【文档说明】湖北省武汉外国语学校2025届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.024 MB，由小赞的店铺上传

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武汉外国语学校2024—2025学年度上学期10月月考高三数学试卷考试时间：2024年10月9日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2|230Ax

xx=+−，|22Bxx=−，则AB=（）A.2,1−−B.)1,2−C.1,1−D.)1,2【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式求集合A，即可得交集.【详解】由题意可得

：()2|230,31,Axxx=+−=−−+U，且|22Bxx=−，所以AB=)1,2.故选：D.2.复数2i12i−+的共轭复数是（）A.3i5−B.3i5C.i−D.i【答案】D【解析】【分析】先根据复数

的除法求解，再根据共轭复数的概念求解.【详解】因为()()()()2i12i2i5ii12i12i12i5−−−−===−++−，所以其共轭复数是i.故选：D.3.若2ba=，=−cab，且ca⊥，则a与b的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6

【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直列方程，结合向量数量积的运算以及向量夹角的知识求得正确答案.【详解】因为ca⊥，所以()22cos,0acaabaabaabab=−=−=−=，由于2ba=，所以212cos,0,cos,2aaaabab−==，由于0,πab，所以π,3a

b=.故选：B4.已知ππ(0,),(0,)22，则下列不等关系中不恒成立的是（）A.()sinsinsin++B.()sincoscos++C.()cossinsin++D.()coscoscos++【答案】C【解析】【分析】由两角

和的正弦、余弦公式展开后结合不等式的性质可判断ABD，举反例判断C．【详解】,都是锐角，则sin(0,1),cos(0,1),sin(0,1),cos(0,1)，sin()sincoscossinsinsin+=++

，A正确；sin()sincoscossincoscos+=++，B正确；15==时，3cos()cos302+==，311cos30423622sin152284−−−−====，62sins

insin15sin152−+=+=，36222−，C错误；()coscoscossinsincoscoscoscoscos+=−+，D正确．故选：C．5.将体积为1的正四面体放置于一个正方体中，则此正方体棱长的最小值为（）A.3B.3C.3

3D.33【答案】C【解析】【分析】反向思考，求出边长为a的正方体的最大内接正四面体的体积，结合条件，即可求解.【详解】反向思考，边长为a的正方体，其最大内接正四面体的体积为33311141323aaa−==，得到3

3a=，解得33a=，故选：C.6.武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（）种A.114B.120C.126D.132【答案】A【解析】【分

析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可.【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，所以必有一人值班3天，另两人各值班2天.第一类：值班3天在(1,3,5)、(1,3,6)、(1,4,6)、(2,4,7)、(

2,5,7)、(3,5,7)时，共有1113226CCC72=种不同的值班方法；第二类：值班3天在(1,3,7)、(1,5,7)时，共有11322CC12=种不同的值班方法；第三类：值班3天在(1,4,7)时，共

有111322CCC12=种不同的值班方法；第四类：值班3天在(2,4,6)时，共有1234CC18=种不同的值班方法；综上可知三位老师在国庆节7天假期共有72121218114+++=种不同的值班方法

.故选：A7.已知aR，设函数222,1,()ln,1,xaxaxfxxaxx−+=−„若关于x的不等式()0fx…在R上恒成立，则a的取值范围为A.0,1B.0,2C.0,eD.1,e【答案】C【解析

】【分析】先判断0a时，2220xaxa−+在(,1]−上恒成立；若ln0xax−在(1,)+上恒成立，转化为lnxax在(1,)+上恒成立．【详解】∵(0)0f，即0a，（1）当01a时，2222()22

()22(2)0fxxaxaxaaaaaaa=−+=−+−−=−，当1a时，(1)10f=，故当0a时，2220xaxa−+在(,1]−上恒成立；若ln0xax−在(1,)+上恒成立，即lnxax在(1,)+上恒成立，令()lnxgxx=

，则2ln1'()(ln)xgxx−=，当,xe函数单增，当0,xe函数单减，故()()mingxgee==，所以ae．当0a时，2220xaxa−+在(,1]−上恒成立；综上可知，a的取

值范围是[0,]e，故选C．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．8.已知函数()(),Rfxfxx=−，()5.51f=，函数()()()1gxxfx=−，若()1gx+为偶函数，则()0.5g−的值为（）

A.3B.2.5C.2D.1.5【答案】D【解析】【分析】由()1gx+为偶函数，推得()()2gxgx=−，再由()()()1gxxfx=−，求得()fx关于(1,0)对称，结合()()fxfx=−，推得(4)()fxfx−=，得到()fx是周期为4的周期

函数，根据(5.5)1f=，得到(2.5)1f=，进而求得(0.5)g−的值，得到答案.【详解】因为函数()1gx+为偶函数，可()gx的图象关于1x=对称，所以()()2gxgx=−，由()()()1gxxfx=−，可得()()(

)()112xfxxfx−=−−，即()()20fxfx+−=，所以函数()fx关于(1,0)对称，又因为()()fxfx=−，所以()fx是定义在R上的偶函数，所以()()2(2)fxfxfx=−−=−−，所以()4[(2)

2](2)[()]()fxfxfxfxfx−=−−=−−=−=，即(4)()fxfx−=，所以函数()fx是周期为4的周期函数，所以(5.5)(1.54)(1.5)(2.5)(2.5)1fffff=+==−==，则(0

.5)(2.5)(2.51)(2.5)1.5ggf−==−=.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关于概率统计知识，其中说法正确的是（）A.数据1−，

0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1B.已知随机变量(),XBnp，若()40EX=，()30DX=，则160n=C.若一组样本数据(),iixy（1i=，2，…，n）的对应样本点都在直线132yx=−+上，则这组样本数据的相关系数为12−D.若事件M，

N的概率满足()()0,1PM，()()0,1PN且()()1PNMPN+=，则M与N相互独立【答案】ABD【解析】【分析】根据百分位数的定义计算判断A，由二项分布的数学期望与方差公式计算可判断B，根据相关系数的定义可判断C,根据相互独立事件及条件概

率的概率公式计算可判断D.【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于825%2=，所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数0+2=12，故A正确；对于选项B，因为(),XBnp，()40EX=，()30DX=，所以40(1)30npnpp=−=，解得1,

1604pn==，故B正确；对于选项C，因为样本点都在直线132yx=−+上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为1−，故C错误.的对于选项D，由()()1PNMPN+=，可得()()1PNMPN=−，即()()()NPNMPPM=，即()()()NPN

MPPM=，所以M与N相互独立，故D正确；故选：ABD.10.连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（）A.平行四边形B.梯形C.有三条边相等的四边形D.有一组对角相等的四边形【答案】BCD【解析】【分析】根据题意作出相应的图形，结合抛物线的性质逐项分析判断.【详解】

对于选项A：作两条平行线与抛物线均相交，根据抛物线的性质可知：截得的弦长一定不相等，所以所得的四边形不可能为平行四边形，故A错误；对于选项C：任作一条直线垂直与抛物线的对称轴，交抛物线与,AB两点，则OAOB=，再以A圆心，OA为半径作圆，该圆以抛物线必有一个异于坐标原点的交点C，

此时可得OAOBOC==，符合题意，故C正确；对于选项B：任作两条直线垂直与抛物线的对称轴，分别与交抛物线交于,AB和,CD，此时ABCD，即ABCD为梯形，故C正确；对于选项D：如图，以AC为直径作圆，与抛物线交于,,,ABCD，此时90ABCADC==，符

合题意，故D正确；故选：BCD.11设函数32()231fxxax=−+，则（）A.当0a=时，直线1y=是曲线()yfx=的切线B.若()fx有三个不同的零点123,,xxx，则12312xxx=−C.存在,ab，使得xb=为曲线()yfx=的对称轴D.

当02ax时，()fx在0xx=处的切线与函数()yfx=的图象有且仅有两个交点【答案】ABD【解析】【分析】根据曲线的切线、函数的零点、曲线的对称轴，直线和曲线的交点个数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，当0a=时，()

321fxx=+，令()260fxx==解得0x=，且()01f=，此时()fx在0x=处的切线方程为10y−=，即1y=，正确.B选项，()()322()231,666fxxaxfxxaxxxa=−+=−=−，.要使()fx有三个零点，则0a，若32()231f

xxax=−+有三个不同的零点123,,xxx，则()()()()1232fxxxxxxx=−−−()()32123122313123222xxxxxxxxxxxxxxx=−+++++−，通过对比系数可得1231231212xxxxxx−==−，正确.C选项，若存在,ab，使得xb=为曲线

()yfx=的对称轴，则()()2fxfbx=−，即()()323223122321xaxbxabx−+=−−−+，即3232232223162412212123xaxbbxbxxababax−=−+−−+−，即()3222364330xbxbxbabab−+−−+=，此方程不恒为零

，所以不存在符合题意的,ab，使得xb=为曲线()yfx=的对称轴，错误.D选项，当02ax时，()322()231,66fxxaxfxxax=−+=−，则()322000000()231,66fxxaxfxxax=−+=−，所以()fx在0xx=处的切线方程为(

)()()3220000023166yxaxxaxxx−−+=−−，()()()2320000066231yxaxxxxax=−−+−+，由()()()232000003266231231yxaxxxxaxyxax=−−+−+=−+，消去y得()()32322

0000023123166xaxxaxxaxxx−+=−++−−①，由于()()()333322000002222xxxxxxxxxx−=−=−++，()()()222200003333axaxaxxaxxxx−+=−−=−−

+，所以①可化为()()()()()()2220000000023660xxxxxxaxxxxxaxxx−++−−+−−−=，提公因式0xx−得()()()()22200000023660xxxxxxaxxxax−++−+−−=，化简得()()()220000223

430xxxxaxxax−+−−−=，进一步因式分解得()()2002430xxxxa−+−=，解得010234,2axxxx−==，由于02ax，所以020xa-?，所以()0001203234630222xaaxxaxxx−−−−=−==，所以12xx，所以当0

2ax时，()fx在0xx=处的切线与函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象有且仅有两个交点，正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：D选项的解答涉及到切线与曲线交点的个数，利用联立方程组和因式分解的方法，最终得出交点个数的结论，过程完整而严谨．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已

知nS是等差数列na的前n项和，若320S=，990S=，则6S=____________．【答案】50【解析】【分析】设na首项为1a，公差为d，后由等差数列求和公式可得答案.【详解】设na首项为1a，公差为d，由题，则111503320

993690109aadadd=+=+==.则6161550Sad=+=.故答案为：5013.已知函数()()sin,0,2π2cosxfxxx=+，写出函数()fx的单调递减区间____________．【答案】2π4π33

，【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性即可.【详解】()()()()222cos2cossin2cos12cos2cosxxxxfxxx+++==++，()0,2πx，令()()22cos102cosxfxx+==+，即2cos10x+=，解得2π3x=或4π3x=.

当2π0,3x时，()0fx，则()fx在2π0,3上单调递增；当2π4π,33x时，()0fx，则()fx在2π4π,33上单调递减；当4π,2π3x

时，()0fx，则()fx在4π,2π3上单调递增.综上可知，函数()fx的单调递减区间为2π4π,33.故答案为：2π4π,33.14.掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于

3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为____________；（2）恰好得n分的概率为____________．（用与n有关的式子作答）【答案】①.1327②.13425153n−−−【解析】【分析】

因为一次得2分，另一次得1分或三次的1分时恰好得3分，进而利用独立重复试验的概率可求（1）；令nP表示“恰好得n分”的概率，不出现n分的唯一情况是得到1n−分以后再掷出一次不小于3的情况，则有1213nnPP−−=，进而利用构造等比数列可求（2）.【详解】（1）掷

一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3的概率4263=,掷一个质地均匀的骰子，向上的点数小于3的概率2163=.因为一次得2分，另一次得1分或三次得1分时恰好得3分，所以恰好得3分的概率等于2102321112113C+C==3332727+

.（2）令nP表示“恰好得n分”的概率，不出现n分的唯一情况是得到1n−分以后再掷出一次不小于3的情况，因为“不出现n分”的概率是1nP−，所以“恰好得到1n−分”的概率是1nP−.因为“掷一次得2分”的概率是23，所以有1213nnPP−−=，即1213nnPP−=−+，则构造等比数列n

P+，设()123nnPP−=−++，即13532nnPP−−=−，则513−=，35=−，所以1323535nnPP−−=−−，又113P=，1313453515P−=−=−，所以35nP−是首项为415−，公比为23−的等比数列，即1

3425153nnP−−=−−，13425153nnP−=−−.故恰好得n分的概率为13425153n−−−.故答案为：（1）1327；（2）13425153n

−−−.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知ABC的面积为3，且满足063ABAC,设AB和AC的夹角为，（1）求的取值范围；（2）求函数()2π3cossin3cos34f=+

−+的值域．【答案】（1）ππ,62（2）10,2【解析】【分析】（1）根据题意由三角形面积公式可得6cos063sin，继而可得3tan3或π2=，结合的范围即可求解；（2）利用和差公式、降幂公式、倍角

公式及辅助角公式化简可得1π()sin223f=−，由（1）所求的的范围可得π23−的范围，继而即可求得值域.小问1详解】由题1sin32ABCSbc==，可得6sinbc=，又0cos63ABACbc=，【所以6c

os063sin，得到3tan3或π2=，因为()0,π，所以ππ,62.【小问2详解】()2π3cossin3cos34f=+−+2133cos(sincos)3co

s224=+−+2133sin2cos424=−+131cos23sin24224+=−+1πsin223=−，因为ππ,62，故π2π20,33−，故可得()10,2f.16.如图

，已知四棱锥PABCD−，PBAD⊥，侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为4的菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120．（1）求四棱锥PABCD−的体积；（2）求二面角APBC−−的正弦值

．【答案】（1）83（2）217【解析】【分析】（1）作出四棱锥PABCD−的高，并计算出高的长度，进而计算出四棱锥PABCD−的体积.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角APBC−−的余弦值，进而计算出

正弦值.【小问1详解】过点P作PO垂直于平面ABCD，垂足O，连接BO交AD于E，连接PE，因为AD平面ABCD，POAD⊥，又PBAD⊥，又,,POPBPPOPB=平面POB，所以AD⊥平面POB，因为,PEBE平面POB，所以ADPE⊥，ADBE⊥，又PAPD=，所以

E为AD得中点，所以4BDBA==，因为侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120，即有120PEB=，所以60PEO=，因为侧面PAD为正三角形，所以4sin6023PE==，则3sin602332POPE===，所以11344383

332PABCDABCDVSPO−===.【小问2详解】在平面ABCD内过点O作OB的垂线Ox，依题可得,,OPOBOx两两垂直，以,,OPOBOx为z轴，y轴，x轴建立空间直角坐标系，可得()2,3,0A，()0,0,3P，()0,33,0B，()4

,33,0C−，取PB得中点为N，则3330,,22N，为因为APAB=，所以ANPB⊥，由（1）AD⊥平面POB，//BCAD，知⊥BC平面POB，PB平面POB，所以BCPB⊥，可得,BCNA所成角即为二面角APBC−−的平面角，记为，求得332,,22

NA=−−，()4,0,0BC=−，则82cos,477NABCNABCNABC===，则2221sin177=−=.17.已知函数()()2eln0xafxaax−=+（1）当ea=时，求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程；（2）若不

等式()2fx恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）2y=（2）ea【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，根据导数求切线的斜率，再代入点斜式方程，即可求解；（2）首先根据指对公式，变形不等式为e

ln𝑎+𝑥−2+ln𝑎+𝑥−2≥ln𝑥+eln𝑥，𝑥>0，再构造函数()exgxx=+，结合函数的单调性，转化为不等式ln2lnaxx+−恒成立，再利用参变分离，转化为函数最值问题，即可求解.【小问1详解】当ea=时，()1eelnxfxx−=+，()01eln

e2f=+=，()()11e,10xfxfx−=−=，所求切线方程为：20(1)yx−=−，即2y=；【小问2详解】()2fx转化为ln2elnln2axax+−+−，可得eln𝑎+𝑥−2+ln𝑎+𝑥−2≥ln𝑥+eln𝑥，𝑥>0，构造函数()exgxx

=+，易得()gx在R单调递增，所以有()(ln2)lngaxgx+−，由()gx在R单调递增，故可得ln2lnaxx+−，即有lnln2axx−+在()0,+恒成立，令()ln2hxxx=−+，()110hxx−==

，得到1x=，可得()0,1x时，ℎ′(𝑥)>0；()1,x+时，()0hx，所以ℎ(𝑥)在1x=时取最大值，所以()ln11ah=，得到ea.18.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左､右焦点分别为12,FF

，离心率为23，且经过点52,3A（1）求椭圆E的方程；（2）求12FAF的角平分线所在直线l的方程；（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．【答案】（1）22195xy+=（2）9680xy−−=（3）不存在，理由见解析【

解析】【分析】（1）根据椭圆经过的点的坐标以及离心率解方程组可求得椭圆E的方程；（2）思路一：利用角平分线上的点的性质，由点到直线距离公式整理可得结论；思路二：求得椭圆在点A处的切线方程，再由椭圆的光学性质可得平分线所在直线方程；（3）思路一：假设存在关于直线l对称的相异的两点

，联立直线与椭圆方程可得线段BC中点52,3M与点A重合，假设不成立；思路二：利用点差法求出65OMk=，联立直线方程可得点52,3M与点A重合，不合题意，可得结论.【小问1详解】椭圆E经过点52,3A，23e=可得2222

22549123ababccea+==+==，解得352abc===，因此可得椭圆E的方程为22195xy+=；【小问2详解】由（1）可知，1(2,0)F−，2(2,0)F思路一：由题意可知1:512

100AFlxy−+=，2:2AFlx=，如下图所示：设角平分线上任意一点为𝑃(𝑥,𝑦)，则51210213xyx−+=−得9680xy−−=或2390xy+−=又易知其斜率为正，∴12FAF的

角平分线所在直线为9680xy−−=思路二：椭圆在点52,3A处的切线方程为2319xy+=，23k=−切根据椭圆的光学性质，12FAF的角平分线所在直线l的斜率为32lk=，所以12FAF的角平分线所在直线34:23lyx=−，即96

80xy−−=【小问3详解】思路一：假设存在关于直线l对称的相异两点𝐵(𝑥1,𝑦1),𝐶(𝑥2,𝑦2)，设2:3BClyxm=−+，联立2219523xyyxm+==−+可得229129450xmxm

−+−=，∴线段BC中点为25,39mmM在12FAF的角平分线上，即106803mm−−=，解得3m=；因此52,3M与点A重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l对称的相异两点𝐵(𝑥1,𝑦1),𝐶(𝑥2,𝑦2)，线段B

C中点()00,Mxy，由点差法可得22112222195195xyxy+=+=，即22221212095xxyy−−+=；∴0121212120552993BCxyyxxkxxyyy−+=

=−=−=−−+，因此0065OMykx==，联立:96806:5AMOMlxylyx−−==可得52,3M与点A重合，舍去，故不存在满足题设条件相异的两点．19.设()fx使定义在区间(1,)+上的函数

，其导函数为()fx.如果存在实数a和函数()hx，其中()hx对任意的(1,)x+都有()hx>0，使得()()()21fxhxxax=−+，则称函数()fx具有性质()Pa．（1）设函数()fx2ln(1)1bxxx

+=++，其中b为实数①求证：函数()fx具有性质()Pb；②讨论函数()fx的单调性；的（2）已知函数()gx具有性质(2)P，给定1212,(1,),,xxxx+设m为正实数，12(1)mx

mx=+−，12(1)mxmx=−+，且1,1，若12()()()()gggxgx−−，求m的取值范围．【答案】（1）①证明见解析；②答案见解析（2）01m【解析】【分析】(1)①对()fx求导，可

得ℎ(𝑥)=1𝑥(𝑥+1)2>0恒成立，即可函数()fx具有性质()Pb；②设𝑢(𝑥)=𝑥2−𝑏𝑥+1(𝑥>1)，𝑓′(𝑥)与()ux符号相等，对b讨论，可知𝑓′(𝑥)符号，即可得出函数()fx的单调区间；(2)对()gx求导，()()()()()22211gxh

xxxhxx==−+−，分析可知()gx其在(1,)+恒成立，对m讨论，再根据，与12,xx大关系进行讨论，验证是否满足条件，可求解m的取值范围.【小问1详解】①()()()()222121111bfxxbxxxx

x+=−=−+++，所以1x，ℎ(𝑥)=1𝑥(𝑥+1)2>0恒成立，则函数()fx具有性质()Pb；②设𝑢(𝑥)=𝑥2−𝑏𝑥+1(𝑥>1)，(i)当0b−即0b时，()0ux，()'0fx

，故此时()fx在区间(1,)+上递增；(ii)当0b时当240b=−即02b时，()0ux，()'0fx，故此时()fx在区间(1,)+上递增；当240b=−即2b时，221224241

1224bbbbxxbb−−+−===+−，，所以241,2bbx+−时，()0ux，()0fx，此时()fx在241,2bb+−上递减；24,2bbx+−+时，()0ux，()0fx，此时()fx在24,2b

b+−+上递增.综上所述，当2b时，()fx在(1,)+上递增；当2b时，()fx在241,2bb+−上递减，在24,2bb+−+上递增.【小问2详解】由题意，()()()()()2221

1gxhxxxhxx==−+−，又()hx对任意的,(1)x+都有()0hx，所以对任意的,(1)x+都有()0gx，()gx在(1,)+上递增.所以12(1)mxmx=+−，12(1)mxmx

=−+，因为()()1212,21xxmxx+=+−=−−先考虑12xx−−的情况即()()121221mxxxx−−−，得01m，此时1122(1)xmxmxx=+−，1122(1)x

mxmxx=−+所以1212()()(),()()()gxggxgxggx所以12()()()()gggxgx−−满足题意当1m时，11112(1)(1)mxmxmxmxx−−==++，12222(1)(1)mxmxmxm

xx=−−+=+，所以12xx所以12()()()()ggxgxg，则12()()()()gggxgx−−，不满足题意，舍去综上所述，01m