCV的面积为3，所以1132b=，得23b=．由1sin3

2acB=，即13322ac=，所以4ac=．由余弦定理，得2222cosbacacB=+−，即2212acac=+−，所以2()31224acac+=+=，可得26ac+=，所以ABCV的周长为2623abc++=+．16.某中学为了解高中数学学习中抽象思维与性别的关系

，随机抽取了男生120人，女生80人进行测试.根据测试成绩按[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组得到如图所示的频率分布直方图，并且男生的测试成绩不小于60分的有80人.（1）填写下面的22列联表，判断是否有95%的把握认为高中数

学学习中抽象思维与性别有关；成绩小于60成绩不小于60合计男女合计（2）规定成绩不小于60（百分制）为及格，按及格和不及格用分层抽样，随机抽取10名学生进行座谈，再在这10名学生中选2名学生发言，设及格学生发言的人

数为X，求X的分布列和期望.附：()()()()22()nadbcKabcdacbd−=++++()2PKk0.100.0500.010k2.7063.8416.635【答案】（1）表格见解析，有95%的把握认为高中

数学学习中抽象思维与性别有关（2）分布列见解析，65【解析】【分析】（1）计算成绩小于60分的人数，填写2×2列联表，进行独立性检验即可；（2）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，根据超几何分别写出分布列和期望即可．【小问1详解

】成绩小于60分的人数为：()2000.00250.00750.01202000.480++==由题意，得22列联表如下表：成绩小于60成绩不小于60合计男4080120女404080合计80120200()()()()222()200(40404080)5053.841

80120801209nadbcKabcdacbd−−===++++故有95%的把握认为高中数学学习中抽象思维与性别有关；【小问2详解】由（1）知，200人中不及格的人数为80，及格人数为120用分层抽样随机抽取的10名学生中不及格有4人，及格有6人由题意，X的所有可

能取值为0,1,2，且X服从超几何分布，则()()264210CC0,1,2CkkPXkk−===，即：()()()021120646464222101010CCCCCC2810,1,2C15C15C3PXPXPX=========X的分布列为.X012P215815132816

012.151535EX=++=17.已知四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为梯形，//ABCD，1AA⊥平面ABCD，ADAB⊥，其中12,1.ABAAADDCN====是11BC的中点，M是1DD的中点.（1）求证1//DN平面1

CBM；（2）求平面1CBM与平面11BBCC的夹角余弦值；【答案】（1）证明见解析；（2）22211.【解析】【分析】（1）取1CB中点P，利用线面平行判定推理即得.（2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面1CBM与平面11BBCC的法向量，再利用

面面角的向量求解即得.【小问1详解】取1CB中点P，连接,NPMP，由N是11BC的中点，得1//NPCC，且112NPCC=，由M是1DD的中点，得1111122DMDDCC==，且11//DMCC，则有11//,DMNPDMNP=，四边形

1DMPN是平行四边形，于是1//DNMP，又MP平面11,CBMDN平面1CBM，所以1//DN平面1CBM【小问2详解】四棱柱1111ABCDABCD−中，1AA⊥平面ABCD，ADAB⊥，则直线1,,ABADAA两两垂直，以A为原点，直线1,,ABADAA分别为,,x

yz轴建立空间直角坐标系，如图，有()()()()()()110,0,02,0,0,2,0,2,0,1,1,1,1,0,1,1,2ABBMCC､，则有()()()111,1,2,1,0,1,0,0,2CBCMBB=

−=−=，.设平面1CBM与平面11BBCC的法向量分别为()()111222,,,,,mxyznxyz==，则有111111200mCBxyzmCMxz=−+==−+=，令11x=，得()1,3,1

m=，1222122020nCBxyznBBz=−+===，令21x=，得()1,1,0n=，因此13222cos,1119111mnmnmn+===+++.所以平面1CBM与平面11BBCC的夹角余弦值为22211

.18.已知O为坐标原点，()10F,是椭圆C：()222210+=xyabab的右焦点，过F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点．当A为短轴顶点时，AOF的周长为33+．（1）求C方程；（2）若线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P，Q，M为线段AB的中点，求PMPQ

的取值范围．【答案】（1）22143xy+=（2）30,16【解析】【分析】（1）根据题意，得到1c=且133ab++=+，结合221ab=+，列出方程求得,ab的值，即可求解.（2）解法一：设直线():1ABykx=−，联立方程组，利用韦达定理得到22243,4343kkMkk

−++，得出AB的垂直平分线的方程，求得2243Pkxk=+，化简()()22223143kkPMPQk+==+，利用换元法和二次函数的性质，即可求解；解法二：设:1ABxmy=+，联立方程组，利用根与系数的关系得到2243

,3434mMmm−++，进而得到的2134Pxm=+，化简()()2223134mPMPQm+==+，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】设椭圆C的焦距为2c，因为椭圆C的焦点为()10F,，

可得1c=，又因为A为短轴顶点时，AOF的周长133ab++=+，又由221ab=+，所以()22231aa=+−+，解得2,3ab==，所以椭圆C的标准方程为22143xy+=．【小问2详解】解法一：因为椭圆C的焦点为()10F,，设直线():1ABykx=−，联立方程

组()221143ykxxy=−+=，整理得()22224384120kxkxk+−+−=，设()11,Axy，()22,Bxy，则2122843kxxk+=+，()121226243kyykxxkk−+=+−=+

，则22243,4343kkMkk−++，于是线段AB的垂直平分线的方程为2221434343kkyxkkk=−−−++，令0y=，可得2243Pkxk=+，由221111MPPPMPQxxxkk=+−+()()22222222

2223114143434343kkkkkkkkkk+=+−=++++，令2433tk=+，则()()()222222231323311321161643kkttPMPQtttk+−−===−−++，因为3t，所以

110,3t，可得()2113210,1tt−−+，因此231133210,1616PMPQtt=−−+．解法二：因为椭圆C的焦点为()10F,，设

直线:1ABxmy=+，联立方程组221143xmyxy=++=，整理得()2234690mymy++−=，设()11,Axy，()22,Bxy，则122634myym−+=+，()121228234xxmyym+=++=+，则2243,3434mMmm−++，可得线

段AB的垂直平分线的方程为22433434mymxmm=−−−++，令0y=，得2134Pxm=+，由2211MPPPMPQmxxmx=+−+()()()222222231411134343434mmmmmm+=+−=++++．令2444tm=+，则()

()222223111134mtPMPQtttm+−===−++，因为4t，可得110,4t，可得21130,16tt−+，因此30,16PMPQ．【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值

域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标

函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.19.已知函数()()1lnRfxaxxax=−+.（1）

若2a=，求证：当1x时，()0fx（2）若()fx有两个不同的极值点()1212xxxx，且124xx+.（i）求a的取值范围；（ii）求证：()223fx.【答案】（1）见解析（2）（i）24a（ii）证明见解析【解析】【分析】（1

）求导判断函数的单调性即可求解最值证明，（2）根据极值点可得韦达定理，根据一元二次方程根的分布即可求解a的范围，利用1221xxx=，消去1x，进而看做关于2x的函数，构造()11lngxxxxxx=−++，利用导数求解函数的单调性，即可求解最

值判断，结合对数与指数的单调性即可求解.【小问1详解】2a=时，()12ln,fxxxx=−+则()()222221212110xxxfxxxxx−−−+−=−−==，故()fx在)1,+单调递减，故()()10fxf=，故1x时，()0fx，【小问2详解】（i）()

222111axaxfxxxx−+−=−−=，由于()fx有两个不同的极值点()1212xxxx，且124xx+，故()1212xxxx，是210xax−+−=的两个不相等的正实数根，故21212Δ40010axxaxx=−+==，解得2a

，故24a（ii）由于121210xxaxx+==，所以1221xxx=，故21x，由于122214xxxx=++，故223x+1，()()222122222222221111lnlnlnfxaxxxxxxxxxxxxx=−+−+−+=+=+，令()(11

ln,1,23gxxxxxxx=−+++，故222211111()1ln1lnxgxxxxxxxxx−=−+++−−=，当123x+时，()0gx，故()gx在123x+单调递增，故()

()()()()11ln4ln2323232323232323gxg−+=−+=+++++++，由于()23323743152.515.625e,+=+=故33223ee+()ln233+，因此()()()32

3234ln2343232gxf−+==+-，故()223fx.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，

直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.