【文档说明】湖北省黄冈市部分普通高中2023-2024学年高一上学期期中数学试题+含解析.docx，共(13)页，71.764 KB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年第一学期湖北省黄冈市普通高中阶段性教学质量监测高一数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合𝑈={−2,−1,0,1,2}，𝐴={−1,2

}，𝐵={−1,0,1}，则(∁𝑈𝐵)∪𝐴=()A.{−2,−1,1,2}B.{−2,−1,2}C.{−2,2}D.{2}2.函数𝑓(𝑥)=1√1−2𝑥的定义域为()A.(−∞,12)B.(−∞,12]C.(12,1)D.

(0,12)3.已知命题𝑝:∀𝑥∈𝑅，𝑎𝑥2+2𝑥−1≤0.若命题p为真命题，则实数a的取值范围是()A.{𝑎|𝑎<−1}B.{𝑎|−1<𝑎<0}C.{𝑎|𝑎≤−1}D.{𝑎|−1≤𝑎<0}4.已知函数𝑓(𝑥)={𝑥2−3,𝑥>2|𝑥−2|+1,𝑥≤2，则

𝑓(𝑓(√5))=()A.−1B.−32C.−34D.15.若关于x的不等式𝑥2+𝑎𝑥+𝑏<0的解集为(3,4)，则𝑏𝑥2+𝑎𝑥+1>0的解集为()A.(−∞,3)∪(4,+∞)B.(3,4)C.(14,13)D.(−∞,14)∪(

13,∞)6.若函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑎+1+2𝑎是区间[−𝑎,𝑎2]上的偶函数，𝑚=𝑓(𝑎)，𝑛=𝑓(0)，𝑝=𝑓(−2)，则m，n，p的大小关系为()A.𝑚<𝑛<𝑝B.𝑛<𝑚<𝑝C.𝑝<𝑚

<𝑛D.无法比较7.已知𝑥<3，则函数𝑦=𝑥2−3𝑥+4𝑥−3的最大值为()A.−1B.7C.−3D.2√38.设集合𝐴={𝑥|𝑥<−12或𝑥>1}，集合𝐵={𝑥|𝑥2−2𝑎𝑥−1≤0,𝑎>0}，若𝐴∩𝐵中恰

有两个整数，则实数a的取值范围()A.(0,43]B.[43,158)C.[2,158)D.(1,+∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知

a，b，𝑐∈𝑅，下列说法正确的是()A.若𝑎𝑐2+1>𝑏𝑐2+1，则𝑎>𝑏B.若𝑎>𝑏且𝑎𝑏>0，则𝑎2>𝑏2C.若𝑎2>𝑏2且𝑎𝑏>0，则1𝑎>1𝑏D.若−1<2𝑎+

𝑏<1，−1<𝑎−𝑏<2，则−3<4𝑎−𝑏<510.下列结论正确的是()A.“𝑎∈𝑀∪𝑁”是“𝑎∈𝑀”的充分不必要条件B.“|𝑥|<2”的一个必要不充分条件是“𝑥<3”.C.“∃𝑥∈𝑅，𝑥2+

𝑥+1<0′的否定是“∀𝑥∈𝑅，𝑥2+𝑥+1≥0”D.方程𝑥2−2𝑥−𝑚=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是−1<𝑚<011.德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，秋利克雷函数就以其名命名，其解析式为𝐷(𝑥

)={1,𝑥是有理数0,𝑥是无理数，则关于秋利克雷函数𝐷(𝑥).下列结论正确的是()A.函数𝐷(𝑥)是奇函数B.∀𝑟∈𝑄，𝐷(𝑟−𝑥)=𝐷(𝑟+𝑥)C.函数𝐷(𝐷(𝑥))是偶函数D.𝐷(𝑥)的值域为{0,1}12.已知函数𝑓(𝑥)的定义域为R，且�

�(𝑥)+1为奇函数，𝑓(𝑥+1)为偶函数，且对任意的𝑥1，𝑥2∈(2,3)，且𝑥1≠𝑥2，都有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2>1，则下列结论正确的是()A.𝑓(0)=1B.𝑓(2024)=−1C.𝑓(52)+𝑓(13)>−116D.𝑓(154)+14>

𝑓(−12)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设m，𝑛∈𝑅，集合𝑃={1,𝑚}，𝑄={2,−𝑛}.若𝑃=𝑄，则𝑚𝑛=__________.14.已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥−1)2+𝑎𝑥2+𝑏是奇函数，则实数𝑎+𝑏

=__________.15.对满足1𝑥+1+4𝑦=1的任意正实数x，y，不等式𝑥+𝑦4>𝑚2−5𝑚−3恒成立，则实数m的取值范围是__________.(用区间或集合的形式表示)16.已知𝑓(�

�)={𝑥2+2𝑥,−3≤𝑥≤𝑐1𝑥,𝑐<𝑥<3若𝑐=0，则𝑓(𝑥)的值域为__________.若𝑓(𝑥)的值域是[−1,3]，则实数c的取值范围是__________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已

知全集𝑈=𝑅，集合𝐴={𝑥|𝑥2+3𝑥−18≤0}，𝐵={𝑥|1𝑥+1≤−1}(1)求(∁𝑈𝐵)∩𝐴.(2)若集合𝐶={𝑥|2𝑎<𝑥<𝑎+1}，且𝐵𝑈𝐶=𝐵，求实数

a的取值范围.18.已知命题𝑝:∃𝑥∈(−1,1)，𝑥2−(𝑎+2)𝑥+2𝑎=0，命题𝑞:𝑥1和𝑥2是方程𝑥2−2𝑚𝑥−3=0的两个实根，不等式𝑎2−3𝑎≥|𝑥1−𝑥2|

对任意实数𝑚∈[−1,1]恒成立;(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围;(2)若命题𝑝.𝑞有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围.19.已知𝑓(𝑥)为偶函数，且当𝑥≥0时.𝑓(𝑥)={𝑥(2−𝑥),0≤𝑥≤2(𝑎−𝑥

)(𝑥−2),𝑥>2(1)求当𝑥<0时，𝑓(𝑥)的解析式;(2)若𝑎=4，求当函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象与直线𝑦=𝑚恰有8个不同的交点时实数m的取值范围.20.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2

+2𝑥的定义域为[1,+∞).(1)用单调性的定义证明𝑓(𝑥)在[1,+∞)上是增函数;(2)若函数𝑦=𝑔(𝑥)是R上的减函数，且不等式𝑔(𝑥3+2)<𝑔((𝑎2−2𝑎)𝑥)在𝑥∈[1,+∞)上恒成立，求实数a

的取值范围.21.小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进行探究.已知一矩形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷(其中𝐴𝐵>𝐴𝐷)的周长为20√2𝑐𝑚.他把△𝐴𝐵𝐶沿AC向△𝐴𝐷𝐶折叠

，AB折过去后交DC于点𝑃.他在思索一个问题：如果改变AB的长度(周长保持不变)，△𝐴𝐷𝑃的面积是否存在最大值?请帮他确定△𝐴𝐷𝑃的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度;若不存在，试说明理由?22.定义：若函数𝑓(𝑥)在其定义域内存在实

数𝑥0，使𝑓(𝑥0)=𝑥0，则称𝑥0是𝑓(𝑥)的一个不动点.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+(2𝑏−1)𝑥+𝑏−2(𝑎≠0).(1)若对任意的实数b，函数𝑓(𝑥)恒有两个不动点，求实数a的取值范围

;(2)在(1)的条件下，若𝑦=𝑓(𝑥)图象上两个点A、B的横坐标是函数𝑓(𝑥)的不动点，且A、B中点C在函数𝑔(𝑥)=−𝑥+𝑎3𝑎2−2𝑎+1的图象上，求实数b的最小值.2023-202

4学年第一学期湖北省黄冈市普通高中阶段性教学质量监测高一数学试题参考答案1.【答案】B【解析】【分析】本题考查集合的交并补混合运算，为基础题.【解答】解：∁𝑈𝐵={−2,2}，(∁𝑈𝐵)∪𝐴={−2,−1,2}，故

选𝐵.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的定义域，属于基础题.结合函数解析式列出不等式，求解即可.【解答】解：由题知1−2𝑥>0，∴𝑥<12，故函数𝑓(𝑥)的定义域为(−∞,12).故选𝐴.3.【答案】C【解析】【分析】本题考查命题的真假判断与应用，二

次函数的性质，考查学生逻辑推理能力，属于基础题．利用命题为真命题结合二次函数判别式建立不等式，求解实数a的取值范围.【解答】解：由题意可知{𝑎<0𝛥=4+4𝑎≤0，解得𝑎≤−1.故选C4.【答案】D【解析】【分析】本题考查分段函数值的求解，为基础题.【解答】解：𝑓(√

5)=2,𝑓(2)=1，故𝑓(𝑓(√5))=1，故选𝐷.5.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，以及解一元二次不等式，属于基础题.由已知可得方程𝑥2

+𝑎𝑥+𝑏=0的两个根为3和4，从而可求出𝑎=−7,𝑏=12，则不等式𝑏𝑥2+𝑎𝑥+1>0可化为12𝑥2−7𝑥+1>0，进而可求出不等式的解集.【解答】解：因为不等式𝑥2+𝑎𝑥+𝑏<0的解集是(3,4)，所以方程𝑥2+𝑎𝑥+𝑏=0的两个根为3和4，所以−�

�=7,𝑏=12，得𝑎=−7,𝑏=12，不等式𝑏𝑥2+𝑎𝑥+1>0可化为12𝑥2−7𝑥+1>0，即(3𝑥−1)(4𝑥−1)>0，解得𝑥<14或𝑥>13，所以不等式𝑏𝑥2+𝑎𝑥+1>0的解集为(−∞,14)

∪(13,+∞)，故选𝐷.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用偶函数的性质比较大小，属于中档题.【解答】解：由偶函数的区间对称性可知𝑎=𝑎2，且𝑓(𝑥)=𝑥𝑎+1+2𝑎=𝑓(−𝑥)=(−𝑥)𝑎+1+2𝑎，解得�

�=1，故𝑓(𝑥)=𝑥2+2，𝑚=𝑓(𝑎)=𝑓(1)=3，𝑛=𝑓(0)=2，𝑝=𝑓(−2)=6，故𝑛<𝑚<𝑝.故选𝐵.7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用基本不等式求最值的问题，先令𝑡=3−

𝑥，将原式化为有关t的代数式，最后化简，利用基本不等式即可求出答案.【解答】解：因为𝑥<3，所以3−𝑥>0，设𝑡=3−𝑥，则𝑡>0，𝑦=(3−𝑡)2−3(3−𝑡)+4−𝑡=𝑡2−3𝑡+4−𝑡=−(𝑡+4𝑡)+3≤−2√4+3=−1当且仅

当𝑡=4𝑡即𝑡=2相当于𝑥=1时取等号，所以原函数的最大值是−1.8.【答案】B【解析】【分析】本题考查含参数的集合交集运算，三个二次之间的关系，属于中档题.分类讨论整数的情况，求出参数的范围.【解答

】解：由题知，方程𝑥2−2𝑎𝑥−1=0的两根异号，设𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥−1，(𝑎>0)①若𝐴∩𝐵中恰有两个整数为2，3，则{𝑓(−1)=1+2𝑎−1>0𝑓(3)=9−6𝑎−1≤0𝑓(4)=16−8𝑎−1>0,∴43≤𝑎<158;

②若𝐴∩𝐵中恰有两个整数为−1，2，则{𝑓(−2)=4+4𝑎−1>0𝑓(−1)=1+2𝑎−1≤0且{𝑓(2)=4−4𝑎−1≤0𝑓(3)=9−6𝑎−1>0,∴𝑎∈⌀;③若𝐴∩𝐵中有两个整数为−1，−2，则{𝑓(−2)=4+4𝑎−1⩽0𝑓(−3)=9+6𝑎−1>

0且{𝑓(1)=1−2𝑎−1⩾0𝑓(0)=−1<0,∴𝑎∈∅，综上𝑎∈[43,158).故选𝐵.9.【答案】AD【解析】【分析】本题考查不等式的性质，考查了利用作差法比较式子的大小，是基础题.利用不等式的

基本性质，对选项中的命题判断正误即可.【解答】解：对于A，因为𝑐2+1>0，𝑎𝑐2+1>𝑏𝑐2+1，所以𝑎>𝑏，故A正确;对于B，因为𝑎>𝑏且𝑎𝑏>0，所以𝑎2−𝑏2=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)>0，可知𝑎−𝑏>0，由于𝑎+𝑏的范围不确定，故无

法判断，故B错误;对于C，不妨设𝑎>𝑏>0，则1𝑎−1𝑏=𝑏−𝑎𝑎𝑏<0，即1𝑎<1𝑏，故C错误;对于D，令4𝑎−𝑏=𝑚(2𝑎+𝑏)+𝑛(𝑎−𝑏)，则4𝑎−𝑏=(2𝑚+𝑛)𝑎+(𝑚−𝑛)𝑏∴{2𝑚+𝑛=4𝑚−𝑛=−1.∴𝑚=1，

𝑛=2，∴4𝑎−𝑏=(2𝑎+𝑏)+2(𝑎−𝑏)，∵−1<2𝑎+𝑏<1，−1<𝑎−𝑏<2′∴−3<(2𝑎+𝑏)+2(𝑎−𝑏)<5，即−3<4𝑎−𝑏<5.故D正确.10.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查充分必要条件的判断及应用

，命题的否定，为简单题.【解答】解：“𝑎∈𝑀∪𝑁”是“𝑎∈𝑀”的必要不充分条件，A错；“|𝑥|<2”的一个必要不充分条件是“𝑥<3”，满足必要不充分的概念，注意理解题意，正确；“∃𝑥∈𝑅，𝑥2+𝑥+1<0′的否定是“∀𝑥∈𝑅，𝑥2+𝑥+1≥0”，C

正确；方程𝑥2−2𝑥−𝑚=0有两个同号且不相等的实根，{4+4𝑚>0−𝑚>0，即−1<𝑚<0，故充要条件是−1<𝑚<0.故选𝐵𝐶𝐷.11.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查定义新函数的性质，考查运算能力和转换能力及思维

能力，属于中档题．利用函数的性质，判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：若x是有理数，则−𝑥是有理数，𝐷(−𝑥)=𝐷(𝑥)，若x是无理数，则−𝑥是无理数，𝐷(−𝑥)=𝐷(𝑥)，故函数𝐷(𝑥)为偶函数，故A错误；对于B：当𝑥∈𝑄时，𝑟−𝑥∈𝑄，𝑟+𝑥∈

𝑄，故𝐷(𝑟−𝑥)=𝐷(𝑟+𝑥)=1，当𝑥∉𝑄时，𝑟−𝑥∉𝑄，𝑟+𝑥∉𝑄，𝐷(𝑟−𝑥)=𝐷(𝑟+𝑥)=0，故B正确；对于C：𝐷(𝐷(−𝑥))=𝐷(𝐷(𝑥))，则𝐷(𝐷(𝑥))还为偶函数，故C正确；对于D：当x为有理数时，�

�(𝑥)=1，当x为无理数时，𝐷(𝑥)=0，𝐷(𝑥)的值域为{0,1}，故D正确．故选：𝐵𝐶𝐷.12.【答案】BC【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性周期性，属于难题，灵活转化是关键.【解答】解：因为𝑓(𝑥)+1为奇函数，所以𝑓(0)+

1=0，即𝑓(0)=−1，故A错误;因为𝑓(𝑥+1)为偶函数，所以𝑓(𝑥+1)=𝑓(−𝑥+1)，则有𝑓(𝑥)=𝑓(2−𝑥)，𝑓(𝑥+4)=𝑓(−𝑥−2)，又由𝑓(𝑥)+1为奇函数

，得𝑓(−𝑥)+1+𝑓(𝑥)+1=0，即𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=−2，𝑓(−𝑥−2)+𝑓(𝑥+2)=−2，所以𝑓(2−𝑥)+𝑓(−𝑥)=−2，𝑓(2+𝑥)+𝑓(𝑥)=−2，𝑓(𝑥+4)=−2−𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥)，所以𝑓(2024)

=𝑓(4×506)=𝑓(0)=−1，B正确；由𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=−2可知当𝑥=−13得𝑓(13)=−𝑓(−13)−2，由𝑓(−𝑥+1)=𝑓(𝑥+1)知，当𝑥=43得𝑓(−13)=𝑓(73)，所以𝑓(13)=−𝑓(−13)−2=−𝑓(73)−2，所以𝑓

(52)+𝑓(13)=𝑓(52)−𝑓(73)−2，𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2>1⇒𝑓(𝑥1)−𝑥1−𝑓(𝑥2)+𝑥2𝑥1−𝑥2>0易知𝑦=𝑓(𝑥)−𝑥在(2,3)上单调

递增，且52>73，所以𝑓(52)−52>𝑓(73)−73，所以𝑓(52)+𝑓(13)=𝑓(52)−𝑓(73)−2>−73+52−2=−116，所以C正确;对于选项D，由𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+4)及𝑓(−𝑥+1)=�

�(𝑥+1)得𝑓(154)=𝑓(−14)=𝑓(94)，𝑓(−12)=𝑓(52)，所以𝑓(154)−𝑓(−12)=𝑓(94)−𝑓(52)，易知𝑦=𝑓(𝑥)−𝑥在(2,3)上单

调递增，且52>94，所以𝑓(94)−94<𝑓(52)−52，所以𝑓(94)−𝑓(52)<94−52=−14，即𝑓(154)+14<𝑓(−12)，所以选项D错误，13.【答案】12【解析】【分析】本题考查集合相等，属于基础题.利用集合相等的定义，即可求解.【解答】解：∵𝑚

，𝑛∈𝑅，集合𝑃={1,𝑚}，𝑄={2,−𝑛}，𝑃=𝑄，∴𝑚=2，𝑛=−1，∴𝑚𝑛=12.故答案是：12.14.【答案】−2【解析】【分析】本题考查利用函数奇偶性求参，属于基础题.

利用𝑓(0)=0,𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，求出a，𝑏.【解答】解：由题知，函数𝑓(𝑥)的定义域为R，则𝑓(0)=0，则𝑓(0)=1+𝑏=0，∴𝑏=−1，又𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥),即(𝑥+1)2+𝑎𝑥2−1=−(𝑥−1)2−𝑎𝑥2+1，∴(1+𝑎

)𝑥2=−(1+𝑎)𝑥2，∴𝑎=−1，故𝑎+𝑏=−1.15.【答案】{𝑚|−1<𝑚<6}【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用及一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．利用基本不等式可把问题转化为解不等式𝑚2−5𝑚<6，由此容易得解．【解答】解：由题意可知，原不

等式可变为𝑚2−5𝑚<(𝑥+3)+𝑦4，所以，只需要𝑚2−5𝑚小于(𝑥+3)+𝑦4的最小值，由(𝑥+3)+𝑦4=[(𝑥+1)+𝑦4](1𝑥+1+4𝑦)+2=4+4(𝑥+1)𝑦+𝑦4(�

�+1)≥4+2√4(𝑥+1)𝑦×𝑦4(𝑥+1)=6，当且仅当4(𝑥+1)𝑦=𝑦4(𝑥+1)，即𝑦=8,𝑥=1时取等号，所以𝑚2−5𝑚<6，解得−1<𝑚<6，所以，m的取值范围为{𝑚|−1<𝑚<6}.故答案

为{𝑚|−1<𝑚<6}.16.【答案】[−1,+∞)；[13,1]【解析】【分析】本题考查了分段函数、函数的值域，属于中档题.(1)若𝑐=0，则𝑓(𝑥)={𝑥2+2𝑥,−3≤𝑥≤𝑐1𝑥,𝑐<𝑥

<3故可分开讨论得𝑓(𝑥)的值域;(2)分当𝑐<𝑥≤3时，当−3≤𝑥≤𝑐时，代入讨论可求实数c的取值范围.【解答】解：(1)若𝑐=0，则𝑓(𝑥)={𝑥2+2𝑥,−3≤𝑥≤𝑐1𝑥,�

�<𝑥<3当−3≤𝑥≤0时，𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥=(𝑥+1)2−1∈[−1,3]，当0<𝑥≤3时，𝑓(𝑥)=1𝑥∈[13,+∞).综上，𝑓(𝑥)的值域是[−1,+∞).(2)由己知，𝑓(𝑥)的值域是[−1,3].当𝑐

<𝑥≤3时，𝑓(𝑥)=1𝑥，得𝑐>0，所以𝑓(𝑥)∈[13,1𝑐),1𝑐≤3，得𝑐≥13，当−3≤𝑥≤𝑐时，𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥=(𝑥+1)2−1，𝑓(𝑥)min=𝑓(−1)=−1，且有𝑓(−3)=3，易知𝑓(1)=1

2+2=3，所以𝑐≤1.综上，实数c的取值范围是[13,1]，故答案为：[−1,+∞),[13,1].17.【答案】解：(1)∵𝐴={𝑥|−6≤𝑥≤3}，𝐵={𝑥|−2≤𝑥<−1}∴(𝐶𝑈𝐵)

∩𝐴={𝑥|−6≤𝑥<−2或−1≤𝑥≤3};(2)∵𝐵∪𝐶=𝐵∴𝐶⊆𝐵当𝐶=⌀时，𝑎+1≤2𝑎∴𝑎≥1;当𝐶≠⌀时，{𝑎+1>2𝑎2𝑎≥−2𝑎+1≤−1得𝑎∈⌀.综上𝑎≥1.【解析】本题题考查集合的交并补混合运算，已知集合关系求

参，属于基础题.(1)解不等式，再进行集合间的运算；(2)由题可得𝐶⊆𝐵，分类讨论集合C是否为空集，求出参数的取值范围.18.【答案】(1)𝑝:𝑥2−(𝑎+2)𝑥+2𝑎=0得(𝑥−𝑎)(𝑥−2)=0，∃𝑥∈(−1,1)，𝑥2−(𝑎+2)�

�+2𝑎=0，命题p为真命题，∴−1<𝑎<1(2)由(1)知p真：−1<𝑎<1当命题q为真命题时：𝑥1+𝑥2=2𝑚，𝑥1𝑥2=−3𝑎2−3𝑎≥|𝑥1−𝑥2|=√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥

1𝑥2=√4𝑚2+12对任意实数𝑚∈[−1,1]恒成立;∴𝑎2−3𝑎≥4∴𝑎≤−1或𝑎≥4若命题p，q有且只有一个为真命题，则：p真q假：{−1<𝑎<1−1<𝑎<4得−1<𝑎<1p假q真：{𝑎⩽−1或𝑎⩾1𝑎⩽−1或𝑎⩾4得𝑎≤−1或𝑎

≥4综上：𝑎<1或𝑎≥4【解析】本题考查命题真假的判断，属于中档题.19.【答案】解：(1)当𝑥<−2时，−𝑥>2，𝑓(−𝑥)=(𝑎+𝑥)(−𝑥−2)=−(𝑥+2)(𝑥+𝑎)∵𝑓(𝑥)为偶函数，∴𝑓(𝑥)=𝑓(−𝑥)=−(�

�+2)(𝑥+𝑎)当−2≤𝑥<0时，0<−𝑥≤2，∵𝑓(𝑥)为偶函数，∴𝑓(𝑥)=𝑓(−𝑥)=−(𝑥+2)𝑥∴𝑓(𝑥)={−𝑥(𝑥+2),−2≤𝑥<0−(𝑥+𝑎)(𝑥+2),𝑥

<−2.(2)当𝑎=4时，结合(1)知𝑓(𝑥)在[0,1)是增函数，在[1,2)单调递减，在[2,3)单调递增，在[3,+∞)单调递减，且𝑓(1)=𝑓(3)=1，作出𝑓(𝑥)在[0,+∞)的图象，𝑓(𝑥)为偶函数，对称作出y轴左边的图象，由𝑓(

𝑥)的图象知：0<𝑚<1.【解析】本题考查利用函数的奇偶性求解析式，结合函数单调性，数形结合求出交点个数，为中档题.20.【答案】解：(1)设𝑥1，𝑥2∈[1,+∞)，且1≤𝑥1<𝑥2，则𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=𝑥12+2𝑥1−�

�22−2𝑥2=(𝑥1−𝑥2)(𝑥1+𝑥2−2𝑥1𝑥2)∵𝑥1，𝑥2∈[1,+∞)，且1≤𝑥1<𝑥2，所以𝑥1−𝑥2<0，𝑥1+𝑥2>2，0<2𝑥1𝑥2<2所以𝑥1+𝑥2−2𝑥1𝑥

2>0，则有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=𝑥12+2𝑥1−𝑥22−2𝑥2=(𝑥1−𝑥2)(𝑥1+𝑥2−2𝑥1𝑥2)<0，即𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2)，所以𝑓(𝑥)在[1,+∞)上是增函数;(2)由于函数𝑦=𝑔

(𝑥)是R上的减函数，且𝑔(𝑥3+2)<𝑔((𝑎2−2𝑎)𝑥)，所以𝑥3+2>(𝑎2−2𝑎)𝑥，又𝑥∈[1,+∞)，所以𝑥2+2𝑥>𝑎2−2𝑎，即𝑓(𝑥)>𝑎2−2𝑎在𝑥∈

[1,+∞)上恒成立，由(1)可知𝑓(𝑥)在[1,+∞)上是增函数，所以𝑎2−2𝑎<𝑓(𝑥)min=𝑓(1)=3，即a的取值范围为(−1,3).【解析】本题考查定义法证明函数单调性，利用单调性解不等

式及求最值，属于中档题.(1)按照取值、作差、变形、定号、结论的过程，证明函数单调性；(2)利用函数单调性得𝑥3+2>(𝑎2−2𝑎)𝑥，分离参数求函数最值.21.【答案】解：由题意可知，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷

(𝐴𝐵>𝐴𝐷)的周长为20√2，𝐴𝐵=𝑥，则𝐴𝐷=10√2−𝑥设𝑃𝐶=𝑎，则𝐷𝑃=𝑥−𝑎，𝐴𝑃=𝑎，而△𝐴𝐷𝑃为直角三角形，∴𝑎=𝑥+100𝑥−10√2，∴𝐷𝑃=10√2−100𝑥∴𝑎2=(𝑥−𝑎)2+(10√2−𝑥)2𝑆𝛥�

�𝐷𝑃=12×𝐴𝐷×𝐷𝑃=12(10√2−𝑥)(10√2−100𝑥)=150−5√2(𝑥+100𝑥)≤150−5√2×20=150−100√2当且仅当100𝑥=𝑥，即𝑥=10时，此时𝐴𝐷=10√2−10，满足𝐴𝐵>𝐴𝐷

，即𝑥=10时，△𝐴𝐷𝑃取最大面积为150−100√2.【解析】本题考查基本不等式求最值的实际应用，属于中档题.22.【答案】解：(1)令𝑎𝑥2+(2𝑏−1)𝑥+𝑏−2=𝑥，则𝑎𝑥2+(2𝑏−2)𝑥+𝑏−2=0①，由题意，方程

①恒有两个不相等的实数根，所以△1=(2𝑏−2)2−4𝑎(𝑏−2)>0，即𝑏2−(𝑎+2)𝑏+2𝑎+1>0恒成立，则△2=(𝑎+2)2−4(2𝑎+1)<0，解得0<𝑎<4.(2)依题意𝑦=𝑓(𝑥)图象上两个点A，B的横坐标是函数𝑓(𝑥)的不动点，设𝐴

(𝑥1,𝑥1)，𝐵(𝑥2,𝑥2)，(𝑥1≠𝑥2)，𝑥1+𝑥2=−2𝑏−2𝑎𝑥1𝑥2=𝑏−2𝑎𝑔(𝑥)=−𝑥+𝑎3𝑎2−2𝑎+1，又AB的中点在该直线上，所以𝑔(𝑥1+𝑥22)=−𝑥1+𝑥22+𝑎3𝑎2−2𝑎+1=𝑥1+𝑥22

∴𝑥1+𝑥2=𝑎3𝑎2−2𝑎+1=−2𝑏−2𝑎即2−2𝑏=𝑎23𝑎2−2𝑎+1=11𝑎2−2𝑎+3=1(1𝑎−1)2+2∵0<𝑎<4当1𝑎=1，即𝑎=1时取得最大值，2−2𝑏≤12∴𝑏≥34，即b的最小值34.获得更多资源请扫码加入享

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